概率論的基本概念自然界與社會生活中存在兩類現(xiàn)象：確定性現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生的一類現(xiàn)象，其結(jié)果是確定的蘋果落地；同種電荷相斥，異種電荷相吸隨機現(xiàn)象：結(jié)果呈現(xiàn)不確定性：如氣象變化、購買彩票、成績分布等但其中隱藏著一些確定的規(guī)律2/78概率解決的問題存在固有偏差，風(fēng)，瞄準(zhǔn)鏡等問題概率解決的問題實例：在相同條件下，用同一支狙擊步槍射擊同一目標(biāo)，觀察彈著點的情況3/78巴雷特M82，半自動反器材步槍確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)象實例得到彈著點分布圖，考慮下面三種情況精度高精度低存在固有偏差，風(fēng)，瞄準(zhǔn)鏡等問題概率解決的問題單次實驗結(jié)果不確定，大量實驗具有統(tǒng)計規(guī)律性統(tǒng)計規(guī)律性：在大量重復(fù)試驗或觀察中所呈現(xiàn)出來的固有規(guī)律性隨機現(xiàn)象：在個別試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，在大量重復(fù)試驗中其結(jié)果具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象4/78確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)象實例統(tǒng)計規(guī)律性單體不可預(yù)測性和群體的頻率穩(wěn)定性精度高精度低單體的不可預(yù)測性和群體的頻率穩(wěn)定性概率解決的問題要正確理解隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性著名科學(xué)家吳大猷(yóu)曾經(jīng)幽默的舉了兩個錯用概率的例子，我們僅列舉1例：一個病人去看病，經(jīng)檢查后醫(yī)師告訴病人說他需要動手術(shù)。病人問這項手術(shù)的死亡率怎樣？醫(yī)生說這項手術(shù)100個病人有50個要死的，但他立刻安慰病人說，已有50個病人死去了，所以患者不必?fù)?dān)心。錯誤在于用統(tǒng)計規(guī)律來解釋單次實驗的不確定性“隨機”和“模糊”不同：隨機，體現(xiàn)偶然性，結(jié)果不確定性模糊，體現(xiàn)“邊界不清楚”，比如“冷”和“熱”，“禿”與“不禿”，“青年屬于哪個年齡段”等等5/78確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)象實例統(tǒng)計規(guī)律性單體不可預(yù)測性和群體的頻率穩(wěn)定性概率解決的問題隨機現(xiàn)象是宇宙空間內(nèi)最為廣泛的現(xiàn)象，體現(xiàn)在人們生產(chǎn)生活的各個領(lǐng)域，因而概率論具有廣泛的應(yīng)用鍵盤布局：依據(jù)字母在一定歷史時期的出現(xiàn)頻率大數(shù)據(jù)處理、圖像處理、氣象水文等等原子周圍的電子云軌跡、通信信道中的信號和噪聲梁昌洪校長提到的一個很有意思的現(xiàn)象當(dāng)前男女比例大約為0.5128/0.4872=1.0525女男壽命比例約為73/69=1.0579非常接近，似乎隱藏某種平衡概率論與數(shù)理統(tǒng)計：是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科。6/78確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)象實例統(tǒng)計規(guī)律性單體不可預(yù)測性和群體的頻率穩(wěn)定性目錄§1.1隨機試驗§1.2樣本空間、隨機事件§1.3頻率與概率§1.4等可能概型（古典概型，幾何概型）§1.5條件概率§1.6獨立性7/78§1.1隨機試驗隨機試驗（RandomExperimentation）：包括各種各樣的科學(xué)試驗，甚至對某一事務(wù)的某一特征的觀察，記錄也認(rèn)為是一種試驗，且具有以下三個特征：（1）可以在相同條件下重復(fù)地進(jìn)行（2）每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果（3）進(jìn)行一次試驗之前，不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)例子：拋一枚硬幣，觀察正面H和反面T出現(xiàn)的情況；對某路公交車某?？空镜怯浵萝嚾藬?shù)；對某批電子產(chǎn)品測試其輸入電壓；對聽課人數(shù)進(jìn)行一次登記；8/78最基本的數(shù)學(xué)模型研究隨機現(xiàn)象的最基本工具§1.2樣本空間、隨機事件（一）樣本空間由隨機試驗的特點2可知，每次試驗的所有可能結(jié)果是已知的。樣本空間(SampleSpace)：將隨機試驗E的所有可能結(jié)果組成一個集合，稱為E的樣本空間，記為S樣本點(SamplePoint)：樣本空間中的元素，即E的每個結(jié)果稱為樣本點9/78隨機試驗樣本空間樣本點§1.2樣本空間、隨機事件樣本空間的實例E1：拋一枚硬幣，觀察正面H，反面T出現(xiàn)的情況S1={H，T}E2：將一枚硬幣拋三次，觀察H，T出現(xiàn)的情況S2={HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)S3={0，1，2，3}E4：記錄電話交換臺一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)S4={0，1，2，3，…}

（可列無窮多個）E5：在一批燈泡中任意抽取一次，測試它的壽命S5={t|t≥0}

（取值是連續(xù)的）E6：記錄某地一晝夜地最高溫度和最低溫度S6={(x,y)|T0≤x≤y≤T1,T0表示該地區(qū)最低溫，T1表示最高溫}

（取值連續(xù)，樣本點是二維的）10/78隨機試驗樣本空間樣本點§1.2樣本空間、隨機事件（二）隨機事件在隨機試驗中不是單純的觀察樣本空間的所有元素了事，常常關(guān)心滿足某種條件的那些樣本點組成的集合隨機事件：一般的，稱試驗E的樣本空間S的子集為E的隨機事件，簡稱事件。事件發(fā)生：在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時，稱這一事件發(fā)生11/78隨機試驗樣本空間樣本點隨機事件事件發(fā)生§1.2樣本空間、隨機事件幾個特殊事件：設(shè)樣本空間S={s1，s2，…，sn}基本事件：由一個樣本點組成的單點集隨機試驗的任一種可能結(jié)果構(gòu)成一個基本事件，比如A＝{s5}

基本事件的總數(shù)：等于集合S的基數(shù)

注意區(qū)別：樣本點和基本事件，是元素和集合的關(guān)系必然事件：樣本空間S作為一個子集，S

S，作為事件時總會發(fā)生不可能事件：用空集

表示，不包含任何樣本點，也有

S，表示每次試驗都不發(fā)生S中不同事件的總數(shù)：當(dāng)S中基本事件數(shù)有限時，記S中基本事件的個數(shù)為|S|，則總數(shù)為2|S|12/78隨機試驗樣本空間樣本點隨機事件事件發(fā)生基本事件必然事件不可能事件事件總數(shù)§1.2樣本空間、隨機事件例：916路公交車在電子科大站候車人數(shù)樣本空間S={0,1,2,3,…N}，N是最大可能上限人數(shù)事件A={至少有20人候車}={20,21,22,…N}

S事件B={恰有5人或8人候車}={5,8}

S則A(或B)可能發(fā)生，可能不發(fā)生，稱A(B)為S的一個隨機事件例：隨機試驗E5，在一批燈泡中任意抽取一次，測試它的壽命事件A3：“壽命小于1000小時”A3={t|0≤t<1000}例：隨機試驗E6，記錄某地一晝夜地最高溫度和最低溫度事件A4：“最高溫與最低溫相差10度”A4={(x,y)|T0≤x≤y≤T1,y-x=10}13/78§1.2樣本空間、隨機事件（三）事件間的關(guān)系與事件的運算事件用集合來描述事件間的關(guān)系與運算－>集合間的關(guān)系與運算根據(jù)“事件發(fā)生”的含義給出關(guān)系與運算在概率論中的含義設(shè)：試驗E的樣本空間為S，A，B，Ak(k=1,2,..)是S的子集，看以下幾種常見的關(guān)系和運算（1）包含關(guān)系，相等關(guān)系若有關(guān)系A(chǔ)

B，則事件B包含事件A。A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生例：一枚硬幣拋兩次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}則有A

B若有A

B且A

B，則有A=B，則稱事件A與事件B相等

14/78SAB事件間關(guān)系的描述方法：畫韋恩圖元素考察法

考察每一個元素的歸屬§1.2樣本空間、隨機事件（2）和事件事件A∪B={x|x

A或x

B}，稱為A與B的和事件A和B中至少有一個發(fā)生時，事件A∪B發(fā)生多個事件的和事件：為n個事件A1,A2,…,An的和事件當(dāng)n→∞時，稱為可列個事件A1,A2,……的和事件15/78包含關(guān)系相等關(guān)系和事件§1.2樣本空間、隨機事件（3）積事件事件A∩B={x|x

A且x

B},稱為A與B的積事件。當(dāng)且僅當(dāng)A和B同時發(fā)生時，事件A∩B才發(fā)生，也可簡記為AB多個事件的積事件：為n個事件A1,A2,…,An的積事件當(dāng)n→∞時，稱為可列個事件A1,A2,……的積事件16/78包含關(guān)系相等關(guān)系和事件積事件§1.2樣本空間、隨機事件（4）差事件事件A－B={x|x

A且x

B},稱為A與B的差事件。當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生，而B不發(fā)生時，事件A－B才發(fā)生差事件的一些等價表示

17/78包含關(guān)系相等關(guān)系和事件積事件差事件§1.2樣本空間、隨機事件（5）兩事件互不相容（互斥）若A∩B=

則稱A與B互不相容或互斥A與B不同時發(fā)生基本事件是兩兩互不相容的（6）逆事件(對立事件)，補集若A∪B=S且A∩B=

則A與B互為逆事件，每次試驗事件A和事件B有且僅有一個事件發(fā)生。A的逆事件常記為18/78§1.2樣本空間、隨機事件（7）事件間的運算律設(shè)A，B，C是三個事件，則有交換律：A∪B=B∪A；

A∩B=B∩A結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；

A∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配率：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)德?摩根律：19/78包含關(guān)系相等關(guān)系和事件積事件差事件互不相容逆事件§1.2樣本空間、隨機事件例：設(shè)A,B為兩個已知事件，事件X滿足

，求X解：利用德

摩根率，左邊=再利用分配率，左邊=所以例:

(A－B)∪B=?20/78§1.3頻率與概率在實際應(yīng)用中我們常希望用一個準(zhǔn)確的數(shù)值來度量在一次試驗中某個事件發(fā)生的可能性的大小。這種表征事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的數(shù)，就稱為概率為此，先看一下與其密切相關(guān)的一個概念，頻率（一）頻率頻數(shù)：設(shè)在相同條件下進(jìn)行了n次試驗，其中事件A發(fā)生的次數(shù)(記為nA)稱為A發(fā)生的頻數(shù)頻率：比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率，記做fn(A)，它是一個集合函數(shù)，自變量是一個集合反映了事件A發(fā)生的頻繁程度21/78§1.3頻率與概率頻率fn(A)顯然有以下幾個性質(zhì)：1°值域：0

fn(A)

12°歸一性：fn(S)＝13°若A1,A2,…,Ak是兩兩互不相容的事件，AiAj＝Φ，其中i≠j，則有fn(A1∪A2∪…∪Ak)＝fn(A1)＋fn(A2)＋…＋fn(Ak)證明：右邊＝

＝＝左邊22/78頻率是在有限次試驗內(nèi)的統(tǒng)計量是否能用頻率來作為事件發(fā)生的概率？§1.3頻率與概率例：拋硬幣實驗，一枚硬幣拋5次、50次、500次，觀察正面出現(xiàn)的頻率表123/78試驗序號n=5n=50n=500nAfn(A)nHfn(A)nHfn(A)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494§1.3頻率與概率歷史上的一些有名的實驗24/78表2實驗者nnAfn(A)德?摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069K?皮爾遜1200060190.5016K?皮爾遜24000120120.5005實驗中對于頻率fn(A)有明顯規(guī)律：頻率有隨機波動性，同樣的n次試驗，頻率fn(A)并不同n較小時波動很大，n增大時趨于穩(wěn)定fn(A)在0.5附近隨機擺動并逐漸穩(wěn)定于0.5§1.3頻率與概率用Matlab仿真軟件模擬拋硬幣實驗代碼：>>n=3000~100000000;m=0;fori=1:nt=randperm(2);

%生成一個1~2的隨機整數(shù)排列x=t-1;

%生成一個0~1的隨機整數(shù)排列y=x(1);

%取x排列的第一個值ify==0;m=m+1;endendp1=m/np2=1-p125/78§1.3頻率與概率26/78試驗次數(shù)n300050001萬2萬3萬國徽朝上頻率0.50400.50060.48790.49990.5046國徽朝下頻率0.49600.49940.51210.50010.4954試驗次數(shù)n5萬10萬100萬1000萬1億國徽朝上頻率0.50210.49990.49990.50010.5000國徽朝下頻率0.49790.50010.50010.49990.5000§1.3頻率與概率大量的實驗表明，頻率具有如下特點：(1)頻率有隨機波動性(2)事件A發(fā)生的頻繁程度越大，頻率也越大，事件A在一次試驗中出現(xiàn)的可能性也越大。它說明頻率可在一定程度上反映事件發(fā)生的可能性大小，但無法準(zhǔn)確表達(dá)(3)試驗次數(shù)n較小時，fn(A)在0和1之間隨機波動，波幅較大因此，此時的頻率值沒有參考價值(4)n增大時，fn(A)逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù)，對于每個事件A都有這樣一個穩(wěn)定的常數(shù)這種頻率的穩(wěn)定性，就是一種隱藏在隨機現(xiàn)象中的統(tǒng)計規(guī)律性，并被人們長期的實踐所證實27/78§1.3頻率與概率思考：用頻率的穩(wěn)定值來表示事件發(fā)生的可能性大小是合適的嗎？第五章將證明，大量試驗所得頻率的穩(wěn)定值用來描述概率是合理的

fn(A)|n→∞=P(A)這種收斂是統(tǒng)計意義上的收斂R.von米澤斯把這個固定數(shù)定義為該事件的概率，這就是概率的頻率定義。雅各布

伯努利首次給出了證明。從理論上講，概率的頻率定義是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)漠?dāng)無法理論計算時，可以用大量重復(fù)實驗后的頻率穩(wěn)定值來近似事件發(fā)生的概率測試生產(chǎn)的燈泡的平均壽命，炮彈的可靠性概率的頻率定義似乎并不簡潔，也存在一定缺陷，而根據(jù)頻率的性質(zhì)假設(shè)一些更簡單，更直接的關(guān)于概率的公理，再由此推導(dǎo)出概率的各種性質(zhì)和結(jié)論，則更為容易被人接受，這就是概率的公理化定義柯爾莫哥洛夫于1933年給出了概率的公理化定義28/78§1.3頻率與概率（二）概率公理化定義：設(shè)E是隨機試驗，S是E的樣本空間，對于E的每一事件A賦予一個實數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P(?)滿足以下條件：1°非負(fù)性：事件A，有P(A)

02°規(guī)范性：對于必然事件S，有P(S)=1;3°可列可加性：設(shè)A1,A2,…,Ak,…，是兩兩互不相容

的事件，即對于i≠j，AiAj＝Φ，i，j＝1，2，…，則

有P(A1∪A2∪…)＝P(A1)＋P(A2)＋…29/78§1.3頻率與概率事件域：樣本空間S是一次實驗中所有可能結(jié)果的集合事件是樣本空間S的一個子集但一般不把S的一切子集都作為事件例如在幾何概率中就不能把不可度量的子集作為事件只要把具有某些限制而又相當(dāng)廣泛的一類S的子集作為事件就夠了，這就引出了事件域的概念：30/78§1.3頻率與概率定義：設(shè)S是樣本空間，F(xiàn)是由S的一些子集構(gòu)成的集合，稱F為事件域，如果它滿足以下條件：1.SF;2.若AF，則A的補集F3.若對n=1,2,…,AnF，則F對于事件域F，有：1）包含空集；2）F中任意個事件的積事件還在F中；3）F中任意兩事件的差事件還在F中。F中任意事件A的概率記作P(A)。概率空間：三元有序總體{S,F,P}就稱為概率空間31/78§1.3頻率與概率概率基本性質(zhì)性質(zhì)i：不可能事件Φ的概率P(Φ)=0證明：令A(yù)n＝Φ,n=1,2,…則，并且對于i≠j，AiAj＝Φ，i，j＝1，2，…兩兩互不相容由可列可加性得

∴而由定義，P(Φ)

0∴只有P(Φ)＝032/78P(A)=0不能推出A=ΦP(A)=1不能推出A=S詳見第2章§1.3頻率與概率性質(zhì)ii：有限可加性若A1,A2,…,An兩兩互不相容，則有P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)證：令A(yù)n＋1＝An＋2＝…＝Φ,則有對于i≠j，AiAj＝Φ，i，j＝1，2，…，及，由可列可加性P(A1∪A2∪…∪An)＝P(()∪())

33/78§1.3頻率與概率性質(zhì)iv：事件概率的上界對于任意事件A,P(A)

1證：由性質(zhì)iii，及A

S，得P(A)

P(S)=1性質(zhì)v：逆事件的概率對于任意事件A，P()=1－P(A)證：＝S－A而A

S所以有P()=P(S－A)=P(S)－P(A)＝1－P(A)或S=A∪，A＝Φ，P(S)＝P(A∪)＝P(A)＋P()＝134/78§1.3頻率與概率性質(zhì)vi：加法公式對于任意的兩事件A,B，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)證：由圖知A∪B＝A∪(B－AB)，而A(B－AB)＝Φ由有限可加性的P(A∪B)＝P(A∪(B－AB))＝P(A)＋P(B－AB)又顯然有AB

B，由性質(zhì)iii右邊＝P(A)＋P(B)－P(AB)性質(zhì)vi的推廣若A1,A2,A3為任意三個事件，則有P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)－P(A1A2)－P(A2A3)－P(A1A3)

＋P(A1A2A3)一般的對于n個事件，A1,A2,…,An可用歸納法證得P(A1∪A2∪…∪An)=35/78§1.4等可能概型從本節(jié)開始，學(xué)習(xí)古典概率計算，定理和公式，包括古典概型和幾何概型，本節(jié)探討最普通的一種情況先看兩個試驗：拋一枚硬幣，觀察其H，T出現(xiàn)的情況；S={H，T}拋一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)；S＝{1，2，3，4，5，6}這些試驗有兩個明顯特點：（1）S中的元素只有有限個；（2）試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同。這樣的試驗大量存在，稱為等可能概型由于它是概率論發(fā)展初期的研究對象，又叫古典概型。36/78§1.4等可能概型古典概型試驗中事件發(fā)生的概率計算公式：設(shè)試驗E的樣本空間為S＝{e1,e2,…,en}，由于每個基本事件發(fā)生的可能性相同，即有P({e1})＝P({e2})＝…＝P({en})又由于基本事件是兩兩不相容的所以1＝P(S)＝P({e1}∪{e2}∪…∪{en})==nP({ei})，i＝1,2,…,n即P({ei})=1/n,i＝1,2,…,n若事件A包含k個基本事件，即

，i1，i2，…，ik是1到n中某k個不同的數(shù)，則有37/78§1.4等可能概型例1．古典概型的一般問題一枚硬幣拋三次

(i)設(shè)事件A1：恰有一次出現(xiàn)正面，求P(A1)(ii)設(shè)事件A2：至少有一次出現(xiàn)正面，求P(A2)解：首先正確給出樣本空間S={HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}(i)事件A1={HTT，THT，TTH}分析：S中只有有限個元素，由對稱性可知每個基本事件發(fā)生的可能性相同――等可能概型∴P(A1)＝3/8(ii)先看A2的逆事件={TTT}P(A2)＝1－P()＝1－1/8＝7/838/781.等可能概型的判斷可根據(jù)對稱性來考慮一般的排列組合問題都是古典概型2.對于“至少…”通常先考察其逆事件§1.4等可能概型例2：放回抽樣與不放回抽樣一只口袋有6只球：4只白的，2只紅的。從袋中取球兩次，每次隨機取一只考慮兩種取球方式：放回抽樣：第一次取一只球，觀察顏色后放回袋中，攪勻后再取一只不放回抽樣：第一次取一只球不放回袋中，第二次從剩余球中再取一只分別就以上兩種方式求：(i)取到的兩只球都是白球的概率；(ii)取到的兩只球顏色相同的概率；(iii)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。解：(a)放回抽樣的情況啟示：恰當(dāng)?shù)睦檬录g的關(guān)系可以簡化求解設(shè)事件A：取到的兩只都是白球;事件B：取到的兩只都是紅球;事件C：至少一白則(i)相當(dāng)于求P(A)；(ii)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(iii)P(C)＝1－P(B)所以只要求出事件A和事件B的概率就行了39/78§1.4等可能概型分析：依次從袋中取兩球，每一取法為一個基本事件。又樣本空間中的元素有限，由對稱性每個基本事件發(fā)生的可能性相同：等可能概型①計算S中元素的個數(shù)：第一次6球，第二次6球，由組合乘法原理，共有6×6＝36種②A：兩次都有4只白球可取，共有4×4＝16種③B：兩次都有2只紅球可取，共有2×2＝4種∴由古典概型公式：P(A)＝16/36=4/9P(B)＝4/36=1/9P(A∪B)＝P(A)＋P(B)=4/9+1/9=5/9P(C)＝1－P(B)=1－1/9=8/9(b)不放回抽樣的情況S：6×5＝30，A:4×3＝12，B：2×1＝2具體步驟（略）40/78§1.4等可能概型例3，生日悖論將n只球隨機放入N(N

n)個盒子中去.求每個盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子容量不限)解：分析：n只球放入N個盒子中的每一種方法為一個基本事件由對稱性易知：古典概型S：共有Nn種不同的放法A：至多放一只，共有N×(N－1)×(N－2)×…×(N－n＋1)所以P(A)=N×(N－1)×(N－2)×…×(N－n＋1)/Nn=生日問題設(shè)每人的生日在一年365天中任一天是等可能的任選n個人(n

365)，生日各不相同的概率：由公式，概率＝則n個人中至少有兩人生日相同的概率p＝1－當(dāng)n＝23時，p＝0.507當(dāng)n＝64時，p＝0.997，幾乎等于1，60個人的班級以近乎于1的概率有兩個人生日相同41/78§1.4等可能概型例4超幾何分布的概率公式設(shè)有N件產(chǎn)品，其中D件次品，今從中任取n件問其中恰有k(k

D)件次品的概率是多少？解：S：N件中任取n件（不放回抽樣，也不計次序）共有種取法，每一取法為一基本事件注意：符號為組合數(shù)，N，n均為整數(shù)，當(dāng)N為實數(shù)時記做A：恰有k件次品：相當(dāng)于在D件次品中任選k件，并在N－D件正品中任選n－k件共有件

P(A)=42/78§1.4等可能概型例5抽簽問題袋中有a只白球，b只紅球，k個人依次在袋中取一只球，分別采用放回抽樣和不放回抽樣的方式，求第i個人取到白球的概率(k<a+b,i

k),記為P(B)解：(1)放回抽樣時第i個人取球不受前i－1個人的影響，因此概率等于白球的個數(shù)比上球總數(shù)即P(B)＝(2)不放回抽樣的情況第i個人取到白球的取法總數(shù)比上總?cè)》〝?shù)，其中總?cè)》〝?shù)如下：S：總的取法，k個人各取一只球，每種取法為一個基本事件共有(a+b)(a+b－1)…(a+b－k+1)=種取法事件B發(fā)生時，第i個人應(yīng)取到白球，可以是a只中的任意一只，共有a種情況，對于每一種情況來說，其余k－1個人是從其余a+b－1個球中任取k－1只，由于是不放回抽樣，共有種，所以事件B發(fā)生時可能的取法總數(shù)為a×P(B)＝可見概率與i無關(guān)，即k個人每人取到白球的概率與取球的先后次序，取球的方式(是否放回抽樣)無關(guān)，它們機會均等43/78§1.4等可能概型例一道作業(yè)題從5雙不同的鞋子中，任取4只，這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率是多少？解：古典概型為方便分析，先求4只都不配成雙的概率pS：共有種不同的取法4只都不配成雙的概率：5雙鞋中先任選4雙，然后每雙鞋中任選一只

所以p＝所以至少兩只配成雙的概率為1－p＝1－或直接求：有1雙配成雙：有兩雙配成雙所以P(B)=44/78§1.4等可能概型例8小概率事件與實際推斷原理某接待站在某一周曾接待過12次來訪，均是在周二和周四進(jìn)行問：是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？解：假設(shè)接待事件沒有規(guī)定，而來訪者在一周內(nèi)任一天去接待站是等可能的那么12個來訪者分布于一周7天共有712種可能分布現(xiàn)在12個人均集中在周二和周四兩天，共有212種可能情況因此在沒有規(guī)定的情況下，12個來訪者均集中在周二和周四兩天的概率為212/712＝0.0000003,千萬分之三，近乎于不可能事件實際推斷原理：根據(jù)實踐經(jīng)驗，概率很小的事件在一次試驗中實際上幾乎是不發(fā)生的現(xiàn)在這種小概率事件竟然發(fā)生了，所以假設(shè)可能不正確，可以推斷接待時間是有規(guī)定的（如果2天改為4天，412/712＝0.0012,則很難說是小概率事件）45/78§1.4等可能概型幾何概型（概率的幾何定義）定義：若試驗具有下列兩個特征：(1)樣本空間的元素有無限個；(2)每個樣本點的發(fā)生具有某種等可能性.則稱此試驗為幾何概型試驗。幾何概型的計算設(shè)試驗的每個樣本點是等可能落入?yún)^(qū)域Ω上的隨機點M

，且D

Ω，則M點落入子區(qū)域D(事件A)上的概率為:

P(A)=m(D)/m(Ω).其中m(?)為自然測度測度可能是長度、面積、體積，甚至是質(zhì)量，比如均勻分布46/78§1.4等可能概型蒲豐(Buffon)投針實驗，用頻率估計

值在畫有許多間距為d的等距平行線的白紙上，隨機投擲一根長為l(l

d)的均勻直針，求針與平行線相交的概率，并計算

的近似值解：設(shè)針與平行線的夾角為

(0

)，針的中心與最近直線的距離為x(0x

d/2)。針與平行線相交的充要條件是x(l/2)sin

，這里x(0x

d/2并且0

。建立直角坐標(biāo)系,上述條件在坐標(biāo)系下將是曲線所圍成的曲邊梯形區(qū)域，總的區(qū)域即x和

所有可能取值構(gòu)成的矩形區(qū)域，且所有可能取值是機會均等的，符合幾何概型，則所求概率為故可得

的近似計算公式，其中n為隨機試驗次數(shù)，m為針與平行線相交的次數(shù)。

47/78§1.4等可能概型Matlab代碼>>clear,clfn=100000000;l=0.5;m=0;d=1;fori=1:nx=(l/2)*sin(rand(1)*pi);y=rand(1)*d/2;ifx>=ym=m+1;endendp1=m/npai=2*n*l/(m*d)48/78確定針與平行線的角度確定針中心點的位置§1.5條件概率條件概率問題是概率論中，內(nèi)容最為豐富的一個問題，主要考慮：在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。(一)條件概率的定義例1：一枚硬幣拋兩次，觀察其出現(xiàn)H和T的情況設(shè)事件A：“至少有一次為H”事件B：“兩次拋出同一面”求已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率解：試驗本身是古典概型S={HH，HT，TH，TT}A={HH，HT，TH}B={HH，TT}AB={HH}49/78在條件概率下，相當(dāng)于重新確定了樣本空間S

=S∩A=A；B

=B∩A=AB我們記已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率為P(B|A)，則由古典概型的計算方法P(B|A)＝＝1/3而不考慮A時P(B)＝2/4=1/2，可見二者不同§1.5條件概率在P(B|A)＝中，令分子分母同時除以樣本空間中的基本事件數(shù)n，則有一般的P(B|A)＝=P(BA)/P(A)其中P(A)>0，顯然對于古典概型上式都成立于是有如下定義：定義：設(shè)A，B是兩事件，且P(A)>0，則稱

P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率。它也符合概率定義的三個條件：1）非負(fù)性：事件B，有P(B|A)

02）規(guī)范性：對于必然事件S，有P(S|A)=1;3）可列可加性：設(shè)B1,B2,…,Bk是兩兩互不相容的事件，即對于i≠j，BiBj＝Φ，

i，j＝1，2，…，則有

P(|A)＝50/78條件概率也可稱為后驗概率，普通的概率稱為先驗概率，是根據(jù)以往實驗得到的§1.5條件概率一般的概率的性質(zhì)都適合于條件概率，區(qū)別是必須加上條件，例如：設(shè)A，B，C是三事件，若B

C，則有P(C－B)=P(C)－P(B)同樣的有P((C－B)|A)=P(C|A)－P(B|A)又P(C∪B)＝P(C)＋P(B)－P(CB)則P(C∪B|A)＝P(C|A)＋P(B|A)－P(CB|A)一般的，求條件概率有兩種思路《一》用概率的含義，依據(jù)條件重新寫出樣本空間和事件子集《二》用條件概率的定義，若P(A)>0，則

P(B|A)＝51/78§1.5條件概率例2：擲兩顆骰子，已知點數(shù)之和為7，求有一顆為1點的概率

A:兩顆骰子點數(shù)之和為7（為條件）

B:有一顆為1點。求解P(B|A)解:S:36A：6B：11AB：2所以所求的條件概率或由條件概率的含義直接有2/6=1/352/70§1.5條件概率(二)乘法定理（條件概率的推論）乘法定理：設(shè)P(A)>0，則有P(AB)=P(A)P(B|A)推廣到三個事件的情況：設(shè)有A,B,C三個事件，且P(AB)>0，于是：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)注意：如果P(AB)>0，則必有P(A)>0及P(B)>0推廣到更多個的情況設(shè)A1,A2,…,An為n個事件，n

2，且P(A1A2…An－1)>0，則有P(A1A2…An)＝P(An|A1A2…An-1)P(An-1|A1A2…An-2)…P(A2|A1)P(A1)乘法定理解決積事件的概率問題，可借助排列組合中的乘法定理來理解概率中的乘法定理乘法定理主要解決那些完成一項任務(wù)需要分多個步驟的情況，把每個步驟的概率相乘就得到完成該事件的概率53/78§1.5條件概率例3：袋中裝有r只紅球、t只白球，每次從袋中任取一只觀察顏色后放回，再放入a只與所取球同色的球。若連續(xù)取球四次，求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率解：設(shè)A1,A2,A3,A4分別為每次取到紅球的事件取球時：有次序，放回抽樣，有添加則要求的概率是一個積事件的概率而依據(jù)取球的順序及有添加的情況，按乘法公式從A1開始展開

＝顯然，按以上展開順序，每一個條件概率均可容易求出54/78§1.5條件概率例4：設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為1/2，若第一次落下未打破而第二次落下打破的概率為7/10，若前兩次落下未打破而第三次落下打破的概率為9/10，試求透鏡三次落下而未打破的概率解：首先分析一下所求的問題設(shè)事件A：第一次落下打破；事件B：第二次落下打破；事件C：第三次落下打破。則所求的概率為題設(shè)條件為P(A)＝1/2，,用乘法定理

=3/200也可以先求由于這三次打破是兩兩互不相容的事件，因此根據(jù)有限可加性進(jìn)而由乘法定理展開可得結(jié)果55/78§1.5條件概率(三)全概率公式和貝葉斯公式(1)全概率公式：對應(yīng)排列組合中的加法，完成一項任務(wù)有多種可能的并行情況，這些情況的數(shù)目的和就是完成該任務(wù)的所有可能情況對樣本空間適當(dāng)分解的思想，有利于解決稍微復(fù)雜一點的概率問題首先看一下關(guān)于劃分的概念定義：設(shè)S為試驗E的樣本空間，B1，B2，…，Bn為E的一組事件。若(i)BiBj=Φ，i≠j，i，j＝1，2，…，n；(ii)B1∪B2∪…∪Bn=S則稱B1，B2，…，Bn為S的一個劃分?！看卧囼?，事件B1，B2，…，Bn中有且僅有一個發(fā)生例：S={1，2，3，4，5，6}則劃分正確的是B1＝{1，2，3}B2＝{4，5}B3＝{6}B1＝{1，2，3}B2＝{3，4}B3＝{5，6}56/70B2SB1Bn§1.5條件概率全概率公式：設(shè)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，…，Bn為S的一個劃分，且P(Bi)>0（i＝1，2，…，n），則P(A)＝P(A|B1)P(B1)+…+P(A|Bn)P(Bn)=證：P(A)＝P(AS)=P(A(B1∪B2∪…∪Bn))由分配率＝P(AB1∪AB2∪…∪ABn)而對任意的i≠j，i，j＝1，2，…，n，有(ABi)(ABj)=ABiBj=Φ由有限可加性＝P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)又P(Bi)>0，由乘法定理上式展開得＝P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)在全概率公式中要注意一下幾點：1）條件P(Bi)>0，劃分不能是空集2）B1，B2，…，Bn正好覆蓋S中的所有元素3）在應(yīng)用上，那些不便直接求某一事件的概率時，先找到一個合適的劃分，再用全概率公式計算57/70B2SAB1Bn§1.5條件概率（2）貝葉斯(Bayes)公式(計算后驗概率問題)事件A的發(fā)生，iff構(gòu)成S劃分的事件B1，B2，…，Bn中的一個發(fā)生時才發(fā)生，一般在實驗之前僅知道Bi的先驗概率，那么如果試驗后事件A已經(jīng)發(fā)生了，Bi發(fā)生的概率又是多少呢？這種問題我們稱他為后驗概率問題，有利于我們查找事件發(fā)生的原因。解決此類問題可采用貝葉斯(Bayes)公式貝葉斯(Bayes)公式設(shè)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，…，Bn為S的一個劃分，且P(A)>0，P(Bi)>0（i＝1，2，…，n），則P(Bi|A)=，i＝1，2，…，n證：由條件概率公式P(Bi|A)＝P(BiA)/P(A)，再用乘法定理和全概率公式對分子分母展開即得所求。P(Bi)是以往的數(shù)據(jù)分析得到的，稱為先驗概率P(Bi|A)是得到信息之后再重新加以修正的概率，叫做后驗概率58/78§1.5條件概率例6：對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明：當(dāng)機器調(diào)整良好時，產(chǎn)品合格率為98％當(dāng)機器發(fā)生某一故障時，產(chǎn)品合格率為55％每天早上機器開動時，調(diào)整良好的概率為95％試求：已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格產(chǎn)品時，機器調(diào)整得良好的概率？解：設(shè)事件A：產(chǎn)品合格事件B：機器調(diào)整良好；：機器出現(xiàn)故障由題意：P(B)＝95％，P()＝5％

P(A|B)=98％，P(A|)=55％

P(B|A)==0.97注意：P(B)＝95％是以往的數(shù)據(jù)分析得到的，稱為先驗概率

P(B|A)=0.97是得到信息（第一件產(chǎn)品是合格品）之后再重新加以修正的概率，叫做后驗概率。通過后驗概率可以進(jìn)一步了解機器的情況59/70§1.5條件概率例：習(xí)題38袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，次品硬幣系指兩面均印有國徽。在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽，問這只硬幣是正品的概率是多少？解：由題述這是典型的采用貝葉斯公式的題目設(shè)：事件A：取到的是正品；事件：取到的是次品

B為r次投擲得到國徽；求P(A|B)P(A|B)=

，P(B|)＝1，P(B|A)＝(1/2)r帶入得P(A|B)＝60/78§1.6獨立性在條件概率P(B|A)中，一般情況下，事件A的發(fā)生對事件B的發(fā)生是有影響的，即在很多情況下P(B|A)≠P(B)，在有些情況下，這種影響是不存在的即P(B|A)＝P(B)這時P(AB)=P(B|A)P(A)＝P(B)P(A)這樣的情況用獨立性這一概念來描述定義設(shè)A，B是兩事件，如果具有等式P(AB)=P(B)P(A)則稱事件A，B相互獨立，簡稱A，B獨立61/78例1：設(shè)試驗E為“拋甲乙兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況”設(shè)事件A：甲幣出現(xiàn)正面；事件B：乙?guī)懦霈F(xiàn)正面。看一下獨立性。分析：S={HH，HT，TH，TT}；A={HH，HT}B={HH，TH}∴P(A)＝1/2P(B)=1/2P(AB)=1/4P(B|A)=1/2∴P(B)=P(B|A)P(AB)=P(B)P(A)事實上甲和乙拋硬幣是互不干涉的§1.6獨立性獨立性的相關(guān)性質(zhì)：若P(A)>0，P(B)>0，則A，B相互獨立與A，B互不相容不能同時成立因為如果互不相容則P(AB)＝0，如果又滿足相互獨立則P(AB)＝P(B)P(A)>0。矛盾。定理一設(shè)A，B是兩事件，且P(A)>0，若A，B相互獨立，則P(B|A)=P(B)，反之亦然。（由定義可直接證得）定理二若事件A，B相互獨立，則下列各對事件也相互獨立。

A與，與B，與證：∴∴∴A與相互獨立62/78§1.6獨立性推廣：三個事件的情況定義：設(shè)A，B，C是三個事件，如果滿足等式則稱事件A，B，C相互獨立。注意：僅滿足前三個等式的三個事件稱為兩兩相互獨立見習(xí)題33當(dāng)然，如果事件A，B，C相互獨立則也相互獨立推廣到多個事件一般的，設(shè)A1,A2,…,An為n個事件，n

2，如果對于其中的任意兩個，任意3個，…，任意n個事件的積事件的概率，都等于各事件概率之積，則稱事件A1,A2,…,An相互獨立