高等數(shù)學(xué)Ⅱ課程教案1目錄課程介紹與教學(xué)目標(biāo)極限與連續(xù)一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)常微分方程初步2目錄無(wú)窮級(jí)數(shù)簡(jiǎn)介空間解析幾何與向量代數(shù)多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用重積分與曲線(xiàn)積分初步3課程介紹與教學(xué)目標(biāo)014高等數(shù)學(xué)Ⅱ是大學(xué)數(shù)學(xué)的一門(mén)重要課程，主要涵蓋了微積分、常微分方程、向量代數(shù)與空間解析幾何等內(nèi)容。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握數(shù)學(xué)分析的基本思想和方法，培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理能力，為后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。高等數(shù)學(xué)Ⅱ課程簡(jiǎn)介5知識(shí)目標(biāo)掌握微積分、常微分方程、向量代數(shù)與空間解析幾何的基本概念、基本理論和基本方法。能力目標(biāo)能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題，具備初步的數(shù)學(xué)建模能力。素質(zhì)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。教學(xué)目標(biāo)與要求60102教材《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》（第X版），XX大學(xué)出版社。參考書(shū)目《微積分學(xué)教程》、《常微分方程教程》、《向量代數(shù)與空間解析幾何教程》等。教材及參考書(shū)目7極限與連續(xù)028極限的定義01描述函數(shù)在某一點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)處的變化趨勢(shì)。02極限的性質(zhì)唯一性、局部有界性、保號(hào)性、四則運(yùn)算法則。03極限存在的條件左右極限存在且相等。極限概念及性質(zhì)9以零為極限的變量。無(wú)窮小量的定義無(wú)窮小量的性質(zhì)無(wú)窮大量的定義無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系有限個(gè)無(wú)窮小量的和、差、積仍是無(wú)窮小量；有界函數(shù)與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。絕對(duì)值無(wú)界的變量。在同一變化過(guò)程中，如果f(x)為無(wú)窮大量，那么1/f(x)為無(wú)窮小量；反之亦然。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量10連續(xù)函數(shù)的定義在定義域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)。一致連續(xù)性的概念描述函數(shù)在區(qū)間上整體連續(xù)的性質(zhì)。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)局部有界性、保號(hào)性、介值定理、最值定理、零點(diǎn)定理等。一致連續(xù)性的判定方法利用函數(shù)在區(qū)間上的振幅進(jìn)行判定。連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)11一元函數(shù)微分學(xué)0312通過(guò)極限的思想引入導(dǎo)數(shù)的概念，解釋導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線(xiàn)在某一點(diǎn)的切線(xiàn)斜率。導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義介紹基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，以及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則等。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則闡述高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算方法，包括萊布尼茲公式等。高階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)概念及計(jì)算13微分的計(jì)算法則介紹基本初等函數(shù)的微分公式，以及微分的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)微分法則等。微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系闡述微分與導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，即微分是導(dǎo)數(shù)乘以自變量的增量。微分的定義與幾何意義通過(guò)無(wú)窮小量的思想引入微分的概念，解釋微分在幾何上表示函數(shù)圖像在某一點(diǎn)處的微小變化量。微分概念及計(jì)算14介紹羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的內(nèi)容及應(yīng)用。微分中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分的應(yīng)用闡述導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、拐點(diǎn)等方面的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)、物理等領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)例。介紹微分在近似計(jì)算、誤差估計(jì)、微分方程等方面的應(yīng)用，以及微分在工程技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)例。微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用15一元函數(shù)積分學(xué)0416不定積分的計(jì)算方法詳細(xì)介紹不定積分的換元法、分部積分法等基本計(jì)算方法，并通過(guò)實(shí)例加以說(shuō)明。常見(jiàn)不定積分公式與技巧總結(jié)常見(jiàn)的不定積分公式，如冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等的不定積分公式，同時(shí)介紹一些實(shí)用的計(jì)算技巧。不定積分的定義與性質(zhì)通過(guò)引入原函數(shù)的概念，闡述不定積分的定義及其基本性質(zhì)，如線(xiàn)性性、可加性等。不定積分概念及計(jì)算17定積分的定義與性質(zhì)闡述定積分的定義及其基本性質(zhì)，如可加性、保號(hào)性等，并介紹定積分的幾何意義。定積分的計(jì)算方法詳細(xì)介紹定積分的換元法、分部積分法等基本計(jì)算方法，并通過(guò)實(shí)例加以說(shuō)明。同時(shí)，介紹如何利用定積分的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。定積分的近似計(jì)算介紹定積分的近似計(jì)算方法，如矩形法、梯形法、辛普森法等，并分析各種方法的誤差及適用范圍。定積分概念及計(jì)算18定積分應(yīng)用舉例通過(guò)實(shí)例說(shuō)明如何利用定積分計(jì)算平面圖形的面積和空間立體的體積，如求曲線(xiàn)所圍成的面積、旋轉(zhuǎn)體體積等。物理應(yīng)用介紹定積分在物理中的應(yīng)用，如計(jì)算變力做功、液體靜壓力等問(wèn)題。通過(guò)實(shí)例分析問(wèn)題的背景，建立數(shù)學(xué)模型，并利用定積分求解。經(jīng)濟(jì)應(yīng)用闡述定積分在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用，如計(jì)算總收益、總成本等問(wèn)題。通過(guò)實(shí)例分析問(wèn)題的背景，建立經(jīng)濟(jì)模型，并利用定積分求解。面積與體積的計(jì)算19常微分方程初步0520常微分方程定義含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，且導(dǎo)數(shù)（或微分）的階數(shù)是常數(shù)。線(xiàn)性與非線(xiàn)性常微分方程根據(jù)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的次數(shù)來(lái)劃分。初始條件與邊界條件確定常微分方程解的特定條件。常微分方程基本概念03020121分離變量法適用于可分離變量的常微分方程，通過(guò)變量分離得到原函數(shù)的表達(dá)式。恰當(dāng)方程與積分因子對(duì)于某些一階常微分方程，可以通過(guò)構(gòu)造恰當(dāng)方程或找到積分因子來(lái)求解。一階線(xiàn)性常微分方程的解法利用常數(shù)變易法或積分因子法求解。一階常微分方程解法22二階常微分方程解法二階線(xiàn)性常微分方程的解法通過(guò)求解特征方程得到通解，再根據(jù)初始條件確定特解。可降階的二階常微分方程某些二階常微分方程可以通過(guò)變量代換或分組組合的方式降為一階方程求解。常系數(shù)線(xiàn)性齊次常微分方程的解法利用特征根的性質(zhì)和歐拉公式求解。常系數(shù)線(xiàn)性非齊次常微分方程的解法通過(guò)常數(shù)變易法或待定系數(shù)法求解。23無(wú)窮級(jí)數(shù)簡(jiǎn)介062401由無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加而成的和，形如$sum_{n=1}^{infty}a_n$。無(wú)窮級(jí)數(shù)的定義02部分和$s_n=sum_{i=1}^{n}a_i$，級(jí)數(shù)的和$s=lim_{ntoinfty}s_n$。部分和與級(jí)數(shù)的和03若級(jí)數(shù)的和存在且有限，則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂；否則稱(chēng)級(jí)數(shù)發(fā)散。收斂與發(fā)散無(wú)窮級(jí)數(shù)基本概念2501020304比較審斂法通過(guò)比較兩個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)大小關(guān)系來(lái)判斷其斂散性。比值審斂法利用級(jí)數(shù)通項(xiàng)的比值來(lái)判斷其斂散性，即達(dá)朗貝爾定理。根值審斂法利用級(jí)數(shù)通項(xiàng)的根值來(lái)判斷其斂散性，即柯西定理。積分審斂法將級(jí)數(shù)通項(xiàng)視為函數(shù)，通過(guò)積分來(lái)判斷級(jí)數(shù)的斂散性。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法26冪級(jí)數(shù)的定義冪級(jí)數(shù)的收斂域使冪級(jí)數(shù)收斂的$x$的取值范圍。冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)形式，如泰勒級(jí)數(shù)、麥克勞林級(jí)數(shù)等。形如$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$的級(jí)數(shù)，其中$a_n$為常數(shù)。冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用在函數(shù)逼近、數(shù)值計(jì)算、微分方程求解等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。冪級(jí)數(shù)展開(kāi)與應(yīng)用27空間解析幾何與向量代數(shù)072801空間直角坐標(biāo)系的概念與性質(zhì)02定義空間直角坐標(biāo)系03講解坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面、象限等基本概念空間直角坐標(biāo)系與向量運(yùn)算29定義向量及其相關(guān)概念，如模、方向角等向量的概念與性質(zhì)講解向量的線(xiàn)性運(yùn)算，如加法、數(shù)乘等空間直角坐標(biāo)系與向量運(yùn)算30向量在空間直角坐標(biāo)系中的表示與運(yùn)算向量的模、方向角的計(jì)算向量的坐標(biāo)表示法向量的加法、數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系與向量運(yùn)算31平面和直線(xiàn)方程求解01平面的方程及其性質(zhì)02定義平面的一般方程、點(diǎn)法式方程、截距式方程等講解平面的基本性質(zhì)，如法向量、點(diǎn)到平面的距離等0332010203直線(xiàn)的方程及其性質(zhì)定義直線(xiàn)的一般方程、點(diǎn)向式方程、參數(shù)式方程等講解直線(xiàn)的基本性質(zhì)，如方向向量、直線(xiàn)間的夾角等平面和直線(xiàn)方程求解3301020304平面與直線(xiàn)的關(guān)系及求解方法平面與直線(xiàn)的平行與垂直條件點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、直線(xiàn)到平面的距離計(jì)算平面與直線(xiàn)交點(diǎn)的求解方法平面和直線(xiàn)方程求解3401二次曲面的概念與分類(lèi)02定義二次曲面及其相關(guān)概念，如母線(xiàn)、準(zhǔn)線(xiàn)等講解二次曲面的分類(lèi)，如橢球面、雙曲面、拋物面等二次曲面方程求解0235二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)各類(lèi)二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)講解，如中心、對(duì)稱(chēng)性等二次曲面的圖形繪制與識(shí)別方法介紹二次曲面方程求解36二次曲面方程的求解方法具體示例演示截痕法求解二次曲面方程的過(guò)程截痕法求解二次曲面方程的基本思路與步驟講解二次曲面方程求解37多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用0838多元函數(shù)的表示法講解多元函數(shù)的表示方法，包括解析式、圖像、表格等。多元函數(shù)定義介紹多元函數(shù)的概念，闡述其定義域、值域等基本性質(zhì)。多元函數(shù)的連續(xù)性討論多元函數(shù)在一點(diǎn)或區(qū)域上的連續(xù)性，給出連續(xù)性的定義和性質(zhì)。多元函數(shù)概念及其性質(zhì)39偏導(dǎo)數(shù)定義及計(jì)算全微分定義及計(jì)算復(fù)合函數(shù)的微分法偏導(dǎo)數(shù)和全微分計(jì)算闡述偏導(dǎo)數(shù)的概念，給出偏導(dǎo)數(shù)的定義和計(jì)算方法，包括一階、二階偏導(dǎo)數(shù)等。介紹全微分的概念，給出全微分的定義和計(jì)算方法，包括全微分的形式不變性、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用等。討論復(fù)合函數(shù)的微分法，包括鏈?zhǔn)椒▌t和隱函數(shù)微分法等。40無(wú)條件極值闡述無(wú)條件極值的概念，給出求解無(wú)條件極值的方法，包括駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)的判斷和求解等。條件極值介紹條件極值的概念，給出求解條件極值的方法，包括拉格朗日乘數(shù)法、約束優(yōu)化方法等。多元函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題討論多元函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題，包括目標(biāo)函數(shù)、約束條件、可行域、最優(yōu)解等概念和方法。多元函數(shù)極值問(wèn)題求解41重積分與曲線(xiàn)積分初步0942二重積分的定義與性質(zhì)介紹二重積分的概念，闡述其物理意義和幾何意義，并討論二重積分的性質(zhì)，如線(xiàn)性性、可加性等。二重積分的計(jì)算詳細(xì)講解二重積分的計(jì)算方法，包括直角坐標(biāo)法、極坐標(biāo)法、換元法等，并通過(guò)實(shí)例演示計(jì)算過(guò)程。二重積分的應(yīng)用介紹二重積分在面積、體積、質(zhì)量、重心等方面的應(yīng)用，并通過(guò)實(shí)例分析具體問(wèn)題的解決方法。二重積分概念及計(jì)算43三重積分概念及計(jì)算介紹三重積分在體積、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等方面的應(yīng)用，并通過(guò)實(shí)例分析具體問(wèn)題的解決方法。三重積分的應(yīng)用闡述三重積分的概念，介紹其物理意義和幾何意義，并討論三重積分的性質(zhì)，如線(xiàn)性性、可加性等。三重積分的定義與性質(zhì)詳細(xì)講解三重積分的計(jì)算方法，包括直角坐標(biāo)法、柱面坐標(biāo)法、球面坐標(biāo)法等，并通過(guò)實(shí)例演示計(jì)算過(guò)程。三重積分的計(jì)算44第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的定義與性質(zhì)闡述第一類(lèi)曲線(xiàn)積