2025高考數(shù)學(xué)備考指南_平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的深入解析與攻略一、引言在高考數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中，平面向量是一個(gè)重要的板塊，它兼具代數(shù)與幾何的雙重特性，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。而平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算更是其中的核心內(nèi)容之一，在歷年高考中頻繁出現(xiàn)，題型涵蓋選擇題、填空題和解答題。深入理解和熟練掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，對(duì)于考生在高考數(shù)學(xué)中取得優(yōu)異成績至關(guān)重要。本文將對(duì)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行深入解析，并提供相應(yīng)的備考攻略，助力2025年高考考生備考。二、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)回顧（一）平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與\(x\)軸、\(y\)軸方向相同的兩個(gè)單位向量\(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)作為基底。對(duì)于平面內(nèi)的任一向量\(\vec{a}\)，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)\(x\)，\(y\)，使得\(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\)。我們把有序數(shù)對(duì)\((x,y)\)叫做向量\(\vec{a}\)的坐標(biāo)，記作\(\vec{a}=(x,y)\)。其中\(zhòng)(x\)叫做\(\vec{a}\)在\(x\)軸上的坐標(biāo)，\(y\)叫做\(\vec{a}\)在\(y\)軸上的坐標(biāo)。例如，若向量\(\vec{a}\)的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)\(O(0,0)\)，終點(diǎn)為\(A(3,4)\)，則\(\vec{a}=\overrightarrow{OA}=(3,4)\)。（二）平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則1.加法運(yùn)算：若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)。-幾何意義：兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和。-例如，已知\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,-1)\)，則\(\vec{a}+\vec=(1+3,2+(-1))=(4,1)\)。2.減法運(yùn)算：若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)。-幾何意義：兩個(gè)向量差的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差。-例如，已知\(\vec{a}=(5,3)\)，\(\vec=(2,1)\)，則\(\vec{a}-\vec=(5-2,3-1)=(3,2)\)。3.數(shù)乘運(yùn)算：若\(\vec{a}=(x,y)\)，\(\lambda\)是實(shí)數(shù)，則\(\lambda\vec{a}=(\lambdax,\lambday)\)。-幾何意義：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。-例如，已知\(\vec{a}=(2,-4)\)，\(\lambda=3\)，則\(\lambda\vec{a}=3(2,-4)=(3\times2,3\times(-4))=(6,-12)\)。4.向量的模：若\(\vec{a}=(x,y)\)，則\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。-幾何意義：向量的模表示向量的長度。-例如，已知\(\vec{a}=(3,4)\)，則\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)。5.向量的數(shù)量積：若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)。-幾何意義：向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。-例如，已知\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,4)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=1\times3+2\times4=3+8=11\)。（三）平面向量平行與垂直的坐標(biāo)表示1.平行：若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，且\(\vec\neq\vec{0}\)，則\(\vec{a}\parallel\vec\)的充要條件是\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。-證明：因?yàn)閈(\vec{a}\parallel\vec\)，則存在實(shí)數(shù)\(\lambda\)，使得\(\vec{a}=\lambda\vec\)，即\((x_1,y_1)=\lambda(x_2,y_2)=(\lambdax_2,\lambday_2)\)，所以\(\begin{cases}x_1=\lambdax_2\\y_1=\lambday_2\end{cases}\)，消去\(\lambda\)可得\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。-例如，已知\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec=(4,m)\)，且\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(2m-4\times3=0\)，解得\(m=6\)。2.垂直：若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)的充要條件是\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，即\(x_1x_2+y_1y_2=0\)。-證明：根據(jù)向量垂直的定義，\(\vec{a}\perp\vec\)時(shí)，它們的夾角為\(90^{\circ}\)，\(\vec{a}\cdot\vec=\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\cos90^{\circ}=0\)，又因?yàn)閈(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)，所以\(x_1x_2+y_1y_2=0\)。-例如，已知\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec=(m,3)\)，且\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(1\timesm+(-2)\times3=0\)，解得\(m=6\)。三、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算在高考中的常見題型及解法（一）向量坐標(biāo)運(yùn)算的基本應(yīng)用這類題型主要考查向量坐標(biāo)運(yùn)算的基本法則，通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。例1：已知向量\(\vec{a}=(-1,2)\)，\(\vec=(3,m)\)，\(\vec{a}+\vec\parallel\vec{a}\)，則\(m=(\quad)\)A.-6B.-8C.6D.8解法：首先計(jì)算\(\vec{a}+\vec\)的坐標(biāo)，\(\vec{a}+\vec=(-1+3,2+m)=(2,2+m)\)。因?yàn)閈(\vec{a}+\vec\parallel\vec{a}\)，根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，可得\((-1)\times(2+m)-2\times2=0\)，即\(-2-m-4=0\)，\(-m=6\)，解得\(m=-6\)。所以答案選A。（二）向量坐標(biāo)運(yùn)算與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用這類題型通常將向量的坐標(biāo)運(yùn)算與三角函數(shù)的性質(zhì)、公式相結(jié)合，考查考生的綜合運(yùn)用能力，多以解答題的形式出現(xiàn)。例2：已知向量\(\vec{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)\)，\(\vec=(\cos\beta,\sin\beta)\)，\(\vert\vec{a}-\vec\vert=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)。（1）求\(\cos(\alpha-\beta)\)的值；（2）若\(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\)，\(-\frac{\pi}{2}\lt\beta\lt0\)，且\(\sin\beta=-\frac{5}{13}\)，求\(\sin\alpha\)的值。解法：（1）首先計(jì)算\(\vec{a}-\vec\)的坐標(biāo)，\(\vec{a}-\vec=(\cos\alpha-\cos\beta,\sin\alpha-\sin\beta)\)。已知\(\vert\vec{a}-\vec\vert=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)，根據(jù)向量模的計(jì)算公式可得\(\vert\vec{a}-\vec\vert=\sqrt{(\cos\alpha-\cos\beta)^{2}+(\sin\alpha-\sin\beta)^{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)。將等式兩邊平方得\((\cos\alpha-\cos\beta)^{2}+(\sin\alpha-\sin\beta)^{2}=\frac{4}{5}\)，展開得\(\cos^{2}\alpha-2\cos\alpha\cos\beta+\cos^{2}\beta+\sin^{2}\alpha-2\sin\alpha\sin\beta+\sin^{2}\beta=\frac{4}{5}\)。因?yàn)閈(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\)，所以\(2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)=\frac{4}{5}\)，根據(jù)兩角差的余弦公式\(\cos(A-B)=\cosA\cosB+\sinA\sinB\)，可得\(2-2\cos(\alpha-\beta)=\frac{4}{5}\)，\(2\cos(\alpha-\beta)=2-\frac{4}{5}=\frac{6}{5}\)，解得\(\cos(\alpha-\beta)=\frac{3}{5}\)。（2）因?yàn)閈(-\frac{\pi}{2}\lt\beta\lt0\)，\(\sin\beta=-\frac{5}{13}\)，根據(jù)\(\sin^{2}\beta+\cos^{2}\beta=1\)，可得\(\cos\beta=\sqrt{1-\sin^{2}\beta}=\sqrt{1-(-\frac{5}{13})^{2}}=\frac{12}{13}\)。又因?yàn)閈(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\)，\(-\frac{\pi}{2}\lt\beta\lt0\)，所以\(0\lt\alpha-\beta\lt\pi\)，由\(\cos(\alpha-\beta)=\frac{3}{5}\)，可得\(\sin(\alpha-\beta)=\sqrt{1-\cos^{2}(\alpha-\beta)}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^{2}}=\frac{4}{5}\)。\(\sin\alpha=\sin[(\alpha-\beta)+\beta]=\sin(\alpha-\beta)\cos\beta+\cos(\alpha-\beta)\sin\beta\)\(=\frac{4}{5}\times\frac{12}{13}+\frac{3}{5}\times(-\frac{5}{13})=\frac{48-15}{65}=\frac{33}{65}\)。（三）向量坐標(biāo)運(yùn)算與解析幾何的綜合應(yīng)用這類題型將向量的坐標(biāo)運(yùn)算與解析幾何中的曲線方程、位置關(guān)系等知識(shí)相結(jié)合，是高考的難點(diǎn)和熱點(diǎn)，通常以解答題的形式出現(xiàn)。例3：已知橢圓\(C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率為\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，點(diǎn)\(P(0,1)\)和點(diǎn)\(A(m,n)(m\neq0)\)都在橢圓\(C\)上，直線\(PA\)交\(x\)軸于點(diǎn)\(M\)。（1）求橢圓\(C\)的方程；（2）設(shè)\(O\)為原點(diǎn)，點(diǎn)\(B\)與點(diǎn)\(A\)關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱，直線\(PB\)交\(x\)軸于點(diǎn)\(N\)。問：\(y\)軸上是否存在點(diǎn)\(Q\)，使得\(\angleOQM=\angleONQ\)？若存在，求點(diǎn)\(Q\)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。解法：（1）因?yàn)辄c(diǎn)\(P(0,1)\)在橢圓\(C\)上，所以\(b=1\)。又因?yàn)殡x心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，且\(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)，將\(b=1\)代入可得\(a^{2}=1+c^{2}\)，\(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)即\(c=\frac{\sqrt{2}}{2}a\)，代入\(a^{2}=1+c^{2}\)得\(a^{2}=1+\frac{1}{2}a^{2}\)，\(\frac{1}{2}a^{2}=1\)，解得\(a^{2}=2\)。所以橢圓\(C\)的方程為\(\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1\)。（2）由題意可知\(B(m,-n)\)。直線\(PA\)的方程為\(y-1=\frac{n-1}{m}x\)，令\(y=0\)，得\(x=\frac{m}{1-n}\)，所以\(M(\frac{m}{1-n},0)\)。直線\(PB\)的方程為\(y-1=\frac{-n-1}{m}x\)，令\(y=0\)，得\(x=\frac{m}{1+n}\)，所以\(N(\frac{m}{1+n},0)\)。設(shè)\(Q(0,y_0)\)，若\(\angleOQM=\angleONQ\)，則\(\tan\angleOQM=\tan\angleONQ\)，即\(\frac{\vertOM\vert}{\vertOQ\vert}=\frac{\vertOQ\vert}{\vertON\vert}\)，所以\(\vertOQ\vert^{2}=\vertOM\vert\vertON\vert\)。因?yàn)閈(\vertOM\vert=\vert\frac{m}{1-n}\vert\)，\(\vertON\vert=\vert\frac{m}{1+n}\vert\)