2/30第二十四章圓（舉一反三講義）全章題型歸納 【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【培優(yōu)篇】 10【題型1圓的相關(guān)概念及性質(zhì)】 10【題型2垂徑定理及其應(yīng)用】 11【題型3圓心角、弧、弦的關(guān)系】 12【題型4圓周角定理】 13【題型5圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)】 14【題型6點(diǎn)和圓的位置關(guān)系】 15【題型7直線和圓的位置關(guān)系】 16【題型8切線的判定與性質(zhì)】 17【題型9切線長定理】 18【題型10三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心】 20【題型11正多邊形與圓】 21【題型12弧長的計(jì)算】 22【題型13扇形面積的計(jì)算】 23【題型14圓錐的側(cè)面積】 25【拔尖篇】 26【題型15圓與函數(shù)的綜合】 26【題型16圓與格點(diǎn)作圖】 28【題型17圓中的最值問題】 29【題型18圓中的定值問題】 30【題型19隱圓問題】 32【題型20圓中的多結(jié)論問題】 33知識點(diǎn)1圓的定義及表示方法1.定義：

（1）描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓，其固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．“圓”是指“圓周”（一條封閉曲線)而不是“圓面”．（2）集合性定義：將圓心為O、半徑為r的圓看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合．確定一個(gè)圓需要兩個(gè)要素圓心：確定圓的位置，圓的表示方法以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．圓的特性（1）圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離都等于定長（半徑r）；（2）所有到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上；（3）圓上任意兩點(diǎn)和圓心構(gòu)成的三角形是等腰三角形．知識點(diǎn)2圓的有關(guān)概念弦與直徑連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦（如圖中AB），經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（如圖中AC）．2.弧、半圓、劣弧、優(yōu)?。?）圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱?。?）圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．（3）弧3.等圓與等弧能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓．在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。瑘A或等圓的半徑相等.知識點(diǎn)3垂直于弦的直徑1.圓的對稱性

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸．2.垂徑定理③AM=BM⑤A③AM=⑤A①CD是直徑②CD⊥AB如圖，④A?3.垂徑定理的推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．①CD①CD是直徑如上圖，②AM=（AB不是直徑）③CD⊥AB⑤A④A?由垂徑定理以及推論可知，如果一條直線具備①經(jīng)過圓心（直徑）；②垂直于弦；③平分弦（非直徑）；④平分弦所對的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎Φ牧踊≈腥我鈨蓷l性質(zhì)，就具備其他三條性質(zhì)，簡稱“知二推三”．知識點(diǎn)4弧、弦、圓心角圓心角

頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．圓的旋轉(zhuǎn)對稱性將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，所得的圖形都能與原來的圖形重合，所以圓是特殊的中心對稱圖形，圓心是對稱中心．圓心角及其所對的弧、弦的關(guān)系

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．如圖，①如圖，①∠AOB=∠C?②A③AB=如上圖，②AB=CD?①∠AO如上圖，②AB?①∠AOB=∠C③AB=如上圖，③AB=CD如上圖，③AB=CD?①∠AOB=∠C②AB=由圓心角、弦、弧的關(guān)系及推論可知，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條?。ㄍ瑸閮?yōu)弧或劣?。?、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余兩組量都分別相等，簡稱“知一推二”．知識點(diǎn)5圓周角圓周角的定義

頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．圓周角定理

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．如圖，∠ABC=1圓周角定理的推論

（1）同弧或等弧所對的圓周角相等．如圖，AC=BD?∠ABC=∠BAD．

（2）半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．

如圖，AB是直徑?∠ACB=∠ADB（3）如果三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．圓周角與圓心角的區(qū)別圓心角圓周角區(qū)別頂點(diǎn)在圓心頂點(diǎn)在圓上在同圓中，一條弧所對的圓心角是唯一的在同圓中，一條弧所對的圓心角有無數(shù)個(gè)聯(lián)系兩邊都與圓相交知識點(diǎn)6圓內(nèi)接多邊形圓內(nèi)接多邊形的定義

（1）如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

（1）圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；（2）圓內(nèi)接四邊形的每一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角．知識點(diǎn)7點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系為點(diǎn)知識點(diǎn)8三角形的外接圓1.圓的確定經(jīng)過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)（A，B，C）作圓的一般步驟：如圖，（1）連接AB，BC；（2）分別作AB，BC的垂直平分線EF，HG，交于點(diǎn)O；（3）以交點(diǎn)O為圓心，以交點(diǎn)到三點(diǎn)中任意一點(diǎn)的距離為半徑作圓，⊙O即為所求．2.三角形的外接圓（1）經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．（2）三角形的外心，是外接圓的圓心，是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)．（3）三角形的外心的性質(zhì)：三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，等于其外接圓的半徑．（4）三角形的外心的位置類型銳角三角形直角三角形鈍角三角形圖示位置外心在三角形內(nèi)部外心是斜邊的中點(diǎn)外心在三角形外部知識點(diǎn)9直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)210d與r關(guān)系d＜rd＝rd＞r公共點(diǎn)名稱割點(diǎn)切點(diǎn)直線名稱割線切線知識點(diǎn)10切線的判定定理和性質(zhì)定理1.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．2.切線的判定定理的推論（1）經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．（2）經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．3.切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．4.證明直線是圓的切線的方法一看利用交點(diǎn)個(gè)數(shù)：直線與圓有唯一的公共點(diǎn)二算利用數(shù)量關(guān)系：圓心到直線的距離等于圓的半徑三說明利用切線的判定定理：直線經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑知識點(diǎn)11切線長及切線長定理1.切線長：經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長．2.切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．知識點(diǎn)12三角形的內(nèi)切圓1.三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的外切三角形．2.三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心，是三角形三條角平分線的交點(diǎn)．3.三角形的內(nèi)心與外心的區(qū)別內(nèi)心外心內(nèi)心到三角形三邊的距離相等外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等過三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角過三角形三邊中點(diǎn)和外心的直線垂直平分三角形的邊所有三角形的內(nèi)心均在三角形內(nèi)部三角形的外心不一定在三角形內(nèi)部知識點(diǎn)13正多邊形及有關(guān)概念1.各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形．2.圓內(nèi)接正多邊形：把圓分成n（n≥3)等份，依次連接各等分點(diǎn)得到的多邊形就是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正n邊形的外接圓．3.與正多邊形有關(guān)的概念（1）中心，即正多邊形的外接圓的圓心；（2）半徑，即正多邊形的外接圓的半徑；（3）中心角，即正多邊形每一邊所對的圓心角；（4）邊心距，即中心到正多邊形的一邊的距離．知識點(diǎn)14正多邊形的有關(guān)計(jì)算設(shè)正n邊形的半徑為R，邊長為a，邊心距為r，則（1）每個(gè)內(nèi)角為(n?2)?180°n；每個(gè)中心角為（2）半徑、邊長、邊心距的關(guān)系為R（3）周長l=na；面積以正六邊形為例：知識點(diǎn)15正多邊形的畫法畫正多邊形的關(guān)鍵是等分圓周，等分圓周有兩種方法：1.用量角器等分特點(diǎn)：（1）可以畫出任意正多邊形；（2）邊數(shù)很大時(shí)，容易產(chǎn)生較大誤差．步驟：（1）用量角器畫一個(gè)等于360°n的圓心角，這個(gè)角所對的弧就是圓周長的（2）在圓上依次截取與這條弧相等的弧，就得到圓的n等分點(diǎn)；（3）順次連接各等分點(diǎn)，即得到圓的內(nèi)接正n邊形．2.用尺規(guī)等分特點(diǎn)：（1）不能將圓任意等分，只限一些特殊的正多邊形，如正四、八、十六邊形，正三、六、十二邊形等；（2）作圖比較準(zhǔn)確．畫正六邊形的步驟：（1）作直徑AD；（2）分別以A，D為圓心，OA長為半徑畫弧，分別交⊙O于點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E；（3）順次連接AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A，得正六邊形ABCDEF．知識點(diǎn)16弧長公式在半徑為R的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對的弧長就是圓周長C=2πR，所以1°的圓心角所對的弧長是2πR360，即πR180知識點(diǎn)17扇形及扇形的面積公式1.扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形．2.扇形面積公式：在半徑為R的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積S=πR2，所以圓心角是1°的扇形面積是πR2360，于是圓心角為知識點(diǎn)18圓錐的側(cè)面積和全面積1.圓錐的母線：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線．2.圓錐的高：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓心的線段叫做圓錐的高．3.圓錐的基本特征（1）圓錐的軸通過底面圓心，并垂直于底面．（2）圓錐的母線長都相等．（3）圓錐可以看作是由一個(gè)直角三角形繞一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)而成的圖形，所以圓錐的母線l，圓錐的高h(yuǎn)，圓錐的底面半徑r恰好構(gòu)成一個(gè)直角三角形．4.圓錐的側(cè)面積和全面積：母線長為l，底面圓的半徑為r的圓錐的側(cè)面積S側(cè)=πrl．全面積就是它的側(cè)面積與它的【培優(yōu)篇】【題型1圓的相關(guān)概念及性質(zhì)】【例1】如圖，在⊙O中，弦AC與半徑OB平行，若∠BOC=50°，則∠B的大小為（

）A．25° B．30° C．50° D．60°【變式1-1】如圖，在⊙O中，點(diǎn)A，O，D在一條直線上，點(diǎn)B，O，C在一條直線上，那么圖中有弦（）

A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【變式1-2】如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC，OD分別交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，且AE=BF，求證：OE=OF．【變式1-3】（2025·河南·模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別與數(shù)軸上表示數(shù)0，2的點(diǎn)重合，點(diǎn)C在⊙A上，則⊙A與數(shù)軸正半軸的交點(diǎn)E表示的數(shù)為．【題型2垂徑定理及其應(yīng)用】【例2】（2025·湖南婁底·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，連接BD，CD．若∠D=30°，AB=43，則⊙O的半徑為【變式2-1】（2025·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測）在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E．(1)如圖1，若∠BAD=90°，求證：DB平分∠ADC；(2)如圖2，若AB=6，CD=8，DF是圓的直徑，連接CF，求⊙O的半徑．【變式2-2】（2025·江西九江·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形AFDE是平行四邊形，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，點(diǎn)F與點(diǎn)O重合，請作出AD的中點(diǎn)G．(2)在圖2中，請作出AD的中點(diǎn)H．【變式2-3】（2025·江蘇無錫·二模）如圖，某大橋的拱橋線均為相等的圓弧，其中兩拱腳之間的水平距離L=40m，弓形的高度S=10(1)計(jì)算橋拱圓弧所在圓的半徑；(2)圖中陰影部分為貨輪通過此橋時(shí)的橫截面示意圖，AB為船身寬，為保證安全，點(diǎn)A、B與其正上方拱橋線上的對應(yīng)點(diǎn)E、F的距離均應(yīng)不小于2m．某日，測得拱頂C點(diǎn)高出水面15m．現(xiàn)有一艘貨輪露出水面部分的高度為13.2m，AB=14【題型3圓心角、弧、弦的關(guān)系】【例3】（2025·陜西西安·二模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為圓上一點(diǎn)，M為劣弧AC上一點(diǎn)，將劣弧AC沿弦AC所在的直線翻折，翻折后點(diǎn)M恰好與圓心O重合，則∠B的大小等于（

）A．50° B．55° C．60° D．65°【變式3-1】（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C和點(diǎn)D為⊙O上位于直徑AB同側(cè)的兩點(diǎn)，且AD=BC，連接(1)求證：△ABD≌△BAC；(2)連接OC，若OC⊥BD，求∠ABD的度數(shù)．【變式3-2】（2025·青海西寧·中考真題）如圖，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC，半徑OE,OF分別與弦AB,AC垂直，垂足分別為G，H，AM∥OF交OE于點(diǎn)M，AN∥OE交OF于點(diǎn)(1)求證：∠AOE=∠AOF；(2)求證：四邊形AMON是菱形；(3)若AB=16，OA=10，則OM=_______．【變式3-3】如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，D為邊AC上一動點(diǎn)（不與A、C重合），連接DO并延長交邊AB于E，將△ADE沿DE翻折為△FDE，邊DF交BC于點(diǎn)G，若△CDG的周長記為C1，△ABC的周長記為C2，則C1

【題型4圓周角定理】【例4】（2025·山東青島·二模）如圖，AB，DE是⊙O的直徑，C是AE的中點(diǎn)，連接AC，CE，BE，BD，BC，若∠A=62°，則∠D的度數(shù)為（

）A．34° B．31° C．30° D．24°【變式4-1】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，連接OA，且AC平分∠BAO，D是⊙O上一點(diǎn)，連接CD，BD．若∠ACB=20°，則∠D的度數(shù)為．【變式4-2】（2025·湖北孝感·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)O作OD⊥AB交AC于點(diǎn)D，延長BC，OD交于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作⊙O的切線CE，交OF于點(diǎn)E．(1)求證：EC=ED；(2)若OA=8，EF=6，求AD的長．【變式4-3】（2025·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測）在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E．(1)如圖1，若∠BAD=90°，求證：DB平分∠ADC；(2)如圖2，若AB=6，CD=8，DF是圓的直徑，連接CF，求⊙O的半徑．【題型5圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)】【例5】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，若∠BEC=20°，則∠ADC的度數(shù)為（

）

A．100° B．110° C．120° D．130°【變式5-1】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，它的3個(gè)外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度數(shù)之比為1:2:4，則∠D=．【變式5-2】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，CE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E，連接AC、BD，CD平分∠BDE．(1)求證：CA=CB；(2)若點(diǎn)B為CAD的中點(diǎn)，DE=2，CE=6時(shí)，求【變式5-3】（2025·安徽六安·三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC是⊙O的直徑，BD平分∠ABC，連接BO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接DE并延長交BA延長線于點(diǎn)F．(1)求證：AF=BC；(2)若BC=2，求EF的長．【題型6點(diǎn)和圓的位置關(guān)系】【例6】矩形ABCD中，AB＝8，BC=35，點(diǎn)P在邊AB上，且BP＝3AP，如果圓P是以點(diǎn)P為圓心，PDA．點(diǎn)B、C均在圓P外； B．點(diǎn)B在圓P外、點(diǎn)C在圓P內(nèi)；C．點(diǎn)B在圓P內(nèi)、點(diǎn)C在圓P外； D．點(diǎn)B、C均在圓P內(nèi)．【變式6-1】（24-25九年級上·廣東江門·期末）如圖，在⊙O中，弦MN的長為23，點(diǎn)A在⊙O上，MN⊥OA,∠ANM=30°．若⊙O所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，且OP=2，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（

A．點(diǎn)P在⊙O上 B．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) C．點(diǎn)P在⊙O外 D．無法確定【變式6-2】點(diǎn)P是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則⊙O的半徑是．【變式6-3】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D為AB的中點(diǎn)．以A為圓心，r為半徑作⊙A，若B、C、D三點(diǎn)中只有一點(diǎn)在⊙A內(nèi)，則⊙A的半徑r的取值范圍是（

A．2.5<r≤4 B．2.5<r<4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r<4【題型7直線和圓的位置關(guān)系】【例7】（2025·廣東廣州·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是AB邊上的高，AB=4，若圓D是以點(diǎn)D為圓心，1.4為半徑的圓，那么圓D與直線ACA．相切 B．相離 C．相交 D．不能確定【變式7-1】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，若以C為圓心，r長為半徑的圓C與邊AB有交點(diǎn)，那么r的取值范圍是（

A．5≤r≤12或r=6013 C．6013<r<12 【變式7-2】在直角坐標(biāo)系xOy中，對于直線l：y＝kx+b，給出如下定義：若直線l與某個(gè)圓相交，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(?1,0)，若⊙M的半徑為2，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值為22，則b【變式7-3】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=5，BC=12．分別以點(diǎn)O、D為圓心畫圓，如果⊙O與直線AD相交、與直線CD相離，且⊙D與⊙O內(nèi)切，那么⊙D的半徑長r的取值范圍是（

）

A．12<r<4 B．52<r<6 C．【題型8切線的判定與性質(zhì)】【例8】（2025·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，P為⊙O外一點(diǎn)，OP∥AC，且∠OBP=90°，連接(1)求證：PC與⊙O相切；(2)若AO=3，OP=5，求AC的長．【變式8-1】（2025·貴州·中考真題）如圖，在⊙O中，∠ACB是直角，D為BC的中點(diǎn)，DE為⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)E．連接CD，BD．(1)點(diǎn)O與AB的位置關(guān)系是，線段CD與線段BD的數(shù)量關(guān)系是；(2)過E點(diǎn)作EF⊥AE，與AD的延長線交于點(diǎn)F．根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，判斷△DEF的形狀，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若⊙O的半徑為3,DE=4，求CD的長．【變式8-2】（2025·湖北·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC=45°．過點(diǎn)O作DF⊥AB，垂足為E，交AC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)F．過點(diǎn)F作⊙O的切線，交CA的延長線于點(diǎn)G．(1)求證：FD=FG；(2)若AB=12,FG=10，求⊙O的半徑．【變式8-3】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)A，B在⊙O上，連接OC，OD．(1)如圖1，求證：OC=OD；(2)如圖2，點(diǎn)E在⊙O上，DE∥OC，求證：DA平分(3)如圖3，在(2)的條件下，DE與⊙O相切，OD交⊙O于點(diǎn)F，點(diǎn)G在BF?上，F(xiàn)G?=AE?，連接BG，若BG=3【題型9切線長定理】【例9】如圖，過⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，PO與AB交于點(diǎn)D，與AB弧交于點(diǎn)E，AC為⊙O的直徑．若PA=AB，BC=6，則DE的長為（

）A．2 B．3 C．3 D．3【變式9-1】（2025·山東德州·二模）如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的內(nèi)切圓，點(diǎn)M，N，F(xiàn)分別是邊AE，AB，CD與⊙O的切點(diǎn)，則∠MFN的度數(shù)為（

）A．36° B．35° C．34° D．33°【變式9-2】（2025·四川攀枝花·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F,∠DOE=120°，∠EOF=150°．(1)求△ABC的三個(gè)內(nèi)角的大??；(2)設(shè)⊙O的直徑為d，證明：d=AB+AC?BC．【變式9-3】（2025·廣東廣州·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為6，以邊BC為直徑在正方形ABCD內(nèi)部作半圓，圓心為O，過點(diǎn)A作半圓的切線，與半圓相切于點(diǎn)F，與DC相交于點(diǎn)E，則AE=．【題型10三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心】【例10】如圖，邊長為a的正三角形的內(nèi)切圓半徑是（

）A．36a B．33a C．【變式10-1】（25-26九年級上·黑龍江綏化·開學(xué)考試）如圖點(diǎn)O為△ABC的外心，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，∠BOC=160°，則∠BIC的度數(shù)為（

）A．110° B．125° C．130° D．140°【變式10-2】（24-25九年級上·四川自貢·期末）如圖，AB是⊙O的直徑，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，CE的延長線與⊙O交于點(diǎn)D,F是BC上任意一點(diǎn)，連接AD,BD,BF,CF．(1)若∠F=110°，求∠ABC的度數(shù)：(2)若AC=CF，∠BCF=α，∠F=β，請直接寫出α與(3)找出圖中所有與DE相等的線段，并證明．【變式10-3】（24-25九年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖1，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點(diǎn)I是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若∠BIC=90°+12∠BAC且BI(1)求證：點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心；(2)如圖2：直接寫出答案：△ABC外接圓的半徑r=___________；△ABC的內(nèi)心I與外心O的距離l=___________．【題型11正多邊形與圓】【例11】BCDE內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AE的延長線于點(diǎn)F．則∠F的度數(shù)為．【變式11-1】（2025·河南濮陽·二模）如圖，AB是⊙O內(nèi)接正n邊形的一條邊，點(diǎn)C在⊙O上，∠ACB=30°，則n=（

）A．4 B．6 C．8 D．12【變式11-2】（24-25九年級上·寧夏吳忠·期末）僅用無刻度的直尺作圖，是一種考查靈活運(yùn)用圖形性質(zhì)和判定的繪圖方式，按要求完成下面僅用無刻度的直尺作圖的題目：(1)如圖①，在⊙O內(nèi)，作任意兩條直徑AB、CD，順次連接A、C、B、D，則畫出了⊙O的一個(gè)內(nèi)接矩形，請說明理由；(2)如圖②，AB是⊙O的直徑，CD是弦，且AB∥CD，畫出⊙O的內(nèi)接正方形．（保留畫圖痕跡，不寫作法）【變式11-3】（24-25九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖所示的網(wǎng)格由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成，網(wǎng)格中，O、A都是格點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，僅用無刻度的直尺完成以下畫圖；(1)在圖①中畫⊙O的一個(gè)內(nèi)接正六邊形ABCDEF．(2)在圖②中畫⊙O的一個(gè)內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH．(3)圖②中正八邊形ABCDEFGH的面積為______．【題型12弧長的計(jì)算】【例12】（2025·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，直線l1∥l2，直線m分別交l1、l2于點(diǎn)A、B，以A為圓心，AB長為半徑畫弧，分別交l2、l1于直線A．5π B．4π C．72【變式12-1】（2025·遼寧·中考真題）如圖，在△ABC中，AC=BC，以AB為直徑作⊙O，與AC相交于點(diǎn)D．連接OC，與⊙O相交于點(diǎn)E．(1)如圖1，連接DE，求∠ADE的度數(shù)；(2)如圖2，若點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，且AC=6，求DE的長．【變式12-2】（2025·河北·中考真題）如圖1，圖2，正方形ABCD的邊長為5．扇形OEF所在圓的圓心O在對角線BD上，且不與點(diǎn)D重合，半徑OE=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，DE=DF(DE≥2)，扇形OEF的弧交線段OB于點(diǎn)M，記為EMF．(1)如圖1，當(dāng)AE=3時(shí)，求∠EMF的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)四邊形OEMF為菱形時(shí)，求DE的長；(3)當(dāng)∠EOF=150°時(shí)，求EMF的長．【變式12-3】（2025·四川涼山·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O,∠B=65°,∠C=70°，若BC=22，則BC的長為【題型13扇形面積的計(jì)算】【例13】（2025·江蘇南通·二模）如圖，矩形ABCD中，AB=42，AD=2，以AB為直徑作半圓O，則圖中陰影部分的面積是（

A．4π?8 B．2π?4 C．43π?8【變式13-1】（24-25九年級上·廣東韶關(guān)·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=8cm，把△ABC以點(diǎn)B為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊的延長線上點(diǎn)C′處，則ACA．16π B．12π C．8π D．4π【變式13-2】（2025·山東青島·中考真題）如圖，在扇形AOB中，∠AOB=30°，OA=23，點(diǎn)C在OB上，且OC=AC．延長CB到D，使CD=CA．以CA，CD為鄰邊作平行四邊形ACDE，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π【變式13-3】（24-25九年級上·湖北荊門·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O?B的坐標(biāo)分別為0,0?3,0，將△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得△OA(1)畫出△OA′B(2)求旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)B所經(jīng)過路徑BB(3)求線段OA在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的平面圖形的面積【題型14圓錐的側(cè)面積】【例14】綜合與實(shí)踐主題：制作圓錐形生日帽．素材：一張圓形紙板、裝飾彩帶．步驟1：如圖1，將一個(gè)底面半徑為r的圓錐側(cè)面展開，可得到一個(gè)半徑為l、圓心角為n°的扇形．制作圓錐形生日帽時(shí)，要先確定扇形的圓心角度數(shù)，再度量裁剪材料．步驟2：如圖2，把剪好的紙板粘合成圓錐形生日帽．在制作好的生日帽中，AB=6cm，l=6cm，C是PB的中點(diǎn)，現(xiàn)要從點(diǎn)A到點(diǎn)C再到點(diǎn)【變式14-1】（2025·浙江溫州·二模）如圖，圓錐的底面半徑OB=5，高OA=12，該圓錐的側(cè)面積是（

）A．60π B．85π C．65π【變式14-2】（2025·江蘇徐州·二模）圓錐的底面圓半徑為2，將該圓錐沿其某條母線剪開后，其側(cè)面展開圖是扇形，若扇形的半徑為5，則該扇形的圓心角是°．【變式14-3】在一次科學(xué)探究實(shí)驗(yàn)中，小明將半徑為5cm(1)取一漏斗，上部的圓錐形內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）的母線OB長為6cm，開口圓的直徑為6cm．當(dāng)濾紙片重疊部分三層，且每層為(2)假設(shè)有一特殊規(guī)格的漏斗，其母線長為6cm，開口圓的直徑為7.2【拔尖篇】【題型15圓與函數(shù)的綜合】【例15】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M在x軸的正半軸上，⊙M交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C、D兩點(diǎn)，且C為弧AE的中點(diǎn)，AE交y軸于G點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為?1,0，AE=4．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)．(2)過點(diǎn)C作⊙M的切線交x軸于F點(diǎn)，求直線CF的解析式．【變式15-1】如圖，OA在x軸上，OB在y軸上，OA＝4，OB＝3，點(diǎn)C在邊OA上，AC＝1，⊙P的圓心P在線段BC上，且⊙P與邊AB，AO都相切．若反比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象經(jīng)過圓心P，則k的值是（）

A．?54 B．?53 【變式15-2】平面上兩點(diǎn)間距離公式是解析幾何中重要的公式之一，如圖所示，P1x1,y已知道⊙O半徑為3，（1）如圖1，Px,y為圓上任意一點(diǎn)，請?zhí)骄縳，y（2）如圖2，已知Qa,b，QA為⊙O切線，B2,?1，且QA=QB，求b關(guān)于（3）如圖3，M點(diǎn)坐標(biāo)?5,0，在x軸上是否存在點(diǎn)N（不同于點(diǎn)M），滿足對于⊙O上任意一點(diǎn)P，都有PNPM為一常數(shù)，若存在求出N【變式15-3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x與雙曲線y=kx交于A，B兩點(diǎn)，其中A的坐標(biāo)為（1，a），P是以點(diǎn)C（-2，2）為圓心，半徑長為1的圓上一動點(diǎn)，連接AP，Q為(1)求雙曲線的解析式：(2)將直線y=x向上平移m（m>0）個(gè)單位長度，若平移后的直線與⊙C相切，求m的值(3)求線段OQ長度的最大值.【題型16圓與格點(diǎn)作圖】【例16】（2025九年級下·江西南昌·學(xué)業(yè)考試）如圖1、圖2是4×4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作弦AB的圓心角．(2)在圖2中作弦AB的圓周角，使圓周角的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．【變式16-1】（2025·吉林·中考真題）圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)△ABC內(nèi)接于⊙O，且點(diǎn)A，B，C，O均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．(1)在圖①中找一個(gè)格點(diǎn)D（點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合），畫出∠ADB，使∠ADB=∠ACB．(2)在圖②中找一個(gè)格點(diǎn)E，畫出∠AEC，使∠AEC+∠ABC=180°．【變式16-2】（2025·天津·三模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，F(xiàn)，G均在格點(diǎn)上．（1）線段AG的長為；（2）點(diǎn)E在水平網(wǎng)格線上，過點(diǎn)A，E，F(xiàn)作圓，經(jīng)過圓與水平網(wǎng)格線的交點(diǎn)作切線，分別與AE，AF的延長線相交于點(diǎn)B，C，△ABC中，點(diǎn)M在邊BC上，點(diǎn)N在邊AB上，點(diǎn)P在邊AC上．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)M，N，P，使△MNP的周長最短，并簡要說明點(diǎn)M，N，P的位置是如何找到的（不要求證明）【變式16-3】（24-25九年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，由小正方形組成的7×7網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．(1)在圖①中，A、B、C三點(diǎn)是格點(diǎn)，請你畫出經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心O，并在AB?上作點(diǎn)D，使AD=AC(2)在圖②中，⊙O經(jīng)過格點(diǎn)A、格點(diǎn)B和格點(diǎn)C，圓心O也在格點(diǎn)上，點(diǎn)D是⊙O和網(wǎng)格線的交點(diǎn)，連接AB，BD，請?jiān)贏D上作點(diǎn)E，使BE平分∠ABD，并在BC上作點(diǎn)F，使得CF∥BD．【題型17圓中的最值問題】【例17】如圖，⊙O半徑為2，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在ADC上運(yùn)動，連接BE，作AF⊥BE，垂足為F，連接CF．則CF長的最小值為（

）A．5?1 B．1 C．2?1 【變式17-1】（24-25九年級下·甘肅嘉峪關(guān)·開學(xué)考試）如圖，在直徑為AB的半圓O中，C為半圓弧上的一點(diǎn)，連接AC，將劣弧AC沿弦AC折疊交直徑AB于點(diǎn)D，取劣弧AD的中點(diǎn)為E，連接OE．已知AB=2，則點(diǎn)E與圓心O距離的最小值為（

）

A．12 B．2?1 C．2?2【變式17-2】如圖，MN為⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，過A作AC⊥MN于點(diǎn)C，過B作BD⊥MN于點(diǎn)D，P為DC上的任意一點(diǎn)，若MN=26,AC=12,BD=5，則PA+PB的最小值為（

）A．152 B．172 C．173【變式17-3】（25-26九年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，已知⊙O的半徑為2，P是⊙O外一點(diǎn)，PO=5，點(diǎn)A、B在⊙O上，且滿足BP=BA，則線段PA的最大值是，最小值是．【題型18圓中的定值問題】【例18】（24-25九年級上·全國·期末）在直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸上，A點(diǎn)的坐標(biāo)為0,4．(1)將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到正方形ODEF，邊DE交BC于G．求G點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，⊙O1與正方形ABCO四邊都相切，直線MQ切⊙O1于點(diǎn)P，分別交y軸、x軸、線段BC于點(diǎn)M、N、Q．求證：(3)若H?4,4，T為CA延長線上一動點(diǎn)，過T、H、A三點(diǎn)作⊙O2，AS⊥AC交⊙O2于S．當(dāng)T【變式18-1】（24-25九年級上·福建福州·期中）如圖直角坐標(biāo)系中，以M3,0為圓心的⊙M交x軸負(fù)半軸于A，交x軸正半軸于B，交y軸于C、D兩點(diǎn)，過C作⊙M的切線CE，過A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，當(dāng)⊙M的半徑從小變大時(shí)，AN的長度（

A．不變 B．逐漸變大C．不規(guī)則變化 D．逐漸趨近一個(gè)定值【變式18-2】如圖1，點(diǎn)G為等邊△ABC的重心，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，連接GD并延長至點(diǎn)O，使得DO=DG，連接GB，GC，OB，OC

(1)求證：四邊形BOCG為菱形．(2)如圖2，以O(shè)點(diǎn)為圓心，OG為半徑作⊙O①判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并予以證明．②點(diǎn)M為劣弧BC上一動點(diǎn)（與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合），連接BM并延長交AC于點(diǎn)E，連接CM并延長交AB于點(diǎn)F，求證：AE+AF為定值．【變式18-3】（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖1，⊙O的半徑為2，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，∠AOB=120°，C是AB的中點(diǎn)．(1)∠ACB=_______________度；并求陰影部分的面積；(2)若點(diǎn)P在⊙O上，且△APB是直角三角形，請?jiān)趫D1中畫出點(diǎn)P的所有位置；(3)如圖2，弦MN的端點(diǎn)在優(yōu)弧AB上滑動（不與A、B重合），且MN=23，連接CM、CN分別交OA、OB于點(diǎn)E、F．當(dāng)弦MN的端點(diǎn)在優(yōu)弧AB上滑動時(shí)，探討四邊形CEOF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出四邊形CEOF(4)如圖3，過點(diǎn)A作射線AX⊥AB，AX交⊙O于點(diǎn)G，D是平面內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，且DG=1，Q為BD的中點(diǎn)．直接寫出線段AQ長度的最大值與最小值的差．【題型19隱圓問