期末重難點(diǎn)特訓(xùn)（四）之壓軸滿分題型專訓(xùn)

旨【題型目錄】

題型一二次根式的混合計(jì)算壓軸題

題型二二次根式與幾何圖形綜合的壓軸題

題型三用勾股定理解三角形壓軸題

題型四勾股定理逆定理的應(yīng)用壓軸題

題型五最短路徑問題壓軸題

題型六平行四邊形的存在性壓軸題

題型七特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定壓軸題

題型八四邊形中的動(dòng)點(diǎn)類壓軸題

題型九四邊形中的最值類壓軸題

題型十與三角形中位線有關(guān)的求解壓軸題

題型十——次函數(shù)的圖象與性質(zhì)壓軸題

題型十二一次函數(shù)中的幾何壓軸題

題型十三一次函數(shù)的應(yīng)用壓軸題

【壓軸題型一二次根式的混合計(jì)算壓軸題】

1.（2023春?江蘇?八年級專題練習(xí)）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另

一個(gè)式子的平方，如3+2上=（1+及丁，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：

若設(shè)a++n五）=m2+2n2+2mn6（其中?！ň鶠檎麛?shù)），則有a=m2+2/,b=2mn.這

樣小明就找到了一種把類似a+力行的式子化為平方式的方法，清你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

（I）若。+6行=（加+小?！海?dāng)?！ň鶠檎麛?shù)時(shí)，用含〃7、〃的式子分別表示。、6,得：。=,

b=；

⑵若a+6x/J=何+〃6『，且明”、〃均為正整數(shù)，求。的值；

（3）化簡下列各式：

①、/5+2及

②、6-2面

③『4-J10+2西+J4+J10+需?

2.（2022秋?四川資陽?九年級?？茧A段練習(xí)）在日常生活中，有時(shí)并不要求某個(gè)量的準(zhǔn)確值，而只需求出它

的整數(shù)部分.如今天是星期一，還有55天中考?，問中考前還有多少個(gè)星期一、容易知m=7亨，但答案并

不是將小數(shù)部分四舍五入得到8,而是75的整數(shù)部分7,所以有7個(gè)星期一、為了解決某些實(shí)際問題，我

們定義一種運(yùn)算——取一個(gè)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，即取出不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).在數(shù)軸上就是取出實(shí)數(shù)x

對應(yīng)的點(diǎn)左邊最接近的整數(shù)點(diǎn)(包括x本身)，簡稱取整，記為㈤.這里國="-"，國+a=x,其中國是一

個(gè)整數(shù)，。稱為實(shí)數(shù)x的小數(shù)部分，記作{ZJ,所以有尸國+億,}.例如，[-14.3]=-15,{Zw}=0.45.

關(guān)于取整運(yùn)算有部分性質(zhì)如下：

①<[x],x

②若〃為整數(shù)，則卜+〃]=口〕+〃

請根據(jù)以上材料，解決問題：

(1)[x/10]=；若加=[一幻，"={Z_J,則〃/+mn=;

⑵記入念?+屠丁土TT醞：時(shí)，求阿；

(3)解方程：盧/]=鋁.

3.(2023春?浙江?八年級專題練習(xí))閱讀下列材料，然后回答問題.

2

①在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如石不一樣的式子,其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡:

高=總徵5=嗎=0=百一]以上這種化簡的步驟叫做分母有理化

②學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計(jì)算，比

如我們熟悉的下面這個(gè)題：已知/方=2,ab=-3,求我們可以把“+/,和他看成是一個(gè)整體，令

x=a+b,y=ab,則/+/=(a+/))2-2t=/-2y=4+6=10.這樣，我們不用求出a,b,就可以得到

最后的結(jié)果.

⑴T算：#+J石+6+萬+石+…+J2519+,2017；

(2)〃？是正整數(shù)，,b=叵I十型且2。2+1823—+2〃=2019求m.

V+1+yjmyjm+1-y/ni

(3)已知川5+》2-J26-V=1，求/15+/+，26--的值.

【壓軸題型二二次根式與幾何圖形綜合的壓軸題】

1.12023春?全國?八年級階段練習(xí)）正方形/18CQ在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，4）//6C〃x軸，AD

與『軸交于點(diǎn)E,OE=\,且4E,QK的長滿足J〉E—3+pE—l|=0.

（1）求點(diǎn)力的坐標(biāo)；

（2）若尸（-4,-1）,求△&>，的面積:

（3）在（2）的條件下，正方形力8。。的邊上是否存在點(diǎn)使4亞二254??？若存在，請直接寫出點(diǎn)〃

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.12023春?湖北宜昌?七年級統(tǒng)考期中）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,力（1,。）、8優(yōu),3）、￡（-2,0）,其中。、

b滿足：/>=V^6+V6^+5.平移線段48得到線段CO,使得C、。兩點(diǎn)分別落在N軸和X軸.匕

(2)如圖1,將點(diǎn)￡向下移動(dòng)1個(gè)單位得到點(diǎn)?，連接尸C、PD,在y軸正半軸上恰有一點(diǎn)。，使得APCO與

△°C。面積相等，求出。點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)如圖2,將圖1中的C、E連接，平移線段CE得到GO,使得GO〃CE,交線段于點(diǎn)/，連接力C、

AF,求△力C尸的面積.

3.12023?河南洛陽?統(tǒng)考二模)閱溟材料：我們學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)。>0,/)>0

時(shí)，有(G+〃)=a-2\/~ab+b>0,：.a+b>2\/ab?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.

請利用上述結(jié)論解決以下問題：

⑴當(dāng)x>()時(shí)，x+，的最小值為；當(dāng)x<0時(shí)，x+1的最大值為；

XX

(2)當(dāng)x>0時(shí)，求y=>+3-16的最小值;

X

(3)如圖，四邊形48co的對角線4C、B力相交于點(diǎn)O,“OB、△COO的面積分別為9和16,求四邊形488

的最小面積.

【壓軸題型三用勾股定理解三角形壓軸題】

1.(2023?江西九江??？寄M預(yù)測)已知》8C,點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)力，B,。重合)，若點(diǎn)P

與4B,C中的某兩點(diǎn)的連線的夾角為直角，則稱點(diǎn)夕為ABC的一個(gè)“勾股點(diǎn)”.

7)

圖(2)

⑴如圖（1）,若點(diǎn)尸是“/AC內(nèi)一點(diǎn)，/力=55。，NABP=10。，4C'尸=25。，試說明點(diǎn)P是小BC的一個(gè)，勾

股點(diǎn)”;

⑵如圖（2）,已知點(diǎn)。是的一個(gè)“勾股點(diǎn)”，NJOC=90。，且NDC8=/D4C,若AO=3CO=3,BC=6,

求48的長：

⑶如圖（3）,在中，ZACB=90°,AC=向，點(diǎn)、D為“BC外一點(diǎn),DB=DA,NBCD/5。,8=3,

點(diǎn)D能否是A8c的“勾股點(diǎn)”，若能，求出4c的長；若不能，請說明理由.

2.（2023春?山東濟(jì)南?八年級統(tǒng)考期中）加圖，在AJAC中，ZB=90°,AB=\6cm.BC=12cm.M、N是“BC

邊二的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)M從點(diǎn)彳出發(fā)，沿4-8方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2cm；點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā),沿B—C—A

方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒4cm；兩點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

（I）?RtAJ5C斜邊4c上的高為一；

②當(dāng)f=2時(shí)，MN的長為；

（2）當(dāng)點(diǎn)N在邊8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，是等腰三角形？

（3）當(dāng)點(diǎn)N在邊力。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出所有能使△8CN成為等腰三角形的/的值.

3.(2023春?重慶南岸?八年級重慶市第H^一中學(xué)校校聯(lián)考期中中，NABC=90°,AD平分ZBAC,

E為/C上一點(diǎn).

圖I圖2

(1)如圖1,過D作DF//交AC于點(diǎn)、F,若DE=DF=3,48=4,求△%￡)戶的面積；

(2)如圖2,若CE=CD,過A作交DE的延長線于點(diǎn)尸，〃為ZU延長線上一點(diǎn)，連接〃E,過戶作

FG工HE交DH于放G,交HE于點(diǎn)、M,且4/=/G,

①猜想△力。尸的形狀，并證明；

②猜想線段〃。與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【壓軸題型四勾股定理逆定理的應(yīng)用壓軸題】

1.(2023秋?四川成都?八年級統(tǒng)考期末)在四邊形”CZ)中,乙%。=90。，AB=AD.

圖1

（1）如圖1,若力B=2,BC=Q，CD=>/6.

①連接8。，試判斷△8CQ的形狀，并說明理由；

②連接力C,過A作力E_L力C,交C。的延長線于點(diǎn)￡,求△4CE的面積；

（2）如圖2,若N88=135。，BC=2后,四邊形川?。。的面積為不，求C。的長.

乙

2.（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）問題背景：如圖1,某車間生產(chǎn)了一個(gè)豎直放在地面上的零件48,過

點(diǎn),4搭了一個(gè)支架4C,測得支架4C與地面成60。角，即N4cB=60。；在/1C的中點(diǎn)。處固定了一個(gè)激光

掃描儀，需要對零件48進(jìn)行掃描，已知掃描光線的張角恒為60。，即/初尸=60。.

問題提出：數(shù)學(xué)興趣小組針對這個(gè)裝置進(jìn)行探究，研究零件4B邊上的被掃描部分（即線段EQ，和未掃到

的部分（即線段/七和線段4廣）之間的數(shù)量關(guān)系.

問題解決：

（1）先考慮特殊情況：

①如果點(diǎn)￡剛好和點(diǎn)力重合，或者點(diǎn)4剛好和點(diǎn)尸重合時(shí)，AE+BFEF（填“>”，"v”或“=”）；

②當(dāng)點(diǎn)石位于特殊位置，比如當(dāng)乙4?！?30。時(shí)，AE+BFEF（填”或“〈”）；

(2)特殊到一般：猜想：如圖2,當(dāng)0。<乙仍￡<60。時(shí)，AE+BFEF,證明你所得到的結(jié)論:

(3)研究特殊關(guān)系：如果BF-EF=4E2，求出空的值.

3.(2023春?八年級單元測試)如圖①，/CQE是四邊形/8CZ)的一個(gè)外角，AD//BC,BC=BD,點(diǎn)、F

在CQ的延長線上，NFAB=/FBA,FG1AE,垂足為G.

(1)求證：

?DC平分4BDE；

@BC+DG=AG.

(2)如圖②，若48=4,BC=3,DG=\.

①求N/尸。的度數(shù)；

②直接寫出四邊形ABCF的面積.

【壓軸題型五最短路徑問題壓軸題】

1.(2023春?浙江?八年級專題練習(xí))如圖，一條河流的8。段長為12km,在8點(diǎn)的正北方4km處有一村莊力，

在。點(diǎn)的正南方2km處有一村莊E,計(jì)劃在40上建一座橋C,使得橋。到月村和￡村的距離和最小.請根

據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)將橋C建在何處時(shí)，可以使得橋。到4村和E村的距離和最??？請?jiān)趫D中畫出此時(shí)。點(diǎn)的位置;

(2)小明發(fā)現(xiàn)：設(shè)8C=x,則CZ)=12-x,則4C+CE=+42+，(12—〃丫+22,根據(jù)(1)中的結(jié)論可以

求出當(dāng)尸時(shí)，VxM+Nz-xy+z?的值最小，且最個(gè)值為

(3)結(jié)合(1)(2)問，請直接寫出下列代數(shù)式的最小值：

①&+9+](24-"+16的最小管：

②2，(X-2)2+4+J(210)2+25的最小值為.

2.(2023春?陜西西安?八年級西安市鐵一中學(xué)校考期中)

(1)問題提出

如圖1,已知點(diǎn)C為線段上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、D作力BJ.BD,ED1BD,連接4C、EC.已知43=2,

DE=1,8。=8,則4C+CE的最小值是

(2)問題探究

加圖2,在四邊形/ACQ中，AD//BC,AD=BC,4？=6,8c=8,AABC=60°,E是四邊形448內(nèi)

一動(dòng)點(diǎn)，且S^EBC=gSAEAD，求E4+ED的最小值.

(3)問題解決

如圖3,已知NN=30。，長度為2的線段。￡在射線上滑動(dòng)，點(diǎn)C在射線M4上，且NC=6,ACOE的兩

圖1圖2圖3

3.（2022秋?江蘇?八年級期末）將』8。（彳8＞力。）沿/。折疊，使點(diǎn)。剛好落在48邊上的點(diǎn)E處.展開

如圖1.

【操作觀察】（1）圖1中，4B=S,AC=6.

①則BE=;

②若=9,則S&ABD=；

【理解應(yīng)用】（2）如圖2,若NC=2NB,試說明：AB=AC+CD；

【拓展延伸】（3）如圖3,若/從fC=60。，點(diǎn)G為月。的中點(diǎn)，且力G=5.點(diǎn)尸是月。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

PG、PC.求（PG+PC『的最小值.

【壓軸題型六平行四邊形的存在性問題】

1.（2022春?廣東湛江?八年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線"y=-x+5與y軸交于點(diǎn)兒

直線￡尸"+力與X軸、y軸分別交于點(diǎn)以-4,0）和點(diǎn)。，直線4與直線4交于點(diǎn)0（2,〃?）.

誓用圖I%用圖2

（I）求直線4的解析式;

(2)若點(diǎn)￡為線段8c上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)￡作所_1.丫軸，垂足為凡且與直線交于點(diǎn)G,當(dāng)EG=6時(shí)，求點(diǎn)

G的坐標(biāo)；

(3)問在平面上是否存在點(diǎn)〃，使得以點(diǎn)兒C,D,"為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，直接寫出所

有滿足條件的點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.(2022春?浙江溫州?八年級?？计谥?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形力4co是平行四邊形，。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)力的坐標(biāo)是(-16,()),線段8c交y軸于點(diǎn)。，點(diǎn)。的坐標(biāo)是(0,8),線段C￡>=6.動(dòng)點(diǎn)尸從

點(diǎn)。出發(fā)，沿射線04的方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒I個(gè)單位的速

(3)當(dāng)4802恰好是等腰三角形時(shí)，求/的值.

3.(2022秋?全國?九年級階段練習(xí))已知，平行四邊形力8CQ中，一動(dòng)點(diǎn)Q在力。邊上，以每秒1cm的速度

從點(diǎn)A向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).

F

Q

圖③

（1）如圖①，運(yùn)動(dòng)過程中，若CP平分/8CO,且滿足8=C產(chǎn)，求。的度數(shù).

（2）如圖②，在（1）問的條件下，連接〃。并延長，與C。的延長線交于點(diǎn)廣，連接"，若/I8=8cm,求尸

的面積.

（3）如圖③，另一動(dòng)點(diǎn)Q在BC邊上,以每秒4cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在BC間往返運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，

當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)。時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（同時(shí)。點(diǎn)也停止），若力。=l2cm,貝卜為何值時(shí)，以P,D,Q,4四點(diǎn)組成

的四邊形是平行四邊形.

【壓軸題型七特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定壓軸題】

1.12022春?江蘇鎮(zhèn)江?八年級統(tǒng)考期末）【問題背景】在矩形紙片48co中，AB=6,BC=10,點(diǎn)、P在邊AB

上，點(diǎn)。在邊8C上，將紙片沿尸。折疊，使頂點(diǎn)月落在點(diǎn)E處.

【初步認(rèn)識】

（1）如圖①，折痕的端點(diǎn)P與點(diǎn)4重合.

①當(dāng)/。。￡=50。時(shí)，4AQB=.②若點(diǎn)E恰好在線段0。上，則8。的長為.

【深入思考】

（2）點(diǎn)￡恰好落在邊力。上.

①詩在圖②中用無刻度的直尺和圓規(guī)作出折痕尸。；（不寫作法，保留作圖痕跡）

②如圖③，過點(diǎn)￡■作葉〃川?交做于點(diǎn)巴連接外請根據(jù)題意，補(bǔ)全圖③并證明四邊形P8FE是菱形；

③在②的條件下，當(dāng)力￡=3時(shí)，菱形P8尸上的邊長為,8。的長為.

【拓展提升】

(3)如圖④，若。。_LP。，連接。E.當(dāng)△。上。是以。。為腰的等腰三角形時(shí)，求8。的長.

③

2.(2022春?廣東廣州?八年級校聯(lián)考期中)在正方形48co中，點(diǎn)七是。。邊上任意一點(diǎn).連接力上，過點(diǎn)B

作8F工4E于F.交4D于H.

⑴如圖1,過點(diǎn)。作。G_L/E于G,求證：“FB處DGA；

(2)如圖2,點(diǎn)石為C。的中點(diǎn)，連接。尸，求證：FH+FE=6DF;

(3)如圖3,AB=\,連接EH,點(diǎn)、P為EH的中點(diǎn),在點(diǎn)上從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。的過程中，點(diǎn)P隨之運(yùn)動(dòng)，請

直接寫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長.

3.（2022春?江蘇南通?八年級校考期中）【探究與證明】

在正方形力4。中，G是射線4c上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)力，。重合），連接〃G,作4"_LBG,且使BH=BG,

連接G〃、CH.

（I）如圖1,若點(diǎn)G在4C上,則：

①圖中與△48G全等的三角形是：

②線段/G,CG,G"之間的數(shù)最關(guān)系是:

（2）如圖2,若G在力C的延長線上，那么線段4G,CG,8G之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，并給出

證明.

【壓軸題型八四邊形中的動(dòng)點(diǎn)類壓軸題】

1.（2022秋?陜西西安?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知在正方形48C。中，/8=2,點(diǎn)￡為對角線力。上

一動(dòng)點(diǎn)，連接。石，過點(diǎn)￡作石尸_L。石，交8C于點(diǎn)尸，以?！?E尸為鄰邊作矩形。石尸G,連接CG.

(1)求4c的長；

(2)探究：CE+CG的值是不是定值？若是，請求出這個(gè)定值，若不是，請說明理由.

2.(2022秋?浙江溫州?八年級校考期中)如圖1,A/18C中，力8=￡,點(diǎn)N為4C中點(diǎn)，點(diǎn)。為上一

點(diǎn)，連結(jié)CQ.已知3。：/。:。。=2:3:4,8=8.動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)6出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿線段%i向

終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/(秒).

(1)求證：CO_L48.

(2)若△8PN為等腰三角形時(shí)，求f的值.

(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)p出發(fā)的同時(shí)，另有一點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)沿線段Z)C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為:個(gè)單位/秒，連

結(jié)BQJ。,將線段8。,PQ繞點(diǎn)0分別向順時(shí)針和逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到線段。E和。八當(dāng)EC/三

點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出，的值為

3.(2022秋?山東濟(jì)南?九年級?？茧A段練習(xí))在正方形48CO中，動(dòng)點(diǎn)E,尸分別從。，。兩點(diǎn)同時(shí)山發(fā),

以相同的速度在直線QC，C8卜?移動(dòng).

圖3

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E自O(shè)向。，點(diǎn)F自C向8移動(dòng)時(shí)，連接力E和。尸交于點(diǎn)尸，請寫出力￡與。尸的關(guān)系,

并說明理由;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)/分別移動(dòng)到邊。C,C8的延長線上時(shí)，連接力七和。尸，(1)中的結(jié)論還成立嗎？(請

直接回答“成立”或“不成立”，無需證明)

(3)如圖3,當(dāng)E,/分別在CO,BC的延長線上移動(dòng)時(shí)，連接4E和。尸，(1)的結(jié)論還成立嗎？請說明理

由.

【壓軸題型九四邊形中的最值類壓軸題】

1.(2022秋?廣東深圳?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在長方形力88中，AB//CD,BC//AD,D4=90°,A8=6,

力。=8,點(diǎn)P在邊4。上，且不與點(diǎn)8、。重合，直線/P與。。的延長線交于點(diǎn)￡.

(1)當(dāng)點(diǎn)尸是8C的中點(diǎn)時(shí)，求證：AABPdECP；

(2)將&APB沿直線AP折疊得到“PB，，點(diǎn)B'落在長方形ABCD的內(nèi)部，延長夕方交直線AD于點(diǎn)F.

①證明"=并求出在(1)條件下力廠的值；

②連接B'C,直接寫出△PC*周長的最小值.

2.(2022秋?浙江寧波?八年級?？计谥?(1)如圖1,在等腰RtA/BC中，AC=BC=4,4c8=90。，D

是8C邊的中點(diǎn)，￡■是邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EC+EQ的最小值是.

圖1圖2圖3

(2)如圖2,在正“8C中，43=4,P、M、N分別是6C,C4相上的動(dòng)點(diǎn)，

①PM+MN的最小值為；②求PM+MN+NP的最小值.

(3)如圖3,正方形ABCD的邊長為4,E、F分別是邊AB和8C上的動(dòng)點(diǎn)且始終滿足4E=BF,連結(jié)DE,DP,

求。E+。月的最小值.

3.（2022春?陜西西安?八年級西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，我們會(huì)用“截長補(bǔ)短”的方法來解決

幾條線段之間的和差問題.請看這個(gè)例題：如圖1,在四邊形48co中，NBAD=NBCD=9V,AB=AD,

若nC=5cm,求四邊形力8CZ）的面積.

解：延長線段到，使得BE=CD,連接力E,我們可以證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

AE=AC=5,4EAB=/CAD,MZEAC=ZEAB+ZBAC=ZDAC+ZBAC=ZBAD=90°,得

S啦吟仆=S/BC+邑的=S.ABC+S/BE=邑皿，這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形EAC面

積.

⑴根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形力8c。的面積為cm2.

（2）如圖2,在A/IBC中，4C4=90。，且/C+BC=4,求線段的最小值.

（3）如圖3,在平行四邊形48C。中，對角線4。與〃。相交于O,且/8OC=60。；/fC+BD=10,則/I。是否

為定值？若是，求出定值；若不是，求出力。的最小值及此時(shí)平行四邊形力8CZ）的面積.

【壓軸題型十與三角形中位線有關(guān)的求解壓軸題】

1.（2023春?四川成都?八年級成都鐵路中學(xué)校考期中）已知，如圖1,中，AC=BC,D,E分別是

線段4C,48的中點(diǎn)，且滿足。￡〃8C,BC=2DE,P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn),連接OP,以。。為一邊在右側(cè)

作VQP0,使。尸=。。，且4。。=4。8,連接并延長交直線火于點(diǎn)

H,

H、C

CC

APEE

圖1圖2圖3

⑴求證："PD知EQD；

(2)若44。8=120。，判斷線段BC與線段C”的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

⑶在(2)的條件下，延長。。交8C于點(diǎn)G,若4C=6,當(dāng)△HQG為直角三角形時(shí)，求力夕的長度.

2.(2023?吉林長春??？级?【提出問題】興趣小組活動(dòng)中老師提出了如下問題：如圖①，在“8c中，若

AB=5,AC=3,求8c邊上的中線4。的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：

延長力。到E,使得，DE=AD,再連接8E(或?qū)ⅰ髁?。。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。得到△E8Z)),把

43、1C、2力。集中在△力8E中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜力后＜8,則lv4)＜4.

【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線''等條件時(shí)，可以考慮作“輔助線”，把一條過中點(diǎn)的線段延長一倍?，

構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，這種作輔助線的方法稱為“中

線加倍”法.

【解決問題】如圖②，在小8。中，點(diǎn)。是邊3c的中點(diǎn)，點(diǎn)上在邊/也上，過點(diǎn)D作DFJ.DE,交邊AC

(I)求證：BE+CF>EF.

(2)若/力=90。，則線段CF、即之間的等量關(guān)系為

(3)【應(yīng)用拓展】如圖③，在中，48C=9()。，點(diǎn)。為邊力C的中點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)尸分別在邊BC上,

點(diǎn)M為線段￡少的中點(diǎn).若4E=2,CF=5,則。M的長為

3.（2023春?江蘇?八年級姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中校考周測）（1）［方法回顧］課本上“三角形中位線定理”的證明.

已知：如圖1,在“8C中，點(diǎn)。、上分別是邊48、4C的中點(diǎn).求證：DE=；BC,DE//BC.

證明：如圖1,延長DE到點(diǎn)凡使得EF=DE,連接6；請繼續(xù)完成證明過程：

（2）［問題解決］

如圖2,AB//CD,&為力。的中點(diǎn)，G、”分別為射線45、。。上的點(diǎn)，4JEF=90°,線段4G、DF、FG

有怎樣的數(shù)最關(guān)系？請說明理由.

（3）［思維拓展］

如圖3,在四邊形力8C。中，AD”BC,4=90。，ZD=120°,E為力。的中點(diǎn)，G、尸分別為OC邊

若AG=2仆,DF=6,E"的長為

【壓軸題型十——次函數(shù)的圖象與性質(zhì)壓軸題】51.（2023春?四川宜賓?八年級四川省宜賓市第二中學(xué)校校

考期中）如圖1，直線），=r+3交工軸于點(diǎn)從交y軸于點(diǎn)C點(diǎn)/I在x軸負(fù)半軸上且力點(diǎn)坐標(biāo)為（-4,0）.

(2)如圖2,點(diǎn)尸坐標(biāo)為(0,1),過點(diǎn)尸的直線尸￡把小。。的面積分為1:3,交/OC另一邊于點(diǎn)E,求點(diǎn)E

的坐標(biāo)；

(3)如圖3,已知點(diǎn)點(diǎn)"為線段4C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為直線4C上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三角形QWN為等腰直

角三角形時(shí)，求必點(diǎn)的坐標(biāo).

2.(2023春?北京?八年級校聯(lián)考期中)已知點(diǎn)E和圖形G,。為圖形G上一點(diǎn)，若存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)E為

線段尸。的中點(diǎn)(P,0不重合)，則稱點(diǎn)P為圖形G關(guān)于點(diǎn)E的雙倍點(diǎn).

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4-1,0),5(-2,-1),C(0,-l),

/

6

5

4

--?-----?--,--A---L----?----------->---?----<-----?-------]

2

?-I-----?--1--T.■r--?------~1—1----r*-----1--7--5

-8-7-6-5:-4:-3-2-1O123456^

-1

」一」---,

--1----?-----1---1----I----I-----*-----42.----L---I-----1-----1----

--▲----U---?-----'-----?----J----4---?---,----'---j----.----U---'-----

備用圖

⑴若點(diǎn)E的坐標(biāo)為(一3,0),則在q(T,0),鳥(一5,2),6(-6,1),乙(-7,-1)是四邊形力8c。關(guān)于點(diǎn)E的雙

倍點(diǎn)的是;

(2)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-3/),若在二四象限角平分線上存在四邊形/18CZ)關(guān)于點(diǎn)N的雙倍點(diǎn)，直接寫出f的取

值范圍；

(3)點(diǎn)M為四邊形488邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平行于二、四象限角平分線的直線交x軸于點(diǎn)尸(。,0),與j，軸交

于點(diǎn)〃(0/)，若線段可上的所有點(diǎn)均可成為四邊形48CZ)關(guān)于河的雙倍點(diǎn)，直接寫出方的取值范圍.

3.12()23春?全國?八年級專題練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線)，=刀+1分另U交x軸，y軸于點(diǎn)/、從另

一條直線與直線交于點(diǎn)與x軸交于點(diǎn)。(3,0),點(diǎn)尸是直線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)。重合).

(1)求。的值.

(2)當(dāng)△4PC的面積為18時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(3)若直線在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且MN始終與48平行，直線MW交直線C。于點(diǎn)〃，交y軸于點(diǎn)

N,當(dāng)N8MN=90°時(shí)，求的面積.

【壓軸題型十二一次函數(shù)的幾何壓軸題】

1.（2023春?北京東城?八年級北京二中校考期中）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，中心為點(diǎn)C的正方形各邊分

別與兩坐標(biāo)軸垂直，若點(diǎn)P是與C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于正方形的“限稱點(diǎn)”的定義如下：設(shè)"為直線C、尸

與正方形的邊的一個(gè)交點(diǎn)，另一個(gè)交點(diǎn)為若滿足CM4尸PY2CM,則稱〃為點(diǎn)尸關(guān)于正方形的“限稱

點(diǎn)”.如圖，為點(diǎn)尸關(guān)于正方形的呻艮稱點(diǎn)”尸'的示意圖.規(guī)定：若點(diǎn)P與點(diǎn)。重合，則點(diǎn)P的“限稱點(diǎn)”存

在.

y■

4-4-

3-

2-

1234-4-3-2-1O1234x

-1

-2

-3

-4

備用圖

（1）若正方形的中心為原點(diǎn)。，邊長為2.

①分別判斷點(diǎn)尸卜生）、G（國）、〃（（）,-目關(guān)于該正方形的“限稱點(diǎn)”是否存在，若存在，求其坐標(biāo)；

②若平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)N（2〃,〃+2）關(guān)于該正方形的“限稱點(diǎn)”存在，求〃的取值范圍；

（2）若正方形的中心7在x軸上，邊長為2,記直線y=-2x+l在OWxQ之間的部分為圖形K.若圖形K上

任意一點(diǎn)關(guān)于該正方形的“限稱點(diǎn)'都存在，請你直接寫出正方形中心T的橫坐標(biāo)的取值范圍.

2.（2023春?北京海淀?八年級人大附中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xQy中，對于沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)圖形M、

N給出如下定義：尸為圖形M上任意一點(diǎn)，0為圖形N上任意一點(diǎn)，若P、0兩點(diǎn)間距離的最大值和最小

值分別為4和4，則稱比值?為圖形M和圖形N的“距離關(guān)聯(lián)值”，記為k（M”）.已知Y48czy頂點(diǎn)坐標(biāo)

為B（-V3,-l）,0（1,-1）,D（V3J）.

⑴若E為Y邊上任意一點(diǎn)，則OE的最大值為,最小值為,因此“（點(diǎn)0,YABCD）

（2）若以％,〃。為Y力BCD對角線B。上一點(diǎn),GN，"?）為YABCD對角線4c上一點(diǎn)，其中x產(chǎn)士.

①若〃?=；，則k（線段尸G,YABCD）=；

②若6WZ（線段EG,YABCD）<8,求w的取值范圍；

（3）若口H/JK的對角線交點(diǎn)為O,且頂點(diǎn)〃（〃,〃）在直線4C上，頂點(diǎn)K（g,〃）在直線8。上，其中P<4,請

直接用含〃的代數(shù)式表示kgi〃JK戶/BCD）.

3.（2023春?江蘇蘇州?八年級蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)

力（-6,8）,點(diǎn)C在x軸正半軸上，對角線/C交），軸于點(diǎn)邊力8交y軸于點(diǎn)H.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)力出發(fā)，以

2個(gè)單位長度/秒的速度沿折線A-B—C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).

（I）點(diǎn)8的坐標(biāo)為；

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，連接PM、BM,△P8M的面積為S,請用含f的式子表示S；

（3）當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到線段8C上時(shí)，連接PM、BM,若NABM=2NPMC,求尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間/的值.

【壓軸題型十三一次函數(shù)的應(yīng)用壓軸題】

1.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）甲開車從4地前往8地送貨，同時(shí)，乙從。地出發(fā)騎車前往4地，。在4,

4兩地之間且距離力地15千米.甲到達(dá)4地后以相同的速度立馬返回/地，在力地休息半小時(shí)后，又以相

同的速度前往〃地送第二批貨，乙出發(fā)后4小時(shí)遇上送貨的甲，乙讓甲捎上自己（上下車時(shí)間忽略不計(jì)），

甲載上乙后以原速前進(jìn).甲、乙兩人距離8地的路程y（千米）與時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（1）求甲第一次送貨前往B地時(shí)，甲距離8地的路程y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

（2）問在乙距離8地多遠(yuǎn)時(shí)，甲載上了乙？

（3）向乙比原計(jì)劃早到多少時(shí)間？

2.（2023春?浙江溫州?八年級期中）根據(jù)以下素材，完成探索任務(wù).

判斷車輛是否因超速被罰款？

素我國高速公路上的隧道通常限速80千米/小時(shí)，在隧道前會(huì)有一個(gè)提示牌及限速標(biāo)志，在標(biāo)識與隧道

材口之間的途中會(huì)有測速儀測速，且測速時(shí)有閃光.根據(jù)交規(guī)，若超速10%以上未達(dá)20%的，處以200

元以內(nèi)罰款.

素在物體運(yùn)動(dòng)的速度v關(guān)于時(shí)間/的函數(shù)圖象中，函數(shù)圖象與橫軸以及直線所用成的圖形（如

材卜

圖的陰影部分）面積的數(shù)值等于4勿體從4到，2這個(gè)時(shí)間段的運(yùn)動(dòng)距離./

di(7

素

測速儀安裝是在車輛前進(jìn)方向的8信上，根據(jù)短時(shí)間的兩次測速（均有閃光提示），測出兩個(gè)時(shí)刻車輛

材

和測速儀之間的距離，再用距離5空除以兩次測速的時(shí)間差，算出這段路程的平均車速.

速度1米/秒=3.6千米/小時(shí)，某Z口以108千米/小時(shí)的速度駛來，到達(dá)限速標(biāo)志位置（隧道前500米）

時(shí)開始勻減速，從開始減速到車5&進(jìn)入隧道用了20秒，其速度v關(guān)于時(shí)間/的函數(shù)圖象如圖所示，乙

素

"Ms）

材30

-----------1

四和是兩次雷達(dá)測速的時(shí)間.

___d

1120永)

問題解決

任

務(wù)求該車進(jìn)入隧道時(shí)的速度？

任

務(wù)當(dāng)?shù)谝淮伍W光時(shí)，車速已經(jīng)降到一r90千米/小時(shí)，求時(shí)間％.

任

務(wù)到第二次閃光時(shí)，該車又前進(jìn)了，49米，此次該車是否會(huì)因超速而被罰款，請通過計(jì)算說明理由.

3.（2023?廣東深圳?深圳中學(xué)校聯(lián)考二模）目標(biāo)檢測是?種計(jì)算機(jī)視覺技術(shù)，旨在檢測汽車、建筑物和人類

等目標(biāo).這些目標(biāo)通?？梢酝ㄟ^圖像或視頻來識別.在常規(guī)的目標(biāo)檢測任務(wù)中，如圖1,一般使用邊同軸平

行的矩形框進(jìn)行標(biāo)示.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，針對目標(biāo)圖形G,可以用其投影矩形來檢測.圖形G的投影矩形定義如下：矩

形的兩組對邊分別平行于x軸，V軸，圖形G的頂點(diǎn)在矩形的邊上或內(nèi)部，且矩形的面積最小.設(shè)矩形的較

長的邊與較短的邊的比為％，我們稱常數(shù)％為圖形G的投影比.如圖2,矩形為必切的投影矩形,

其投影比〃=空

AB

圖1圖2

(1)如圖3,點(diǎn)4（1,3）,3（3,5）,則△048投影比〃的值為.

(2)如圖4,若點(diǎn)〃（-1，0）,點(diǎn)N（2,l）且△〃可「投影比k=2,則點(diǎn)2的坐標(biāo)可能是.（填寫序號）;

③卜3,3@(4,-1).

①（1，-5）；②(0,2)；

4

(3)如圖5,已知點(diǎn)。（6,0）,在函數(shù)y=2x-6（其中x<3）的圖象上有一點(diǎn)。，若AOCO的投影比"二g,

求點(diǎn)。的坐標(biāo).

y

6

5

4

3

2

I23456x

圖3圖4

期末重難點(diǎn)特訓(xùn)（四）之壓軸滿分題型專訓(xùn)

旨【題型目錄】

題型一二次根式的混合計(jì)算壓軸題

題型二二次根式與幾何圖形綜合的壓軸題

題型三用勾股定理解三角形壓軸題

題型四勾股定理逆定理的應(yīng)用壓軸題

題型五最短路徑問題壓軸題

題型六平行四邊形的存在性壓軸題

題型七特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定壓軸題

題型八四邊形中的動(dòng)點(diǎn)類壓軸題

題型九四邊形中的最值類壓軸題

題型十與三角形中位線有關(guān)的求解壓軸題

題型十——次函數(shù)的圖象與性質(zhì)壓軸題

題型十二一次函數(shù)中的幾何壓軸題

題型十三一次函數(shù)的應(yīng)用壓軸題

【壓軸題型一二次根式的混合計(jì)算壓軸題】

1.（2023春?江蘇?八年級專題練習(xí)）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的

式子可以寫成另一個(gè)式子為平方，如3+2后=（1+五）1善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：

若設(shè)a+b&=（"i+〃亞"）=m2+2n2+2mn也（其中均為整數(shù)），則有a=nr+2/，

b=2mn.這樣小明就找到了一種把類似a+〃行的式子化為平方式的方法，請你仿照小明

的方法探索并解決下列問題：

（1）若。+樂萬=（m+小萬丁，當(dāng)。、b、〃7、〃均為整數(shù)時(shí)，用含加、〃的式子分別表示。、b,

得：a~?b=；

⑵若Q+6\/5=,且。、、〃均為正整數(shù)，求。的值；

⑶化簡下列各式：

①J5+26

②加-2屈

③+，4+“o+需.

【答案】⑴〃/+7〃2,2mn

（2）12或28

⑶①由+應(yīng)，②石-石，③石+1

【分析】(1)利用完全平方公式展開可得到用"，、〃表示出。、b;

(2)利用(1)中結(jié)論得到6=2與〃,利用〃、〃?、〃均為正整數(shù)得到〃?=1,〃=3或相=3,

〃=1,然后利用a=rn2+3〃?計(jì)算對應(yīng)a的值；

(3)設(shè)日師韭+傘+廊韭=/，兩邊平方得到

)=4-J10+2逐+4+J10+26+2116-(10+2回，然后利用(1)中的結(jié)論化簡得到

『=6+2石，最后把6+26寫成完全平方形式可得到，的值.

【詳解】(1)設(shè)a+b"=(?M+〃6)=m2+ln2+2mnyff(其中〃、b、m、〃均為整數(shù)),

則彳1〃=〃/+7/J,b=2mn；

故答案為：m2+7n2?2mn；

(2)V6=2mn,

nin=3,

??Z、〃?、〃均為正整數(shù)，

m=\,〃=3或〃7=3,//=1,

當(dāng)初=1,〃=3時(shí)，a=m2+3n2=12+3x32=28;

'1w=3,〃=1時(shí)，a=in2+3n2=32+3x1~=12；

即a的值為12或28；

(3)①，5+26

=J3+2+2百xa

=(0+可

=734-72

②g-2廂

=J5+2-2&拒

=(百-何

=亞-五

③設(shè)/4-，10+2x/f+小4+，10+2方=/，

貝I」J=4—J10+2石+4+J10+2石+2716-(10+2^)

=8+2,6-2石

=8+2/（述-

=8+2心-1）

=6+2x/5

=（石+1J,

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，解題的關(guān)鍵是在二次根式的混合運(yùn)算中，

如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

2.（2022秋?四川資陽?九年級?？茧A段練習(xí)）在日常生活中，有時(shí)并不要求某個(gè)量的準(zhǔn)確值,

而只需求出它的整數(shù)部分,如今天是星期一，還有55天中考，問中考前還有多少個(gè)星期一、

容易知,=7亨，但答案并不是將小數(shù)部分四舍五入得到8,而是號的整數(shù)部分7,所以有

7個(gè)星期一、為了解決某些實(shí)際問題，我們定義一種運(yùn)算——取一個(gè)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，即取

出不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).在數(shù)軸上就是取出實(shí)數(shù)x對應(yīng)的點(diǎn)左邊最接近的整數(shù)點(diǎn)（包括

x本身），簡稱取整，記為㈤.這里=㈤+a=x,其中國是一個(gè)整數(shù)，a

稱為實(shí)數(shù)X的小數(shù)部分，記作{ZJ,所以有x=[x]+{ZJ.例如，[-14.3]=-15,自陰}=045.

關(guān)于取整運(yùn)算有部