試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁北京市第四中學2025-2026學年高二上學期開學測試數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．計算sin43°cos13°-cos43°sin13°的結果等于A． B． C． D．2．若是第四象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．化簡（

）A． B． C．-1 D．14．一個正四棱錐的高是2，底面邊長也為2，則正四棱錐的側面積是（

）A． B． C． D．5．若，則的值為（

）A． B． C． D．6．設是直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若∥，∥，則∥ B．若∥，，則C．若，則 D．若，∥，則7．在中，，則（

）A． B． C． D．8．是非零向量，與的夾角為，，則為（

）A．1 B． C．2 D．9．設點，，不共線，則“”是“”（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件10．已知，則下列直線中，是函數(shù)對稱軸的為（

）A． B． C． D．11．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且，則下列結論中錯誤的是（

）

A．平面B．平面C．三棱錐的體積為定值D．的面積與的面積相等二、多選題12．下列命題中正確的是（

）A．若直線，則B．若直線在平面內，則必不相交C．若直線，則D．若直線，則必不相交13．已知函數(shù)，將的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則的取值可能是（

）A． B． C． D．14．在△ABC中，已知，則下列說法正確的是（

）．A．tanA=tanB B．C． D．15．趙炎為《周髀算經(jīng)》一書作注時介紹了“勾股圓方圖”，即“趙爽弦圖”.下圖是某同學繪制的趙爽弦圖，其中，點分別是正方形和正方形上的動點，則下列結論中正確的是（

）A．B．C．設與的夾角為，則的值為3D．的最大值為12三、填空題16．已知，則．17．的值域是．18．設，則的值是．19．中，角所對的邊分別為，，則.20．如圖，在中，，點滿足．若．21．設函數(shù)，若關于x的方程在區(qū)間上有且僅有兩個不相等的實根，則的最大整數(shù)值為.四、解答題22．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值和最小值．23．在中，，．(1)求；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：的周長為．24．如圖，在四棱錐中，平面，，．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)設點為的中點，過點，的平面與棱交于點，且平面，求的值．25．已知，若存在數(shù)陣滿足：①；②．則稱集合為“好集合”，并稱數(shù)陣為的一個“好數(shù)陣”．(1)已知數(shù)陣是的一個“好數(shù)陣”，試寫出的值；(2)若集合為“好集合”，證明：集合的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個；(3)判斷是否為“好集合”．若是，求出滿足條件的所有“好數(shù)陣”；若不是，說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《北京市第四中學2025-2026學年高二上學期開學測試數(shù)學試題》參考答案題號12345678910答案ACDCBBBDCC題號1112131415答案DABBDBDBC1．A【詳解】sin43°cos13°-cos43°sin13°=sin(43°-13°)=sin30°=.2．C【分析】由是第四象限角得到的范圍，再計算的范圍，即可得到所在的象限.【詳解】因為是第四象限角，所以,所以，所以，所以是第三象限角.故選：C3．D【分析】利用誘導公式對分子和分母進行化簡，然后約去相同項，從而得到化簡結果。【詳解】原式故選：4．C【分析】利用正四棱錐的性質及勾股定理即可求出側面積.【詳解】

由正四棱錐頂點在底面的投影是底面正方形的中心，所以根據(jù)題意，可知，在直角三角形中，有，所以三角形的面積為，即正四棱錐的側面積是，故選：C.5．B【分析】利用半角公式得到答案.【詳解】，故.故選：B6．B【分析】對于A，與相交或平行；對于B，由面面垂直的判定定理得；對于C，與平行或；對于D，與相交、平行或．【詳解】設是直線，，是兩個不同的平面，對于A，若，，則與相交或平行，故A錯誤；對于B，若，則內存在直線，因為，所以，由面面垂直的判定定理得，故B正確；對于C，若，，則與平行或，故C錯誤；對于D，若，，則與相交、平行或，故D錯誤．故選：B．7．B【分析】利用正弦定理，求得，結合三角函數(shù)的基本關系式，即可求解的值.【詳解】在中，，由正弦定理，可得，又因為，所以為銳角，所以.故選：B.8．D【分析】根據(jù)條件，利用向量垂直及數(shù)量積的定義，得到，即可求解.【詳解】因為，則，又，與的夾角為，則，解得或（舍），故選：D.9．C【解析】利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運算，結合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點，，不共線，則“”；故“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題.10．C【分析】舉例說明判斷ABD；利用軸對稱的意義判斷C.【詳解】依題意，，解得，，對于A，，，則函數(shù)的圖象關于不對稱，A不正確；對于B，，，則函數(shù)的圖象關于不對稱，B不正確；對于C，，即，，，則函數(shù)的圖象關于對稱，C正確；對于D，，，則函數(shù)的圖象關于不對稱，D不正確.故選：C11．D【分析】利用正方體的性質，利用線面平行的判斷定理及面面平行的性質，即可判斷A和B的正誤，對于C，根據(jù)條件可得到平面距離相等，為定值，即可求解；對于D，利用兩三角形底相等，高不等.【詳解】對于A，易知，又平面，平面，所以平面，故選項A說法正確，對于B，易知平面平面，又平面，所以平面，故選項B說法正確，對于C，由題知平面，即平面，取中點，連接，易知，又平面，平面，則，又，平面，所以平面，又，所以到平面的距離為定值，又是線段上兩個動點，且，則到線段的距離為，又，所以的面積為定值，則三棱錐的體積為定值，所以C說法正確，對于D，連接，易知為等邊三角形，取中點，連接，則，所以到線段的距離為，由選項C知，到線段的距離為，顯然有，所以選項D說法錯誤，

故選：D.12．AB【分析】根據(jù)平行公理可判斷A；根據(jù)直線與直線，直線與平面的位置關系可判斷BCD.【詳解】根據(jù)平行公理可知，若直線，，則，故A正確；若直線，在面內，則或與異面，與不相交，故B正確；若直線，，則或在面內，故C錯誤；若，，則與是可以相交的，故D錯誤.故選：AB13．BD【分析】寫出平移后的函數(shù)解析式，再由圖象關系列出關于的等式，進而求出可能取值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得的圖象，依題意，，解得，所以的取值可能是6，12.故選：BD14．BD【分析】由結合三角函數(shù)恒等變換公式及A+B+C=π化簡可求出，然后逐個分析判斷即可【詳解】解：由A+B+C=π可得則，即，則，由可得，則，，A選項錯誤；B選項．正確；C選項，，C錯誤；，D正確；故選：BD．15．BC【分析】建立平面直角坐標系，利用向量積的坐標運算判斷A，利用向量模的坐標運算結合不等式的性質判斷B，利用向量夾角的坐標求法結合同角三角函數(shù)的基本關系判斷C，舉反例計算判斷D即可.【詳解】因為，且四邊形和都是正方形，所以，由勾股定理可得，所以.過點作于點，則，即，解得，由勾股定理得.如圖，以為原點，以分別為軸建立平面直角坐標系，所以,因為，所以為的中點，則.對于A，，所以，故A錯誤；對于B，設，則，即，所以，因為，所以，故B正確；對于C，過點作于點，則，即，解得，由勾股定理得，則.所以，而，點是的中點，因為，所以.所以，則，而，故，則，所以，故C正確；對于D，假設點運動到，點運動到，則，此時，故D錯誤.故選：BC.16．3【分析】變形得到，從而得到方程組，求出答案.【詳解】，故且，解得.故答案為：317．【分析】利用三角函數(shù)的二倍角余弦將三角函數(shù)化為含的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質求出值域.【詳解】函數(shù)的定義域為，則，而，因此當時，；當時，，所以函數(shù)的值域是.故答案為：18．【分析】利用同角三角函數(shù)之間的關系計算出的正切值，再利用正切函數(shù)的二倍角公式計算即可.【詳解】由可得，又，所以，可得，則；可知；所以.故答案為：19．【分析】由，利用正弦定理與同角三角函數(shù)的平方關系可得，化簡得，再利用正弦定理可得結果.【詳解】中，，根據(jù)正弦定理，得，可得，，，由正弦定理可得，可得，故答案為.【點睛】本題著重考查了正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關系等知識,屬于基礎題.正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.20．14【分析】利用平面向量運算法則把分別用表示出來，再代入條件，計算即得答案.【詳解】由得：；由得：，又，，所以，，解得：.故答案為：1421．4【分析】利用換元法求出的取值范圍，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象得到的不等式，即可得答案；【詳解】令，，，的圖象如圖所示，關于x的方程在區(qū)間上有且僅有兩個不相等的實根，在上有且僅有兩個不相等的實根，，的最大整數(shù)值為，故答案為：.【點睛】本題考查利用換元法和圖象法解三角方程，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意換元后新元的取值范圍，屬于中檔題.22．(1)(2)最大值為和最小值為0【分析】（1）由圖象及三角函數(shù)的性質可以得到，進而得到的解析式；（2）根據(jù)三角恒等變換化簡，進而分析在區(qū)間上的最大值和最小值.【詳解】（1）由圖象可知：，將點代入得，∴（2）由得當時，即；當時，即；23．(1)(2)選擇條件②,;選擇條件③.【分析】(1)利用余弦定理求解即可；(2)根據(jù)條件①②③逐一計算，滿足三角形只有一個解即可，再求面積.【詳解】（1）由余弦定理知，，因為，所以．（2）選擇條件①：把，代入中，化簡得，解得，所以存在兩個，不符合題意；選擇條件②：因為，，所以，由正弦定理知，，所以，因為，所以的面積．選擇條件③：因為的周長為，且，所以，又，所以，解得，所以的面積.24．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）由線面垂直得到，結合即可得證；（2）由，，得到平面，即可得證；（3）由線面平行的性質得到，即可得解.【詳解】（1）因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面.（2）因為，，所以，因為平面，平面，所以，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（3）因為平面，平面平面，平面，所以，因為點為的中點，所以點為的中點，所以.25．(1)，，，(2)證明見解析(3)是“好集合”，且滿足的好數(shù)陣有四個：；；；．【分析】（1）直接根據(jù)新定義解出未知量的值；（2）先證是不同于的“好數(shù)陣”，再證、，列舉兩個“好數(shù)陣”，即可證明；（3）假設為“好集合”，根據(jù)新定義可得，證明不是偶數(shù)即可求解.【詳解】（1）由“好數(shù)陣”的定義，知，，，,4,5,，故，，，,,，進一步得到，，從而，，，．（2）如果是一個“好數(shù)陣”，則，.從而，.故也是一個“好數(shù)陣”.由于是偶數(shù)，故，從而.所以數(shù)陣和的第1行第2列的數(shù)不相等，故是不同的數(shù)陣.設全體“好數(shù)陣”構成的集合為S，并定義映射如下：對，規(guī)定.因為由中的元素構成的數(shù)陣只有不超過種，故是有限集合.而，即，從而是滿射，由是有限集，知也是單射，故是一一對應.對于“好數(shù)陣”，已證數(shù)陣和是不同的數(shù)陣，故.同時，對兩個“好數(shù)陣”，，如果，則；如果，則.所以，當且僅當.最后，對，由，