試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁麗水、湖州、衢州2025年11月三地市高三教學(xué)質(zhì)量檢測試卷數(shù)學(xué)試題卷1．本試題卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．2．考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上．3．選擇題的答案須用2B鉛筆將答題紙上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如要改動，須將原填涂處用橡皮擦凈．4．非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題紙上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，作圖時可先使用2B鉛筆，確定后須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑，答案寫在本試題卷上無效．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，若（為虛數(shù)單位），則（）A． B．5 C． D．32．已知集合，且的元素個數(shù)是一個，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率是（）A． B．2 C．2 D．34．已知，則下列條件中使成立的充要條件是（）A． B．C． D．5．定義在上的兩個函數(shù)，恒有，則（）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)6．若函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象關(guān)于軸對稱，則實(shí)數(shù)可以是（）A． B． C．2 D．7．已知三棱錐，滿足，且，，兩兩垂直．在底面內(nèi)有一動點(diǎn)到三個側(cè)面的距離依次成等差數(shù)列，則點(diǎn)的軌跡是（）A．一個點(diǎn) B．一條線段 C．一段圓弧 D．一段拋物線8．若關(guān)于的方程恰有四個不同的實(shí)根，則（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知隨機(jī)變量，則下列等式正確的是（）A． B．C． D．10．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于兩點(diǎn)．若，則（）A． B．直線的斜率是C． D．的面積是11．在中，若，且，則（）A． B．C． D．的最大值是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．展開式中的常數(shù)項(xiàng)是．13．已知平面向量滿足，則的最大值是．14．在Rt中，是的中點(diǎn)，把沿翻折到，設(shè)二面角的平面角為，若，則三棱錐外接球表面積的范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．16．如圖，在三棱臺中，平面平面，．(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．17．已知甲、乙兩個袋子，其中甲袋內(nèi)有1個紅球和3個白球，乙袋內(nèi)有2個紅球和2個白球．根據(jù)下列規(guī)則進(jìn)行連續(xù)有放回的摸球（每次只摸1個球）：先隨機(jī)選擇一個袋子摸球．若選中甲袋，則后續(xù)每次均選擇甲袋摸球；若選中乙袋，則后續(xù)再隨機(jī)選擇一個袋子摸球．(1)按照上述規(guī)則摸球3次．當(dāng)?shù)?次選中的是甲袋，求摸到紅球的個數(shù)的分布列及期望；(2)按照上述規(guī)則進(jìn)行連續(xù)摸球，若摸到2次紅球則停止摸球．求3次之內(nèi)（含3次）停止摸球的概率．18．已知是橢圓上的兩點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是橢圓上的兩動點(diǎn)，且的橫坐標(biāo)之和為，設(shè)直線為線段的中垂線，過點(diǎn)作直線，垂足為．求垂足橫坐標(biāo)的取值范圍，并求的軌跡方程．19．已知函數(shù)，，（為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)當(dāng)時，（i）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（ii）記為函數(shù)在上從小到大排列的第個極值點(diǎn)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．(2)當(dāng)時，求證：對任意的，恒成立．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)模長計算公式可得答案.【詳解】由方程得，所以.故選：A2．C【分析】根據(jù)給定條件，利用元素與集合的關(guān)系求解即可.【詳解】由的元素個數(shù)是一個，且，得，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C3．C【分析】由題可得，即，再根據(jù)求解即可．【詳解】為等邊三角形，為的中點(diǎn)，，則，，．故選：C．4．D【分析】逐一分析各選項(xiàng)條件和能否互推即可求解.【詳解】對于A，當(dāng)時，滿足，但不滿足，所以不是的充要條件，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，滿足，但不滿足，所以不是的充要條件，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，若，則，當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，若，則，所以（且）不是的充要條件，故C錯誤；對于D，若，則，即，反之，若，則，則，所以，所以是的充要條件，故D正確.故選：D5．B【分析】借助函數(shù)奇偶性定義計算即可得.【詳解】由，則，則，又定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，故B正確；由已知得不到與關(guān)系，也得不到是否為，故A、C、D錯誤.故選：B.6．A【分析】分析可知函數(shù)關(guān)于直線對稱，分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)的對稱性分析求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象關(guān)于軸對稱，可知函數(shù)關(guān)于直線對稱，若，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，符合題意；若，設(shè)，則函數(shù)的對稱軸所對應(yīng)的值（）必為函數(shù)的對稱軸，又因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為軸，則，解得；綜上所述：或.結(jié)合選項(xiàng)可知：A正確，BCD錯誤.故選：A.7．B【分析】推導(dǎo)出，進(jìn)而可得出，設(shè)點(diǎn)到邊、、的距離分別為、、，設(shè)等邊的邊長為，可得出以及，求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】在三棱錐中，，且，，兩兩垂直，，，即為等邊三角形，設(shè)點(diǎn)到平面、平面、平面的距離依次為、、，如下圖所示：

由題意可知，，則，即，即，所以，，不妨設(shè)點(diǎn)到邊、、的距離分別為、、，設(shè)等邊的邊長為，則，又因?yàn)?，即，所以，，①由，可得，可得，②?lián)立①②可得，所以，點(diǎn)的軌跡是一條與平行且與之間的距離為的線段．故選：B．8．D【分析】令，可得或，構(gòu)造函數(shù)，則，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)性質(zhì)，從而得到與的根的關(guān)系，即可得間關(guān)系，從而可得與間關(guān)系；再借助作差法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)計算可得與關(guān)系，即可得解.【詳解】由，則或，則或，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，，故當(dāng)或時，僅有一根，當(dāng)時，有兩根，又，則最多有兩根，由題意可得與共有四個不同根，故，設(shè)兩根分別為、，且，則兩根分別為、，則，則有或，若，則、、、，若，則、、、，故，，由，則，即有，故D正確，C錯誤；，，則，令，則，則當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，由，則，即，即，即有，故A、B錯誤.故選：D.9．ACD【分析】由正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義逐一判斷即可得解．【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，則正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，因?yàn)?，則由正態(tài)分布曲線的對稱性可得：，即，故A正確；又，由于，所以，故B不正確，C正確；，故D正確.故選：ACD.10．BCD【分析】對于A,利用幾何關(guān)系求出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線之間的距離即可；對于B，利用幾何關(guān)系求出直線的傾斜角即可；對于C，利用弦長公式求解即可；對于D，利用三角形面積公式求解即可.【詳解】對于A，以為圓心，為半徑的圓交準(zhǔn)線于兩點(diǎn),且故,所以是等邊三角形，所以，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),則，故故A錯誤；對于B，因?yàn)?平行于軸，故，故當(dāng)點(diǎn)位于第一象限時，直線的傾斜角為；當(dāng)點(diǎn)位于第三象限時，直線的傾斜角為；所以直線的斜率是，故B正確；對于C，因?yàn)橹本€的斜率是，且拋物線，故直線的方程為：，聯(lián)立方程得：，即設(shè)則，故，故C正確；對于D,由A知，，故故,故D正確.故選:BCD11．BD【分析】利用降冪公式以及三角恒等變換可得，結(jié)合已知可得，可求得判斷B；求得，進(jìn)而計算可判斷ACD.【詳解】由，可得，所以，所以，所以，即，所以，所以，所以，即，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，故B正確；又，則或，當(dāng)時，則，不能得出，故A錯誤，若，則時，符合題意，但，所以，故C錯誤；由，得，所以，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故D正確.故選：BD.12．【分析】根據(jù)題意，先求得二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，進(jìn)而求得展開式的常數(shù)項(xiàng)，得到答案.【詳解】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，所以，所以當(dāng)時有常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)時有常數(shù)項(xiàng)，所以所求展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.13．【分析】要解決這個問題，我們可以利用向量模的三角不等式來分析.【詳解】根據(jù)向量模長的三角不等式，有，又因?yàn)椋扇遣坏仁剑?，則，得：故答案為：14．【分析】利用球心在過和外接圓圓心且垂直于平面和平面的垂線的交線上找到球心位置，利用題中所給條件建立外接球半徑與二面角的平面角為的關(guān)系式即可分析計算求解.【詳解】由題可得，所以，所以，故和分別為等邊三角形和等腰三角形，且，如圖，分別為外接圓圓心，取中點(diǎn)，連接，則，，，且，故為二面角的平面角，所以，分別過作平面和平面的垂線，則球心均在兩垂線上，兩垂線的交點(diǎn)即為球心O，如圖，當(dāng)時，四邊形為矩形,則，所以由得；若，如圖，連接，則與相交于平面一點(diǎn)H，則所以，設(shè)三棱錐外接球半徑為R，則，，，所以，所以，若，則，令，則，所以時，時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，綜上所述，最小值為1，最大值為.所以三棱錐外接球表面積最小值為，最大值為.故答案為：15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）將變形化簡后結(jié)合等差數(shù)列定義即可得；（2）利用裂項(xiàng)相消法計算即可得.【詳解】（1）由，得，即，得，所以數(shù)列為等差數(shù)列．（2）設(shè)數(shù)列的公差為，則，得，故，故，則，故.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，利用面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而可證，結(jié)合，可證平面，可證結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的一個法向量，利用向量法可求得平面和夾角的余弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，而平面，則．因?yàn)?，所以四邊形是菱形，，而平面，因此平面，因?yàn)槠矫妫裕?）取中點(diǎn)，則，由平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，所以，則兩兩垂直，依題可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．在平面內(nèi)作于，連接．因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫谔菪沃?，由題意，．在中，．在中，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得．設(shè)平面的法向量，則，取，得，所以，因此平面和夾角的余弦值是．17．(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）利用二項(xiàng)分布的概率和期望公式求解即可；（2）利用全概率公式求解即可.【詳解】（1）法一：由題意得的可能取值為．，，，．0123因此．法二：由題意得的可能取值為．又，故（）．因此．（2）設(shè)事件“次之內(nèi)（含次）停止摸球”，事件“第次摸到紅球，第次摸到紅球”；事件“第次摸到紅球，第次摸到白球，第次摸到紅球”；事件“第次摸到白球，第次摸到紅球，第次摸到紅球”；事件“首次選擇甲袋是第次摸球”（），事件“一直沒有選擇甲袋”．則．．．因此．18．(1)；(2)，且.【分析】（1）根據(jù)橢圓上兩點(diǎn)代入方程求解的值即可得橢圓方程；（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)，分別討論直線的斜率是否存在，當(dāng)斜率存在時確定直線的方程與直線聯(lián)立得橫坐標(biāo)與的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)得的取值范圍，結(jié)合圓的定義從而得的軌跡方程.【詳解】（1）由題意解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)，則，，①當(dāng)時，的中垂線為軸，過點(diǎn)向中垂線作垂線，垂足為點(diǎn)②當(dāng)時，直線的斜率，則，所以，將代入橢圓方程得，所以，從而或，線段的中垂線方程為，即．故線段的中垂線過定點(diǎn)故垂足軌跡是在以為圓心，半徑為的圓弧，其方程為過點(diǎn)與垂直的直線為，聯(lián)立方程組消去得，因?yàn)?，所以，綜上①，②所得所以垂足軌跡方程是，且．19．(1)（i）；（ii）(2)證明見解析【分析】（1）（i）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求單調(diào)區(qū)間即可；（ii）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和極值點(diǎn)分析可知數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為的等差