廣東省仲元中學(xué)、中山一中等七校2026屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知正四面體的底面的中心為為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P，滿足圓上存在一點(diǎn)Q使得，則所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成圖形的面積為（）A. B.C. D.3．（）A.-2 B.0C.2 D.34．拋物線的準(zhǔn)線方程是A.x=1 B.x=-1C. D.5．函數(shù)在上的最大值是A. B.C. D.6．拋物線上的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于（）A. B.C. D.7．直線的斜率為（）A.135° B.45°C.1 D.-18．命題“，”的否定是A， B.，C.， D.，9．已知命題：若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則；命題：等軸雙曲線的離心率為，則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.10．若某群體中成員只用現(xiàn)金支付的概率為，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A. B.C. D.11．對數(shù)的創(chuàng)始人約翰·奈皮爾（JohnNapier，1550-1617）是蘇格蘭數(shù)學(xué)家．直到18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，人們才認(rèn)識到指數(shù)與對數(shù)之間的天然關(guān)系對數(shù)發(fā)現(xiàn)前夕，隨著科技的發(fā)展，天文學(xué)家做了很多的觀察，需要進(jìn)行很多計(jì)算，特別是大數(shù)的連乘，需要花費(fèi)很長時(shí)間．基于這種需求，1594年，奈皮爾運(yùn)用了獨(dú)創(chuàng)的方法構(gòu)造出對數(shù)方法．現(xiàn)在隨著科學(xué)技術(shù)的需要，一些冪的值用數(shù)位表示，譬如，所以的數(shù)位為4．那么的數(shù)位是（）（注）A.6 B.7C.606 D.60712．拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓與圓的位置關(guān)系為______(填相交，相切或相離).14．過點(diǎn),的直線方程（一般式）為___________.15．已知長軸長為，短軸長為的橢圓的面積為．現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法來估計(jì)的近似值，先用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生個(gè)數(shù)對，，其中，均為內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，再由計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)其中滿足條件的數(shù)對有個(gè)，由此可估計(jì)的近似值為______________16．已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)搜集了某產(chǎn)品的投人成本x（單位：萬元）與銷售收入y（單位：萬元）的六組數(shù)據(jù)，并將其繪制成如圖所示的散點(diǎn)圖.根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出，y與x之間是線性相關(guān)的.（1）試用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若投入成本不高于10萬元，則可以根據(jù)（1）中的回歸方程估計(jì)產(chǎn)品銷售收入；若投入成本高于10萬元，投入成本x（單位：萬元）與銷售收入y（單位：萬元）之間的關(guān)系式為.若該企業(yè)要追求更高的毛利率（毛利率），試問該企業(yè)對該產(chǎn)品的投入成本選擇收人7萬元更好，還是選擇12萬元更好？說明你的理由.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.參考數(shù)據(jù)：.18．（12分）某校從高三年級學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績，將其成績分成，，，，的組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值；（2）估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（3）若成績在內(nèi)的學(xué)生中男生占.現(xiàn)從成績在內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取人進(jìn)行分析，求人中恰有名女生的概率.19．（12分）(1)已知命題p：；命題q：，若“”為真命題，求x的取值范圍(2)設(shè)命題p：；命題q：，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20．（12分）已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；（2）若l過點(diǎn)，延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率，若不能，說明理由21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3，離心率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)．已知點(diǎn)，求的值22．（10分）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對一切正整數(shù)n、點(diǎn)都在因數(shù)的圖象上（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】連接，再取中點(diǎn)，連接，得到為直線與所成角，再解三角形即可.【詳解】連接，再取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為VC，中點(diǎn)，則，且底面,所以為直線與所成角，令正四面體邊長為1，則，,，所以，故選：.2、D【解析】先找臨界情況當(dāng)PQ與圓C相切時(shí)，，進(jìn)而可得滿足條件的點(diǎn)P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），即求.【詳解】當(dāng)PQ與圓C相切時(shí)，，這種情況為臨界情況，當(dāng)P往外時(shí)無法找到點(diǎn)Q使，當(dāng)P往里時(shí)，可以找到Q使，故滿足條件的點(diǎn)P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），如圖，由圓，可知圓心，半徑為1，則大圓的半徑為，∴所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成圖形的面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找出臨界情況時(shí)點(diǎn)所滿足的條件，進(jìn)而即可得到動(dòng)點(diǎn)滿足條件的圖形，問題即可解決.3、C【解析】根據(jù)定積分公式直接計(jì)算即可求得結(jié)果【詳解】由故選：C4、C【解析】先把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求得p，再根據(jù)拋物線性質(zhì)得出準(zhǔn)線方程【詳解】解：整理拋物線方程得，∴p＝∵拋物線方程開口向上，∴準(zhǔn)線方程是y＝﹣故答案為C【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題5、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令可得，可得上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，函數(shù)在上的最大值是故選D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題6、C【解析】由點(diǎn)的坐標(biāo)求得參數(shù)，再由焦半徑公式得結(jié)論【詳解】由題意，解得，所以，故選：C7、D【解析】由斜截式直接看出直線斜率.【詳解】由題意得：直線斜率為-1，故選：D8、C【解析】特稱命題的否定是全稱命題，并將結(jié)論加以否定，所以命題的否定為：，考點(diǎn)：全稱命題與特稱命題9、D【解析】先判斷出p、q的真假，再分別判斷四個(gè)選項(xiàng)的真假.【詳解】因?yàn)椤叭糁本€的方向向量與平面的法向量垂直，則或”，所以p為假命題；對于等軸雙曲線，，所以離心率為，所以q為真命題.所以假命題，故A錯(cuò)誤；為假命題，故B錯(cuò)誤；為假命題，故C錯(cuò)誤；為真命題，故D正確.故選：D10、A【解析】利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對立事件概率公式可知，該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為.故選：A.11、D【解析】根據(jù)已知條件，設(shè)，則，求出t的范圍，即可判斷其數(shù)位.【詳解】設(shè)，則，則，則，，的數(shù)位是607.故選：D.12、D【解析】根據(jù)拋物線方程求出，進(jìn)而可得焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程.【詳解】由可得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、相交【解析】求兩圓圓心距，并與半徑之和、半徑之差的絕對值比較即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，∵，∴兩圓相交.故答案為：相交.14、【解析】利用兩點(diǎn)式方程可求直線方程.【詳解】∵直線過點(diǎn),，∴，∴，化簡得.故答案為：.15、【解析】由，，根據(jù)表示的數(shù)對對應(yīng)的點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，且在第一象限，求出滿足條件的點(diǎn)的概率，再轉(zhuǎn)化為幾何概型的面積類型求解【詳解】，，表示的數(shù)對對應(yīng)的點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，且在第一象限，其面積為，故，得故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何型概率應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握幾何型概率求法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】先求出兩函數(shù)在上的值域，再由已知條件可得，且，列不等式組可求得結(jié)果【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，由，得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，，使得，所以，解得，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）該企業(yè)對該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬元更好，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)公式計(jì)算出和，求出線性回歸方程；（2）分別求出投入成本7萬和12萬時(shí)的毛利率，比較出大小即可得到答案.【小問1詳解】，，，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為；【小問2詳解】該企業(yè)對該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬元更好，理由如下：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)毛利率為×100％≈34％；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)毛利率為=40％，因?yàn)?0％>34％，所以該企業(yè)對該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬元更好.18、（1）（2）77（3）【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合頻率分布直方圖中各小矩形面積和為1的特點(diǎn)列式計(jì)算即得.(2)利用頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法直接列式計(jì)算即得.(3)求出成績在內(nèi)的學(xué)生及男女生人數(shù)，再用列舉法即可求出概率.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得，解得，所以圖中值是0.020.【小問2詳解】由頻率分布直方圖得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)：，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為77.【小問3詳解】數(shù)學(xué)成績在內(nèi)的人數(shù)為(人)，其中男生人數(shù)為(人)，則女生人數(shù)為人，記名男生分別為，，名女生分別為，，，從數(shù)學(xué)成績在內(nèi)的人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行分析的基本事件為：，共個(gè)不同結(jié)果，它們等可能，其中人中恰有名女生的基本事件為，共種結(jié)果，所以人中恰有名女生的概率為為.19、（1）（2）【解析】根據(jù)復(fù)合命題的真值表知：p真q假；非q是非p的充分不必要條件，等價(jià)于p是q的充分不必要條件，等價(jià)于p是q的真子集【詳解】命題p：，即；命題，即；由于“”為真命題，則p真q假，從而由q假得，，所以x的取值范圍是命題p：，即命題q：，即由于是的充分不必要條件，則p是q的充分不必要條件即有，【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合命題及其真假屬基礎(chǔ)題20、（1）證明見解析（2）能為平行四邊形；斜率為4－或4＋【解析】（1）設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)差法證明（2）求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由平行四邊形的幾何性質(zhì)判斷【小問1詳解】設(shè)的斜率為,，兩式相減可得，即故【小問2詳解】由（1）得的直線為，直線方程為聯(lián)立，解得聯(lián)立解得若四邊形OAPB為平行四邊形，則對角線互相平分為中點(diǎn)，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意故四邊形OAPB能為平行四邊形，此時(shí)斜率為4－或4＋21、（1）;（2）.【解析】（1）根據(jù)題意得到關(guān)于的方程，解之即可求出結(jié)果;（2）聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及平面向量數(shù)量積的