長(zhǎng)征中學(xué)2025學(xué)年第一學(xué)期高三期中測(cè)試數(shù)學(xué)學(xué)科試卷(時(shí)間120分鐘,滿分150分)2025.11一、填空題(本大題滿分54分)本大題共有12題,1-6每題4分,7-12每題5分.考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果,每個(gè)空格填對(duì)得分,否則一律得零分.1.已知集合，且，則_____.2.不等式的解集是_____.3.函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)_____.4.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且該函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)_____.5.已知,試用表示_____.6.在中，若，，，則的長(zhǎng)為_____.7.已知函數(shù)若，則_____.8.通過(guò)三角不等式可知，則等號(hào)成立的條件為_____.9.已知，則_____.10.設(shè)，則的最小值為_____.11.已知函數(shù)的值域?yàn)?若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為_____.12.已知集合是正整數(shù),若集合中的元素個(gè)數(shù)為4,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____.二、選擇題(本大題滿分18分)本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上,將代表答案的小方格涂黑,13-14每題4分,15-16每題5分,選對(duì)得分,否則一律得零分.13.已知函數(shù)的圖像如圖所示,則函數(shù)的表達(dá)式可能為().A.B.C.D.①若，則；②若，則；③若，則.A.3B.2C.1D.015.在中，以下與“”不等價(jià)的是().A.B.C.D.16.已知函數(shù)，若函數(shù)在上的所有零點(diǎn)依次為,且,則的值為().A.B.C.D.三.解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題,解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.(本題滿分14分，第(1)題6分，第(2)題8分).已知函數(shù),其中.若函數(shù)的定義域?yàn)榧?集合，且.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明:函數(shù)是奇函數(shù)但不是偶函數(shù).18.(本題滿分14分，第(1)題6分，第(2)題8分).已知四棱錐的底面是正方形，平面.(1)設(shè)平面平面，求證:；(2)求證:平面平面.19.(本題滿分14分)本題共2小題,第(1)小題6分,第(2)小題8分.設(shè).(1)若，解關(guān)于不等式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有極大值，求的取值范圍.20.(本題滿分18分，第(1)題4分，第(2)題6分，第(3)題8分).如圖,有一塊矩形鐵皮,其中米,米,其中,是一個(gè)大于等于4的常數(shù).陰影部分是一個(gè)半徑為3米的扇形.設(shè)這個(gè)扇形已經(jīng)銹蝕不能使用,但其余部分均完好.工人師傅想在未被銹蝕的部分截下一塊其邊落在與上的矩形鐵皮,使點(diǎn)在弧上.設(shè),矩形的面積為平方米.(1)求這塊鐵皮的可用部分的面積；(2)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)時(shí)，求的最值，并求出當(dāng)取得最值時(shí),所對(duì)應(yīng)的的值.21.(本題滿分18分，第(1)題4分，第(2題6分，第(3)題8分).定義:若函數(shù)與的圖像上分別存在點(diǎn),使得當(dāng)時(shí)有成立,則稱函數(shù)與具有“對(duì)稱互補(bǔ)”關(guān)系.(1)判斷函數(shù)與是否具有“對(duì)稱互補(bǔ)”關(guān)系，并說(shuō)明理由;(2)若函數(shù)與在給定定義域區(qū)間上具有“對(duì)稱互補(bǔ)”關(guān)系,且存在唯一的點(diǎn)對(duì)滿足條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(3)若函數(shù)，，不具有“對(duì)稱互補(bǔ)”關(guān)系，求實(shí)數(shù)的取值范圍；長(zhǎng)征中學(xué)2025學(xué)年第一學(xué)期高三期中測(cè)試數(shù)學(xué)學(xué)科試卷(時(shí)間120分鐘,滿分150分)2025.11一、填空題(本大題滿分54分)本大題共有12題,1-6每題4分,7-12每題5分.考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果,每個(gè)空格填對(duì)得分,否則一律得零分.1.已知集合，且，則_____.解析：2.不等式的解集是_____.解析：由解得或.解集為.3.函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)_____.解析：令,得,此時(shí)所以函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)4.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且該函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)_____.解析：解得或因?yàn)樵摵瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，不符；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，符合；所以5.已知,試用表示_____.解析：因?yàn)?，所以，所?.在中，若，，，則的長(zhǎng)為_____.解析：由余弦定理可得帶入解得7.已知函數(shù)若，則_____.解析：1.當(dāng)時(shí)此時(shí)但此時(shí)不滿足這個(gè)條件，所以這種情況舍去。2.當(dāng)時(shí)此時(shí)滿足這個(gè)條件，所以是符合條件的解。綜上,8.通過(guò)三角不等式可知，則等號(hào)成立的條件為_____.解析：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等所以等號(hào)成立的條件為9.已知，則_____.解析：10.設(shè)，則的最小值為_____.解析：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等11.已知函數(shù)的值域?yàn)?若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為_____.解析：由題知又的解集為所以代入得12.已知集合是正整數(shù),若集合中的元素個(gè)數(shù)為4,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____.解析：當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)由得,當(dāng)時(shí)因?yàn)榧现兄挥?個(gè)元素，故.二、選擇題(本大題滿分18分)本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上,將代表答案的小方格涂黑,13-14每題4分,15-16每題5分,選對(duì)得分,否則一律得零分.13.已知函數(shù)的圖像如圖所示,則函數(shù)的表達(dá)式可能為().A.B.C.D.解析：函數(shù)圖象的識(shí)別十函數(shù)的奇偶性由題圖可知函數(shù)的定義域,且為偶函數(shù),易得與均為奇函數(shù),排除選項(xiàng).由題圖可知當(dāng)時(shí),,易得當(dāng)時(shí),,排除故選D.①若，則；②若，則；③若，則.A.3B.2C.1D.0解析：對(duì)①，對(duì)于指數(shù)函數(shù)，它在定義域上是減函數(shù)。已知，根據(jù)減函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)自變量增大時(shí)，函數(shù)值減小，所以，故命題①錯(cuò)誤。對(duì)②對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)，它在定義域上是減函數(shù)。已知，根據(jù)減函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)自變量增大時(shí)，函數(shù)值減小，所以，故命題②正確。對(duì)③對(duì)于冪函數(shù)，其定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增。已知，根據(jù)增函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)自變量增大時(shí)，函數(shù)值增大，所以，故命題③正確。綜上，命題②③正確，正確的命題有2個(gè)；故選B.15.在中，以下與“”不等價(jià)的是().A.B.C.D.解析：不妨取與矛盾故選B.16.已知函數(shù)，若函數(shù)在上的所有零點(diǎn)依次為,且,則的值為().A.B.C.D.解析：令，可得，即函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，又的周期為，令，可得，所以函數(shù)在上有9條對(duì)稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，，，，，(最后一條對(duì)稱軸為函數(shù)的最大值點(diǎn)，應(yīng)取前一條對(duì)應(yīng)的對(duì)稱軸)，將以上各式相加得，,故選C.三.解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題,解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.(本題滿分14分，第(1)題6分，第(2)題8分).已知函數(shù),其中.若函數(shù)的定義域?yàn)榧?集合，且.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明:函數(shù)是奇函數(shù)但不是偶函數(shù).解析：(1)因?yàn)榍?(2)由(1)可知函數(shù)的定義域，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。計(jì)即，為奇函數(shù)；假設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，則對(duì)于定義域內(nèi)的任意，都有。由，，顯然(當(dāng)時(shí))，所以函數(shù)不是偶函數(shù).因此，函數(shù)是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)。18.(本題滿分14分，第(1)題6分，第(2)題8分).已知四棱錐的底面是正方形，平面.(1)設(shè)平面平面，求證:；(2)求證:平面平面.解析：(1)因?yàn)槭钦叫嗡砸驗(yàn)槠矫?，不在平面所以平面因?yàn)槠矫嫫矫嫠?2)因?yàn)槠矫嫠砸驗(yàn)槭钦叫嗡砸驗(yàn)樗云矫嫠云矫嫫矫?19.(本題滿分14分)本題共2小題,第(1)小題6分,第(2)小題8分.設(shè).(1)若，解關(guān)于不等式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有極大值，求的取值范圍.解析：(1)由題意知,解得所以由得令則在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增,又,所以由得可得所以的解集為(2)當(dāng)時(shí),令,解得或①當(dāng)，即時(shí)，若，則；若，則；若，則.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,此時(shí)在處取得極大值②當(dāng),即時(shí),若,則;若,則;若,則所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,此時(shí)在處取得極大值③當(dāng),即時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)無(wú)極值.④當(dāng)，即時(shí)，若，則；若，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無(wú)極大值.綜上可得的取值范圍為20.(本題滿分18分，第(1)題4分，第(2)題6分，第(3)題8分).如圖,有一塊矩形鐵皮,其中米,米,其中,是一個(gè)大于等于4的常數(shù).陰影部分是一個(gè)半徑為3米的扇形.設(shè)這個(gè)扇形已經(jīng)銹蝕不能使用,但其余部分均完好.工人師傅想在未被銹蝕的部分截下一塊其邊落在與上的矩形鐵皮,使點(diǎn)在弧上.設(shè),矩形的面積為平方米.(1)求這塊鐵皮的可用部分的面積；(2)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)時(shí)，求的最值，并求出當(dāng)取得最值時(shí),所對(duì)應(yīng)的的值.解析：(1)可用部分的面積為(2)過(guò)作，垂足為，由題意可得:故.所以矩形的面積.(3)此時(shí),故.等號(hào)取到當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以解得或.所以的最小值是，當(dāng)取得最小值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的的值是或.21.(本題滿分18分，第(1)題4分，第(2題6分，第(3)題8分).定義:若函數(shù)與的圖像上分別存在點(diǎn),使得當(dāng)時(shí)有成立,則稱函數(shù)與具有“對(duì)稱互補(bǔ)”關(guān)系.(1)判斷函數(shù)與是否具有“對(duì)稱互補(bǔ)”關(guān)系，并說(shuō)明理由;(2)若函數(shù)與在給定定義域區(qū)間上具有“對(duì)稱互補(bǔ)”關(guān)系,且存在唯一的點(diǎn)對(duì)滿足條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(3)若函數(shù)，，