初中數(shù)學專題訓練_二次方程與函數(shù)應用解析及答案詳解一、引言在初中數(shù)學的知識體系中，二次方程與二次函數(shù)是極為重要的內(nèi)容，它們不僅是代數(shù)知識的核心部分，也是解決許多實際問題的有力工具。二次方程與二次函數(shù)之間存在著緊密的聯(lián)系，二次函數(shù)的圖像與\(x\)軸的交點問題可以轉(zhuǎn)化為二次方程的根的問題，而二次方程也可以看作是二次函數(shù)在函數(shù)值為\(0\)時的特殊情況。通過對二次方程與函數(shù)應用的專題訓練，能夠幫助同學們深入理解這兩部分知識的內(nèi)涵與相互關(guān)系，提高運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。二、二次方程與函數(shù)的基礎(chǔ)知識回顧（一）一元二次方程1.定義：只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是\(2\)（二次）的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式為\(ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)\)，其中\(zhòng)(ax^{2}\)是二次項，\(a\)是二次項系數(shù)；\(bx\)是一次項，\(b\)是一次項系數(shù)；\(c\)是常數(shù)項。2.解法-直接開平方法：適用于形如\((x+m)^{2}=n(n\geq0)\)的方程，解為\(x=-m\pm\sqrt{n}\)。-配方法：通過配方將一元二次方程轉(zhuǎn)化為完全平方式來求解。步驟為：先將常數(shù)項移到等號右邊，再在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，將方程化為\((x+m)^{2}=n\)的形式，最后用直接開平方法求解。-公式法：對于一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)\)，其求根公式為\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}(b^{2}-4ac\geq0)\)，其中\(zhòng)(\Delta=b^{2}-4ac\)叫做根的判別式。當\(\Delta\gt0\)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當\(\Delta=0\)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當\(\Delta\lt0\)時，方程沒有實數(shù)根。-因式分解法：將方程的一邊化為\(0\)，另一邊分解成兩個一次因式的乘積，使原方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解。（二）二次函數(shù)1.定義：一般地，形如\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中\(zhòng)(x\)是自變量，\(y\)是因變量。2.圖像與性質(zhì)-圖像：二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)的圖像是一條拋物線。當\(a\gt0\)時，拋物線開口向上；當\(a\lt0\)時，拋物線開口向下。-對稱軸與頂點坐標：對稱軸公式為\(x=-\frac{2a}\)，頂點坐標為\((-\frac{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a})\)。-增減性：當\(a\gt0\)時，在對稱軸左側(cè)（\(x\lt-\frac{2a}\)），\(y\)隨\(x\)的增大而減??；在對稱軸右側(cè)（\(x\gt-\frac{2a}\)），\(y\)隨\(x\)的增大而增大。當\(a\lt0\)時，在對稱軸左側(cè)（\(x\lt-\frac{2a}\)），\(y\)隨\(x\)的增大而增大；在對稱軸右側(cè)（\(x\gt-\frac{2a}\)），\(y\)隨\(x\)的增大而減小。三、二次方程與函數(shù)的應用類型及解析（一）實際問題中的一元二次方程應用1.增長率問題-問題描述：設(shè)基數(shù)為\(a\)，平均增長率為\(x\)，則一次增長后的值為\(a(1+x)\)，兩次增長后的值為\(a(1+x)^{2}\)；若平均降低率為\(x\)，則一次降低后的值為\(a(1-x)\)，兩次降低后的值為\(a(1-x)^{2}\)。-例題：某商場今年\(1\)月份的營業(yè)額為\(400\)萬元，\(3\)月份的營業(yè)額達到\(576\)萬元，求該商場這兩個月營業(yè)額的平均增長率。-解析：設(shè)該商場這兩個月營業(yè)額的平均增長率為\(x\)。根據(jù)上述公式，\(1\)月份營業(yè)額為\(400\)萬元，\(2\)月份營業(yè)額為\(400(1+x)\)萬元，\(3\)月份營業(yè)額為\(400(1+x)^{2}\)萬元。可列方程\(400(1+x)^{2}=576\)，化簡得\((1+x)^{2}=1.44\)，開平方得\(1+x=\pm1.2\)，解得\(x_{1}=0.2=20\%\)，\(x_{2}=-2.2\)（增長率不能為負，舍去）。所以該商場這兩個月營業(yè)額的平均增長率為\(20\%\)。2.利潤問題-問題描述：利潤\(=\)售價\(-\)成本，總利潤\(=\)每件利潤\(\times\)銷售量。通過設(shè)未知數(shù)，根據(jù)利潤關(guān)系列出一元二次方程求解。-例題：某商店購進一批單價為\(20\)元的日用品，如果以單價\(30\)元銷售，那么半個月內(nèi)可以售出\(400\)件。根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高\(1\)元，銷售量相應減少\(20\)件。問如何提高售價，才能在半個月內(nèi)獲得最大利潤？-解析：設(shè)銷售單價提高\(x\)元，則每件的利潤為\((30+x-20)\)元，銷售量為\((400-20x)\)件?？偫麧橽(y=(30+x-20)(400-20x)=-20x^{2}+200x+4000\)。對于一元二次方程\(y=-20x^{2}+200x+4000\)，其中\(zhòng)(a=-20\lt0\)，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值。根據(jù)對稱軸公式\(x=-\frac{2a}=-\frac{200}{2\times(-20)}=5\)。所以當\(x=5\)時，\(y\)有最大值。即銷售單價提高\(5\)元，定為\(35\)元時，可在半個月內(nèi)獲得最大利潤。（二）二次函數(shù)在幾何問題中的應用1.面積問題-問題描述：根據(jù)幾何圖形的面積公式，結(jié)合二次函數(shù)的知識來求解面積的最大值或最小值。-例題：用長為\(20m\)的籬笆，一面靠墻（墻足夠長）圍成一個長方形的園子，怎樣圍才能使園子的面積最大？最大面積是多少？-解析：設(shè)長方形園子與墻垂直的邊長為\(x\)米，則與墻平行的邊長為\((20-2x)\)米，園子的面積\(S=x(20-2x)=-2x^{2}+20x\)。其中\(zhòng)(a=-2\lt0\)，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值。根據(jù)對稱軸公式\(x=-\frac{2a}=-\frac{20}{2\times(-2)}=5\)。當\(x=5\)時，\(S\)有最大值，\(S=-2\times5^{2}+20\times5=50\)平方米，此時與墻平行的邊長為\(20-2\times5=10\)米。所以當與墻垂直的邊長為\(5\)米，與墻平行的邊長為\(10\)米時，園子面積最大，最大面積是\(50\)平方米。2.運動軌跡問題-問題描述：在平面直角坐標系中，根據(jù)物體的運動規(guī)律建立二次函數(shù)模型，解決相關(guān)問題。-例題：如圖，在平面直角坐標系中，有一個小球從點\(A(0,4)\)處水平拋出，其運動軌跡是拋物線\(y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+c\)的一部分。已知小球經(jīng)過點\(B(4,0)\)，求該拋物線的解析式。-解析：因為拋物線\(y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+c\)經(jīng)過點\(A(0,4)\)和\(B(4,0)\)，將點\(A(0,4)\)代入拋物線方程可得\(c=4\)。再將點\(B(4,0)\)和\(c=4\)代入拋物線方程\(y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+4\)中，得到\(0=-\frac{1}{2}\times4^{2}+4b+4\)，化簡得\(0=-8+4b+4\)，即\(4b=4\)，解得\(b=1\)。所以該拋物線的解析式為\(y=-\frac{1}{2}x^{2}+x+4\)。四、綜合訓練題及答案詳解（一）選擇題1.一元二次方程\(x^{2}-4x+3=0\)的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.無法確定答案：A詳解：對于一元二次方程\(x^{2}-4x+3=0\)，其中\(zhòng)(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=3\)，根據(jù)根的判別式\(\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times1\times3=16-12=4\gt0\)，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選A。2.二次函數(shù)\(y=2x^{2}-4x+5\)的頂點坐標是（）A.\((1,3)\)B.\((-1,3)\)C.\((1,-3)\)D.\((-1,-3)\)答案：A詳解：對于二次函數(shù)\(y=2x^{2}-4x+5\)，其中\(zhòng)(a=2\)，\(b=-4\)，\(c=5\)。根據(jù)對稱軸公式\(x=-\frac{2a}=-\frac{-4}{2\times2}=1\)，將\(x=1\)代入函數(shù)可得\(y=2\times1^{2}-4\times1+5=2-4+5=3\)，所以頂點坐標為\((1,3)\)，故選A。（二）填空題1.若關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(x^{2}+2x+m=0\)有兩個相等的實數(shù)根，則\(m\)的值為______。答案：\(1\)詳解：因為一元二次方程\(x^{2}+2x+m=0\)有兩個相等的實數(shù)根，所以\(\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\times1\timesm=0\)，即\(4-4m=0\)，解得\(m=1\)。2.二次函數(shù)\(y=-x^{2}+2x+3\)的圖像與\(x\)軸的交點坐標為______。答案：\((-1,0)\)，\((3,0)\)詳解：令\(y=0\)，則\(-x^{2}+2x+3=0\)，方程兩邊同時乘以\(-1\)得\(x^{2}-2x-3=0\)，因式分解得\((x-3)(x+1)=0\)，解得\(x_{1}=3\)，\(x_{2}=-1\)。所以二次函數(shù)\(y=-x^{2}+2x+3\)的圖像與\(x\)軸的交點坐標為\((-1,0)\)和\((3,0)\)。（三）解答題1.某商場銷售一種商品，已知這種商品的進價為每件\(60\)元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時間內(nèi)，銷售量\(y\)（件）與銷售單價\(x\)（元）之間的關(guān)系式為\(y=-2x+200\)。設(shè)這種商品在這段時間內(nèi)的銷售利潤為\(w\)元，求\(w\)與\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式；當銷售單價為多少元時，銷售利潤最大？最大利潤是多少？答案：\(w=-2x^{2}+320x-12000\)；當銷售單價為\(80\)元時，銷售利潤最大，最大利潤是\(800\)元。詳解：根據(jù)利潤公式，\(w=(x-60)y=(x-60)(-2x+200)=-2x^{2}+200x+120x-12000=-2x^{2}+320x-12000\)。對于二次函數(shù)\(w=-2x^{2}+320x-12000\)，其中\(zhòng)(a=-2\lt0\)，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值。根據(jù)對稱軸公式\(x=-\frac{2a}=-\frac{320}{2\times(-2)}=80\)。當\(x=80\)時，\(w=-2\times80^{2}+320\times80-12000=-12800+25600-12000=800\)。所以\(w\)與\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式為\(w=-2x^{2}+320x-12000\)；當銷售單價為\(80\)元時，銷售利潤最大，最大利潤是\(800\)元。2.如圖，在\(\triangleABC\)中，\(\angleB=90^{\circ}\)，\(AB=6cm\)，\(BC=8cm\)，點\(P\)從點\(A\)開始沿\(AB\)邊向點\(B\)以\(1cm/s\)的速度移動，點\(Q\)從點\(B\)開始沿\(BC\)邊向點\(C\)以\(2cm/s\)的速度移動。如果\(P\)，\(Q\)分別從\(A\)，\(B\)同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒后\(\trianglePBQ\)的面積等于\(8cm^{2}\)？答案：經(jīng)過\(2\)秒或\(4\)秒后\(\trianglePBQ\)的面積等于\(8cm^{2}\)。詳解：設(shè)經(jīng)過\(t\)秒后\(\trianglePBQ\)的面積等于\(8cm^{2}\)。則\(AP=tcm\)，\(PB=(6-t)cm\)，\(BQ=2tcm\)。根據(jù)三角形面積公式\(S_{\trianglePB