2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末重難點歸類及真題訓(xùn)練（人教A版2019必修第二冊）第02講平面向量的數(shù)量積運算一、平面向量數(shù)量積的概念（1）數(shù)量積的概念已知兩個非零向量，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作,即，其中是與的夾角.【注】零向量與任一向量的數(shù)量積為0.投影向量：①定義：如圖，設(shè)是兩個非零向量，，作如下的變換：過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為得到，則稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.②計算：設(shè)與方向相同的單位向量為，與的夾角為，則向量在向量上的投影向量是.二、平面向量數(shù)量積的運算律已知向量和實數(shù),則交換律；數(shù)乘結(jié)合律；分配律.三、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角及性質(zhì)設(shè)非零向量，是與的夾角，（1）數(shù)量積：；（2）模：.（3）夾角：（4）垂直與平行：；【注】當與同向時,；當與反向時，.（5）性質(zhì)：(當且僅當時等號成立)四、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示設(shè)向量，θ為向量的夾角.數(shù)量積模夾角兩非零向量的充要條件重難點01數(shù)量積的簡單運算及運算律【解題必備】向量數(shù)量積的求法：（1）求兩個向量的數(shù)量積,首先確定兩個向量的模及向量的夾角,其中準確求出兩個向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵；（2）根據(jù)數(shù)量積的運算律,向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘法運算.例1．在中，，則的值為（）A．20 B． C． D．例2．已知，，，則（

）A．4 B．6 C．14 D．18【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知向量，，且，則（

）A． B．5 C．2 D．10練習(xí)2．已知向量和的夾角為，且，，則（

）A．3 B． C． D．13練習(xí)3．已知向量，若，則.練習(xí)4．已知向量滿足，則（

）A． B． C． D．重難點02向量模的計算【解題必備】（1）求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方,與向量數(shù)量積聯(lián)系,并靈活應(yīng)用,勿忘記開方.（2）若,則,于是有例3．已知向量，是單位向量，且，則為（

）A． B． C．3 D．5例4．已知向量，若，則（

）A． B． C． D．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知向量滿足，且，則.練習(xí)2．已知向量，，且，則（

）A． B． C． D．練習(xí)3．已知為坐標原點，點，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，則的模等于（

）A．2 B． C． D．4練習(xí)4．若向量，滿足，，，的夾角為，則（

）A． B． C． D．重難點03向量的夾角【解題必備】（1）求向量的夾角的關(guān)鍵是計算及,在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計算,最后借助,求出值；（2）在個別含有與的等量關(guān)系式中,常利用消元思想計算的值.例5．已知向量，，且與的夾角為，則等于（

）A． B． C． D．例6．向量，，且，則（

）A． B． C． D．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知是兩個單位向量，若在上的投影向量為，則與的夾角為．練習(xí)2．已知向量，，且與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍.練習(xí)3．已知，，，且.(1)求點P的坐標；(2)求實數(shù)t的值；(3)求的值.練習(xí)4．已知非零向量滿足：，且，則.重難點04投影向量【解題必備】將已知量代入在方向上的投影向量公式(是與方向相同的單位向量,且)中計算即可.例7．已知平面向量，，則在方向上的投影坐標為.例8．若非零向量，滿足，且向量在向量上的投影向量是，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知平面向量滿足，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．練習(xí)2．已知向量，若向量在向量上的投影向量為，向量在向量上的投影向量為，則（

）A． B．2 C． D．練習(xí)3．已知向量與的夾角為，若在方向上的投影向量為，則（

）A．3 B． C． D．練習(xí)4．在中，已知，則向量在向量上的投影向量為.重難點05平面幾何圖形與數(shù)量積【解題必備】一般將參與數(shù)量積運算的向量利用線性運算轉(zhuǎn)化成已知向量（夾角可知）例9．正三角形中是線段上的點，，則（

）A． B．6 C． D．12例10．在中，，，點滿足，則（

）A． B． C． D．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．（多選）如圖，在邊長為6的等邊中，，點在以為直徑的半圓上（不含點，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為練習(xí)2．在藝術(shù)、建筑設(shè)計中，把短對角線與長對角線的長度之比為的菱形稱為“白銀菱形”.如圖，在白銀菱形ABCD中，若，則（

）A． B． C． D．練習(xí)3．在中，D為邊BC的中點，中線AD上有一點P滿足，且，則.練習(xí)4．如圖，正方形的邊長為2，點為邊的中點，為邊上一點，且，求．重難點06平面幾何圖形與數(shù)量積（坐標法）【解題必備】向量的坐標運算法的四個步驟：①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?；②把相關(guān)向量坐標化；③用向量的坐標運算找到相應(yīng)關(guān)系；④利用向量關(guān)系回答幾何問題.例11．在邊長為2的正三角形中，D為BC的中點，，則.例12．如圖，在中，，，，邊上的兩條中線于點，則（

）A． B． C． D．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知點是邊長為2的正三角形的重心，則（

）A．1 B． C．2 D．練習(xí)2．在中，，設(shè)點D為的中點，點在上，且，則（

）A．16 B．12 C．8 D．練習(xí)3．在平行四邊形中，已知，，，點在邊上，，與相交于點，則的余弦值為．練習(xí)4．已知平行四邊形中，，，分別為邊BC，CD的中點，若，則四邊形面積的最大值為（

）A． B． C．4 D．2重難點07數(shù)量積最值問題【解題必備】最值范圍常用方法：1.基底法：利用基底轉(zhuǎn)化向量，然后根據(jù)向量運算律化簡目標，接著運用適當?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論2.坐標法：先根據(jù)題意建立適當?shù)闹苯亲鴺讼挡懗鱿鄳?yīng)點的坐標，將平面向量的運算坐標化，然后運用適當?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解例13．已知在正方形中，，為中點，為正方形內(nèi)部或邊界上一點，則的最大值為（

）.A． B． C． D．2例14．已知為圓的直徑且，為圓上的動點且與，均不重合，等邊三角形與共面且點，位于的異側(cè)，則的最大值為（

）A． B．1 C．2 D．3【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知點在邊長為2的正八邊形的邊上，點在邊上，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．練習(xí)2．已知等邊三角形的邊長為2，點分別為邊上不與端點重合的動點，且，則的最大值為.練習(xí)3．如圖所示，正方形的邊長為，正方形邊長為1，則的值為.若在線段上有一個動點，則的最小值為.練習(xí)4．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，正八邊形內(nèi)角和為，若，則的值為；若正八邊形的邊長為2，P是正八邊形八條邊上的動點，則的取值范圍為．重難點08夾角的最值問題【解題必備】例15．在中，，，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，若，的最大值為．例16．已知矩形中，，點分別在邊上（包含端點），若，則與夾角的余弦值的最大值是.【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知向量，為單位向量，則向量與夾角的最大值為練習(xí)2．已知非零向量滿足，設(shè)與的夾角為，則的最小值為（

）A． B． C． D．練習(xí)3．已知為非零向量，若向量在上的投影向量為，則的最小值是.練習(xí)4．如圖在直角梯形中，，，點E為CD的中點，以A為圓心AD為半徑作圓交AB于點G，點P為劣弧DG（包含D，G兩點）上的一點，AC與劣弧、BE分別交于點F，H.

(1)求向量與夾角的余弦值；(2)若向量，求實數(shù)x，y的值；(3)若向量與的夾角為，求的最小值.重難點09模長的最值問題例17．已知平面向量，，，滿足，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．例18．在等腰梯形中，，是腰的中點，則的值為；