課時跟蹤檢測(十三)等比數(shù)列的前n項和的應(yīng)用A級——綜合提能1.我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載:“今有蒲生一日,長三尺,蒲生日自半”.其意為今有蒲草第一日長高3尺,以后蒲草每日長高前一日的半數(shù),則蒲草第5日的高度為()A.316尺 B.3C.458尺 D.932.小李年初向銀行貸款M萬元用于購房,購房貸款的年利率為P,按復(fù)利計算,并從借款后次年年初開始?xì)w還,分10次等額還清,每年1次,問每年應(yīng)還()A.M10萬元 B.MPC.M(1+P)1010萬元3.若數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+2n1,則數(shù)列{an}的前n項和為()A.2n+n21 B.2n+1+n21C.2n+n2 D.2n+1+n224.有一座七層塔,每層所點燈的盞數(shù)都是其上面一層的兩倍,這座塔一共點381盞燈,則底層所點燈的盞數(shù)是()A.190 B.191C.192 D.1935.某種細(xì)胞開始時有2個,1小時后分裂成4個并死去1個,2小時后分裂成6個并死去1個,3小時后分裂成10個并死去1個……按照此規(guī)律,6小時后細(xì)胞存活個數(shù)是()A.33 B.64C.65 D.1276.某慢性疾病患者,因病到醫(yī)院就醫(yī),醫(yī)生給他開了處方藥(片劑),要求此患者每天早、晩間隔12小時各服一次藥,每次一片,每片200毫克.假設(shè)該患者的腎臟每12小時從體內(nèi)大約排出這種藥在其體內(nèi)殘留量的50%,并且醫(yī)生認(rèn)為這種藥在體內(nèi)的殘留量不超過400毫克時無明顯副作用.若該患者第一天上午8點第一次服藥,則第二天上午8點服完藥時,藥在其體內(nèi)的殘留量是毫克,若該患者堅持長期服用此藥明顯副作用(此空填“有”或“無”).

7.已知數(shù)列{an}中,an=2n1+13n,求數(shù)列{an}的前n項和S8.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,a2=2,a5=16,bn=log2an,cn=an+bn.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;(2)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.B級——應(yīng)用創(chuàng)新9.“楊輝三角”是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.在如圖所示的“楊輝三角”中,去掉所有的數(shù)字1,余下的數(shù)逐行從左到右排列,得到數(shù)列{an}為2,3,3,4,6,4,5,10,…,則數(shù)列{an}的前10項和為;若am=10,m∈N*,則m的最大值為.

10.數(shù)列1,(1+2),(1+2+22),(1+2+22+23),…,(1+2+…+2n1),…的前n項和為.

11.某地牧場牧草深受病害困擾,某科研團(tuán)隊研制了治療牧草病害的新藥,為探究新藥的效果,進(jìn)行了如下的噴灑試驗:隔離選取1000平方米牧草,在第一次噴藥前測得其中800平方米為正常牧草,200平方米為受害牧草,每三天給受害牧草噴藥一次.試驗的結(jié)論為每次噴藥前的受害牧草有80%的面積會在下一次噴藥前變?yōu)檎Ｄ敛?每次噴藥前的正常牧草有t%(0<t<20)的面積會在下一次噴藥前被感染為受害牧草.假設(shè)試驗過程牧草的總面積不變,記第n次噴藥前正常牧草的面積為an平方米.(1)求使得a2≥900成立的t的最大整數(shù)值;(2)證明:在t取(1)中最大整數(shù)值的情況下,如果試驗一直持續(xù),正常牧草的面積不可能超過920平方米.課時跟蹤檢測(十三)1.選D由題意,蒲草每日增長的高度成等比數(shù)列,等比數(shù)列的首項為3,公比為12,蒲草第5日的高度為等比數(shù)列前5項和,S5=31?1251?2.選B設(shè)每年應(yīng)還x萬元,則有x+x(1+P)+x(1+P)2+…+x(1+P)9=M(1+P)10,得x[1?(1+P)10]1?(1+P)=M(1+3.選D由題可知,設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,所以Sn=a1+a2+…+an,即Sn=(2+22+…+2n)+(1+3+…+2n1),所以Sn=2(1?2n)1?2+n[1+(2n?1)]2,故S4.選C設(shè)最上面一層有x盞,則第二層有2x盞,第三層有4x盞,第四層有8x盞,…,第七層有26x盞(層數(shù)從上面數(shù)).由題意知x+2x+4x+8x+…+26x=x(1+2+22+23+…+26)=x(1?27)1?2=127x=381,∴x=3.5.選C將開始時的細(xì)胞個數(shù)記為a1=2,1小時后的細(xì)胞個數(shù)記為a2=3,2小時后的細(xì)胞個數(shù)記為a3=5,3小時后的細(xì)胞個數(shù)記為a4=9,…,由題意可得a1=2,當(dāng)n≥2時,an=2an11,則an1=2(an11),所以數(shù)列{an1}是以2為公比,1為首項的等比數(shù)列,所以an1=2n1,所以an=2n1+1,所以6小時后細(xì)胞存活個數(shù)為a7=26+1=65.6.解析:由題意可設(shè)第n次服藥后,其體內(nèi)的殘留量為an,則a1=200,a2=200+a1×(150%)=200×1.5=300,a3=200+a2×(150%)=200+200×1.5×0.5=350,故第二天早上他第三次服藥后,藥在他體內(nèi)的殘留量為350毫克;該患者若長期服用此藥,則此藥在體內(nèi)殘留量為200×(1?0.5n)1?0.5=400(10∵0.5n>0,則400(10.5n)<400,∴長期服用此藥無明顯副作用.答案:350無7.解:因為an=2n1+13則Sn=1+131+3+132+5+133+…+2n?1+13n=(1+3+5+…+2n8.解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則q3=a5a2=162=8,所以an=a2·qn2=2·2n2=2n1,所以bn=log2an=log22n1=n1.(2)cn=an+bn=2n1+n1,所以Sn=20+0+21+1+22+2+…+2n1+n1=(20+21+22+…+2n1)+(0+1+2+…+n1)=(1?2n)1?2+(0+n?1)n2=2n9.解析:由于n次二項式系數(shù)對應(yīng)“楊輝三角”的第n+1行,例如(x+1)2=x2+2x+1,系數(shù)分別為1,2,1,對應(yīng)“楊輝三角”的第三行.令x=1,就可以求出該行的系數(shù)和,第1行為20,第2行為21,第3行為22,以此類推即每一行數(shù)字和為首項為1,公比為2的等比數(shù)列的和,則“楊輝三角”的前n行之和為Sn=1?2n1?2=2n1,若去除所有1的項,則剩下的每一行數(shù)字的個數(shù)為1,2,3,4,…,可以看成一個首項為1,公差為1的等差數(shù)列{bn},則{bn}的前n項和Tn=n(n+1)2,可得當(dāng)n=4時,T4=10,則數(shù)列{an}的前10項和為S6(2×5+1)=2612=52;根據(jù)“楊輝三角”的分布規(guī)律,最后出現(xiàn)am=10的位置應(yīng)為去掉所有1的項的第9行的最后一項,答案:524510.解析:觀察數(shù)列得到an=1+2+…+2n1=1?2n1?2=2n1,所以前n項和Sn=a1+a2+…+an=211+221+…+2n1=21+22+…+2nn=2(1?2n)答案:2n+12n11.解:(1)由題意,在第一次噴藥前,正常牧草面積a1=800平方米.每一次噴藥后,正常牧草面積與噴藥前正常牧草面積的關(guān)系為an+1=(1000an)×80%+an×(1t%)=800+20?t100an所以a2=800+20?t100×800=960要使得a2≥900成立,即要使得9608t≥900成立,解得t≤7.5.所以使得a2≥900成立的t的最大整數(shù)值為7.(2)證明:由題設(shè)得t=7,代入①式可得an+1=0.13an+800②.用待定系數(shù)法,設(shè)實數(shù)λ滿足an+1+λ=0.13(an+λ)③.由③②可得0.87λ=800,λ=8000087則數(shù)列{an+λ}是公比為0.