1/12021北京高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末匯編：等式與不等式（解答題3）一、解答題1．（2021·北京·高一期末）某企業(yè)用180萬(wàn)元購(gòu)買一套新設(shè)備，該套設(shè)備預(yù)計(jì)平均每年能給企業(yè)帶來(lái)100萬(wàn)元的收入，為了維護(hù)設(shè)備的正常運(yùn)行，第一年需要各種維護(hù)費(fèi)用10萬(wàn)元，且從第二年開(kāi)始，每年比上一年所需的維護(hù)費(fèi)用要增加10萬(wàn)元（1）求該設(shè)備給企業(yè)帶來(lái)的總利潤(rùn)（萬(wàn)元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系；（2）試計(jì)算這套設(shè)備使用多少年，可使年平均利潤(rùn)最大？年平均利潤(rùn)最大為多少萬(wàn)元？2．（2021·北京·高一期末）設(shè)函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，并且滿足，（1）求和的值（2）如果，求的取值范圍3．（2021·北京·高一期末）已知集合，.（1）若，求集合，集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2021·北京豐臺(tái)·高一期末）記不等式的解集為A，不等式的解集為B.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

5．（2021·北京·101中學(xué)高一期末）設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的一個(gè)有序數(shù)組，記作．其中稱為數(shù)組的“元”，稱為數(shù)組的“元”的下標(biāo)，如果數(shù)組中的每個(gè)“元”都是來(lái)自數(shù)組中不同下標(biāo)的“元”，則稱為的“子數(shù)組”．定義兩個(gè)數(shù)組，的“關(guān)系數(shù)”為．（1）若，，且中的任意兩個(gè)“元”互不相等，的含有兩個(gè)“元”的不同“子數(shù)組”共有個(gè)，分別記為．①；②若，，記，求的最大值與最小值；若，，且，為的含有三個(gè)“元”的“子數(shù)組”，求的最大值．

2021北京高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末匯編：等式與不等式（解答題3）參考答案1．（1），（2）這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為35萬(wàn)元【分析】（1）運(yùn)用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可以求出年的維護(hù)費(fèi)，這樣可以由題意可以求出該設(shè)備給企業(yè)帶來(lái)的總利潤(rùn)（萬(wàn)元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利潤(rùn)最大值.【詳解】解：（1）由題意知，年總收入為萬(wàn)元年維護(hù)總費(fèi)用為萬(wàn)元.∴總利潤(rùn)，即，（2）年平均利潤(rùn)為∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”∴答：這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為35萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問(wèn)題的能力，考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)建模能力，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)對(duì)、進(jìn)行賦值即可得到答案；（2）利用賦值法得，然后結(jié)合轉(zhuǎn)化已知不等式為，最后根據(jù)單調(diào)性求出所求.【詳解】解：（1）令，則，∴又即：∴（2）∴∴，又由，又由是定義在上的減函數(shù)，得：，解得：.∴的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，利用單調(diào)性求解不等式，屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.3．（1），；（2）.【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)補(bǔ)集的定義求出、，最后根據(jù)并集的定義計(jì)算可得；（2）由，可得，即可得到不等式組，解得即可.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，?當(dāng)時(shí)，所以或.所以或.（2）因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，由題意得，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡(jiǎn)集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件．4．（1）（2）【分析】（1）分別求出集合，再求并集即可.（2）分別求出集合和的補(bǔ)集，它們的交集不為空集，列出不等式求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的解為或（2）a的取值范圍為5．（1）①6；②最大值為199，最小值為5；（2）1【分析】（1）①根據(jù)“子數(shù)組”的定義可得；②不妨設(shè)，則可得，根據(jù)可得最值；（2）分為中含0和不含0兩種情況進(jìn)行分類討論，再結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）①根據(jù)“子數(shù)組”的定義可得，的含有兩個(gè)“元”的不同“子數(shù)組”有共6個(gè)，；②不妨設(shè)，，因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，取得最大值為，當(dāng)是連續(xù)的四個(gè)整數(shù)時(shí)，取得最小值為；（2）由，且可知，實(shí)數(shù)具有對(duì)稱性，故分為中含0和不含0兩種情況進(jìn)行分類討論，①當(dāng)0是中的“元”時(shí)，由于中的三個(gè)“元”都相等及B中三個(gè)“元”的對(duì)稱性，可只計(jì)算的最大值，因?yàn)?，則，可得，故當(dāng)時(shí)達(dá)到最大值，故；②當(dāng)0