專題01相似三角形（22知識(shí)&17題型）【清單01】相似圖形定義:我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形提示(1)兩個(gè)圖形相似,其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到(2)全等圖形可以看成是一種特殊的相似圖形,即不僅形狀相同而且大小也相等(3)判斷兩個(gè)圖形是否相似，只要看兩個(gè)圖形的形狀是否相同即可，跟圖形的大小、位置沒(méi)有關(guān)系.【清單02】相似多邊形1.相似多邊形的相關(guān)定義兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等,邊成比例,那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比2.相似多邊形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例注意判定兩個(gè)多邊形相似，必須同時(shí)具備三個(gè)條件:(1)邊數(shù)相同;(2)對(duì)應(yīng)角分別相等:(3)對(duì)應(yīng)邊成比例3.相似多邊形與全等多邊形的邊、角特征:相似多邊形全等多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例相等對(duì)應(yīng)角相等相等【清單03】比和比例1.比2.比例（補(bǔ)充）比例中項(xiàng)：如果比例的兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)相等【清單04】線段的比和比例線段1.線段的比：兩條線段長(zhǎng)度的比叫做兩條線段的比.2.線段成比例的定義3.比例的相關(guān)性質(zhì)(1)比例的基本性質(zhì)比例的其他性質(zhì)【清單05】分割【清單06】線段比與面積比三角形的中位線三角形的中位線是聯(lián)結(jié)兩邊中點(diǎn)的線段,中位線所在的直線與第三邊所在的直線平行.線段比與面積比同高(或等高)的兩個(gè)三角形的面積之比與對(duì)應(yīng)底邊的比相等.【清單07】三角形一邊的平行線性質(zhì)定理與推論三角形一邊的平行線性質(zhì)定理(1)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.(2)兩種常見類型：“A”型“X”型推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.【清單08】三角形的重心（1）三角形的三條中線交于一點(diǎn)，三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.（2）三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離,等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍.【清單09】三角形一邊的平行線判定定理與推論1.三角形一邊的平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.2.三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形兩邊的延長(zhǎng)線(這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè))所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.【清單10】平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行的直線所截,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.2.推論兩條直線被三條平行的直線所截,如果在一條直線上截得的線段相等,那么在另一條直線上截得的線段也相等.【清單11】相似三角形概念三個(gè)角分別相等,三條邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形,相似用符號(hào)“∽”表示，△ABC與△DEF相似記作△ABC∽△DEF.其中,我們把對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.相似三角形的對(duì)應(yīng)性用“∽”這個(gè)符號(hào)表示兩個(gè)圖形相似時(shí)，對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)應(yīng)該寫在對(duì)應(yīng)的位置上.若△ABC∽△DEF,則:(1)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn):點(diǎn)和點(diǎn),點(diǎn)和點(diǎn),點(diǎn)和點(diǎn);(2)對(duì)應(yīng)角:和,和,和;(3)對(duì)應(yīng)邊:和，和,和.相似三角形具有順序性相似三角形具有傳遞性注意：(1)用“∽”表示兩個(gè)三角形相似時(shí)，隱含著確定了對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊.而用文字?jǐn)⑹鰞蓚€(gè)三角形相似，對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定.注意（2）全等三角形是相似比為1的相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形【清單12】平行線分線段成比例1.平行線分線段成比例的基本事實(shí)兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例平行線分線段成比例的基本事實(shí)的常見變形為了便于記憶，所得到的等式可以這樣記憶:2.平行線分線段成比例的基本事實(shí)應(yīng)用在三角形上的結(jié)論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線).所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.【清單13】相似三角形的判定定理定理1:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.注意：(1)和（2）一般稱為“A字型”，（3）一般稱為“X字型”定理2:三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.定理3:兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.注意(1)在使用該定理時(shí),相等的角必須是已知成比例的兩邊的夾角，不要錯(cuò)誤地認(rèn)為是任意一角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形就相似.(2)找相等的角時(shí),注意隱含條件,如公共角、對(duì)頂角,平行線中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角,直角三角形中的直角等.定理4:兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.提示(1)該判定定理也說(shuō)明了在三角形中,確定了兩個(gè)角的大小即可確定該三角形的形狀(2)在兩個(gè)直角三角形中若有一組銳角對(duì)應(yīng)相等,則這兩個(gè)直角三角形相似(3)在等腰三角形中,若有頂角或底角對(duì)應(yīng)相等,則這兩個(gè)三角形相似，但要注意有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形不一定相似.如頂角為30°與底角為30°的兩個(gè)等腰三角形不相似.【清單14】直角三角形相似的判定方法1.判定方法1由三角形相似的條件可知,如果兩個(gè)直角三角形滿足一個(gè)銳角相等，或兩組直角邊成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似.2.判定方法2提示:判定一般三角形相似的方法同樣適用于判定兩個(gè)直角三角形相似.歸納:在直角三角形中,只要有兩邊對(duì)應(yīng)成比例,即可判定這兩個(gè)直角三角形相似.已知兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊成比例,借助勾股定理可證明另一條直角邊也成比例,進(jìn)而可利用“三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似”,證明這兩個(gè)直角三角形相似.【清單15】常見相似三角形模型平行線型旋轉(zhuǎn)型3.斜交型4.一線三等角型【清單16】相似三角形的性質(zhì)定理相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.相似三角形的對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比.同理可以推出相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比也等于它們的相似比.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比4.相似三角形面積的比等于相似比的平方提示：【清單17】相似三角形的應(yīng)用1.相似三角形的實(shí)際應(yīng)用的主要類型(1)利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算不能直接測(cè)量的河的寬度;(2)利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算不能直接測(cè)量的物體的高度2.利用相似三角形計(jì)算不能直接測(cè)量的河的寬度的兩種常見模型3利用相似三角形計(jì)算無(wú)法達(dá)到頂部的物體高度常用的四種方法方法1:利用陽(yáng)光下的影子(如測(cè)量旗桿的高度).如圖1所示，選一名同學(xué)(或利用一根標(biāo)桿)直立于旗桿影子的頂端處，然后測(cè)量出該同學(xué)(或標(biāo)桿)的高度和影長(zhǎng)及旗桿的影長(zhǎng)，再利用同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例求解方法2:利用鏡子的反射(如測(cè)量旗桿的高度).如圖2所示,選一名同學(xué)作為觀測(cè)者,在觀測(cè)者與旗桿之間的地面上平放一面鏡子,在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記,觀測(cè)者看著鏡子來(lái)回走動(dòng)，直至看到旗桿頂端在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合，然后測(cè)量出人站立點(diǎn)與鏡面上的點(diǎn)的距離、旗桿底部與鏡面上的點(diǎn)的距離及觀測(cè)者的目高,并根據(jù)反射角等于入射角,利用相似三角形求解方法4:利用標(biāo)桿(如測(cè)量古塔的高度)【清單18】實(shí)數(shù)與向量相乘1.實(shí)數(shù)與向量相乘的意義2.實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算的規(guī)定設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù),是向量,那么與相乘所得的積是一個(gè)向量,記作.注意：也表示實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算.規(guī)定應(yīng)把實(shí)數(shù)寫在向量前面并省略乘號(hào);注意不要將表示向量的箭頭寫在數(shù)字上面.【清單19】實(shí)數(shù)與向量相乘滿足的運(yùn)算律1.實(shí)數(shù)與向量相乘滿足的分配律2.實(shí)數(shù)與向量相乘滿足的結(jié)合律注意：或?yàn)榱阋约盎驗(yàn)榱阆蛄繒r(shí)，等式依然成立.【清單20】平行向量定理、單位向量【清單21】向量的線性運(yùn)算與線性組合1.向量的線性運(yùn)算向量加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算.2.向量的線性組合【清單22】向量的分解1.向量的分解注意：平面上任意一個(gè)向量都可以在給定的兩個(gè)不平行向量的方向上分解.2.將一個(gè)向量分解成兩個(gè)已知基向量的線性組合的方法將一個(gè)向量分解成兩個(gè)已知基向量的線性組合的方法可以利用向量加法的平行四邊形法則得出.題型一、相似多邊形的性質(zhì)A．一個(gè)籃球場(chǎng)的面積 B．一張乒乓球臺(tái)臺(tái)面的面積C．《中學(xué)生報(bào)》的一個(gè)版面的面積 D．《數(shù)學(xué)》課本封面的面積【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)．熟練掌握相似多邊形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．故選：C．【知識(shí)點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)【分析】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，熟練掌握相似圖形的相似比等于對(duì)應(yīng)邊的比是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似圖形的性質(zhì)，用兩個(gè)圖的比例尺相比即可求得相似比．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)．熟練掌握相似多邊形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方求解作答即可．∴相似比為，故答案為：．【知識(shí)點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)【詳解】解：如圖，、分別為，的中點(diǎn)，題型二、相似圖形例2（2425九年級(jí)上·上海靜安·期中）下列選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形一定相似的是（

）A．兩個(gè)平行四邊形 B．兩個(gè)正方形 C．兩個(gè)菱形 D．兩個(gè)等腰三角形【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】相似圖形【分析】本題考查了相似圖形的識(shí)別，熟練掌握相似圖形的定義：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等的圖形叫相似圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似圖形的定義，對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷即可．【詳解】解：A、兩個(gè)平行四邊形對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；B、兩個(gè)正方形對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，故一定相似，符合題意；C、兩個(gè)菱形對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；D、兩個(gè)等腰三角形對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；故選：B．【變式21】（2425九年級(jí)上·上海松江·期中）下列圖形一定是相似圖形的是（

）A．兩個(gè)等腰三角形 B．兩個(gè)面積相等的三角形C．兩個(gè)正方形 D．兩個(gè)菱形【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】相似圖形【分析】本題主要考查了相似圖形，掌握形狀相同的圖形稱為相似圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似圖形的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、兩個(gè)等腰三角形不一定相似，不符合題意；B、兩個(gè)面積相等的三角形不一定相似，不符合題意；C、兩個(gè)正方形一定相似，符合題意；D、兩個(gè)菱形不一定相似，不符合題意．故選：C．【變式22】（2425九年級(jí)上·上海寶山·期中）下列選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形一定相似的是（

）A．兩個(gè)等邊三角形 B．兩個(gè)矩形 C．兩個(gè)菱形 D．兩個(gè)等腰三角形【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】相似圖形【分析】本題考查的是相似圖形的判斷，掌握形狀相同的圖形稱為相似圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似圖形的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、兩個(gè)等邊三角形，三個(gè)角都是∴它們是相似圖形，符合題意；B、兩個(gè)矩形四個(gè)角都是，但對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等∴它們不是相似圖形，不符合題意；C、兩個(gè)菱形角不一定相等∴它們不是相似圖形，不符合題意；D、兩個(gè)等腰三角形對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，∴它們不是相似圖形；故選：A．【變式23】（2425九年級(jí)上·上海閔行·期中）下列命題正確的是（

）A．等腰三角形都是相似圖形 B．矩形都是相似圖形C．菱形都是相似圖形 D．圓都是相似圖形【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】相似圖形【分析】本題考查相似圖形的識(shí)別，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，熟練掌握相似圖形的定義是解題關(guān)鍵.根據(jù)相似圖形的定義，對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可得答案.【詳解】解：A.等腰三角形的底角與頂角均不能確定，邊長(zhǎng)也不確定，不一定相似，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B.矩形的長(zhǎng)和寬不能確定，不一定相似，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C.菱形各角不能確定，不一定相似，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D.圓都是相似圖形，故該選項(xiàng)符合題意；故選D.題型三、比例的性質(zhì)【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)【分析】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)比例的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．故選：D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)由題意得，當(dāng)比例不變就不會(huì)出現(xiàn)黑色區(qū)域，故選：A．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)【分析】本題考查比例的性質(zhì)，已知幾個(gè)量的比值時(shí)，常用的解法是：設(shè)一個(gè)未知數(shù)，把題目中幾個(gè)量用所設(shè)的未知數(shù)表示出來(lái)，進(jìn)行約分．故選：D．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)故答案為：．題型四、比例線段【答案】【知識(shí)點(diǎn)】比例線段【分析】本題考查了比例線段，先設(shè)這個(gè)圖距是，根據(jù)圖上距離比上實(shí)際距離等于比例尺，可得關(guān)于的方程，即可求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例尺不變列出方程．【詳解】解：設(shè)這個(gè)圖距是，故答案為：．【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】比例線段【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)比例尺正確進(jìn)行計(jì)算并注意單位的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．根據(jù)比例尺圖上距離實(shí)際距離，列出關(guān)系式即可得出實(shí)際的距離．故答案為：1．【答案】12【知識(shí)點(diǎn)】比例線段故答案為：12．題型五、成比例線段例5（2425九年級(jí)上·上海奉賢·期中）下列各組線段中，能成比例線段的一組是（

）A．2，3，4，6 B．1，2，3，4 C．2，3，5，6 D．3，4，5，6【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】成比例線段【分析】本題考查了比例線段，熟記成比例線段的定義是解題的關(guān)鍵．注意在線段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．故選：A．【變式51】（2425九年級(jí)上·上海虹口·期中）下列各組中的四條線段（單位：厘米）成比例線段的是（）A．1、2、3、4 B．2、3、4、6 C．4、5、5、6 D．1、2、5、20【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】成比例線段【分析】本題考查了成比例線段，根據(jù)最小的值與最大的值相乘等于其他兩個(gè)值的乘積，得出它們成比例線段，即可作答．故選：B．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】成比例線段【詳解】解：∵線段是線段和的比例中項(xiàng)，故答案為：．【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】成比例線段【詳解】解：設(shè)線段a和c的比例中項(xiàng)為b，故答案為：6．【知識(shí)點(diǎn)】成比例線段又∵線段的長(zhǎng)度為正數(shù)，題型六、分割【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】分割【分析】本題考查分割，根據(jù)分割，列出比例式，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度為，故選B．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】分割∴A正確，B，C，D不正確．故選：A．【知識(shí)點(diǎn)】分割【分析】本題考查了分割，熟練掌握分割的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分割的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．點(diǎn)是線段的分割點(diǎn)，【知識(shí)點(diǎn)】分母有理化、分割【知識(shí)點(diǎn)】分割【變式65】（2425九年級(jí)上·上海浦東新·期中）今年為慶祝建平西校建校周年，學(xué)校舉辦了一場(chǎng)大型的“”文藝匯演活動(dòng)，匯演舞臺(tái)的形狀為矩形，寬度為米，如果主持人站立的位置是寬度的分割點(diǎn)，那么主持人從臺(tái)側(cè)點(diǎn)沿方向走到主持的位置至少需走米【知識(shí)點(diǎn)】分割【分析】本題考查了分割，熟練掌握分割的定義是解題的關(guān)鍵．設(shè)主持的位置為點(diǎn)，根據(jù)分割點(diǎn)的定義求出的長(zhǎng)，再求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：設(shè)主持的位置為點(diǎn)，題型七、由平行判斷成比例的線段A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】由平行判斷成比例的線段【分析】本題主要考查了利用平行線的性質(zhì)畫圖的方法，根據(jù)平行線的性質(zhì)一一分析．故選：D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】由平行判斷成比例的線段【分析】本題考查了平行線分線段成比例，理解平行線分線段成比例是解答關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例來(lái)逐一進(jìn)行判定求解．不能判斷與平行，故D符合題意．故選：D．【變式72】（2425九年級(jí)上·上海黃浦·期中）已知線段、、，求作第四比例線段，則以下正確的作圖是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】由平行判斷成比例的線段【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，主要考查了第四比例線段的作法，要熟練掌握并靈活運(yùn)用．根據(jù)比例線段的定義列出比例式，再根據(jù)平行線分線段成比例定理對(duì)各選項(xiàng)圖形列出比例式即可得解．【詳解】解：∵線段x為線段a、b、c的第四比例線段，故選：D．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)、由平行判斷成比例的線段、等式的性質(zhì)【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，等式的性質(zhì)，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．故答案為：．題型八、由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值故選項(xiàng)A，B，C不符合題意，選項(xiàng)D符合題意，故選：D．A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值故選：C．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值故答案為：．

【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值【分析】本題考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例，列出比例式，再將已知數(shù)據(jù)代入求解，即可解題．故答案為：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值故答案為：題型九、相似三角形的判定綜合【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定綜合【分析】本題考查了三角形相似的判定，解題關(guān)鍵是熟記相似三角形的判定方法，準(zhǔn)確進(jìn)行推理證明．畫出圖形，由已知及三角形相似的判定方法，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)分別分析、判斷解答出即可．【詳解】解：如圖所示，∴點(diǎn)D到的距離等于點(diǎn)E到的距離故選：C．【變式91】（2425九年級(jí)上·上海徐匯·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．有一個(gè)角相等的兩個(gè)菱形必相似B．有一條邊相等的兩個(gè)矩形必相似C．有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形必相似D．有一條邊相等的兩個(gè)等腰三角形必相似【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】相似多邊形、相似三角形的判定綜合【分析】本題考查了相似三角形的判定、相似多邊形的判定，熟練掌握相關(guān)判定定理是解題的關(guān)鍵．利用相似多邊形的判定、相似三角形的判定方法依次判斷即可得解．【詳解】解：A．有一個(gè)角相等的兩個(gè)菱形必相似，原說(shuō)法正確，符合題意；B．有一條邊相等的兩個(gè)矩形不一定相似，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C．有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形不一定相似，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D．有一條邊相等的兩個(gè)等腰三角形必相似不一定相似，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．【變式92】（2425九年級(jí)上·上海普陀·階段練習(xí)）下列命題中不一定成立的是（

）A．斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似C．兩邊對(duì)應(yīng)成比例且有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似D．兩個(gè)等腰直角三角形相似【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定綜合【分析】此題主要考查了相似三角形的判定．根據(jù)相似三角形的判定進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A.斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似，故選項(xiàng)正確，不符合題意；C.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D.兩個(gè)等腰直角三角形相似，故選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：C【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定綜合、利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等判定相似題型十、選擇或補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】選擇或補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似【詳解】解：如圖所示，故A不符合題意；故B符合題意；故C不符合題意；故D不符合題意；故選：B．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】選擇或補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似【分析】本題主要考查了相似三角形的判定．掌握相似三角形的判定方法成為解題的關(guān)鍵．由是公共角，利用有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可得①與②正確；又由兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，即可得④正確，據(jù)此即可解答．【詳解】解：如圖：∵是公共角，綜上，①②④正確．故選：B．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】選擇或補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似【分析】本題考查相似三角形的判定條件：（1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）夾角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，兩三角形相似；（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似，（4）斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．本題中結(jié)合題意根據(jù)相似三角形的判定定理逐一判斷即可得到答案．【詳解】解：如圖，故選：C．【知識(shí)點(diǎn)】選擇或補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似題型十一、利用相似三角形的性質(zhì)求解例11（2425九年級(jí)上·上?！て谥校┤绻麅蓚€(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比為，那么它們的對(duì)應(yīng)邊之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】利用相似三角形的性質(zhì)求解【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比即可求解，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比為，那么它們的對(duì)應(yīng)邊之比為，故選：．【變式111】（2425九年級(jí)上·上?！て谥校┤绻麅蓚€(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比是，那么它們的面積比是（

）【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用相似三角形的性質(zhì)求解【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)“兩個(gè)三角形相似，那么它們的面積比是相似比的平方”進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為，∴兩個(gè)相似三角形的相似比為，故選：D．【變式112】（2425九年級(jí)上·上海靜安·期中）如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比為，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用相似三角形的性質(zhì)求解【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，如果兩個(gè)三角形相似，那么它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比，對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比，對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比都等于相似比；它們對(duì)應(yīng)面積的比等于相似比的平方．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比為，∴這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為．故答案為：．【變式113】（2425九年級(jí)上·上海嘉定·期中）已知兩個(gè)等邊三角形的面積比為，那么這兩個(gè)等邊三角形的角平分線的長(zhǎng)度的比值為【知識(shí)點(diǎn)】利用相似三角形的性質(zhì)求解【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方．根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求得它們的相似比，又由相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比，即可求得答案．【詳解】解：兩個(gè)等邊三角形的面積比為，【答案】(1)見解析(2)見解析【知識(shí)點(diǎn)】利用相似三角形的性質(zhì)求解、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是找到相似的三角形．（2）解：如圖所示，延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)F，題型十二、相似三角形實(shí)際應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形實(shí)際應(yīng)用【答案】【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、相似三角形實(shí)際應(yīng)用【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于，故答案為：．【變式122】（2425九年級(jí)上·上海普陀·期中）如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔10米種一棵樹，在北岸邊每隔50米有一根電線桿．小麗站在離南岸邊15米的點(diǎn)P處看北岸，發(fā)現(xiàn)北岸有兩根相鄰的電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有一棵樹，那么這段河的寬度為米．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形實(shí)際應(yīng)用【詳解】解：如圖，設(shè)河寬為h，∴河寬為米．故答案為：．【答案】蠟燭的像的長(zhǎng)度為，像與透鏡之間的距離為【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、相似三角形實(shí)際應(yīng)用【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵；蠟燭的像的長(zhǎng)度為，像與透鏡之間的距離為；題型十三、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析判斷即可．【詳解】解：如圖，故選：D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似，兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似逐一判斷即可．故選：D．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合故答案為：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合故答案為：．【知識(shí)點(diǎn)】由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【詳解】解：連接，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，如圖所示：【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合題型十四、重心的有關(guān)性質(zhì)【答案】【知識(shí)點(diǎn)】重心的有關(guān)性質(zhì)【分析】此題考查了重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．根據(jù)三角形重心的性質(zhì)求解即可．故答案為：．【知識(shí)點(diǎn)】重心的有關(guān)性質(zhì)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合故答案為：

【答案】【知識(shí)點(diǎn)】重心的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【詳解】解：G是重心，故答案為：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】重心的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【詳解】解：∵是中線，故答案為：．題型十五、實(shí)數(shù)與向量相乘【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)與向量相乘、等式的性質(zhì)【分析】本題考查了平面向量，等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平面向量的基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行向量的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．故選：．【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)與向量相乘、向量的相關(guān)概念【分析】本題考查的是平面向量的知識(shí)，即長(zhǎng)度不為0的向量叫做非零向量，向量包括長(zhǎng)度及方向，而長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量．根據(jù)向量的表示方法可直接進(jìn)行解答．【答案】①【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)與向量相乘、向量的相