高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省舟山市五校聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期10月調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：每小題5分，共40分．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，由直線方程可知直線的斜率，即，可得，所以直線傾斜角為.故選：D.2.已知圓的方程為，則該圓的半徑為（）A. B.3 C. D.9【答案】B【解析】由配方，可得，故該圓的半徑為3.故選：B.3.如圖，在平行六面體中，若，與相等的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在平行六面體中，由，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則，可得.故選：C.4.曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，曲線的圖像為以為圓心，2為半徑的半圓，直線恒過，根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示．由圖可知當(dāng)直線l與半圓相切時(shí)，圓心到直線l的距離，即，解得；當(dāng)直線l過點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率，則直線l與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：B.5.空間四邊形中，，則的值是（）A. B. C. D.0【答案】D【解析】在空間四邊形中，，則，所以.故選：D.6.方程表示平面上交于一點(diǎn)的三條直線的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，或，由，直線，和直線的交點(diǎn)為，把代入中，得，顯然直線，直線，直線是三條不同的直線，故選：A.7.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動，則，設(shè)，于是，因?yàn)?，，所以，，因此，，于是得，?dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：D.8.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線．設(shè)圓的半徑為，圓心在上．若圓上存在點(diǎn)，使，則圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由圓心C的橫坐標(biāo)為a，得圓心C的坐標(biāo)為，則圓的方程為，設(shè)，由，得，整理得，因此點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，依題意，圓與圓有公共點(diǎn)，則，即，整理得，解得，所以圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分．9.直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12，則直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都存在且不過原點(diǎn)，設(shè)直線在軸上的截距分別為，則方程為，且，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，即，解得或，故所求直線的方程為或，即或.故選：BD.10.已知圓C：和直線l：，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，直線l被圓截得的弦長為B.當(dāng)時(shí)，圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有3個(gè)C.存在實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切D.若直線與圓相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】由得，所以圓的圓心為，半徑為，對于A，當(dāng)時(shí)，直線l：，圓心到直線的距離為，所以直線l被圓截得的弦長為，故A正確，對于B，由選項(xiàng)A知圓心到直線的距離為，又，則，，所以由圖可知，圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有個(gè)，故B錯(cuò)誤，對于C，由，得到，解得或，所以當(dāng)或時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，即存實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切，所以C正確，對于D，因?yàn)橹本€與圓相交，則，整理得到，解得，所以D正確，故選：ACD.11.已知四棱錐，平面平面，側(cè)面是邊長為的正三角形，底面為正方形，點(diǎn)是側(cè)棱上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為2C.若為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為D.若為的中點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，【答案】ABD【解析】若為的中點(diǎn)，為等邊三角形，則，由平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，則，由底面為正方形，則，，平面，所以平面，平面，則，A對，當(dāng)，故到平面的距離是到平面的距離的3倍，由平面，則，而等邊的邊長均為，則，所以，又底面為正方形的邊長也為，則，所以，B對，當(dāng)為的中點(diǎn)，連接交于，則是的中點(diǎn)，故且，如下圖，所以異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，而，由平面，平面，則，同理，而，所以，，則，則，則，C錯(cuò)，若為的中點(diǎn)，連接，則必過，即是的中點(diǎn)，若，連接，其中，且平面，平面，所以平面平面，而平面，平面，所以，而是的中點(diǎn)，則是中點(diǎn)，在中，則，，由，由，，而，則，D對.故選：ABD.三、填空題：每小題5分，共15分．12.已知向量，且與互相垂直，則_________．【答案】【解析】已知向量，則又與互相垂直，所以，解得.故答案為：.13.過圓外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、，則_________．【答案】【解析】結(jié)合題意，作圖如下：圓圓心，半徑，，則，，由圓的對稱性可知，則，解得.故答案為：.14.已知直線與，過點(diǎn)的直線被截得的線段恰好被點(diǎn)平分，則這三條直線圍成的三角形面積為_________．【答案】6【解析】設(shè)直線與直線的交點(diǎn)分別為，且，則由題意可知，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)在上,可得，解得，即，則，且直線，聯(lián)立的方程得，解得，即的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離，所以這三條直線圍成的三角形面積為．故答案為：6．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知兩直線，．（1）求過兩直線的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程；（2）已知兩點(diǎn)，，①判斷直線與以A，B為直徑的圓D的位置關(guān)系；②動點(diǎn)P在直線運(yùn)動，求的最小值．解：（1）聯(lián)立方程，解得；因?yàn)樗笾本€垂直于直線，所以所求直線的斜率為，故所求直線方程為，即.（2）①以、為直徑圓的方程為，整理得，故該圓的圓心為，半徑為，故圓心到直線的距離為故直線與圓的位置關(guān)系為相離.②設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則，解得，即；則,故的最小值為.16.已知直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）若在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，求直線的方程；（2）若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線的方程．解：（1）若截距為0，則該直線方程為；若截距不為0，不妨設(shè)軸上的截距為，則軸上的截距為，該直線方程為，將點(diǎn)代入解得，即，綜上直線的方程為或.（2）由題意可設(shè)，則，且，由基本不等式可知，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí).17.已知直三棱柱中，為等腰直角三角形，，且，、、分別為、、的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求二面角的正弦值．（1）證明：取中點(diǎn)，連接，．因?yàn)镻為中點(diǎn)，Q為中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)镸為中點(diǎn)，且直三棱柱中，，則，所以四邊形為平行四邊形，所以．由于平面，平面，可得平面．（2）證明：因?yàn)闉榈妊苯侨切?，，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)橹比庵?，平面，平面，所以．因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．設(shè)，則．在直角中，，在直角中，，在直角中，，所以，根據(jù)勾股定理得，因?yàn)?，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）解：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以．則．設(shè)二面角的平面角為，，所以．18.已知頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為．（1）求的外接圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)斜率為的直線與圓交于兩點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合），直線斜率分別為，且，證明：直線恒過定點(diǎn)．（1）解：設(shè)圓的一般方程為：，依題意，有，解得，故的外接圓圓的方程為.（2）解：設(shè)，由代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可得，整理得，易得，則點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓(當(dāng)時(shí)為點(diǎn)，看作半徑為0的圓).依題意，圓與圓有公共點(diǎn).圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為2，而，所以在圓外，所以，解得.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）證明：依題意，設(shè)直線的方程為，由聯(lián)立消去，可得，則由可得，設(shè)，則（*），則，即，將（*）式代入整理上式得：，故得或.當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過定點(diǎn).19.定義：若一個(gè)四面體的兩組對棱分別相等（即），則稱該四面體為空間菱形．已知空間菱形中，．（1）若平面平面，求實(shí)數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，求該空間菱形的體積；（3）若，那么在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，因?yàn)樗拿骟w為空間菱形．所以，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知：，所以是二面角的平面角，當(dāng)平面平面時(shí)，有由，，可得，因?yàn)?，所以有；?）由（1）可知