專題28.6銳角三角函數(shù)章末九大題型總結(jié)（拔尖篇）

【人教版】

?題型梳理

【題型1構(gòu)建直角三角形求銳角三角函數(shù)值】......................................................1

【題型2用等角轉(zhuǎn)換法求銳角三角函數(shù)值】........................................................2

【題型3銳角三角函數(shù)與相似三角形的綜合應(yīng)用】..................................................3

【題型4銳角三角函數(shù)與圓的綜合應(yīng)用】..........................................................4

【題型5解非直角三角形】.......................................................................5

【題型6巧設(shè)輔助未知數(shù)解直角三角形】..........................................................6

【題型7構(gòu)造直角三角形進行線段或角的計算】....................................................7

【題型8解直角三角形與圓的綜合應(yīng)用】..........................................................9

【題型9構(gòu)造直角三角形解決實際問題】...........................................................10

，舉一反三

【題型1構(gòu)建直角三角形求銳角三角函數(shù)值】

【例1】（2023春?安徽?九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，43=60。，zC=90%E為邊BC上的點,

△為等邊三角形，BE=8,CE=2,則tan4AEB的值為（）

A-vB-vc.于D.—

【變式1-1]（2023春?湖北襄陽?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△48。中，4/1=90。，若8E=TTL4C,CD=mAB,

連接BGOE交「點F,則coszBFE的值為.

【變式1-2]（2023?四川成都?統(tǒng)考中考真題）如圖,在RtA48C中,/-ABC=90%CD平分乙4cB交48于點D,

過。作OEIIBC交AC于點E,將△DEC沿DE折疊得到△OE凡OF交4C于點G.若藍二（則taa4=.

【變式1-3]（2023春?江蘇常州?九年級?？计谀┤鐖D，在A/IBC中，AB=AC=5,BC=4,4Q是BC邊

上的高，將AaBC繞點C旋轉(zhuǎn)到（點七、尸分別與點A、8對應(yīng)），點尸落在線段4D上，連接AE,則

COS/.EAF—.

【題型2用等角轉(zhuǎn)換法求銳角三角函數(shù)值】

【例2】（2023秋?江蘇常州?九年級統(tǒng)考期末）已知點P在△ABC內(nèi)，連接P4PB、PC,在△P4B、△PBC、

△P4C中，如果存在一個三角形與相似，那么就稱點P為A48。的自相似點，如圖，在直角△相。中,

^ACB=90°,AC=12,BC=5,如果點P為直角△48C的自相似點，那么tanzACP=.

【變式2-11（2023春?吉林長春?九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，連結(jié)4C,延長BC到點E,使CE=4C,

過點E作AC的平行線與4。的延長線交于點尸.

⑴求證：四邊形4CEF是菱形;

（2）連結(jié)/IE,若tag4cB=左則ta%4EF的值為________.

8

【變式2-2］（2023秋?上海黃浦?九年級統(tǒng)考期末）如圖，平面上七個點A、8、C、D、E、F、G,圖中所有

的連線長均相等，則cosNB/3=.

【變式2-3］（2023春?山東荷澤?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在距48CD中，對角線AC、8。交于點。.點M是BC邊

的中點，連接AM、OM,作CFIIAM.已知OC平分心BCF,OB平分4AOM,若6。=3企，則sin46AM的值

為

【題型3銳角三角函數(shù)與相似三角形的綜合應(yīng)用】

【例3】（2023春?九年級課時練習(xí)）如圖，四邊形力8C0為矩形，點E為邊4B一點，將△ADE沿OE折疊，點

4落在矩形48C。內(nèi)的點F處，連接8F,且=Z8E"的正弦值為胃，則稱的值為（）

N5AD

【變式3-1］（2023?福建?模擬預(yù)測）如圖,在矩形4BCD中,18=4,40=2,點M、N分別在邊AB、AD±.

（不與端點重合），且DMJ.CN于點P.若乙APZ）=135。，則cos乙MNP=.

【變式3-2］（2023春?浙江杭州?九年級專題練習(xí)）如圖，在中，4c=90。，cosB=；,將△48C繞

頂點C旋轉(zhuǎn)得到夕C',且使得夕恰好落在AB邊上，4夕與AC交于點D,則粵的值為（）

A.-B.—C.—D.—

5201020

【變式3-3］（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，Z/4BC=90°,tanZ?AC=1,人。=2,BD=

4,連接C。，則C。長的最大值是（）

A.2V5+-B.2V5+1C.275+-D.2遙+2

42

【題型4銳角三角函數(shù)與圓的綜合應(yīng)用】

【例4】（2023?廣東惠州?校考模擬預(yù)測）如圖，A8是。。的直徑，點￡為弧AC的中點，AC.BE交于點D,

過A的切線交BE的延長線于F.

⑵若禁=￡求tan〃MD的值.

【變式4-1］（2023?湖北武漢??？既＃┤鐖D，43是。。的直徑，P4是。。的切線，P3交。0于。，點。是

弧BD」二一點，PC=P4

善用網(wǎng)

(1)求證：PC是o。的切線；

⑵若CDII48,求sin"CD的值.

【變式4-2](2023?浙江杭州?校考三模)如圖1,三角形內(nèi)接于?圓O,點。在圓。上，連接AD和CD,

交AB于點E,LADE+/.CAB=90°

(1)求證：是直徑；

(2)如圖2,點尸在線段BE上，AC=AF,NOCF=45。

①求證：OE二￡M；

②若=用含2的表達式表示cosB.

【變式4-3](2023?廣東湛江?統(tǒng)考二模)如圖CO是。。直徑，A是。。上異于C,。的一點，點B是0C延長

線上一點，連AB、AC.AD,K^BAC=^ADB.

A

(1)求證：直線48是OO的切線；

(2)若8C=2OC,求tan4/OB的值；

(3)在(2)的條件下，作的平分線力P交。。于P,交CO于E,連PC、PD,若4B=2后，求AE-AP的

值.

【題型5解非直角三角形】

【例5】(2023?天津河北?統(tǒng)考二模)如圖，在矩形A/JC。中，AD=2,DC=2萬，連接AC,點。在AC上，乙DEF=

90。,EC平分乙OEF,/IE=

【變式5-1］（2023春?九年級單元測試）在△/WC中，入〃=2,/\。=3,852人。。=乎,則乙4“。的大小為度.

【變式5-2］（2023春?江蘇蘇州?九年級蘇州市景范中學(xué)校?？计谀┮阎涸凇鰽BC中，AC=a,AB與BC

所在直線成45。角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為:四（即cosC36），則AC邊上的中線長

DD

是___________

【變式5-3］（2023?安徽合肥?合肥市第四十五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知：在△力BC中，BA=BC,sin4￡48=：,

5

點E是4c的中點，〃是直線3c上一點，連接將沿著EF折疊，點。的對應(yīng)點為￡）,連接/4D.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,若點。在線段A8上，求證：EFWAD；

⑵如圖2,。尸與力B交于點M,連接4心若〃MF=4巴4凡求證：點M是48的中點;

（3）如圖3,點尸在CB延長線上，DF與AB交于點M,EF交AB千點、N,若DE=EN=3,求Mr?AL4.

【題型6巧設(shè)輔助未知數(shù)解直角三角形】

【例6】（2023?遼寧沈陽?統(tǒng)考二模）如圖，在平行四邊形4BCD中，sin/1=募,BC=13,CO=24,點E在邊

CD上，將△BCE沿直線BE翻折，點C落在點F處，且4F=BF,則CE的長為

B

【變式6-1]（2023?上海?九年級期末）如圖，在ZC=90°,AC=6,BC=8,。是的中點，

點E在邊上，將△BOE沿直線DE翻折，使得點B落在同一平面內(nèi)的點所處，線段9。交邊A8于點F,聯(lián)結(jié)

AB',當是直角三角形時，BE的長為.

【變式6-2]（2023春?浙江?九年級期末）如圖，四邊形/1BCD,CEFG均為菱形，z/1=ZF,連結(jié)BE,EG,

EG//BC,EB1BC,若sin乙EGO=j菱形48co的周長為12,則菱形CEFG的周長為

*5

【變式6-3]（2023秋?福建泉州?九年級?？计谥校┤鐖D，回力BCD中，對角線力。與8。相交于點0,乙480=Z/1CF,

G是線段。。上一點，且NOGC-4CG=90。，①當月Cl8。時，詈的值為，②當tan乙CDB=立時，—

GD4GD

的值為.

【題型7構(gòu)造直角三角形進行線段或角的計算】

【例7】（2023?江蘇無錫?校聯(lián)考一模）如圖，已知四邊形A8CD為矩形,48=4,BC=8,點E在BC上且CE=AEt

則CE=；若點尸為平面內(nèi)一點，R^AFC=90°,連接EG當tan4CEF=2時，EF的值為

【變式7-1X2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考一模)如圖，在四邊形A8C?？贛D=BC,(ADC=tan乙4DC=；,

延長/B、DC交于點P,若CD=立P8=3CD,則線段4D的長為____.

4

【變式7-2](2023春?江蘇常州?九年級?？计谀?如圖，在△ABC中，力8=AC=10,點。、￡分別是邊AB、

邊BC上的點，連接CD,乙CDE=^B,尸是。E延長線上一點，連接/C,LFCE=^ACD.

(1)判斷△COF的形狀，并說明理由；

⑵若40=4,求裂的值；

L/C

(3)若sin8=m,BD=BE.

5

①求案的值；

②求FC的長.

【變式7-3](2023春?安徽?九年級專題練習(xí))如圖1,A/IBC的內(nèi)角NABC和外角的平分線相交于點。,

AE平分心BAC并交BD于點E.

BPB

圖1圖2

(1)求證：乙BAC=2乙D；

ODC

(2)若=且cosz8/lC=S求吧，

5DE

(3)如圖2,過點。作DFIBC,垂足為尸黑=3,其中器=%連接40、EC,求筮

【題型8解直角三角形與圓的綜合應(yīng)用】

【例8】(2023?黑龍江綏化??？既?如圖，在Rta/BC中，4c=90。，力。平分NB4c交BC于點。，。為48上

一點，經(jīng)過點力，D的圓。分別交/氏4C于點E,F,連接E凡

(1)求證：BC是圓。的切線：

(2)求證：AD2=AFABi

(3)若8E=16,sinB=卷,求AD的長.

【變式8-1】(2023?湖北武漢?校聯(lián)考模擬預(yù)測)點。在以48為直徑的。。上，分別以A8,為邊作平行四

■"BCD.

(1)(2)

(1)如圖(1),若NC=45。，求證：CD與。。相切；

(2)如圖(2),CD與。。交于點E,若cos4=j,求差的值.

5CE

【變式8-2](2023?廣東深圳?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，已知4B為。。的直徑，C為。。上的一點，連接力C、BC,D

為BC延長線上一點，連接/1D,乙DAC=LB.

(I)求證：｛。為。。的切線；

(2)若石為弧48的中點，連接4E、CE,tan^AEC=\,CE=10,求。。的半徑.

?5

【變式8-3](2023?湖南長沙?校考一模)如圖1,在Rtz\4BC中，/.ABC=90°,是。。的直徑，。0交4c于

點D,過點。的直線交BC于點E,交48的延長線于點P,PD是。。的切線.

圖1圖2

(1)求證：BE=CEx

(2)若8P=3,乙P=^PDB,求圖中陰影部分的周長;

(3)如圖2,AM=BM,連接。M,交48于點N,若tan/DMB=；,求MN:MD的值.

【題型9構(gòu)造直角三角形解決實際問題】

【例9】(2023?浙江溫州?校聯(lián)考二模)長嘴壺茶藝表演是一項深受群眾喜愛的民俗文化，所用到的長嘴壺更

是歷史悠久.圖1是某款長嘴壺模型放置在水平桌面/上的抽象示意圖，已知壺身力B=AO=8C=120cm,

CD=40cm,壺嘴EF=150cm,RCD\\ABfEF\\BC,DE=3AE,貝"sin4FED=,如圖2,若長嘴壺中裝

有若干茶水，繞點A轉(zhuǎn)動壺身，當恰好倒出茶水時，F(xiàn)D||/,則此時出水口?到桌面的距離為cm.

【變式9-1](2023春?浙江?九年級專題練習(xí))火災(zāi)是最常見、最多發(fā)的威脅公眾安全和社會發(fā)展的主要災(zāi)害

之一，消防車是消防救援的主要裝備.圖1是某種消防車云梯，圖2是其側(cè)面示意圖，點。，B,。在同一

直線上，。?？衫@著點。旋轉(zhuǎn)，力B為云梯的液壓桿，點0,A,C在同一水平線上，其中可伸縮，套管。3的

長度不變，在某種工作狀態(tài)下測得液壓桿力8=3m,LBAC=53°,4DOC=37。.

D

B

圖1圖2

⑴求8。的長.

⑵消防人員在云梯末端點。高空作業(yè)時，將80伸長到最大長度6m,云梯。。繞著點。順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度,

消防人員發(fā)現(xiàn)鉛直高度升高了3m,求云梯。。旋轉(zhuǎn)了多少度參考數(shù)據(jù):SE37。"tan37^*.53。。%

4

tan53°?sin64°?0.90,cos64°?0.44）

3

【變式9-2］（2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模）如圖1是?款便攜式拉桿車，其側(cè)面示意圖如圖2所示，前輪。。的

直徑為12cm,拖盤與后輪。。相切于點N,手柄。/_L02.側(cè)面為矩形A4CO的貨物置于拖盤上，AD=

20cm,BC=52cm.如圖3所示，傾斜一定角度拉車時，貨物繞點8旋轉(zhuǎn)，點C落在0/上，若tan〃8E=占

則0C的長為cm,同一時刻，點。離地面高度/i=56cm,則點4離地面高度為cm.

【變式9-3］（2023?江西九江?統(tǒng)考三模）如圖1是某品牌的紙張打孔機的實物圖，圖2是從中抽象出的該打

孔機處于打孔前狀態(tài)的側(cè)面示意圖，其中打孔機把柄。4=5cm,BE是底座，。力與BE所成的夾角為36.8。，

。點是把柄轉(zhuǎn)軸所在的位咒，且。點到底座BE的距離。。=2cm.。。與一根套管相連，00可繞。點轉(zhuǎn)動，此

時，O0IBE,套管內(nèi)含打孔針MN,打孔針的頂端M觸及到但與。力不相連，MN始終與8E垂直，且。M=

1cm,MN=2cm.

'A/A

(1)汀孔針MN的針尖N離底座BE的距離是多少厘米？

(2)壓下把柄。4直到4點與8點重合，如圖3,此時，M.。兩點重合，把柄。4將壓下打孔針例N并將它鍥

入放在底座8E上的紙張與底座之內(nèi)，從而完成紙張打孔，問：打孔針MN鍥入底座BE有多少厘米？

(參考數(shù)據(jù):sin36.8°?cos36.8°?tan36.8°?-)

554

專題28.6銳角三角函數(shù)章末九大題型總結(jié)（拔尖篇）

【人教版】

，題型梳理

【題型1構(gòu)建直角三角形求銳角三角函數(shù)值】......................................................1

【題型2用等角轉(zhuǎn)換法求銳角三角函數(shù)值】........................................................2

【題型3銳角三角函數(shù)與相似三角形的綜合應(yīng)用】..................................................3

【題型4銳角三角函數(shù)與圓的綜合應(yīng)用】..........................................................4

【題型5解非直角三角形】.......................................................................5

【題型6巧設(shè)輔助未知數(shù)解直角三角形】..........................................................6

【題型7構(gòu)造直角三角形進行線段或角的計算】....................................................7

【題型8解直角三角形與圓的綜合應(yīng)用】..........................................................9

【題型9構(gòu)造直角三角形解決實際問題】...........................................................10

，舉一反三

【題型1構(gòu)建直角三角形求銳角三角函數(shù)值】

【例1】（2023春?安徽?九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形'BCD中，=60°,zC=90°,E為邊BC上的點,

△4DE為等邊三角形，BE=8,CE=2,則tan/AEB的值為（）

A.挈B.竽C.甲D.”

【答案】C

【分析】作EF1于點F,A//1BE于點H,解直角△8EF,得出8尸=：8E=4,證明/三得

出＜"=EC=2,再求出力〃=3力，HE=5,然后利用正切函數(shù)定義即可求解.

【詳解】如圖，作EF148于點凡AH1BE于點H,

.:乙B=60°,BE=8,

.?.ZBEF=900-ZF=30°,

：,BF=-BE=4.

2

??NADE為等邊三角形，

：.AAED=60°,AE=DE,

*：LBAE+48+Z.AEB=180°,乙DEC+Z-AED+/.AEB=180°,

：,LBAE=乙DEC,

在ZMEF與AEOC中，

(Z.EAF=乙DEC

LAFE=Z-C,

(AE=ED

"AEF三△W(AAS),

：.AF=EC=2,

：,AB=AF+BF=2+4=6,

=90°,匕BAH=90°一乙B=30°,

：.BH==3,AH=WBH=3百，

：.HE=BE-BH=8-3=5,

?4zACUAH36

故選：C.

【點睛】此題考查了解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形

的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義等知識，準確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1](2023春?湖北襄陽?九年級統(tǒng)考期中)如圖,在△48。中，乙4=90。,若BE=mAC,CD=mAB,

連接8C、DE交于點F,則cos4BFE的值為.

【分析】過C作CG1BC,過。作。GJLHZ),如圖所示，先證明△A8CDCG,得到8E=ma=DG,從而

判定四邊形O?DG是平行四邊形，進而ZT0II3G,得至1此。/咕=々C3G,在RtA/WC中，DC=Va?+d2；在

RtACDG中，GC=mVa2+d2；在RtaBCG中，BG=>JBC2+CG2=V（1+m2）（a2+d2）,即可得到

>Ja2+b2_Vzn2+1

cosZ-BFE=cosZ-CBG=—=

BGV（l+ni2）（a2+b2）m2+l

【詳解】解：過C作CG1BC,過。作DGJ_4),如圖所示:

DGIIAB,/.BCG=90%Z-CDG=90°,

vLA=90°,

.??4ABC+Z.ACB=90%

???/BCG=90°,

Z.ACB+Z.DCG=90°,

???Z.ABC=（DCG,

:心ABCs&DCG,

A3AC

DCDG

vBE=mAC,CD=mABt

設(shè)/IC==b,=ma,CD=mb,則上~=上，解得OG=ma,

mbDG

???BE=ma=DG,

???BEIIDG,

???四邊形8EDG是平行四邊形，

???ED||BG,

:.LBFE=乙CBG,

在。中，Z.A=90°,AC=a,AB=b,則BC=加+扭,

22

在Rt△COG中，Z-CDG=90°,BE=ma,CD=mbt則GC=mVa+b,

在Rt△BCG中，4BCG=90。，則8G=y/BC2+CG2=J（1+加）（。2+廣）cos乙BFE=cos^CBG=案

強2+匕2_Vm^+1

V（14-m2）（a2+b2）m2+l'

故答案為：蕓三.

【點睛】本題考查求三角函數(shù)值，涉及相似三角形判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理及余弦

函數(shù)定義，準確構(gòu)造輔助線，熟練運用相似三角形判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

【變式1-2]（2023?四川成都?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtZkABC中,Z.ABC=90°,CD平分乙4c8交43于點D,

過。作OEI歸C交4c于點￡,將△DEC沿OE折疊得到DF交4c于點G.若氏=（則tanA=.

【答案】于

【分析】過點G作GM1于M,證明△/）隨?△CG。，得出DG2=GEXGC,根據(jù)AD||GM,得黑號=器

設(shè)GE=3,/G=7,EM=3n,則DM=7n,則EC=DE=lOn,在Rt^DGM中，GM2=DG2-DM2,在

RtAGME中，GM?=GE2一EM?,則DG?-DM?=GE2一EM?,解方程求得n=三，則EM=?,GE=3,

44

勾股定理求得GM,根據(jù)正切的定義，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點G作GMJ.OE于M,

〈CD平分44c8交A8于點。，DEWC

Azi=Z2,Z2=z3

"1=Z3

：,ED=EC

???折疊,

Az3=z4,

Azi=Z4,

又?：乙DGE=cCGD

?e?ADGEs匕CGD

?DGGE

??而=而

：,DG2=GExGC

???//18C=90。，DEWBC,則AD_LDE,

：.AD\\GM

:嗜=黑,/_MGE=Z-A,

GEME

..AG7DM

?一=-=---

GE3ME

設(shè)GE=3,4G=7,EM=3n,則DM=7"，則EC=OE=10m

'：DG2=GExGC

：.DG2=3x(3+lOn)=9+30n

在RtAOGM中，GM2=DG2-DM2

在Rt△GME中，GM2=GE2-EM2

：,DG2-DM2=GE2-EM2

即9+30n-(7n)2=32-(3n)2

解得：n=^

4

：.EM=-,GE=3

4

貝IJGM=ylGE2-ME2=J32-=乎

tan/l=tanzEGM=空=告=—

MG3V77

4

故答案為：子.

【點睛】本題考查了求正切，折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟

練掌握以上知識是解題的美鍵.

【變式1-3](2023春?江蘇常州?九年級?？计谀?如圖，在△力8c中，AB=AC=5,BC=4,AD是BC邊

上的高,將△48C繞點C旋轉(zhuǎn)到aEFC(點E、F分別與點A、8對應(yīng))，點〃落在線段40上，連接4E,則

COSZ.EAF=.

A

E

D

［答案］烏薩

【分析】過點E作EG1力。于點G,結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求8SN/CD=是=：,進而可證A/ICE是等邊三角形,

可求出力。=或1-2百，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點￡作EG于點G,

???將△/18C繞點C旋轉(zhuǎn)，點4落在線段/10上的點尸處，

CF=BC=4,CE=EF=AB=5,乙ACB=乙ECF,AC=EC,

:.Z.FCD+Z.ACF=Z.ACE+Z.ACF,

???Z.FCD=Z.ACE；

vAB=AC,力。是8C邊上的高，

CD=^BC=2,

2

???cosZ-FCD=7C7F=~4=2

:.Z.FCD=60°,

:.DF=CF?sinzFCD=4Xy=2痘,

:.Z.ACE=Z.FCD=60°,

AC=EC,

??.△ACE是等邊三角形，

AE=EF=5,

.?.在RtZk/lCD中

AD=>JAC2—CD2=V52-22=V2T?

???AF=AD-DF=VH-2V3,

v/IF=EF,EGLAD,

???AG=-1AAFL=-V-2-1--2-V-3,

22

r—L

，?口AGVII273

:，COSZ.EAF=—=———Zi—-=-V-n-2->-/-3.

AE510

故答案為：注了.

【點睛】本題考杳了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形“三線合一”，等邊三角形的判定及性質(zhì)，特殊角的

三角函數(shù)等，掌握相關(guān)性質(zhì)及定理，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【題型2用等角轉(zhuǎn)換法求銳角三角函數(shù)值】

【例2】（2023秋?江蘇常州?九年級統(tǒng)考期木）已知點產(chǎn)在△A3C內(nèi)，連接PA、PB、PC,在△PHB、△PBC.

△PAC中，如果存在一個三角形與AABC相似，那么就稱點尸為A4BC的自相似點，如圖，在直角△4BC中,

Z.ACB=90°,AC=12,BC=5,如果點P為直角△ABC的自相似點，那么tanzACP=.

【答案嗎

【分析】先找到Rt△48c的內(nèi)相似點，再根據(jù)三角函數(shù)的定義計算tan乙4cp即可.

【詳解】解：*：^ACB=90°,AC=12,BC=5,

：.LCAB<Z.CBA,

故可在2CB4內(nèi)作NCBP=NC48,

又1?點P為公ABC的自相似點,

???過點C作C尸,尸兒并延長CP交48于點Q,

A

則ABPC?AACB,

???點P為△力BC的自相似點,

：.Z.BCP=Z.CBA,

：.LACP=Z.BAC,

scq

，tan乙4cp=tanz.BAC=——=—,

故答案為:*

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，利用條件先確定出P點的位置是解題的關(guān)鍵.

【變式2-11（2023春?吉林長春?九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABC。中，連結(jié)4C,延長BC到點E,使CE=AC,

過點E作力C的平行線與40的延長線交于點兒

（1）求證：四邊形ACEF是菱形；

（2）連結(jié)若tan乙4cB=/，則tan44EF的值為________

8

【答案】（1）見解析

【分析】（1）根據(jù)進行的性質(zhì)得出4FIICE,進而得出四邊形ACEF是平行四邊形.根據(jù)鄰邊相等的平行四

邊形是菱形，即可得證；

（2）根據(jù)tan乙/1CB=受，在RtaHCB中，設(shè)48=15k,則BC=8k,根據(jù)菱形的性質(zhì)得出4C=EC=17k,

8

^AEF=^AEB,進而根據(jù)正切的定義，即可求解.

【詳解】（1）證明；?.?在矩形/13CD中，ADWBC,HP/1F||CE,

又，;EF||AC,

.?.四邊形力CEF是平行四邊形.

又???CE=AC,

四邊形4CE『是菱形.

(2)解：如圖所示，

連接交與點。，

???四邊形4C"是菱形,

/.ZE1FC

???tanUCB=竺，

8

在RtA/lCB中，設(shè)48=15”,貝UBC=8k,

則=>JAB2+BC2=17k,

???四邊形/CE尸是菱形，

：,AC=EC=17k,Z.AEF=44E8,

Atanz/IEF=tanZ.AEB=—=上二=

BE17k+8k5

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，求正切，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2023秋?上海黃浦?九年級統(tǒng)考期末)如圖，平面上七個點A、B、C、。、E、F、G,圖中所有

的連線長均相等，則cos/BAF=.

'D

【答案】I

【分析】連接AC、AQ,過點。作Z）M_LAC垂足為過點A作AN_LCO于點N.由各邊都相等，得△A8G、

△4E產(chǎn)、△C8G和△OE/都是等邊三角形，四邊形A8CG、四邊形AEQ尸是菱形，若設(shè)A8的長為x,根據(jù)

等邊三角形、菱形的性質(zhì)，計算出的長岳，N8AC=NE4D=30。，可證明/A4產(chǎn)=/C4D；易得

△CMQS/XCNA,從而示求得CM的長，進而求得AM的長，在直角△AMD中，由余弦的定義即可求出

cos/CAI）從而求得結(jié)果.

【詳解】解：連接AC、AD,過點。作QM_LAC,垂足為M,過點A作AMLCY）于點N,如圖.

設(shè)AE的長為x,則AB=AG=BG=CG=CB=AF=AE=EF=x

:.區(qū)ABG、△AEF.△CBG。石尸都是等邊三角形

四邊形人ACG、四邊形4巨。尸是菱形

???NZMC=NE4O=30°

：.AC=AD=2xcosZBAO<AB=2>>YX=y/3x

???ZCAD=/BAE-NBAC-/EAD=ZBAE-600,ZBAF=ZBAE-ZEAF=NBAE-60°

：,^BAF=ZCAD

???OM_LAC,ANLCD,/CAN=NCDM

:.'CMDSRCNA

,CMCD

??加=就

*：AC=AD,AN±CD

：,CN=-CD=-x

22

/.CM=CD^N=xx4-(V3x)=-x

4C26

：.AM=AC-CM=V3x--x=—x

66

在AMD中，cosZCAD=—=-

AD6

：,cosZBAF=-.

6

故答案為J.

6

【點睛】本題考查了等邊二角形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角二角函

數(shù).把求N84E的余弦轉(zhuǎn)化為求NCAQ的余弦是解決本題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2()23春?山東荷澤?九年級統(tǒng)考期中)如圖，在即48CD中，對角線力。、BD交于點0.點、M是BC邊

的中點，連接AM、OM,W-CFIIAM.已知0C平分4BC",0B平分NAOM,若BD=3四,則sinzB/M的值

為___

BMC

【答案】管

【分析】過點E作EH_L48于〃，由角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證明=再由等腰三角形的性質(zhì)

證明N40M=90。，由題意證明OM為△48C的中位線，得到。M||A8,OM=^AB,則有4840=90。，進

而推出=AO=^-OB=-,利用勾股定理得至1MM=y/OM2+0A2=—,證明△力BEMOE,得到變=

224ME

與=器=2,求出AE=0M=三,8E=；0B=VL再推出BH=EH=^BE=1,得到=利用

OMOE32322

s\nLBAM=siniHAE則問題可解.

【詳解】解：如圖所示，過點E作EA14B于，，

AD

TOC平分48",

:?M)CF=乙OCB,

VCFIIAM,

=匕4CF,

：.LMAC=Z.MCA,

；?MA=MC,

???四邊形ABC。是平行四邊形，對角線AC、BD交于點、0,

JOB=",。4=0C

22

：.0M1AC,即Z4OM=90。，

:08平分NAUM,

：.AAOB=45°,

??”為此的中點，

，0M為△A3c的中位線，

：.0M||AB,OM=-AB.

2

：.LBA0=180°-乙力OM=90°,

：.LABO=45°=NAOB,

：,AB=AO=—OB=-,

22

13

：.OM=〃B=。

24

：.AM=70M2+。。2=鳴

4

*：OM||AB.

:.LABEMOE,

.AEABBE\

??薪"OM-OF-'

：.AE='^AM=—,BE=1OB=VL

323

?：EH1AB,

:.乙BEH=45°=(EBH,

：.BH=EH=—BE=1,

2

：,AH=1,

sinz.BAM=sinz.HAE=—=—,

AE5

故答案為：學(xué)

【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線

定理，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，利用相似三角的性質(zhì)構(gòu)造比例式，得到線段之間數(shù)量關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

【題型3銳角三角函數(shù)與相似三角形的綜合應(yīng)用】

【例3】（2023春?九年級課時練習(xí)）如圖，四邊形力BCD為矩形，點E為邊AB一點，將A/IDE沿DE折疊，點

/落在矩形內(nèi)的點F處，連接8F,且=的正弦值為總，則空的值為（）

【答案】A

【分析】過點/作FP上AB于點P,根據(jù)折疊的性質(zhì)及BE=EF,可得NAED=NEBF,從而可得^ADE^APFB,

由，8EF的正弦值為彳,設(shè)EF=25a,則PF=24小由勾股定理求得PE=7a,從而可得BP,則由相似可得若=黑,

25ADPF

再由折疊的性質(zhì)可得點七是A3的中點，從而可求得結(jié)果.

【詳解】如圖，過點/作FPJ_A8于點P

由折疊的性質(zhì)可得：AE=EF,ZAED=ZFED

,：BE=EF

：.BE=AE=EF,ZEFB=ZEBF

V^BEF+2ZAED=ZBEF+2ZEBF=\S0°

：.NAED=/EBF

???四邊形ABC。為矩形，PFLAB

：.ZA=ZFPZ?=90°

.??'ADEs4PFB

.AEBP

??布=而

???在RtzxPEF中，sin48EF=U=蕓

，設(shè)EF=25m則PF=24a

由勾股定理求得PE=VFF2-PF2=7a

：?BP=BE—PE=18a

.,.—AE=—BP=18a=-3

ADPF24a4

?,?AB2AE-一3

ADAD2

?AD2

??

AB3

故選:A.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，等腰

三角形的性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是由正弦值出發(fā)設(shè)石尸與尸尸的長，難點是證明反

【變式3-1]（2023?福建?模擬預(yù)測）如圖,在矩形48CD中,18=4,AD=2,點M、N分別在邊48、4。上

（不與端點重合），且。MlCN于點尸.若乙1PO=135。，則cos乙MNP=.

【答案】

【分析】根據(jù)題意得出4N,P,M四點共圓，結(jié)合題意得出是等腰直角三角形，設(shè)力M=4N=a,證明

△4.MD?△DNC得出。=會勾股定理得出MN,DM,證明△DPN口4M得出NP,進而根據(jù)余弦的定義即

可求解.

【詳解】解：???四邊形4BC0是矩形，DM1CN

：.AMAN=乙MPN=90°,

,?",N,P,M四點共圓,

'：LAPD=135°,

=LAPM=180°-￡APD=45°,

???A/1NM是等腰直角三角形,

設(shè)/IM=AN=a,

*：LADM=90-乙DNP=乙DCN,Z.MAD=乙NDC=90°,

AAAMD?△ONC

AMAD

"~DN=~DC

?a2

..—=-

2-a4

解得：a=p

：.AM=AN=-,ND=-,則MN=?4M=2a.

333

DM=yjAM24-AD2-J(|)~+22=

又?：乙DPN=Z.DAM=90。，4ADM=乙PDN

:MDPN-LDAM

,NPND

.?—=—

AMDM

，9=^￡=尹=出

DM|-/1015

2尺

???cos乙MNP=^=蓬=*

3

故答案為：坐.

【點睛】本題考查了90。角所對的弦是直徑，相似三角形的性質(zhì)與判定，求余弦，證明△4M0~a0NC,△

DPNDAM是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023春?浙江杭州?九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt/kABC中，LC=90°,cosB=k將△力8c繞

頂點C旋轉(zhuǎn)得到△48'C',且使得夕恰好落在AB邊上，4夕與AC交于點D,則粵的值為（）

【答案】B

【分析】如圖（見解析），設(shè)BC=3a（a>0）,先根據(jù)余弦三角函數(shù)得出BE的長，再根據(jù)等腰三角形的三

線合一可得B夕的長，從而可得力『的長，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=4a,乙4二乙4',最后根據(jù)相似三

角形的判定與性質(zhì)可得粵=祟，由此即可得出答案.

CL）C

【詳解】如圖，過點C作CE于點E

???在RtAABC中，“=90。，cosB=;

A155

???可設(shè)8C=3a（Q>0）,則48=5a,AC=yjAB2-BC2=4a

???△8。夕是等腰三角形

二BB'=2BE（等腰三角形的三線合一）

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，B'C=BC=3a,4C=4C=4a,乙4=

在中，cosB=些，即些=三

BC3a5

解得BE=

,18a

???BB'=2BE=—

KJ

,,18a7a

AB'=AB-BB'=5a--=—

JJ

在△力8'。和△4G）中，｛乙4="

Z-ADB'=乙A'DC

:心AB'D?AA'CD

,7a

Bt'D_4〃_3_—7

"*75-==4a=20

故選:B.

【點睛】本題考查了余弦三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，

通過作輔助線，運用余弦三角函數(shù)求出BE的長是解題關(guān)鍵.

【變式3-3］（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在△"＜：中，乙48c=90。，tan/MC=jAD=2,BD=

4,連接CD,則CD長的最大值是（）

A.2V54--B.2V5+1C.2遙+；D.2V5+2

42

【答案】B

【分析】過點A作ND4P=NZMC,過點。作AQ_L。。交AP于點P,分別求出P。，PC,在△PQC中，利用

三角形的三邊關(guān)系即可求出CO長的最大值.

【詳解】解：如圖，過點A作ND4六N8AC,過點。作AQ_LOP交AP于點P,

?：Z4BC=90°,tan484c=

2

.*.tanzD/lP=tanzF/lC=

2

.DP1

??一=->

AD2

VXD=2,

:.DP=\,

??ND4P=/B4C,ZADP=ZABC,

：.2d)Ps，ABC,

,AP_AD

**AC~AB

VZDAB=ZDAP+ZR\B,ZR\C=Zl^B+Z13AC,ZDAP=ZBAC,

AADAB=ZPAC,—ACAB,

J\ADBsXAPC,

?.?-AD-=-D-B-,

APPC

a：AP=\AD2+D