階段質(zhì)量檢測(三)概率一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列事件中隨機(jī)事件的個數(shù)為()①連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，兩次都出現(xiàn)2點；②在地球上，樹上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人買彩票中獎；④已經(jīng)有一個女兒，第二次生男孩；⑤在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到90°C會沸騰．A．1 B．2C．3 D．4解析：選C①③④都有可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故是隨機(jī)事件；對于②，在地球上，樹上掉下的雪梨不抓住就往下掉，這是一定會發(fā)生的事件，屬于必然事件．對于⑤，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到90°C會沸騰，是不可能事件．故選C.2．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()A．至少有一個黑球與都是紅球B．至少有一個黑球與都是黑球C．至少有一個黑球與至少有一個紅球D．恰有1個黑球與恰有2個黑球解析：選DA中的兩個事件是對立事件，不符合要求；B中的兩個事件是包含關(guān)系，不是互斥事件，不符合要求；C中的兩個事件都包含“一個黑球、一個紅球”這一事件，不是互斥事件；D中是互斥而不對立的兩個事件．故選D.3．從分別寫有A，B，C，D，E的5張卡片中任取2張，這2張卡片上的字母恰好是按字母順序相鄰的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(7,10)解析：選B試驗的所有基本事件總數(shù)為10，兩字母恰好是相鄰字母的有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)4種，故P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中隨機(jī)取一點，則點落在四棱錐O-ABCD內(nèi)(O為正方體的對角線的交點)的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：選B設(shè)正方體的體積為V，則四棱錐O-ABCD的體積為eq\f(V,6)，所求概率為eq\f(\f(V,6),V)＝eq\f(1,6).5．在兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于2m的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析：選B該試驗屬于幾何概型，所求事件構(gòu)成的區(qū)域長度為2m，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度為6m，故燈與兩端距離都大于2m的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).6．從eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b，c，d，e))的所有子集中任取一個，這個集合恰是集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b，c))的子集的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)解析：選C符合要求的是?，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(b))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，c))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(b，c))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b，c))共8個，而集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b，c，d，e))共有子集25＝32個，∴P＝eq\f(1,4).7．連續(xù)擲兩次骰子，以先后得到的點數(shù)m，n為點P(m，n)的坐標(biāo)，那么點P在圓x2＋y2＝17內(nèi)部的概率是()A.eq\f(1,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,3) D.eq\f(4,9)解析：選B點P(m，n)的坐標(biāo)的所有可能為6×6＝36種，而點P在圓x2＋y2＝17內(nèi)部只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8種，故概率為eq\f(2,9).8．從正六邊形的6個頂點中隨機(jī)選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,5)解析：選D從正六邊形的6個頂點中隨機(jī)選擇4個頂點，列舉可得，以它們作為頂點的四邊形共有15個，其中矩形有3個，所以所求的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).故選D.9．甲、乙、丙三人在3天節(jié)目中值班，每人值班1天，則甲緊接著排在乙的前面值班的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：選C甲、乙、丙三人在3天中值班的情況為：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6種，其中符合題意的有2種，故所求概率為eq\f(1,3).10．有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選A記3個興趣小組分別為1,2,3，甲參加1組記為“甲1”，則基本事件為：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9個．記事件A為“甲、乙兩位同學(xué)參加同一個興趣小組”，其中事件A有：甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3個基本事件．因此P(A)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).11．在2,0,1,5這組數(shù)據(jù)中，隨機(jī)取出三個不同的數(shù)，則數(shù)字2是取出的三個不同數(shù)的中位數(shù)的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(5,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：選C分析題意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4種取法，符合題意的取法有2種，故所求概率P＝eq\f(1,2).12．設(shè)一元二次方程x2＋Bx＋C＝0，若B，C是一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)投擲兩次出現(xiàn)的點數(shù)，則方程有實數(shù)根的概率為()A.eq\f(1,12) B.eq\f(7,36)C.eq\f(13,36) D.eq\f(19,36)解析：選D因為B，C是一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)投擲兩次出現(xiàn)的點數(shù)，所以一共有36種情況．由方程有實數(shù)根知，Δ＝B2－4C≥0，顯然B≠1.當(dāng)B＝2時，C＝1(1種)；當(dāng)B＝3時，C＝1,2(2種)；當(dāng)B＝4時，C＝1,2,3,4(4種)；當(dāng)B＝5時，C＝1,2,3,4,5,6(6種)；當(dāng)B＝6時，C＝1,2,3,4,5,6(6種)．故方程有實數(shù)根共有19種情況，所以方程有實數(shù)根的概率是eq\f(19,36).二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．在邊長為2的正方形中作其內(nèi)切圓，然后向正方形中隨機(jī)撒一把芝麻，用隨機(jī)模擬的方法來估計圓周率π的值．如果撒了1000粒芝麻，落在圓內(nèi)的芝麻總數(shù)是776粒，那么這次模擬中π的估計值是________．解析：由于芝麻落在正方形內(nèi)任意位置的可能性相等，由幾何概型的概率計算公式知eq\f(S內(nèi)切圓,S正方形)≈eq\f(776,1000)，即eq\f(π×12,22)≈eq\f(776,1000)，解得π≈3.104.答案：3.10414．某中學(xué)青年教師、中年教師和老年教師的人數(shù)比例為4∶5∶1，其中青年教師有120人．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這所學(xué)校抽取容量為30的教師樣本以了解教師的工作壓力情況，則每位老年教師被抽到的概率為________．解析：由青年教師、中年教師和老年教師的人數(shù)比例為4∶5∶1,知該校共有教師120÷eq\f(4,10)＝300(人)．采用分層抽樣的方法從這所學(xué)校抽取容量為30的教師樣本，則每位老年教師被抽到的概率為P＝eq\f(30,300)＝eq\f(1,10).答案：eq\f(1,10)15．如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝eq\r(3)，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個圓弧DE，在圓弧DE上任取一點P，則直線AP與線段BC有公共點的概率是________．解析：連接AC交弧DE于點F，∠BAC＝30°，P＝eq\f(弧EF的長,弧DE的長)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)16．點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機(jī)取一點B，則劣弧eq\x\to(AB)的長度小于1的概率為________．解析：如圖所示，圓周上使eq\x\to(AM)的長度等于1的點M有兩個，設(shè)為M1，M2，則過A的圓弧eq\x\to(M1AM2)長為2，點B落在優(yōu)弧eq\x\to(M1AM2)上就能使劣弧eq\x\to(AB)的長度小于1，所以劣弧eq\x\to(AB)的長度小于1的概率為eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)三、解答題(本大題共6題，共70分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)17．(本小題滿分10分)對一批襯衣進(jìn)行抽樣檢查，結(jié)果如下表：抽取件數(shù)n50100200500600700800次品件數(shù)m021227273540次品率eq\f(m,n)(1)求次品出現(xiàn)的頻率；(2)記“任取一件襯衣是次品”為事件A，求P(A)；(3)為了保證買到次品的顧客能夠及時更換，銷售1000件襯衣，至少需進(jìn)貨多少件？解：(1)次品率依次為：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.(2)當(dāng)n充分大時，出現(xiàn)次品的頻率eq\f(m,n)在0.05附近擺動，故P(A)≈0.05.(3)設(shè)進(jìn)貨襯衣x件，為保證1000件襯衣為正品，則(1－0.05)x≥1000，得x≥1053.∴至少需進(jìn)貨1053件襯衣．18．(本小題滿分12分)現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答．試求：(1)所取的2道題都是甲類題的概率；(2)所取的2道題不是同一類題的概率．解：將4道甲類題依次編號為1,2,3,4；2道乙類題依次編號為5,6.任取2道題，基本事件為：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15個，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．(1)用A表示“都是甲類題”這一事件，則A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個，所以P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)用B表示“不是同一類題”這一事件，則B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8個，所以P(B)＝eq\f(8,15).19．(本小題滿分12分)某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個等級，等級系數(shù)X依次為1,2,3,4,5，現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取20件，對其等級系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到如下頻率分布表：X12345fa0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，等級系數(shù)為5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為x1，x2，x3，等級系數(shù)為5的2件日用品記為y1，y2，現(xiàn)從x1，x2，x3，y1，y2這5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，寫出所有可能的結(jié)果，并求這2件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率．解：(1)因為抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，所以b＝eq\f(3,20)＝0.15.等級系數(shù)為5的恰有2件，所以c＝eq\f(2,20)＝0.1.從而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)從x1，x2，x3，y1，y2這5件日用品中任取2件，所有可能的結(jié)果為(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10個．設(shè)事件A表示“從x1，x2，x3，y1，y2這5件日用品中任取2件，其等級系數(shù)相等”，則事件A所包含的基本事件為(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4個．故所求的概率P(A)＝eq\f(4,10)＝0.4.20．(本小題滿分12分)投擲一個質(zhì)地均勻、每個面上標(biāo)有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面中，有兩個面的數(shù)字是0，兩個面的數(shù)字是2，兩個面的數(shù)字是4.將此玩具連續(xù)拋擲兩次，以兩次朝上一面出現(xiàn)的數(shù)字分別作為點P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)．(1)求點P落在區(qū)域C：x2＋y2≤10上的概率；(2)若以落在區(qū)域C上的所有點為頂點作面積最大的多邊形區(qū)域M，在區(qū)域C上隨機(jī)撒一粒豆子，求豆子落在區(qū)域M上的概率．解：(1)點P的坐標(biāo)有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9種，其中落在區(qū)域C：x2＋y2≤10上的點P的坐標(biāo)有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4種，故點P落在區(qū)域C：x2＋y2≤10上的概率為eq\f(4,9).(2)區(qū)域M為一邊長為2的正方形，其面積為4，區(qū)域C的面積為10π，則豆子落在區(qū)域M上的概率為eq\f(2,5π).解：設(shè)A與C之間的距離為x米，B與D之間的距離為y米，(x，y)可以看成平面中的點，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，(x，y)的所有可能結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為Ω＝{(x，y)|0<x＋y<120，x>0，y>0}，即兩直角邊邊長都為120米的等腰直角三角形區(qū)域(不包括邊界)．而“A與C，B與D之間的距離都不小于40米”(記為事件M)的所有可能結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為M＝{(x，y)|x≥40，y≥40，(x，y)∈Ω}，即圖中的陰影部分．由幾何概型的概率計算公式得P(M)＝eq\f(\f(1,2)×40×40,\f(1,2)×120×120)＝eq\f(1,9).故A與C，B與D之間的距離都不小于40米的概