專題21.3平行四邊形十五大必考點(diǎn)

【華東師大版】

【考點(diǎn)?利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】.....................................................1

【考點(diǎn)2利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】.........................................................1

【考點(diǎn)3利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明】.......................................................2

【考點(diǎn)4格點(diǎn)中利用無刻度直尺作平行四邊形】...................................................3

【考點(diǎn)5判斷能否構(gòu)成平行四連形】.............................................................5

【考點(diǎn)6添加條件構(gòu)成平行四邊形】.............................................................6

【考點(diǎn)7數(shù)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)】............................................................7

【考點(diǎn)8求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】...............................................8

【考點(diǎn)9利用平行四邊形的判定證明平行四邊形】.................................................9

【考點(diǎn)10利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積1...........................................................................................11

【考點(diǎn)11利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求長(zhǎng)度】..................................................12

【考點(diǎn)12利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】..................................................13

【考點(diǎn)13利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求最值】..................................................14

【考點(diǎn)14利用動(dòng)點(diǎn)判斷平行四邊形】............................................................15

【考點(diǎn)15平行四邊形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】..................................................17

“K千一史三

【考點(diǎn)1利用平行四邊形的性度求線段長(zhǎng)度】

【例I】（2022春?浙江杭州?八年級(jí)?？计谥校┰谄叫兴倪呅?1BCD中，乙4的平分線把分成長(zhǎng)度是3,4

的兩部分，則平行四邊形ABCO的周長(zhǎng)是.

【變式1-1］（2022春?浙江杭州?八年級(jí)?？计谥校┢叫兴倪呅蔚膬蓷l對(duì)角線長(zhǎng)分別為3和5,則其中一條

長(zhǎng)為整數(shù)的邊可以是.

【變式1?2】（2022春?浙江杭州?八年級(jí)校考期中）在團(tuán)ABCD中,BE,CL分另：平分NABC,乙BCD,交AO于

點(diǎn)E,F,若；4。=6,EF=2,則力B的長(zhǎng)為.

【變式1-3］（2022春?四川綿陽?八年級(jí)校考期中）在面積為15的平行四邊形4BC。中，過點(diǎn)4作力E垂直于

直線8c于點(diǎn)￡,作力小垂直于直線CO于點(diǎn)F,若48=5,BC=6,則CE+CF的值為（）

A.11+—B.11--C.11+.或11-曳？D.11+—+-

222222

【考點(diǎn)2利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】

【例2】（2022春?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將平行四邊形/18C。沿對(duì)角線4C折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)8,

處，若41=48。，42=32。，則的度數(shù)為（）.

A.124°B.114°C.104°D.56°

【變式2-1］（2022春?江蘇南京?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，以平行四邊形4BCD的邊CD為斜邊向內(nèi)作等腰直

角△CDE,使AD=DE=CE,乙DEC=90°,且點(diǎn)E在平行四邊形內(nèi)部，連接則乙力E3的度數(shù)是（）.

A.130°B.135°C.150°D.125°

【變式2-2］（2014春?江蘇無錫?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形A3CDO中，=130\在力。上取

DE=DC,則"CB的度數(shù)是度.

【變式2?3】（2022春?湖南永州?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中,AB:BC為1:2,取長(zhǎng)邊BC

的中點(diǎn)M,乙8=60。，則Z.CDM=_.

【考點(diǎn)3利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明】

【例3】（2022秋?遼寧葫蘆島?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在也48CD中，4BAD,iADC的平分線4F,DE分別

與線段8C交于點(diǎn)”，E,4F與OE交于點(diǎn)G.

AD

（1）求證：AF1DE,BF=CE.

（2）若=10,AB=6,AF=8,求DE的長(zhǎng)度.

【變式3-1］（2022春?黑龍江雞西九年級(jí)雞西市第四中學(xué)?？计谥校┤鐖D，平行四邊形48CD的對(duì)角線47、

8。相交于點(diǎn)。，EF過點(diǎn)。與48、C。分別相交于點(diǎn)￡、F,求證：OE=OF.

【變式3-2］（2022春?陜西漢中?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在團(tuán)4JCO中，點(diǎn)￡為3C上一點(diǎn)，連接力E并延長(zhǎng)

交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)RAD=DF,連接DE.

⑴求證：4E平分乙BAD；

⑵若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，4B=60。，4）=4,求時(shí)48CD的面積.

【變式3-3］（2022春“Il西晉城八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形4BCD中，E、尸分別是對(duì)角線8D上的

兩點(diǎn)，^.BE=DF,連接AE、AF.CE、CF.求證：AEWCF.

【考點(diǎn)4格點(diǎn)中利用無刻度直尺作平行四邊形】

【例4】（2022春?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在6x6網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)A8在

格點(diǎn)上.請(qǐng)根據(jù)條件畫出符合要求的圖形.

圖甲圖乙

⑴在圖甲中畫出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)且一邊長(zhǎng)為花的平行四邊形.要求：各頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

⑵在圖乙中畫出線段A3的中點(diǎn)0.

要求：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作圖痕跡.

【變式4.1】（2022春?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,4B、C、。均

在網(wǎng)格的格點(diǎn)上.

（1）/8。。是直角嗎？請(qǐng)證明你的判斷.

⑵找到格點(diǎn)E，并畫出四邊形ABE。（一個(gè)即可），使得其面積與四邊形ABC。面積相等.

【變式4-2］（2022春?浙江湖州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在10x10的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為

1）,點(diǎn)A和點(diǎn)8都在格點(diǎn)上，僅用無刻摩的辜盡,分別按以下要求作圖.

圖1圖2

（1）圖1中，以AB為邊作一平行四邊形，要求頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，耳其面積為6；

（2）圖2中，以718為對(duì)角線作一平行四邊形，要求頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且其面積為10.

【考點(diǎn)5判斷能否構(gòu)成平行四邊形】

【例5】（2022春?山東臨沂?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABC。的對(duì)角線AC和3。相交于點(diǎn)O,下列

不能判定四邊形4BCO為平行四邊形的條件是（）

A.OA=OC,AB\\DCB.Z.ABC=Z.ADC,AD\\BC

C.乙ABD=Z.ADB.Z.BA0=LDCOD.AB=DC,AD=BC

【變式5-1］（2022春?重慶潼南?八年級(jí)校聯(lián)考期中）下列命題中，真命題是（）

A.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形

B.有一組對(duì)邊和一組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

C.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

D.兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是平行四邊形

【變式5-2］（2022春?湖北武漢?八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，四邊形ABC。，AC,交于點(diǎn)0,請(qǐng)從給定

四個(gè)條件

①.44=CO；

②4。||3。：

④BO=QO中

選擇兩個(gè)，使得四邊形48C?？膳卸槠叫兴倪呅?，你的選擇是（）

A.①②B.②④C.①③D.①④

【變式5-3］（2022春?北京?八年級(jí)北京市師達(dá)中學(xué)?？计谥校┤鐖D,伺4BCD的對(duì)角線交于點(diǎn)。，點(diǎn)M,N,

P,Q分別是團(tuán)48CD四條邊上不重合的點(diǎn).下列條件：?AQ=CN,AM=CP；②MP,NQ均經(jīng)過點(diǎn)O；

③NQ經(jīng)過點(diǎn)。，AQ=CN.能判定四邊形MNP。是平行四邊形的有（填序號(hào)）.

/Q_________D

BN

【考點(diǎn)6添加條件構(gòu)成平行四邊形】

【例6】（2022春?河南信陽?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，E是平行四邊形A8C。的邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連

接BE交CD于點(diǎn)、F,連接CE,BD.添加下列一個(gè)條件后，仍不能判定四邊形8CED為平行四邊形的是（）

A.乙ABD=乙DCEB.Z.AEC=乙CBDC.EF=BFD.乙AEB=乙BCD

【變式6-1］（2022春?浙江湖州?八年級(jí)校考期中）如圖，在R/AABC中,垢=90。,8c=8,AC=6,動(dòng)點(diǎn)

P從點(diǎn)A開始，沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A開始，沿邊A3向點(diǎn)3以每

秒:個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，且恰好能始終保持連結(jié)兩動(dòng)點(diǎn)的直線以龍L4C,動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C開始，沿邊C3向

?5

點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PQ.點(diǎn)P,D,Q分別從點(diǎn)A,。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端

點(diǎn)時(shí)，另兩個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒（槎0）.

（1）當(dāng)/為何值時(shí)，四邊形BQPD的面積為AABC面積的一半？

（2）是否存在/的值，使四邊形POBQ為平行四邊形？若存在，求出，的值；若不存在，說明理由.

【變式6-2］（2022春?山東棗莊?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形4BC。中，E,尸是對(duì)角線4c上的兩點(diǎn),

如果添加一個(gè)條件使四邊形8EDF是平行四邊形，則添加的條件不能是（）

A.DE=BFB.AE=FCC.AF=CED.Z.1=Z.2

【變式6-3］（2022春?北京?八年級(jí)北京八中?？计谥校┬≡茖W(xué)習(xí)了平行四邊形的判定后，想利用平行四邊

形的判定方法探究下列問題.

BB

圖2

⑴利用平行四邊形的判定方法作平行四邊形，作法是：如圖1，在A/BC中，分別以點(diǎn)4,C為圓心，BC.AB

為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)。，連接ARC。，四邊形/BCD就是平行四邊形.小云判定四邊形48。。平行四邊

形的依據(jù)是___________

（2）探究："四邊形力BCD中，若AB=CO,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)0,且A。=C。，四邊形4BCD是平行四邊

形嗎？”

①在圖2中作出符合條件的圖形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）：

②結(jié)合所作圖形，符合條件的四邊形4BCD（填寫“是〃、"不是'’或"不一定是"）平行四邊形.

（3）探究：“四邊形48C0中，若AB=CD,對(duì)角線力。與8。交于點(diǎn)。，ELAO=CO,AAOB=45°,當(dāng)A8與力。滿

足什么條件時(shí)，四邊形力BCD一定是平行四邊形？〃直接寫出48與71。滿足的條件是：.

【考點(diǎn)7數(shù)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)】

【例7】（2022春?江蘇無錫?八年級(jí)無錫市第一女子中學(xué)校考期中）如圖：在4x4的正方形（每個(gè)小正方形

的邊長(zhǎng)均為1）網(wǎng)格中，以4為頂點(diǎn)，其他三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（網(wǎng)格的交點(diǎn)）上，且面積為2的平行四邊形

共有多少個(gè)？（）

A.12B.16C.24D.25

【變式7-1]（2022春?內(nèi)蒙古通遼?八年級(jí)校考期中）由兩個(gè)全等三角形用各種不同的方法拼成四邊形，在

這些拼成的四邊形中是平行四邊形的個(gè)數(shù)是（）.

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【變式7-2]（2022春?河北石家莊?八年級(jí)統(tǒng)考期中）在△A8C中，AO_L8c于點(diǎn)。，點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn),

過點(diǎn)A作交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CE

（1）如圖1，求證：四邊形4OC”是矩形；

（2）如圖2,當(dāng)A8=AC時(shí)，取44的中點(diǎn)G,連接QG、EG,在不添加任何輔助線和字母的條件下，請(qǐng)直

接寫出圖中所有的平行四邊形（不包括矩形AOCQ.

【變式7-3］（2022春?內(nèi)蒙占巴彥淖爾?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形A4C。中，Eb^AD,GMAB,

則圖中的平行四邊形的個(gè)數(shù)共有（）個(gè).

A.12個(gè)B.9個(gè)C.5D.7

【考點(diǎn)8求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】

【例8】（2022春?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)小正方

形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn).以格點(diǎn)為頂點(diǎn)按卜.列要求畫圖：

（1）請(qǐng)你在圖1中畫一個(gè)直角三角形滿足它是軸對(duì)稱圖形；

（2）請(qǐng)你在圖2中畫一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，門為直角邊的直角三角形；

（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,1）.請(qǐng)你在圖3中建立平面直角坐標(biāo)系，找出格點(diǎn)短，使以A、B、C、。四個(gè)

點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則滿足條件的。點(diǎn)的坐標(biāo)是：.

圖1圖2圖3

【變式8-1](2022春?新疆烏魯木齊?八年級(jí)新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第一中學(xué)?？计谥?如圖，在8X8的正方形

網(wǎng)格中，若小正方形的邊長(zhǎng)為1，△48。的頂點(diǎn)A、3、C在網(wǎng)格的格點(diǎn)上.

圖1

⑴圖1中4ABC的周長(zhǎng)為.(結(jié)果保留根號(hào))

⑵若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-1)，請(qǐng)你在圖中找出一點(diǎn)。，使A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,

則滿足條件的。點(diǎn)坐標(biāo)是.

(3)在圖2中畫出以MN為一邊長(zhǎng)，另外兩邊長(zhǎng)分別為，而和后的格點(diǎn)△MNE.

【變式8-2](2022春?浙江衢州?八年級(jí)統(tǒng)考期中)已知平面上有三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)4(2,0),8(5,2),C(3,4),以

點(diǎn)4點(diǎn)B,點(diǎn)C為頂點(diǎn)畫平行四邊形，則第四個(gè)頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為—.

【變式8-3](2022春.山西臨汾.八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,4.B.C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

(一1,2),(4,2),(2,-1),若以力、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)。的坐標(biāo)不可能是()

V

A..B

Ox

■

C

A.(7,-1)B.(-3,-1)C.(1,5)D.(2,5)

【考點(diǎn)9利用平行四邊形的判定證明平行四邊形】

【例9】(2022春?浙江杭州?八年級(jí)杭州英特外國(guó)語學(xué)校?？计谥?如圖，BD是△A8C的角平分線，點(diǎn)E,

尸分別在BC,48上，且DEII4B,BE=AF.

A

D

BE

(1)求證：四邊形4CEF是平行四邊形

(2)若4ABC=60°,BD=2V3,求平行四邊形ADEF的面積.

【變式9-1](2022秋?江蘇鹽城?八年級(jí)?？计谥?如圖，4c為矩形/8C。的對(duì)角線，將邊48沿/E折疊，使

點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處，將邊CD沿CF折疊，使點(diǎn)。落在力C上的點(diǎn)N處.

⑴求證：四邊形4ECF是平行四邊形；

(2)若4B=6,AC=10,求四邊形4EC尸的面積.

【變式9-2](2022春?江蘇南京?八年級(jí)?？计谥?如圖，已知4:垂直平分BD,DF1BD,乙ABC=LDCF.

⑴求證：四邊形4C內(nèi)5是平行四邊形.

(2)若DF=CF=5,CD=6,求BD的長(zhǎng).

【變式9-3](2022秋?陜西西安?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，已知在四邊形8cOE中，CD||8E,點(diǎn)尸是DE的

中點(diǎn)，連接CF交點(diǎn)A,且點(diǎn)上是力8的中點(diǎn)，求證：四邊形BCDE是平行四邊形.

S

【考點(diǎn)10利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】

【例10】（2022春?重慶渝中?八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D，尸是口川5。0的邊G）上的點(diǎn)，Q是BF中

2

點(diǎn)，連接CQ并延長(zhǎng)交48于點(diǎn)E,連接49與DE相交于點(diǎn)P,若S“pD=2cm2,S^BQC=8cm,則陰影部分

的面積為（）cm2.

A.24B.17C.18D.10

【變式10-1]（2022秋?福建泉州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖,△ABC中,LABC=90°,乙CAB=60°,AC=4.作

出么ABC共于點(diǎn)A成中心對(duì)稱的△AB'C',其中點(diǎn)8對(duì)應(yīng)點(diǎn)為夕，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',則四邊形CB'C'B的面積

是（）

A.128B.64V3C.64D.32國(guó)

【變式10-2】（2022秋?浙江寧波,八年級(jí)校考期末）如圖，分別以直角三角形的三邊向外作等邊三角形，然

后將較小的兩個(gè)等邊△AFG和ABDE放在最大的等邊△88。內(nèi)（如圖），DE與FG交于點(diǎn)、P,連結(jié)力P,FE.欲

A.AAPGB.AADPC.>DFPD.AFEG

【變式10-31（2022春?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在即43C。中，過對(duì)角線BO上一點(diǎn)P作EFIIBC,GH||AB,

且CG-3BG,Sg)8“G=1.5,則SgAEPH=—?

AHD

Er~^r^---------IF

BG----------------，C

【考點(diǎn)ii利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求長(zhǎng)度】

【例11】（2022?遼寧丹東?校考一模）如圖，在團(tuán)48CD中，ABAD=120°,連接BD,作力EIIBD交CD延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作“1BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且C『=1,則的長(zhǎng)是（）

A.2B.1C.3D.\[2

【變式11-1】（2022春?江蘇無錫?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，M8C=45。，A8=2,BC=2a,點(diǎn)、P為BC上

一動(dòng)點(diǎn)，AgHBC,C0L4P,AQ、CQ交于點(diǎn)Q,則四邊形4PCQ的形狀是,連接PQ，當(dāng)PQ取得

最小值時(shí)，四邊形APCQ的周長(zhǎng)為.

【變式11-2]（2022?廣東佛山?石門中學(xué)?？家荒＃┤鐖D,在△A5C中，D,E分別為BC,AC上的點(diǎn)，將△CDE

沿DE折疊，得至IJ^FDE,連接B凡CF,NBFC=90°,^EF||AB,AB=4y/3,EF=10,則長(zhǎng)為.

【變式11-3】（2022春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形A8CD中，AB\\CD,乙B=4，點(diǎn)、E為BC延長(zhǎng)線

上一點(diǎn)，連接AC、AE,AE交CD于點(diǎn)H,4DCE的平分線交AE于點(diǎn)G.若48==10,點(diǎn)H為C。的中

點(diǎn)，HE=6,則AC的長(zhǎng)為（)

AD

二

0c匕

A.9B.V97C.10D.3g

【考點(diǎn)12利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】

【例12】（2022春?湖北武漢?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，AB=13,點(diǎn)。為48上一動(dòng)點(diǎn)，CO1AB于D,CD=8,

點(diǎn)E在線段CO上，CE=3,連接BE.當(dāng)8E+AC最小時(shí)，44CD的度數(shù)為（）

A.75°B.60°C.45°D.30°

【變式12-1】（2022?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在448c的BC邊的同側(cè)分別作等邊△ABD,等邊△BCF

和等邊△〃￡1,AB=3,AC=4,BC=5,求/DFE的度數(shù).

【變式12-2】（2022秋?山東泰安?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形48CZ）中，AD//BC,對(duì)角線AC、BD

交于點(diǎn)。且4O=OC.

⑴求證:

①0/1。的COF；

②四邊形ABCD為平行四邊形；

⑵過點(diǎn)。作E/皿3。，交AD于點(diǎn)、E,交BC于點(diǎn)、F,連接8￡,若團(tuán)區(qū)4。=100。，BDBF=32°,求團(tuán)48￡的度

數(shù).

【變式12-3】(2022春?甘肅定西?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在四邊形力BCD中，。是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是

8c邊上一點(diǎn)，連接￡0并延長(zhǎng)交4D邊于點(diǎn)尸、交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.0E=OF,AD=BC.

(1)求證：四邊形4BCD是平行四邊形.

(2)若乙1二62。，々G=40。，求々8EG的度數(shù).

【考點(diǎn)13利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求最值】

【例13】(2022春?四川成都?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有4(0,3),。(5,0)兩點(diǎn).將直線

ky=》向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到宜線，2,點(diǎn)B在直線L上，過點(diǎn)8作直線。的垂線，垂足為點(diǎn)C,連接力氏

BC,CD,則折線力BCO的長(zhǎng)48+8。+。。的最小值為.

【變式13?1】(2022秋?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校?？计谀?如圖，在矩形力BCD中,48=12,4。=10,

點(diǎn)戶在40上，點(diǎn)Q在BC上，且4P=CQ,連結(jié)CP、QD,則PC+QO的最小值為()

C.25D.26

【變式13-2](2022春?河北保定?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，已知團(tuán)ABCD的頂點(diǎn)A、C分別在直線*=1和x=4

上，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對(duì)角線OB長(zhǎng)的最小值為()

A.4B.5C.6D.7

【變式13-3】(2022秋?全國(guó)?八年級(jí)期末)在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形力MNB各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是：

4(0,-2),8(2,2),M(3,a),N(3,b),且M3=1,a<b,那么四邊形AMNB周長(zhǎng)的最小值為()

A.6+2V5B.6+舊C.V34+2^+1D.V34+V13+1

【考點(diǎn)14利用動(dòng)點(diǎn)判斷平行四邊形】

【例14】(2022春?山西晉城?八年級(jí)統(tǒng)考期末)綜合與探究：直線y=>+2與X軸和y軸分別交于點(diǎn)A、B,

直線CD與力8交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D(0,8),過點(diǎn)C作CE_L%軸于點(diǎn)E,點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3.

⑴求直線CO的解析式：

⑵點(diǎn)戶是工軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P(￡,0)作工軸垂線分別與直線A8、CD交于點(diǎn)M、M求線段MN的長(zhǎng)(用t表示)；

⑶在(2)的條件下，t為何值時(shí)，以M、N、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

【變式14-11（2022春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，力（一8,0）,C（0,26）,48||y軸且48=24,

點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/s的速度向點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以2個(gè)單位長(zhǎng)度/s的速度向點(diǎn)。

運(yùn)動(dòng)，規(guī)定其中?個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另?個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為￡秒.

⑴當(dāng)四邊形8CQP是平行四邊形時(shí)，求t的值；

（2）當(dāng)PQ=8C時(shí)，求t的值；

⑶當(dāng)PQ恰好垂直平分30時(shí)，求亡的值.

【變式14-2】（2022秋?山東威海?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，ADWBC,AD=3,BC=8,E

是的中點(diǎn)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AD向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)。同時(shí)以每秒2個(gè)單位

長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒

【變式14-3］（2022春?湖南長(zhǎng)沙?八年級(jí)長(zhǎng)沙市第二十一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在梯形ABCD中，ADWC,

AD=6,BC=16,E是BC的中點(diǎn).點(diǎn)P以每秒r個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)

以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿C8向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng).點(diǎn)。停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng).

（1）PD=，CQ=;（用含t的式子表示）

⑵當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，PQIICD：

⑶當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)P,Q,E,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

【考點(diǎn)15平行四邊形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】

【例15】（2022春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一塊草地的中間有一條方路，AC||BD,CE||DF.請(qǐng)給出一

種方案，把道路改直，且草地的種植面積保持不變.

【變式15-1]（2022春?江蘇泰州?八年級(jí)靖江市靖城中學(xué)校期中）村莊A和村莊8位于一條小河的兩側(cè),

若河岸彼此平行，要架設(shè)?座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)如何選擇，才使A與8之間的距離最短？

.A

B?

【變式15-2]（2022秋?浙江溫州?八年級(jí)樂清外國(guó)語學(xué)校?？计谀┠筹L(fēng)力發(fā)電設(shè)備如圖1所示，其示意圖

如圖2,已知三個(gè)葉片。4OB,0C均勻地（4408=乙80。=〃。4）分布在支點(diǎn)。上，OH垂直地面MN.當(dāng)

光線與地面的夾角為60。，葉片C0與光線平行時(shí)，測(cè)得葉片影子PQ的長(zhǎng)為12米，則葉片的長(zhǎng)為米；

當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中葉片OB垂直光線（這片刻時(shí)間忽略不計(jì)，光線與地面的夾角還是60。），則葉片影子的長(zhǎng)度

是米.

圖1

【變式15-3】（2022春?江蘇?八年級(jí)期末）如圖1是某?遮陽蓬支架從閉合到完全展開的?個(gè)過程，當(dāng)遮陽

蓬支架完全閉合時(shí)，支架的若干支桿可看作共線.圖2是遮陽蓬支架完全展開時(shí)的一個(gè)示意圖，支桿MN固

定在垂直于地面的墻壁上,支桿CE與水平地面平行，且G,F,6三點(diǎn)共線，在支架展開過程中四邊形A8CD

始終是平行四邊形.

[31

O

⑴若遮陽蓬完全展開時(shí)，CE長(zhǎng)2米，在與水平地面呈60。的太陽光照射下，CE在地面的影子有米（影

子完全落在地面）

⑵長(zhǎng)支桿與短支桿的長(zhǎng)度比（即CEhMD的長(zhǎng)度比）是,

專題2L3平行四邊形十五大必考點(diǎn)

【華東師大版】

【考點(diǎn)?利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】.....................................................1

【考點(diǎn)2利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】.........................................................1

【考點(diǎn)3利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明】.......................................................2

【考點(diǎn)4格點(diǎn)中利用無刻度直尺作平行四邊形】..................................................3

【考點(diǎn)5判斷能否構(gòu)成平行四邊形】..............................................................5

【考點(diǎn)6添加條件構(gòu)成平行四邊形】..............................................................6

【考點(diǎn)7數(shù)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)】...........................................................7

【考點(diǎn)8求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】..............................................8

【考點(diǎn)9利用平行四邊形的判定證明平行四邊形】.................................................9

【考點(diǎn)10利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積1........................................................................11

【考點(diǎn)II利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求長(zhǎng)度】..................................................12

【考點(diǎn)12利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】..................................................13

【考點(diǎn)13利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求最值】..................................................14

【考點(diǎn)14利用動(dòng)點(diǎn)判斷平行四邊形】.............................................................15

【考點(diǎn)15平行四邊形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】..................................................17

歲*三

【考點(diǎn)1利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】

【例1】（2022春?浙江杭州?八年級(jí)?？计谥校┰谄叫兴倪呅?18C。中，乙4的平分線把BC分

成長(zhǎng)度是3,4的兩部分，則平行四邊形/WCD的周長(zhǎng)是.

【答案】22或20##20或22

【分析】根據(jù)力E平分4區(qū)4。及40IBC可得出48=BE,BC=BE+EC,從而根據(jù)力8、40的

長(zhǎng)可求出平行四邊形的周長(zhǎng).

【詳解】解：在平行四邊形4BCD中,ADWBC,^\Z.DAE=/-AEB.

團(tuán)4E平分N84D,

^Z.BAE=￡.DAE,

^\Z-BAE=Z.BEA,

團(tuán)AB=BE,BC=BE+EC>

當(dāng)BE=3,EC=4時(shí)，

平行四邊形/BC。的周長(zhǎng)為：2(AB+AD)=2(3+3+4)=20.

當(dāng)BE=4,EC=3時(shí)，

平行四邊形48C。的周長(zhǎng)為：2(A8+AD)=2(4+4+3)=22.

故答案為：22或20.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證

明AB=BE是解答本題的關(guān)鍵.

【變式1-1](2022春浙江杭州,八年級(jí)?？计谥?平行四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為3和

5,則其中一條長(zhǎng)為整數(shù)的邊可以是.

【答案】2或3##3或2

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理計(jì)算判斷即可.

【詳解】設(shè)四邊形71BCD是平行四邊形，對(duì)角線交點(diǎn)為。，

35

0OC=-,OD=-,

22

WD-OC=---<CD<OC+OD

2222

01<CD<4,

回四邊形的邊長(zhǎng)為整數(shù)，

團(tuán)CO=2,CD=3,

故答案為：2或3.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，熟練掌握三角形三邊關(guān)系定

理是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2](2022春?浙江杭州?八年級(jí)?？计谥?在團(tuán)A8CD中，BE,C尸分別平分乙4BC,

乙BCD,交AD于點(diǎn)E,F,若AD=6,EF=2,則的長(zhǎng)為.

【答案】4或2##2或4

【分析】先證4E=/18,同理，DC=DF,^iAE=AB=DC=DE,再分兩種情況，分別

求出AB的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：團(tuán)四邊形ABCD是平行四邊形,

^AD\\BC,AB=DC,

團(tuán)ZJ1E8=Z-EBC,

團(tuán)BE平分立ABC,

^z.ABE=乙EBC,

團(tuán)Z71BE=Z-AEB,

(L4E=AB,

同理，DC=DF,

^AE=AB=DC=DF,

分兩種情況：

①如圖1，

則AE+DF=EF+AD,

即48+48=2+6,

解得：AB=4：

②如圖2,

則力E+EF+DF=4D,

即A8+2+AB=6,

解得：AB=2：

綜上所述，的長(zhǎng)為4或2,

故答案為：4或2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及分類討論等知識(shí)，熟練

掌握平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定是解題的關(guān)健.

【變式1-3]（2022春也川綿陽?八年級(jí)?？计谥校┰诿娣e為15的平行四邊形4BCD中，過

點(diǎn)A作4E垂直于直線8C于點(diǎn)E,作4F垂直于直線CD于點(diǎn)F,若AB=5,BC=6,則CE+CF

的值為（）

A.11+^B.11-2c.11+坨或11-竺D.11+盛或

22222

心

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形面積求出AE和。凡有兩種情況，求出BE、。尸的值，求出CE和CF

的值，相加即可得出答案.

【詳解】解：團(tuán)四邊形ABC。是平行四邊形,

a48=CD=5,BC=AD=6,

①如圖：

由平行四邊形面積公式得：BCxAE=CDxAF=15,

求出AF=3,

在RtZk/lBE和尸中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2,

把AB=5,AE代入求出BE=|百，

同理。尸=30>5,即尸在DC的延長(zhǎng)線上（如上圖），

0CF=6-1V3,CF=3x^-5,

即CE+CF=1+y；

②如圖：

后?、、

團(tuán)48=5,AE=^,在△力BE中，由勾股定理得：BE=三遍,

同理。了=3V3,

由①知：CE=6-|V3,CF=3V3+5,

0CE+CF=11+—x/3.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理.應(yīng)題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思

想與分類討論思想的應(yīng)用.

【考點(diǎn)2利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】

【例2】（2022春?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將平行四邊形沿對(duì)?角線71C折疊,

使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，若41=48°,Z2=32。，則的度數(shù)為（）.

A.124°B.114°C.104°D.56°

【答案】A

【分析】根據(jù)折疊、平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，即可求出答案.

【詳解】解：

由折疊得，44=乙5,

團(tuán)四邊形/8C。是平行四邊形，

團(tuán)4BIICD,

0Z.5=z.3,

0z3=N4,

乂包41=Z3+Z4=48°,

回，5=〃=，3=六48。=24。，

在44BC中，乙B=180°-z5-Z2=180°-24°-32°=124°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查折登的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，由圖形直

觀得出各個(gè)角之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2022春?江蘇南京?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，以平行四邊形H8CD的邊CD為斜

邊向內(nèi)作等腰直角△CDE，使4。=?！?。凡乙DEC=90。,且點(diǎn)￡在平行四邊形內(nèi)部，連

接4E、BE,則4/1E8的度數(shù)是（）.

A.130°B.135°C.150°D.125°

【答案】B

【分析】先證明AD=DE=CE=BC,得出乙D4E=乙4￡7）,乙CBE=4JEB,乙EDC=

乙ECD=45°,設(shè)匕。4f=LAED=%,乙CBE=乙CEB=y,求出乙力。C=225°-2x,乙BCD=

225。-2y,由平行四邊形的對(duì)角相等得出方程，求出x+y=135。，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：團(tuán)四邊形ABCD是平行四邊形，

團(tuán)AD=BC,Z.BAD=Z.BCD,Z.BAD4-Z.ADC=180°,

團(tuán)40=DE=CE,

團(tuán)A。=DE=CE=BC,

0ZD/1F=Z-AED,Z.CBE=乙CEB,

團(tuán)，DEC=90°,

0ZEDC=乙ECD=45°,

設(shè)Z_O/1E=Z.AED=x,Z.CBE=（CEB=y,

回乙4DE=180°-2x,乙BCE=180°-2y,

^ADC=180°-2x+45°=225°-2%,乙BCD=225°-2y,

^Z-BAD=180°-（225°-2x）=2x-45°,

02x-45°=225°-2y,

+y=135°,

^/-AEB=360°-135°-90°=135°；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等），等腰三角形的性質(zhì)（兩

底角相等），解題的關(guān)鍵是找到乙和4E8之間的關(guān)系.

［變式2-2］（2014春?江蘇無錫?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形4BCD。中，乙4=130°,

在力。上取DE=CC,則4EC8的度數(shù)是度.

【答案】65。##65度

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得〃=50。，^BCD=130°,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

求得NECO=65。，進(jìn)而可求解.

【詳解】解：在平行四邊形ABCD中,乙4=130°,ABWCD,

團(tuán)乙BCD=44=130°,乙D=180°-130°=50°,

同。6=DC,

0ZFCD=1(180°-50°)=65°,

0ZECF=130°-65°=65°.

故答案為:65°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和等

腰三角形的性質(zhì)，找到角之間的關(guān)系并正確求解是解答的關(guān)鍵.

【變式2-3］(2022春?湖南永州?八年級(jí)校考期中)如圖，在平行四邊形48。中，為

1:2,取氏邊BC的中點(diǎn)M,Z-B=60°,則乙CDM=

【答案】30。##30度

【分析】先證明CM=48=鄰。，再根據(jù)平行四邊形力8C0得到力8=CD.AD||BC/ADC=

乙8=60。，從而得到CD=CM,/AOM=ZDMC,進(jìn)而得到iCDM=即可求出

乙CDM=-^ADC=30°.

2

【詳解】解：財(cái)為1:2,"為8C的中點(diǎn)，

0CM=AB=-BC,

2

團(tuán)四邊形48CD為平行四邊形，

囿4B=CDfADIIBC/ADC==60°,

團(tuán)CD=CM,LADM=乙DMC,

團(tuán)々OMC=乙MDC,

回/CDM=Z-ADM,

^￡CDM=-^ADC=30°.

2

故答案為：30°

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的等腰三角形的性質(zhì)，熟知平行四邊形的性質(zhì)和等腰

三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)3利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明】

【例3】（2022秋?遼寧裝蘆島?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在團(tuán)48CD中，乙BAD,"DC的平

分線力凡OE分別與線段BC交于點(diǎn)F,E,4尸與。E交于點(diǎn)G.

⑴求證：AF1DE,BF=CE.

(2)若4。=10,AB=6,AF=8,求DE的長(zhǎng)度.

【答案】⑴見解析

(2)475

【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到功力。+乙180。，再由角平分線的定義證明

Z.DAF+Z.ADE=^Z.BAD+^/.ADC=90°,得到44Go=90。，即可證明小尸_LDE；再根據(jù)

平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明Nb4F=N力F8,得到718=8幾同理可得CD=C凡

則8尸=CEx

（2）過點(diǎn)。作區(qū)||力尸交4）于K,交DE于點(diǎn)/，證明四邊形MCK是平行四邊形,匕心。=90。,

得到4F=CK=9,再證明NQK/=，OC/.得到OK=OC=6.則K/=G=4,同理證明

CE=CD,得到￡7=0/,求出。/=2a，則。￡=2。/=4通.

【詳解】（1）證明：在平行四邊形48C。中，AB||DC,

^Z-BAD4-Z.ADC=180°.

團(tuán)4E,OF分別是4/1OC的平分線，

^DAF=^BAF=-Z-BAD,/-ADE=乙CDE=-Z-ADC.

22

^Z-DAF+/-ADE=-/-BAD+-^ADC=90°.

22

0Z/K7D=90°.

團(tuán)4F1DE.

團(tuán)四邊形力BCD是平行四邊形，

團(tuán)40IIBC,AB=CD,

^Z.DAF=Z.AFB,

y^Z.DAF=4RAF,

^BAF=Z.AFB,

團(tuán)48=BF,

同理可得CD=CE,

回BF=CE；

（2）解：過點(diǎn)C作。K||,4尸交40于K,交OE于點(diǎn)/,

團(tuán)AK||FC,AF||CK,

團(tuán)四邊形/irCK是平行四邊形，Z.AGD=乙KID=90°,

財(cái)F=CK=8,

^Z.KDI+Z.DKI=90°,4CO/+40c7=90。,乙IDK=〃DC,

^DKl=乙DC1,

WK=DC=6,

0K/=C/=4,

團(tuán)ACIIBC,

0Z.71DF=乙DEC=Z.CDE,

(3CE=CD,

0C/1DE,

(3￡7=DI,

0DD/=VCD2-CI2=2而，

WE=20/=4心

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定

,三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等等，正確作出締助線是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1](2022春?黑龍江雞西?九年級(jí)雞西市第四中學(xué)校考期中)如圖，平行四邊形/方。0

的對(duì)角線力。、BD相交于點(diǎn)O,E尸過點(diǎn)。與力B、CD分別相交于點(diǎn)七、F,求證：0E