第1頁/共1頁2021北京重點(diǎn)校高一（上）期中數(shù)學(xué)匯編等式與不等式章節(jié)綜合一、單選題1．（2021·北京市第一六一中學(xué)高一期中）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2021·北京·人大附中高一期中）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成為了后世數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.如圖所示的圖形，在AB上取一點(diǎn)，使得，，過點(diǎn)作交圓周于D，連接OD.作交OD于.則下列不等式可以表示的是（

）A． B．C． D．3．（2021·北京十五中高一期中）設(shè)a，b∈R，若a﹣|b|>0，則下列不等式中正確的是（

）A．b﹣a>0 B．a(chǎn)2﹣b2<0 C．a(chǎn)3﹣b3<0 D．b+a>04．（2021·北京·101中學(xué)高一期中）已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，則，則的值是（

）A． B．C．或 D．或5．（2021·北京·101中學(xué)高一期中）已知，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．6．（2021·北京市第九中學(xué)高一期中）設(shè)，下列命題中的真命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．（2021·北京·景山學(xué)校高一期中）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件8．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知，，下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．9．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）設(shè)方程的兩個不等實(shí)根分別為，則（

）A． B． C． D．10．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）手機(jī)屏幕面積與手機(jī)前面板面積的比值叫手機(jī)的“屏占比”，它是手機(jī)外觀設(shè)計(jì)中一個重要參數(shù)，其值通常在0~1之間．若設(shè)計(jì)師將某款手機(jī)的屏幕面積和手機(jī)前面板面積同時增加相同的數(shù)量，升級為一款新手機(jī)，則該款手機(jī)的“屏占比”和升級前相比（

）A．不變 B．變小 C．變大 D．變化不確定11．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）下列運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形中，正確的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么12．（2021·北京八十中高一期中）下面命題正確的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則13．（2021·北京·人大附中高一期中）設(shè)、、、為實(shí)數(shù)，滿足，，，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．14．（2021·北京·人大附中高一期中）不等式的解集是，則的值是（

）A． B．3 C． D．515．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．16．（2021·北京市第一六一中學(xué)高一期中）已知非零實(shí)數(shù)滿足：，下列不等式中一定成立的有（

）①；②；③.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個17．（2021·北京·北師大二附中高一期中）若，，則下面不等式中成立的一個是（

）．A． B． C． D．二、填空題18．（2021·北京師大附中高一期中）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個實(shí)根，且一個實(shí)根小于1，另一個實(shí)根大于2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．19．（2021·北京八中高一期中）若關(guān)于x的方程的兩個實(shí)數(shù)根為，且，則實(shí)數(shù)m的值為___________.20．（2021·北京四中高一期中）不等式的解集為____________．21．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）能說明“若，則”為假命題的一組a，b的值依次為___________.22．（2021·北京·北師大二附中高一期中）若，則的取值范圍是_______________.三、解答題23．（2021·北京·北師大二附中高一期中）設(shè)函數(shù)f（x）=（a2-1）x2+（a-1）x+3（a∈R）.(1)求對于一切實(shí)數(shù)x，f（x）>0恒成立的充要條件∶(2)求對于一切實(shí)數(shù)x，f（x）>0恒成立的一個充分非必要條件.24．（2021·北京市第一六一中學(xué)高一期中）已知函數(shù)．(1)求關(guān)于x的不等式的解集；(2)區(qū)間的長度定義為．當(dāng)時，區(qū)間．（?。┣髤^(qū)間I的長度；（ⅱ）求I的長度的最大值．25．（2021·北京·清華附中高一期中）求下列關(guān)于的不等式的解集．(1)；(2)26．（2021·北京·101中學(xué)高一期中）求關(guān)于的不等式的解集.27．（2021·北京市第九中學(xué)高一期中）解下列關(guān)于的不等式：(1)；(2)．28．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據(jù).在一個限速為的彎道上，甲?乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現(xiàn)場勘查，測得甲車的剎車距離略超過6，乙車的剎車距離略超過10.已知甲?乙兩種車型的剎車距離s與車速之間的關(guān)系分別為，.試判斷甲?乙兩車有無超速現(xiàn)象.29．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）（1）求不等式的解集；（2）解不等式：；（3）關(guān)于的不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；30．（2021·北京·景山學(xué)校高一期中）設(shè).（1）若不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式().

參考答案1．A【分析】，但不能推出，從而判斷出結(jié)論.【詳解】時，，故充分性成立，，解得：或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A2．A【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)、射影定理求出CD和DE的長度，利用CD>DE即可得到答案.同時這是幾何法構(gòu)造基本不等式及其推論的一種方法.【詳解】連接DB，因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以，所以在中，中線，由射影定理可得，所以.在中，由射影定理可得，即，由得，故選：A3．D【分析】依題意可得，即可得到，，再根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷可得；【詳解】解：因?yàn)?，即，又且，所以，，，，即所以，，，故選：D4．B【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合題干條件，化簡計(jì)算，即可得答案.【詳解】由題意得且解得，又，解得或（舍）.故選：B5．A【分析】由不等式的性質(zhì)結(jié)合特殊值法得出答案.【詳解】由不等式的性質(zhì)可知，可得得出，故A正確；當(dāng)時，，故B錯誤；，由題意可知，但可能大于，可能小于，故C錯誤；當(dāng)時，，故D錯誤；故選：A6．C【分析】根據(jù)基本不等關(guān)系，結(jié)合具體實(shí)例對選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】對于A，若，滿足，此時，故A錯誤；對于B，若，滿足，此時，故B錯誤；對于C，若，則，故C正確；對于D，若，滿足，此時，故D錯誤；故選：C7．C【分析】先解出不等式，再根據(jù)充分性，必要性的定義得出答案即可.【詳解】，則不能推出，但可以推出，故“”是“”的必要不充分條件.故選：C.8．C【分析】利用不等式的性質(zhì)逐一判斷四個選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】對于A：因?yàn)椋?，所以，故選項(xiàng)A不正確；對于B：因?yàn)?，所以，若，則，故選項(xiàng)B不正確；對于C：因?yàn)椋?，若，則，故選項(xiàng)C正確；對于D：因?yàn)椋?，，若，則，故選項(xiàng)D不正確；故選：C.9．D【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得到，化簡，計(jì)算得到答案.【詳解】，，故，.故選：D.10．C【分析】做差法比較與的大小即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)升級前的“屏占比”為，升級后的“屏占比”為（，）．因?yàn)?，所以升級后手機(jī)“屏占比”和升級前相比變大，故選：C．11．D【分析】取，可判斷A；或，可判斷B；取，可判斷C；利用等式的性質(zhì)，可判斷D【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時，顯然不成立；選項(xiàng)B，如果，那么或，顯然不成立；選項(xiàng)C，當(dāng)時，無意義，不成立；選項(xiàng)D，如果，則，故，即，成立故選：D12．D【分析】利用不等式性質(zhì)逐項(xiàng)求解即可.【詳解】對于選項(xiàng)A：當(dāng)時，由可知，，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：若，可知，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：當(dāng)，由，可得，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：若，不等號兩邊同時平方，可得，故D正確.故選：D.13．B【分析】分析出，利用不等式的基本性質(zhì)結(jié)合特殊值法可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】已知，，，可得，對各選項(xiàng)逐一判斷：選項(xiàng)A：因?yàn)椋刹坏仁降男再|(zhì)，兩邊同乘負(fù)數(shù)，不等式變號，可得，所以選項(xiàng)A錯誤；選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，所以，所以，，所以，所以選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：取，，，，則，，此時，所以選項(xiàng)C錯誤；選項(xiàng)D：取，，，，則，所以選項(xiàng)D錯誤.故選：B.14．A【分析】根據(jù)給定條件可得1，3是方程的二根，再借助韋達(dá)定理計(jì)算即得.【詳解】因不等式的解集是，則1，3是方程的二根，于是得且，解得，，，所以的值是.故選：A15．D【解析】對A，B，C，利用特殊值即可判斷，對D，利用不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】解：對A，令，，此時滿足，但，故A錯；對B，令，，此時滿足，但，故B錯；對C，若，，則，故C錯；對D，，則，故D正確.故選：D.16．B【解析】由不等式的性質(zhì)結(jié)合作差法逐個判斷即可得解.【詳解】對于①，若，，則，故①錯誤；對于②，由可得，故②正確；對于③，因?yàn)椋?，則，故③錯誤.故選：B.17．C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】，，，則，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用，結(jié)合同向不等式相加的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．18．（，＋∞）【分析】由一元二次方程根的分布知識求解．【詳解】設(shè)，由題意，解得，故答案為：．19．【分析】由題知，，再根據(jù)韋達(dá)定理求解得，進(jìn)而解方程得【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于x的方程的兩個實(shí)數(shù)根為，所以，，所以所以，因?yàn)?，所以，即，解得因?yàn)?，所以故答案為?0．##【分析】利用二次不等式的解法可求得原不等式的解集.【詳解】由得，解得，故不等式的解集為.故答案為：.21．（不唯一）【分析】由不等式的性質(zhì)，若，則，可通過構(gòu)造一正一負(fù)，和兩個同負(fù)的反例即可【詳解】由不等式的性質(zhì)，若，則可通過構(gòu)造一正一負(fù)，和兩個同負(fù)的反例即可比如：或者故答案為：（不唯一）22．【解析】由不等式的性質(zhì)確定．【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，又因?yàn)?，所以的取值范圍?故答案為：．23．(1)或.(2).（答案不唯一）【分析】（1）對分三種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解；（2）直接寫出充分非必要條件即可.(1)解：當(dāng)時，不等式為符合題意，所以；當(dāng)時，，不符合題意，所以舍去；當(dāng)時，由題得且所以或.綜合得或.所以f（x）>0恒成立的充要條件是或.(2)對于一切實(shí)數(shù)x，f（x）>0恒成立的一個充分非必要條件是.（答案不唯一）24．(1)答案見解析(2)（?。áⅲ痉治觥?1)分三種情況討論，解不等式即可；（2）（1）直接根據(jù)區(qū)間長度定義求解（ⅱ）根據(jù)均值不等式求區(qū)間長度的最大值.(1)由，當(dāng)時，可得，即，當(dāng)時，，所以解得，當(dāng)時，，解得.綜上，時，；時，；時，(2)（?。┯桑?）知時，，所以區(qū)間I的長度為；（ⅱ）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，所以I的長度的最大值為.25．(1)或(2)答案見解析【分析】（1）由，可得，解不等式即可求出結(jié)果；（2）由，可得，然后再對進(jìn)行分類討論，由此即可求出結(jié)果.(1)解：由，可得，所以不等式的解集為或；(2)解：由，可得，當(dāng)時，即時，不等式的解集為；當(dāng)時，即時，不等式的解集為；當(dāng)時，，不等式的解集為；綜上所述，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時不等式的解集為.26．答案見解析.【分析】將分解因式得，再討論1與的大小求解集.【詳解】由，可得則當(dāng)即時，解集為：；當(dāng)時，解集為；當(dāng)即時，解集為27．(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）原不等式等價于，解不等式組求得結(jié)果；（2）分別在、和三種情況下，解一元二次不等式求得結(jié)果.(1)由得：，解得：，不等式的解集為；(2)；當(dāng)時，，解得：，即不等式解集為；當(dāng)時，由得：，即不等式解集為；當(dāng)時，由得：，即不等式解集為.28．甲無超速現(xiàn)象，乙有超速現(xiàn)象.【分析】由解得范圍，由解得范圍，把與限速為比較即可判斷出結(jié)論．【詳解】由解得．由解得．所以甲無超速現(xiàn)象，乙有超速現(xiàn)象.29．（1）或（2）分類討論，答案見詳解（3）【分析】（1）先利用求根公式求解對應(yīng)方程的兩個實(shí)數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得解；（2）先求解對應(yīng)方程的兩個實(shí)數(shù)根，分，，三種情況討論即可；（3）分，兩種情況討論，當(dāng)時，利用開口和判別式控制范圍即可【詳解】（1）令故故不等式的解集為：或（2）令故當(dāng)時，，不等式的解集為：；當(dāng)時，或，不等式的解集為：或；當(dāng)時，或，不等式的解集為：或；（3）當(dāng)時，不等式為恒成立，解集為R當(dāng)時，不等式的解集為R，解得綜上：30．（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）一元二次不等式恒成立問題，由判別式可得參數(shù)范圍．（2）不等式變形為，根據(jù)和1的大小分