第九章整式（B卷-能力提升）（解析版）

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題（共33分）

1.（本題3分）下面的多項式中，能分解因式的是（）

A.，廣―6a+9B.a?—2a+4C.4〃~+廳D.——16b~

【答案】A

【分析】

根據(jù)因式分解的方法逐項分析即可.

【詳解】

A.a2-6a+9=（?-3）2，故符合題意；

B./一2〃+4不能因式分解，故不符合題意；

C.4/+從不能因式分解，故不符合題意；

D.-6-16/不能因式分解，故不符合題意；

故選：A.

【點睛】

此題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解，因式

分解常用的方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法，分組分解法，因式分解必須分

解到每個因式都不能分解為止.

2.（本題3分）多項式肛+or+by+c,可以分解為兩個因式的乘積（》+時（、+〃），則（）

A.ab=cB.ac-bC.a—b=cD.a=b+c

【答案】A

【分析】

利用多項式乘多項式法則，把(x+〃?)(y+〃)展開，再根據(jù)多項式恒等原理，比較各項的

系數(shù)，即可得到答案.

【詳解】

^x+m)[y+n)=xy+rvc+my+mn,

乂：多項式孫+6+6y+c可以分解為兩個因式的乘積(x+〃?)(y+"),

xy+ax+by+c=xy+nx+my+mn,

??a-n,b=m,c-mn,

/.ab=c.

故選A.

【點睛】

本題主要考查多項式乘多項式法則以及多項式恒等原理，掌握多項式乘多項式法則，是

解題的關鍵.

1

3.體題3分)已知3+2行9=#_2個+勿2,貝!J”力的值分別為()

A.a=—,b=-AB.a=-b=4

229

C.a=--,b=4D.a=±—,b=4

22

【答案】c

【分析】

把等式的左邊的代數(shù)式用完全平方公式展開，根據(jù)多項式恒等原理，比較各項系數(shù)，即

可得到答案.

【詳解】

*.*(ar+2y)~=a2x2+4。?孫+4/，

21

又：（ar+2y）'=—-2xy+by2,

a2x2+4a?孫+4y2=-x2-2xy+by2,

4

.?"=4且4a=-2,

a=--,b=4,

2

故答案是：C.

【點睛】

本題主要考查完全平方公式和多項式恒等原理，利用完全平方公式把等式左邊代數(shù)式展

開，是解題的關鍵.

4.（本題3分）已知x2+kx+4可以用完全平方公式進行因式分解，則k的值為（）

A.-4B.2C.4D.±4

【答案】D

【解析】

【分析】

利用完全平方公式的結構特征判斷即可確定出k的值.

【詳解】

?.?多項式x2+kx+4能用完全平方公式進行因式分解，

k=±2x2=±4,

故選D.

【點睛】

本題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式的結構特征是解本題的關鍵.

5.（本題3分）如果二次三項式x?+px-6可以分解為（x+q）-（x—2）,那么（p—qA的值為

A.2B.3C.4D.9

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)多項式的乘法運算，把(x+q)(x-2)展開，再根據(jù)對應項的系數(shù)相等進行求解

即可.

【詳解】

解：(x+q)(%—2)=x2+(g—2)x~2q,

—2q——6,

解得p=l,4=3，

，(p—q)2=(1-3)2=4.

故選C.

【點睛】

本題考查了因式分解與多項式的乘法的關系，根據(jù)對應項系數(shù)相等列式是解題的關鍵.

6.(本題3分)若多項式［2而-4/-9必-%可以因式分解，則A的值可取為()

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】D

【分析】

根據(jù)完全平方公式和平方差公式，進行分組分解因式，逐一判斷選項，即可.

【詳解】

V\2ab-4a2-9b2-k

=-(-1lab+4/+9b°)-k

^-(2a-3b)2-k

.,.當k=2,原式=-(2a-36)2-2,不能因式分解,

當k=l,原式=-(2a-35)2-1,不能因式分解，

當k=-2,原式=-(2a-3。尸+2,不能因式分解，

當k=-l,原式=-(2a-3b)?+1,能因式分解，

故選D.

【點睛】

本題主要考查用乘法公式分解因式，熟練掌握完全平方公式和平方差公式，是解題的關

鍵.

7.(本題3分)已知X、滿足等式2》+/+犬2丫2+2=_2D，那么x+y的值為()

A.-1B.0C.2D.1

【答案】B

【分析】

把等式中的多項式進行因式分解，然后根據(jù)偶數(shù)次基的非負性，即可求出x,y的值，

進而求出答案.

【詳解】

2x+x2+x2y2+2=-2xy,

2x+x2+x2y2+2+2孫=0,

x2+2x+1+x2y2+2xy+1=0,

即(x+1/+(xy+1尸=0,

V(x+l)2>0,(Ay+l)2>0,

（X+1）2=O，⑶,+1）2=0,

/.x=-l,xy=-1,

x=-l,y=l,

.?.x+y=o.

故選B.

【點睛】

本題主要考查利用因式分解和偶數(shù)次幕的非負性，求未知數(shù)的值，利用分組分解法分解

因式是解題的關鍵.

8.(本題4分)如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的立方差,則稱這個正整數(shù)為“和

諧數(shù)如：2=r-(-1)3,26=33-13,2和26均為和諧數(shù).那么，不超過2019

的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為()

A.6858B.6860C.9260D.9262

【答案】B

【分析】

由(2〃+1)3-(2〃-1)3=24”2+242019可得/5喟，再根據(jù)和諧數(shù)為正整數(shù)，得到

l<n<9,可得不超過2019的正整數(shù)中，"和諧數(shù)''共有10個，依次列式計算即可求解.

【詳解】

2017

解：由(2"+1)3-(2"-1)3=24/+2〃2019,可得在(方-,

???和諧數(shù)為正整數(shù)，

Al<n<9,且為正整數(shù)，

則在不超過2019的正整數(shù)中，所有不，和諧數(shù)”之和為產(chǎn)-(-Ip+334+53-33+...+

193-173=193-(-1)3=6860.

故選：B.

【點睛】

本題考查了有理數(shù)的乘方、整式的乘法與乘法公式，弄清題中“和諧數(shù)''的定義是解本題

的關鍵.

9.體題4分）已知a、b、c是自然數(shù)，且滿足2"x3"x4，=192,則a+8+c的取值不可

能是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】

將原式變形為2（"包陵3"=192，因式中含有3,所以得到192+3=64=26,而不能被3

整除，所以得到2（°拉"3"=2$x3,解得b=l,a+2c=6,進而得到“+b+c=7-c,根據(jù)

三個數(shù)均為自然數(shù)，解得0VC43,此時分類討論a和c的值即可求解.

【詳解】

原式=2（"2c）x3b=192

???式中有乘數(shù)3的倍數(shù)

...192+3=64=26

V26不能被3整除

原式中只能有1個3

原式化為2（a+2c）x3*=26X3

.J64+2c=6

u[b=l

a+b+c=7-c

Ta、汰。是自然數(shù)

a=6-2c>0

：.l7-c>0

c>0

解得0WcW3

當c=0時,a=6,得a+b+c=7；

當c=l時，a=4,得a+b+c=6；

當c=2時，a-2,得a+6+c=5；

當c=3時，a=0,得a+6+c=4；

故選D.

【點睛】

本題考查了乘方的應用，同底數(shù)累乘法的應用，因式分解，重點是掌握相關運算法則.

10.(本題4分)下列各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，x的值為

()

26

1438

29320435

A.135B.153C.169D.170

【答案】D

【分析】

結合題意，根據(jù)數(shù)字規(guī)律的性質，分別計算正方形中四個數(shù)字的規(guī)律，即可得到答案.

【詳解】

第一個正方形左上角數(shù)字為：1

第二個正方形左上角數(shù)字為：2

第三個正方形左上角數(shù)字為：3

第"個正方形左上角數(shù)字為：〃；

第一個正方形右上角數(shù)字為：4=4+2x(l-l)

第二個正方形右上角數(shù)字為：6=4+2X（2-1）

第三個正方形右上角數(shù)字為：8=4+2x（3-l）

第〃個正方形右上角數(shù)字為：4+2（77-1）

???題干中最后一個正方形右上角為：18

.?.4+2（〃-1）=18

〃=8

.??題干中最后一個正方形為第八個正方形；

第一個正方形左下角數(shù)字為：2=1+1

第二個正方形左下角數(shù)字為：3=2+1

第三個正方形左下角數(shù)字為：4=3+1

第〃個正方形左下角數(shù)字為：”+1

第八個正方形左下角數(shù)字為：9；

第一個正方形右下角數(shù)字為：9=2x4+1

第二個正方形右下角數(shù)字為：20=3x6+2

第三個正方形右下角數(shù)字為：35=4x8+3

第〃個正方形右下角數(shù)字為：（〃+1）［4+2（〃-1）］+〃

*.?〃=8

，第8個正方形右下角數(shù)字為：（8+l）［4+2（8-l）］+8=9xl8+8=170

故選：D.

【點睛】

本題考查了數(shù)字規(guī)律的知識；解題的關鍵是熟練掌握數(shù)字規(guī)律、代數(shù)式、有理數(shù)混合運

算、一元一次方程的性質，從而完成求解.

二、填空題（共31分）

11.（本題2分）當1?=時，4x2+mxy+9y2是一個完全平方式.

【答案】±12

【解析】

：4x2-mxy+9y2是一個完全平方式，，-mxy=±2x2xx3y,；.m=±12

24

12.（本題3分）已知x--=2,貝?。輳S+==.

【答案】8

【分析】

結合題意，根據(jù)完全平方公式的性質計算，即可得到答案.

【詳解】

/.x2-4+之=4

x

4

X2+—=4+4=8

故答案為：8.

【點睛】

本題考查了分式運算、乘方的知識；解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式的性質，從而

完成求解.

14、、

13.體題3分)己知x-y=/,xy=-9則孫--xy的值是.

【答案】

【分析】

將多項式因式分解，利用整體代入可得.

【詳解】

解：xy2-x2y=xy(y-x).

I4

"7=5，孫=§，

Ri/、4(n2

、2

故答案為：-

【點睛】

本題主要考查了因式分解的應用，利用整體代入得方法是解題的關鍵.

14.(本題3分)利用因式分解計算.

2522-248-

【答案】500

【分析】

原式的分母利用平方差公式分解因式，再進行除法運算即可.

【詳解】

10002100021000x1000

向星.-----------=-----------------------=-----------

■2522-248，(252+248)(252-248)500x4

故答案為：500.

【點睛】

本題考查了利用因式分解進行簡便計算，屬于基本題型，熟練掌握平方差公式是解本題

的關鍵.

15.（本題3分）長方形的一邊長為3m+2n,另一邊比它大m-n,長方形的面積是一.

【答案】12m2+11mn+2n2

【分析】

根據(jù)題意,通過整式加減法,可計算得長方形另一邊的長；再通過長方形面積公式計算，

即可得到答案.

【詳解】

???長方形的一邊長為3m+2n,另一邊比它大m-n

,另一邊長為:4m+n

；?長方形的面積是：（3/T?+2/i）（4m+n）=12m2+1\mn+2n2

故答案為：12m2+11mn+2n2.

【點睛】

本題考查了整式運算的性質；解題的關鍵是熟練掌握整式乘法和整式加減法的性質，從

而完成求解.

16.（本題3分）一個長方形的面積為x2+3x,它的寬為Mx豐0）,這個長方形的長可以用代

數(shù)式表示為.

【答案】x+3

【解析】

【分析】

把V+3x因式分解，即可得到這個長方形的長.

【詳解】

x2+3x=x(x+3),

???這個長方形的長為x+3.

故答案為x+3.

【點睛】

本題考查了因式分解的應用，熟練掌握因式分解的方法是解答本題的關鍵，把一個多項

式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；

②公式法；③十字相乘法；④分組分解法.

17.（本題3分）計算：103x100x10+2x10x105=（結果用塞的形式表示）.

【答案】3x106

【解析】試題解析：103x100x10+2x10x105

=103xl02xl0+2xl0xl05

=106+2xl06

=3x106

故答案為：3x106

18.（本題3分滸算：（萬-3.14）°=;（-0.125）20I9X82<,20=；若2'-4=32,

貝！Ix=_______

【答案】1-83

【分析】

根據(jù)0指數(shù)幕，積的乘方的逆運用及同底數(shù)基相乘的法則來解答即可.

【詳解】

（萬-3.14）°=1；

201920202019

（-0.125）x8=（-0.125）創(chuàng)82.98=卜0.125創(chuàng)8戶'8=-8；

,/2*-4=32/.2X?2225x+2=5x=3

【點睛】

本題考查了。指數(shù)累，積的乘方及同底數(shù)幕相乘，熟練的掌握各運算法則并能逆運用是

關鍵.

19.(本題4分諾a-b=L貝！kJ-2萬的值為.

【答案】1

【分析】

先局部因式分解，然后再將a-b=l代入，最后在進行計算即可.

【詳解】

解：a2-b2-2b

=(a+b)(a-b)-2b

=a+b-2b

=a-b

=1

【點睛】

本題考查了因式分解的應用，弄清題意、并根據(jù)靈活進行局部因式分解是解答本題的關

鍵.

20.(本題4分)已知整數(shù)①，ai,a3,o?,…滿足下列條件m=0,ai=\a\-1|,a3=\ai

-2|,04=|。3-3|..........以此類推,則的值為.

【答案】1009.

【分析】

根據(jù)題意列舉出前幾組數(shù)據(jù)，然后變化規(guī)律，然后運用規(guī)律即可得到a2OI8的值.

【詳解】

解：由題意可得，

41=0,02=1,43=1，44=2,45=2,46=3,<77=3,48=4,49=4,

如果角標是偶數(shù)，那就等于系數(shù)的一半，如果系數(shù)是奇數(shù)，等于系數(shù)減一后的一半。

?,?<22018—1009,

故答案為：1009.

【點睛】

本題考查數(shù)字變化規(guī)律，解答本題的關鍵是明確題意、發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化規(guī)律以及運用數(shù)字

變化規(guī)律.

三、解答題(共36分)

21.(本題4分)先閱讀下列材料：

我們已經(jīng)學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法,其實分解因式

的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等.

(D分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法.

如：ax+by+bx+ay=(ax+bx)+(ay+by)

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

(2)拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的

方法.如：

x2+2x-3

=x2+2x+l-4

=(x+1)2-22

=(x+1+2)(x+1-2)

=(x+3)(x-1)

請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：

(1)分解因式：a2-b2+a-b；

(2)分解因式：x2-6x-7；

【答案】(1)(a-b)(a+b+1)；(2)(x-7)(x+1).

【分析】

(1)按次數(shù)分組，二次項的運用公式因式分解，再提公因式即可：

(2)先將-7拆成-1與-6,-1與x2結合，-6與-6x結合，用平方差公式因式分解，和提

公因式-6,再提公因式(x+1)整理即可.

【詳解】

(1)原式=(a2-b2)+a-b

=(a+b)(a-b)+(a-b)

=(a-b)(a+b+1)；

(2)原式=(x2-l)-6x-6

=(x+1)(x-1)-6(x+1)

=(x+1)(x-1-6)

=(x-7)(x+1).

【點睛】

本題考查閱讀理解問題，從例題中學習解題方法，應用學到的方法進行應用，掌握乘方

公式，與提公因式因式分解方法，會利用分組后應用公式法與提公因式法分解因式，會

用拆項分組方法進行因式分解是解題關鍵.

22.(本題6分滸算

(1)[a(a2b2-ab)-b[-a3b-a2)^a2b

(2)(2a+36)(2。-36)-(a-38)2

【答案】(1)2ab；(2)3a2+64-18按

【分析】

(1)原式先去小括號，再將括號里面的式子進行合并同類項，最后計算除法;

(2)原式先利用平方差公式及完全平方公式展開，再進行同類項合并.

【詳解】

解：(1)\ji{a2b2—ah)—h(—a3h—a2)^-i-a2h

=(a'b2-a2b+a3b2+a2b)-i-a2b

=2aX+a2b

-2ab；

(2)(2a+32)(2。-3。)-(a-36)2

=4a2-9h2-(a2-6ab+%2)

=4a2-9b2-a2+6ab-9b2

=3a2+6ab-18Z?2

【點睛】

此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

23.體題6分)已知m、x、y滿足：(1)-2ab"*與4ab3是同類項；⑵(x-5)2+|y-

3

求代數(shù)式：2(x2-3y2)-3(jx2-y-/n)的值.

23

【答案】y

【詳解】

試題分析：由同類項的定義可得m的值，由非負數(shù)之和為0,非負數(shù)分別為0可得出X、

y的值，代入所求式子中計算即可得到結果.

2

試題解析：丁-2abm與4ab3是同類項，（x-5）2+|y-y

.z。2

..m=3,x=5,y=—,

3

423

則原式=2x2_6y2-2x2+3y2+3m=-3y2+3m=-y+9=—.

24.（本題10分）如圖1,。為數(shù)軸原點，在數(shù)軸上擺放一個長方形A5CD,使得A3、

。的中點E、G恰好落在數(shù)軸上，AB=16,BC=EG=6,點H為數(shù)軸上的點，HE=

2GO9HO=3EG.

備用圖

（1）點H所表示的數(shù)為;

（2）若動點M以每秒3個單位的速度從H出發(fā)沿折線HTETBTC運動，動點N同

時以每秒2個單位的速度從點。出發(fā)沿折線OTG—O運動，當一個點到達終點時，另

一個點隨之停止運動，設兩個點運動時間為t秒，記M、N、A三點所形成的三角形的

面積為S,試用時間，表示S；

（3）如圖2,點尸對應的數(shù)為-13,螞蟻甲以每秒5個單位的速度從點尸開始沿折線

E—5-C運動，同時螞蟻乙從點0出發(fā)沿折線OTG—Q—A運動，乙在線段0G、

ZM上的速度是每秒4個單位，在線段G。上的速度則是每秒7個單位.當一只螞蟻到

達終點時，另一只螞蟻也隨之停止運動，記運動時間為f,是否存在某一時刻，使得兩

只螞蟻在長方形A8CD上走過的路程恰好相等？若存在，請直接寫出，的值;若不存在，

請說明理由.

8

【答案】(1)-18；(2)當04Y2時，S=72—20/；當時，5=3/-26r+72；

當時,5=9?；當當<Y6時，S=3『-34f+144;⑶/=2或￡==.

3337

【分析】

(1)根據(jù)“0=3EG可得40=18,4點在負半軸，由此即可確定點H坐標；

(2)根據(jù)點M、N的運動速度確定點所在不同線段進行討論，再分別由所構成三角形

求面積即可；

(3)根據(jù)兩只螞蟻走過的路程恰好相等，設未知數(shù)列方程即可解答.

【詳解】

解：⑴YH0=3EG,EG=6,

：.HO=18,

???點，表示的數(shù)是-18；

故答案為：-18；

(2)'：HE=2G0,

：.2GO+EG+GO=\S,

又,：EG=6,40=18,

AG0=4,”E=8,

在長方形ABC。中故，AB=CD=\6,AD=BC=EG=6,

：.BE=-AB=8,DG=-CD=8,

22

???動點N同時以每秒2個單位的速度從點0出發(fā)沿折線OTGTD運動，

?.當0342時，點N在線段G0上，OG=2t；

當2<fV6時，點N在線段GD上，GD=2t-4.

?.?動點M以每秒3個單位的速度從H出發(fā)沿折線HTETBTC運動，運動時間不超過

6秒，

O

.?.當時，點用在線段"E上，HM=3t；

o1A

當:=時，點M在線段2E上，EM=3f—8；

33

當與＜f46時,點M在線段BC上，8M=3-8；

I、當時，點M、N在數(shù)軸上，如解圖1：

A5=-(18-3r-2r).8,g|JS=72-20/；

2

Q

II、當時，點M在HE上，點N在OG上，如解圖2：

此時二角形面積S^AMN=S梯形AEGN+S/M?-S/GN,

AS=-(8+2r-4).6+-(8-3z)^--(2r-4)?(8-3r+6),即*=3/一26r+72；

222

HL當?<￡4半時，點〃在8￡上，點N在。G上，如解圖3：

33

此時三角形面積=^AM.EG=^ME+AE).EG,

「?S“MN=5(3f—8+8)?6,即S=9,；

iA

IV,當］＜Y6時，點M在BE上，點N在。G上，如解圖3：

此時二角形面積5&AMN=S梯形ABQV-SAA8W-^ACMN，

???Si4A/w=^[16+8+(2r-4)]x6-1(3r-16)xl6-1[6-(3r-16)].[8+(2t-4)],即

S=3*-34f+144;

綜上所述：當04Y2時，5=72-20/；當寸，S=3/一26f+72；當?

333

時,S=9t；當，＜f46時,S=3產(chǎn)一34.+144；

(3)???點產(chǎn)對應的數(shù)為-13,點E對應的數(shù)是-(6+4)=-10,

：.EF=3,

...折線FTETBTC長=17,,

?.?螞蟻甲以每秒5個單位的速度從點F開始沿折線JE-BTC運動,

.17

??fS,

?.?螞蚊乙從點。出發(fā)沿折線。-G-D-A運動，乙在線段OG、DA上的速度是每秒4

個單位，在線段GD上的速度則是每秒7個單位.

，螞蟻乙從起點0走到點G用時1秒，走到點。共用時當秒，走到點A共用時看秒，

二當04141時，螞蟻乙在線段OG上，此時不合題意；

當1</嚀時，螞蟻乙在線段GO上，依題意得：

5r-3=7（z-l）,解得：f=2；

當鎧時，螞蟻乙在線段D4上，依題意得：

1517

5r—3=4（/----）+8,解得：t=—

77

17

經(jīng)檢驗：，=2,/=了均符合題意；

故當f=2或f時，兩只螞蟻在長方形ABCD上走過的路程恰好相等.

【點睛】

本題主要考查了利用整式乘法求三角形面積和一元一次方程的應用，解題關鍵是用時間

與速度的關系表示線段長，根據(jù)點在折線上運動時，所處的線段不同進行討論解答是本

題的難點，要注意畫圖和分析.

25.（本題10分）對于一個兩位數(shù)，"（十位和個位均不為0）,將這個兩位數(shù)機的十位和

個位上的數(shù)字對調(diào)得到新的兩位數(shù)“，稱〃為"7的“對調(diào)數(shù)”，將“放在掰的左側得到一

個四位數(shù),記為加，將〃放在〃?的右側得到一個四位數(shù),記為W,規(guī)定尸（加）=怔￡〃，

例如：34的對調(diào)數(shù)為43,例34）」433.3443|=9.

（1）填空：/（29）=；

（2）請證明對于任意一個兩位數(shù)加（十位和個位均不為（）），尸（間都能夠被9整除；

⑶若〃=65+a（“為整數(shù)，1<?<9）,4=30+26（/,為整數(shù)，1W6W4）,P和4

F(p}

的十位、個位均不為o,p的對調(diào)數(shù)與q的對調(diào)數(shù)之和能被9整除，請求出-)4的值?

F⑷