專題07幾何最值模型之將軍飲馬（含勾股）將軍飲馬模型在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺有困難的地方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主。在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認識。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來源 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 4模型拓展 5模型運用 6模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）（兩定一動） 6模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）（兩定一動） 10模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）（一定兩動） 13模型4.將軍飲馬（多線段和的最值模型）（兩定兩動） 16 20“將軍飲馬”一詞具有雙重歷史來源：一是源自真實歷史事件的典故，二是數(shù)學(xué)幾何問題的命名來源。傳說古羅馬將軍向數(shù)學(xué)家海倫（Heron）（約公元前262年）提出一個幾何問題：從軍營A出發(fā)，到河邊飲馬后再去軍營B，如何規(guī)劃最短路徑？海倫通過軸對稱原理給出了解決方案。因問題場景與“將軍河邊飲馬”的意象相似，后人借用了霍去病的歷史典故命名此數(shù)學(xué)模型?，F(xiàn)代教育中作為“最短路徑問題”的經(jīng)典案例，廣泛用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。【答案】5【詳解】解：取點A關(guān)于直線的對稱點，連交直線于點C，連，A．5 B．8 C．10 D．13【答案】B點P在直線上，如圖，連接，

【答案】1）將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）（兩定一動）條件：A，B為定點，m為定直線，P為直線m上的一個動點，求AP+BP的最小值。模型（1）點A、B在直線m兩側(cè)：模型（2）點A、B在直線同側(cè)：圖（1）圖（2）模型（1）：如圖（1），連結(jié)AB,根據(jù)兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段AB的長度。模型（2）：如圖（2），作點A關(guān)于定直線m的對稱點A’,連結(jié)A’B,根據(jù)兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段A’B的長度。2）將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）（兩定一動）條件：A，B為定點，m為定直線，P為直線l上的一個動點，求|APBP|的最大值。模型（1）：點A、B在直線m同側(cè)：模型（2）：點A、B在直線m異側(cè)：圖（1）圖（2）模型（1）：如圖（1），延長AB交直線m于點P，當(dāng)A、B、P不共線時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：|P’AP’B|＜AB，當(dāng)A、B、P共線時，有|PAPB|=AB，故|PAPB|≤AB，即|APBP|的最大值即為：線段AB的長度。模型（2）：如圖（2），作點B作關(guān)于直線m的對稱點B’，連接AB’交直線m于點P，此時PB=PB’。當(dāng)A、B、P不共線時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：|P’AP’B|=|P’AP’B’|＜AB’，當(dāng)A、B、P共線時，有|PAPB|=|PAPB’|=AB’，故|PAPB|≤AB’，即|APBP|的最大值即為：線段AB’的長度。1）將軍飲馬（多線段和的最值模型）（一定兩動）如圖，A為定點，在直線m、n上分別找兩點P、Q，使三角形APQ的周長（AP+PQ+QA）最小。證明：如上圖，作點A分別關(guān)于定直線m、n的對稱點A’、A’’,連結(jié)A’B,根據(jù)對稱得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，再利用“兩點之間線段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即為：線段A’A’’的長度。2）將軍飲馬（多線段和的最值模型）（兩定兩動）模型（1）：兩定點+兩動點條件：A，B為定點，在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。兩個點都在直線外側(cè)（圖11）；內(nèi)外側(cè)各一點（圖12）；兩個點都在內(nèi)側(cè)（圖13）圖11圖11圖11模型（11）（兩點都在直線外側(cè)型）如圖（11），連結(jié)AB,根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB的長度。模型（12）（直線內(nèi)外側(cè)各一點型）如圖（12），作點B關(guān)于定直線n的對稱點B’,連結(jié)AB’,根據(jù)對稱得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB’的長度。模型（13）（兩點都在直線內(nèi)側(cè)型）如圖（13），作點B關(guān)于定直線n的對稱點B’,作點A關(guān)于定直線m的對稱點A’,連結(jié)A’B’,根據(jù)對稱得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段A’B’的長度。模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）（兩定一動）（3）解：如圖，點即為所標出的點．A． B． C． D．【答案】C【答案】12例4（2425八年級上·寧夏銀川·期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．?dāng)?shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透．某校數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)完勾股定理和實數(shù)后，進行了如下的問題探索與分析（2）作關(guān)于直線的對稱點，連接，連接交于，如圖：模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）（兩定一動）A．5 B．8 C．10 D．13【答案】B

【答案】B【答案】B【詳解】解：作關(guān)于軸對稱點，連接并延長交軸于點，【答案】模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）（一定兩動）A． B． C． D．【答案】D【答案】AA．6 B．8 C．12 D．18【答案】B

∵點P關(guān)于對稱的點為，點P關(guān)于對稱的點為，【答案】(1)3(2)3(3)5【詳解】（1）解：連接， 模型4.將軍飲馬（多線段和的最值模型）（兩定兩動）【答案】7【答案】3【答案】13

A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【答案】C【詳解】解：設(shè)點到的距離為，點到的距離為，A．5 B．6 C．8 D．9【答案】BA． B． C． D．【答案】DA．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【詳解】解：作F關(guān)于的對稱點為M，作邊上的高，【答案】BA．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【答案】B【答案】C【答案】/度【答案】12．（2024·江蘇泰州·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分線交AC于點N，交AB于點M，AB＝12cm，△BMC的周長是20cm，若點P在直線MN上，則PA﹣PB的最大值為_______.【答案】8cm【詳解】解：∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC，又∵C△BMC＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm，∴BC＝20﹣12＝8（cm），在MN上取點P，∵MN垂直平分AC連接PA、PB、PC∴PA＝PC∴PA﹣PB＝PC﹣PB在△PBC中PC﹣PB＜BC當(dāng)P、B、C共線時，即P運動到與P'重合時，（PC﹣PB）有最大值，此時PC﹣PB＝BC＝8cm．【答案】【答案】(1)圖見詳解(2)圖見詳解，(3)

（2）解：作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，如圖所示：18．（2425七年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）【問題起源】如圖1，在一條筆直的道路上建一個燃氣站，并向路同側(cè)的兩個城鎮(zhèn)鋪設(shè)燃氣管道，如何確定燃氣站的位置使得鋪設(shè)管道的路徑最短．【解決方案】如圖2，作點關(guān)于直線的對稱點，連接與直線交于點，則點就是燃氣站的位置．【實際運用】（1）如圖3，在實際鋪設(shè)中，在兩個城鎮(zhèn)之間有一片水源地（水源地的右下角頂點為點），燃氣管道不能穿過該區(qū)域．下列四種鋪設(shè)管道路徑的方案，最短的鋪設(shè)路徑方案是：_____；（填方案序號）【答案】（1）方案3；（2）①見解