1/12021北京高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末匯編：集合與常用邏輯語（解答題3）一、解答題1．（2021·北京·高一期末）已知數(shù)集具有性質(zhì)對任意的，使得成立.（1）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）求證：；（2）若，求的最小值.2．（2021·北京市八一中學(xué)高一期末）對于集合M，定義函數(shù)對于兩個集合M，N，定義集合已知4，6，8，，2，4，8，．Ⅰ寫出和的值，并用列舉法寫出集合；Ⅱ用表示有限集合M所含元素的個數(shù)，求的最小值；Ⅲ有多少個集合對，滿足P，，且？3．（2021·北京·高一期末）設(shè)n為正整數(shù)，集合A=．對于集合A中的任意元素和，記M（）=．（Ⅰ）當(dāng)n=3時，若，，求M（）和M（）的值；（Ⅱ）當(dāng)n=4時，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素，當(dāng)相同時，M（）是奇數(shù)；當(dāng)不同時，M（）是偶數(shù)．求集合B中元素個數(shù)的最大值；（Ⅲ）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素，M（）=0．寫出一個集合B，使其元素個數(shù)最多，并說明理由．

4．（2021·北京鐵路二中高一期末）對于函數(shù)，若，則稱為的“不動點”；若，則稱為的“穩(wěn)定點”．函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為和，即，．（）設(shè)函數(shù)，求集合和．（）求證：．（）設(shè)函數(shù)，且，求證：．5．（2021·北京·高一期末）已知集合，.（1）若，求集合，集合；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.

2021北京高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末匯編：集合與常用邏輯語（解答題3）參考答案1．（1）不具有（2）見解析（3）.【詳解】【試題分析】（1）直接運用題設(shè)提供的條件進行驗證即可；（2）運用題設(shè)條件中定義的信息可得，同理可得，將上述不等式相加得：，可獲證；（3）借助（2）的結(jié)論可知，又，所以可得，因此構(gòu)成數(shù)集，經(jīng)檢驗具有性質(zhì)，故的最小值為.解：（1）因為，所以具有性質(zhì)；因為不存在，使得，所以不具有性質(zhì).（2）因為集合具有性質(zhì)，所以對而言，存在，使得，又因為，所以，所以，同理可得，將上述不等式相加得：，所以.（3）由（2）可知，又，所以，所以，構(gòu)成數(shù)集，經(jīng)檢驗具有性質(zhì)，故的最小值為.點睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題．求解第一問時，直接運用題設(shè)條件中所提供的條件信息進行驗證即可；解答第二問時，先運用題設(shè)條件中定義的信息可得，同理可得，再將上述不等式相加得：即可獲證；證明第三問時，充分借助（2）的結(jié)論可知，又，所以可得，因此構(gòu)成數(shù)集，經(jīng)檢驗具有性質(zhì)，進而求出的最小值為.2．(1),,，(2)4，（3）128【詳解】試題分析：（Ⅰ）依據(jù)定義直接得到答案；（Ⅱ）根據(jù)題意可知：對于集合,①且,則;②若且,則.，據(jù)此結(jié)論找出滿足條件的集合，從而求出的最小值．（Ⅲ）由P，Q?A∪B，且（P△A）△（Q△B）=A△B求出集合P，Q所滿足的條件，進而確定集合對（P，Q）的個數(shù)．試題解析：(Ⅰ),,.(Ⅱ)根據(jù)題意可知：對于集合,①且,則;②若且,則.所以要使的值最小,2,4,8一定屬于集合;1,6,10,16是否屬于不影響的值;集合不能含有之外的元素.所以當(dāng)為集合{1,6,10,16}的子集與集合{2,4,8}的并集時,取到最小值4.(Ⅲ)因為,所以.由定義可知：.所以對任意元素,,.所以.所以.由知：.所以.所以.所以,即.因為,所以滿足題意的集合對的個數(shù)為.點睛：本題主要考查新定義問題、集合與集合間的基本關(guān)系、函數(shù)、集合的基本運算，考查了分類討論思想與邏輯推理能力.(1)由題意易得結(jié)論；(2)根據(jù)題意可知：對于集合,若且,則;若且,則，由此可得結(jié)論；(3)由題意易得，由定義可知：，易知，由可得，則結(jié)論易得.3．(1)2,1;(2)最大值為4;(3)【詳解】（Ⅰ），．（Ⅱ）考慮數(shù)對只有四種情況：、、、，相應(yīng)的分別為、、、，所以中的每個元素應(yīng)有奇數(shù)個，所以中的元素只可能為（上下對應(yīng)的兩個元素稱之為互補元素）：、、、，、、、，對于任意兩個只有個的元素，都滿足是偶數(shù)，所以集合、、、滿足題意，假設(shè)中元素個數(shù)大于等于，就至少有一對互補元素，除了這對互補元素之外還有至少個含有個的元素，則互補元素中含有個的元素與之滿足不合題意，故中元素個數(shù)的最大值為．（Ⅲ），此時中有個元素，下證其為最大．對于任意兩個不同的元素，滿足，則，中相同位置上的數(shù)字不能同時為，假設(shè)存在有多于個元素，由于與任意元素都有，所以除外至少有個元素含有，根據(jù)元素的互異性，至少存在一對，滿足，此時不滿足題意，故中最多有個元素.4．（），；（）證明見解析；（證明見解析．【分析】（）由，解得，；由，解得，，；（）若，則成立；若，設(shè)為中任意一個元素，則有，可得，故，從而可得結(jié)果；（）①當(dāng)時，的圖象在軸的上方，可得對于，恒成立，則．②當(dāng)時，的圖象在軸的下方，可得對于任意，恒成立，則．【詳解】（）由，得，解得，由，得，解得，∴，．（）若，則成立，若，設(shè)為中任意一個元素，則有，∴，故，∴．（）由，得方程無實數(shù)解，∴．①當(dāng)時，的圖象在軸的上方，所以任意，恒成立，即對于任意，恒成立，對于，則有成立，∴對于，恒成立，則．②當(dāng)時，的圖象在軸的下方，所以任意，恒成立，即對于，恒成立，對于實數(shù)，則有成立，所以對于任意，恒成立，則，綜上知，對于，當(dāng)時，．【點睛】本題主要考查集合的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)、意在考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于難題.分類討論思想解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決含參數(shù)問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點.充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰，進而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用與解題當(dāng)中.5．（1），；（2）.【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)補集的定義求出、，最后根據(jù)并集的定義計算可得；（2）由，可得，即可得到不等式組，解得即