2026屆浙江省杭州市杭州市第四中學(xué)數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平面幾何中，將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱(chēng)為該平面圖形的最小覆蓋圓.如線段的最小覆蓋圓就是以該線段為直徑的圓，銳角三角形的最小覆蓋圓就是該三角形的外接圓.若，，，則的最小覆蓋圓的半徑為（）A. B.C. D.2．?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.3．在等差數(shù)列中，，則等于A.2 B.18C.4 D.94．總體由編號(hào)為的30個(gè)個(gè)體組成.利用所給的隨機(jī)數(shù)表選取6個(gè)個(gè)體，選取的方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開(kāi)始，由左到右一次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（）A.20 B.26C.17 D.035．設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的有，若，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.6．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.7．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.8．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程的斜率是（）A. B.C. D.9．已知橢圓及以下3個(gè)函數(shù)：①；②；③，其中函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個(gè)數(shù)有（）A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)10．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.A. B.C. D.11．已知等差數(shù)列中，、是的兩根，則（）A B.C. D.12．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，則（）A. B.C. D.以上都不對(duì)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題，恒成立是假命題，則實(shí)數(shù)a取值范圍是________________14．拋物線的準(zhǔn)線方程是________15．已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且，則_______.16．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)（1）解關(guān)于的不等式；（2）若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，.（1）求證：平面PAC；（2）已知點(diǎn)M是線段PD上的一點(diǎn)，且，當(dāng)三棱錐的體積為1時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.20．（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間的最大值為M，最小值為N，求的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上（1）求的值；（2）若直線l與拋物線C交于，兩點(diǎn)，，且，求的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)新定義只需求銳角三角形外接圓的方程即可得解.【詳解】，，，為銳角三角形，的外接圓就是它的最小覆蓋圓，設(shè)外接圓方程為，則解得的最小覆蓋圓方程為，即，的最小覆蓋圓的半徑為.故選：C2、A【解析】根據(jù)規(guī)律，總結(jié)通項(xiàng)公式，即可得答案.【詳解】根據(jù)規(guī)律可知數(shù)列的前三項(xiàng)為，所以該數(shù)列一個(gè)通項(xiàng)公式為故選：A3、D【解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得到，，計(jì)算得到答案.詳解】等差數(shù)列中，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算，利用性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.4、D【解析】根據(jù)題目要求選取數(shù)字，在30以?xún)?nèi)的正整數(shù)符合要求，不在30以?xún)?nèi)的不合要求，舍去，與已經(jīng)選取過(guò)重復(fù)的舍去，找到第5個(gè)個(gè)體的編號(hào).【詳解】已知選取方法為從第一行的第3列和第4列數(shù)字開(kāi)始，由左到右一次選取兩個(gè)數(shù)字，所以選取出來(lái)的數(shù)字分別為12（符合要求），13（符合要求），40（不合要求），33（不合要求），20（符合要求），38（不合要求），26（符合要求），13（與前面重復(fù)，不合要求），89（不合要求），51（不合要求），03（符合要求），故選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為03.故選：D5、C【解析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后利用單調(diào)性，對(duì)題干條件變形后得到不等關(guān)系，求出答案.【詳解】令，則恒成立，故單調(diào)遞增，變形為，即，從而，解得：，故k的取值范圍是故選：C6、B【解析】求出函數(shù)的定義域，解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，可?因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.7、A【解析】根據(jù)三點(diǎn)共線，可得，然后利用向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算，分別求得，最后計(jì)算，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)觀察，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則則∴當(dāng)時(shí)，取最小值為-10，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，難點(diǎn)在于三點(diǎn)共線，審清題干，簡(jiǎn)單計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.8、D【解析】求解導(dǎo)函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線的斜率.【詳解】求導(dǎo)得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，所以函數(shù)在處切線的斜率為.故選：D9、C【解析】由橢圓的幾何性質(zhì)可得橢圓的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)楹瘮?shù),函數(shù)為奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則①②滿足題意,對(duì)于函數(shù)在軸右側(cè)時(shí)，，只有時(shí)，，即函數(shù)在軸右側(cè)的圖像顯然不能等分橢圓在軸右側(cè)的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)在軸左側(cè)的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側(cè)的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，得解.【詳解】解：因?yàn)闄E圓的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)于①，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對(duì)于②，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對(duì)于③，對(duì)于函數(shù)在軸右側(cè)時(shí)，，只有時(shí)，，即函數(shù)在軸右側(cè)的圖像（如圖）顯然不能等分橢圓在軸右側(cè)的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)在軸左側(cè)的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側(cè)的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，即函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個(gè)數(shù)有2個(gè)，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，重點(diǎn)考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性【詳解】的定義域?yàn)?，，令，解得故的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：D11、B【解析】利用韋達(dá)定理結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值，再結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于方程，，由韋達(dá)定理可得，故，則，所以，.故選：B.12、B【解析】根據(jù)極限的定義計(jì)算【詳解】由題意故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由命題為假命題可得命題為真命題，由此可求a范圍.【詳解】∵命題，恒成立是假命題，∴，，∴，，又函數(shù)在為減函數(shù)，∴，∴，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是,故答案為：.14、【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而得到準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線方程可化為：拋物線準(zhǔn)線方程為：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線準(zhǔn)線的求解，易錯(cuò)點(diǎn)是未將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.15、，.【解析】由的遞推關(guān)系，討論、求及，注意驗(yàn)證是否滿足通項(xiàng)，即可寫(xiě)出的通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，而，即也滿足，∴，.故答案為：，.16、【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件求出的值，由此可得出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，整理可得，，解得，因此，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的區(qū)間即為所求減區(qū)間；（Ⅱ）化簡(jiǎn)不等式，變形為，即求，令，求的導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性求出最小值，可求出的范圍.【詳解】（Ⅰ）由題可知.令，得，從而，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）由可得，即當(dāng)時(shí)，恒成立.設(shè)，則.令，則當(dāng)時(shí)，.∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.∴，∴.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在函數(shù)中，恒成立問(wèn)題，可選擇參變分離的方法，分離出參數(shù)轉(zhuǎn)化為或，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值求出的范圍.18、（1）當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或（2）【解析】（1）由題意得對(duì)的值進(jìn)行分類(lèi)討論可得不等式的解集；（2）將條件轉(zhuǎn)化為，，再利用基本不等式求最值可得的取值范圍；【小問(wèn)1詳解】，即，所以，所以，①當(dāng)時(shí)不等式的解為或，②當(dāng)時(shí)不等式的解為，③當(dāng)時(shí)不等式的解為或，綜上：原不等式的解集為當(dāng)時(shí)或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)或【小問(wèn)2詳解】不等式在上有解，即在上有解，所以在上有解，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）3【解析】（1）證明出，且，從而證明出線面垂直；（2）先用椎體體積公式求出，利用體積之比得到線段之比，從而得到的值.【小問(wèn)1詳解】證明：∵平面ABCD，且平面ABCD，∴.又因?yàn)?，且，∴四邊形ABCD為直角梯形.又因?yàn)?，，易得，，∴，?又因?yàn)锳C，PA是平面PAC的兩條相交直線，∴平面PAC.【小問(wèn)2詳解】由（1）知且，∴.又∵平面ABCD，.又∵，∴，∴點(diǎn)M到平面ABC的距離為，∴，∴.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）令，求導(dǎo)得到函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，故，得到證明.（2），討論和兩種情況，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到，解得答案.【詳解】（1）令，有，令可得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，故有.（2）由①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，沒(méi)有增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，令可得，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，必須且，可得，此時(shí)，又由，當(dāng)時(shí)，由(1)有，取時(shí)，顯然有，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.21、（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）求得，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)即可判斷的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，以及，再求其取值范圍即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，故可得，令，可得或；?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】