2025年江蘇省徐州市睢寧高中南校數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，正三棱柱中，，則與平面所成角的正弦值等于（）A. B.C. D.2．在四面體中，，，，且，，則等于（）A. B.C. D.3．已知，為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A. B.C. D.14．已知點(diǎn)A、是拋物線：上的兩點(diǎn)，且線段過拋物線的焦點(diǎn)，若的中點(diǎn)到軸的距離為3，則（）A.3 B.4C.6 D.85．命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.?x∈R，|x|+x2<0 B.?x∈R，|x|+x2≤0C.?x0∈R，|x0|+<0 D.?x0∈R，|x0|+≥06．已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A. B.C. D.7．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至起，接下來(lái)依次是小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種共十二個(gè)節(jié)氣，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，其中大寒、驚蟄、谷雨三個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)之和為25.5尺，且前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為85.5尺，則立春的日影長(zhǎng)為（）A.9.5尺 B.10.5尺C.11.5尺 D.12.5尺8．已知點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線的右分支上，是等邊三角形，則的面積是A. B.C. D.9．如圖，在四面體中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.10．若直線與直線垂直，則a=（）A.-2 B.0C.0或-2 D.111．如圖已知正方體，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)且，，則（）A.當(dāng)時(shí)，平面 B.當(dāng)時(shí)，平面C.當(dāng)為直角三角形時(shí)， D.當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，12．“橢圓的離心率為”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的漸近線方程為___________.14．與圓外切于原點(diǎn)，且被y軸截得的弦長(zhǎng)為8的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________15．若直線:x-2y+1=0與直線:2x+my-1=0相互垂直，則實(shí)數(shù)m的值為________.16．希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，點(diǎn)P是滿足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為___________________；若點(diǎn)Q為拋物線E：y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，Q在直線x=-1上的射影為H，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且（1）證明：面；（2）求平面和平面夾角的余弦值18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足（1）求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：19．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.（1）求C的方程：（2）過C上一動(dòng)點(diǎn)P作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求四邊形PAMB面積的最小值.20．（12分）如圖，已知橢圓的短軸端點(diǎn)為、，且，橢圓C的離心率，點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N與，均不重合），連接，，交于點(diǎn)T（1）求橢圓C的方程；（2）求證：當(dāng)直線l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)T總在一條定直線上運(yùn)動(dòng)；（3）是否存在直線l，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由21．（12分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求的取值范圍.22．（10分）為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，鼓勵(lì)全民閱讀經(jīng)典書籍，某市舉行閱讀月活動(dòng)，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)某街道約10000人在該活動(dòng)月每人每日平均閱讀時(shí)間（分鐘）的頻率分布直方圖如圖：（1）求x的值；（2）從該街道任選1人，則估計(jì)這個(gè)人的每日平均閱讀時(shí)間超過60分鐘的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】取中點(diǎn)，連接，，證明平面，從而可得為與平面所成角，再利用三角函數(shù)計(jì)算的正弦值.【詳解】取中點(diǎn)，連接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴為與平面所成角，由題意，，，在中，.故選：C2、B【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】解：由題知，故選：B.3、D【解析】利用基本不等式可求的最小值.【詳解】可化為，由基本不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為1，故選：D.4、D【解析】直接根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求結(jié)果【詳解】設(shè)，，則的中點(diǎn)到軸的距離為，則故選：D5、C【解析】利用全稱命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：C.6、D【解析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到2p=4,進(jìn)而得到方程.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是,即p=2,2p=4,故得到方程為.故答案為D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，題目較為簡(jiǎn)單.7、B【解析】設(shè)影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，公差為，根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)和公差，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，公差為，則，前9項(xiàng)之和，即，解得，所以立春的日影長(zhǎng)為.故選：B.8、C【解析】設(shè)點(diǎn)在軸上方，由是等邊三角形得直線斜率.又直線過點(diǎn)，故方程為.代入雙曲線方程，得點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故的面積為,選C.9、B【解析】利用插點(diǎn)的方法，將歸結(jié)到題目中基向量中去，注意中線向量的運(yùn)用.【詳解】.故選：B.10、C【解析】代入兩直線垂直的公式，即可求解.【詳解】因?yàn)閮芍本€垂直，所以，解得：或.故選：C11、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一計(jì)算可得；【詳解】解：由題可知，如圖令正方體的棱長(zhǎng)為1，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，因?yàn)?，所以，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以對(duì)于A：若平面，則，則，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若平面，則，即，解得，故B錯(cuò)誤；當(dāng)為直角三角形時(shí)，有，即，解得或（舍去），故C錯(cuò)誤；設(shè)到的距離為，則，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，，故正確故選：12、C【解析】討論橢圓焦點(diǎn)的位置，根據(jù)離心率分別求出參數(shù)m，由充分必要性的定義判斷條件間的充分、必要關(guān)系.【詳解】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，得；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，得故“橢圓的離心率為”是“”的必要不充分條件故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程后求解【詳解】，化簡(jiǎn)得，其漸近線方程故答案為：14、；【解析】設(shè)所求圓的圓心為，根據(jù)兩圓外切于原點(diǎn)可知兩圓心與原點(diǎn)共線，再根據(jù)弦長(zhǎng)列出方程組求出即可.【詳解】設(shè)所求圓的圓心為，因?yàn)閳A的圓心為，與原點(diǎn)連線的斜率為，又所求圓與已知圓外切于原點(diǎn)，，①所以所求圓的半徑滿足，又被y軸截得的弦長(zhǎng)為8，②由①②解得，所以圓的方程為.故答案為：15、1【解析】由兩條直線垂直可知，進(jìn)而解得答案即可.【詳解】因?yàn)閮蓷l直線垂直，所以.故答案為：1.16、①.②.【解析】（1）利用直譯法直接求出P點(diǎn)的軌跡（2）先利用阿氏圓的定義將轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)到另一個(gè)定點(diǎn)的距離，然后結(jié)合拋物線的定義容易求得的最小值【詳解】設(shè)P（x，y），由阿氏圓的定義可得即化簡(jiǎn)得則設(shè)則由拋物線的定義可得當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義及幾何性質(zhì)，同時(shí)考查了阿氏圓定義的應(yīng)用．還考查了學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想、方程思想等思想方法解題的能力．難度較大三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）證明平面，可得出，再由結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得結(jié)果.【小問1詳解】證明：正中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，因?yàn)槠矫?，平面，則，，則平面，平面，則，又，且，平面.【小問2詳解】解：因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，平面，平面，則，又因?yàn)?，，故平面，所以，平面的一個(gè)法向量為，則.因此，平面和平面夾角的余弦值為.18、（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】（1）令可求得的值，令，由可得，兩式作差可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用錯(cuò)位相減法可求得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】證明：當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差得，所以，，則，因?yàn)椋瑒t，可得，，，以此類推，可知對(duì)任意的，，所以，，因此，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，所以，，解得.【小問2詳解】證明：，則，其中，所以，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，，，上式下式，得，所以，，因此，.19、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)拋物線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，求出p即可；(2)設(shè)，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式求出，根據(jù)四邊形PAMB的面積得到關(guān)于的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)镃的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，由題意得，即，因此.【小問2詳解】圓M的圓心為，半徑為1.由條件可知，，且，于是.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以四邊形PAMB面積的最小值為.20、（1）（2）證明見解析；（3）不存在直線l，使得成立，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，設(shè)，根據(jù)和在同一條直線上，列出方程求得的值，即可求解；（3）設(shè)直線的為，把轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立方程組求得，代入列方程，求得，即可得到結(jié)論.【小問1詳解】解：由題意可得，解得，所以所求橢圓的方程為.【小問2詳解】解：由題意，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，設(shè)，因?yàn)樵谕粭l直線上，則，①又由在同一條直線上，則，②由①+②3所以，整理得，解得，所以點(diǎn)在直線，即當(dāng)直線l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)T總在一條定直線上運(yùn)動(dòng).【小問3詳解】解：由（2）知，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，即，設(shè)直線的方程為，且，又由且，可得，即，聯(lián)立方程組，整理得，可得，代入可得，解得，即，此時(shí)直線的斜率不存在，不合題意，所以不存在直線l，使得成立.21、（1）（2）【解析】（1）由條件可得，，然后可得答案；（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后算出中點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可得線段的垂直平分線方程，然后可得，然后可