專題04圖形的軸對(duì)稱（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律圖形的軸對(duì)稱作已知圖形的對(duì)稱軸和作軸對(duì)稱圖形，熟練掌握最短路徑問題基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在解答題基礎(chǔ)題，以作圖題為主。垂直平分線和角平分線熟練運(yùn)用垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，并用性質(zhì)進(jìn)行幾何證明。性質(zhì)的運(yùn)用是必考內(nèi)容，一般不單獨(dú)考查，但在較難解答題中有頻繁的應(yīng)用，需熟練掌握。等腰三角形等腰三角形的性質(zhì)特別是三線合一的運(yùn)用，等邊三角形的判定。?？碱}型，注意等邊三角形的判定方法很多，需要靈活選用。知識(shí)點(diǎn)01圖形的軸對(duì)稱（1）軸對(duì)稱：把一個(gè)平面圖形沿某條直線折疊后，得到另一個(gè)與它全等的圖形，圖形的這種變化叫作軸對(duì)稱，這條直線叫作對(duì)稱軸。（2）兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱：一個(gè)圖形以某條直線為對(duì)稱軸，經(jīng)過軸對(duì)稱后，能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱，重合的點(diǎn)叫作對(duì)應(yīng)點(diǎn)，如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于一條直線成軸對(duì)稱，那么其中一個(gè)點(diǎn)叫作另一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)。（3）軸對(duì)稱的基本性質(zhì)：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分。（4）軸對(duì)稱圖形：一個(gè)圖形的一部分，以某一條直線為對(duì)稱軸，經(jīng)過軸對(duì)稱能與圖形的另一部分重合，這樣的圖形叫作軸對(duì)稱圖形。（5）軸對(duì)稱圖形與兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系軸對(duì)稱圖形兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱圖形區(qū)別(1)軸對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，只對(duì)一個(gè)圖形而言；(2)對(duì)稱軸不一定只有一條(1)軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，必須涉及兩個(gè)圖形；(2)只有一條對(duì)稱軸聯(lián)系(1)沿對(duì)稱軸對(duì)折，兩部分重合；(2)把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱；把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形。知識(shí)點(diǎn)02線段垂直平分線（1）定義：垂直并且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線。（2）性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩端距離相等。（3）判定定理：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。知識(shí)點(diǎn)03角平分線（1）性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。（2）判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。知識(shí)點(diǎn)04等腰三角形（1）等腰三角形的性質(zhì)定理1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）（2）等腰三角形的性質(zhì)定理2：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高互相重合。（簡(jiǎn)寫成“三線合一”）（3）頂角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形。（4）等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)寫為“等角對(duì)等邊”）。知識(shí)點(diǎn)05等邊三角形（1）等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°。（2）等邊三角形的判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。（3）等邊三角形的判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。（4）在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。題型一作軸對(duì)稱圖形答｜題｜模｜板【典例1】如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)，，在小正方形的頂點(diǎn)上．(2)連接，直線l與線段的關(guān)系是；【答案】(1)見解析；(2)垂直平分；(3)見解析．（2）線段被直線垂直平分．故答案為：垂直平分；（3）連接交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求點(diǎn)．理由：∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，【答案】(1)見解析(2)見解析（2）解：作A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與直線于點(diǎn)P，(3)作關(guān)于對(duì)稱的線段．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【詳解】（1）解：如圖所示，（2）解：如圖所示，（3）解：如圖所示，∴即為所求．題型二最短路徑問題答｜題｜模｜板早在古羅馬時(shí)代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問題：將軍每天從軍營(yíng)出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營(yíng)開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個(gè)問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今．大數(shù)學(xué)家海倫是用軸對(duì)稱的方法巧妙地解決了這個(gè)問題．解：如下圖，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)就是所求的位置．∵直線是點(diǎn)，的對(duì)稱軸，點(diǎn)，在上，易｜錯(cuò)｜點(diǎn)｜撥將軍飲馬模型是最短路徑問題中的常見模型，利用作圖解決方便快捷。變式模型較多，需逐一掌握?！镜淅?】筆直的河岸l旁有A，B兩個(gè)貨場(chǎng)，現(xiàn)要把A貨場(chǎng)的貨物運(yùn)往B貨場(chǎng)，按計(jì)劃要先到河岸M處再接一批貨物，然后一起運(yùn)到B貨場(chǎng)．(1)如圖①，當(dāng)A，B貨場(chǎng)在河岸l兩側(cè)時(shí)，要使運(yùn)輸總路程最短，點(diǎn)M應(yīng)選在河岸l的什么位置？請(qǐng)?jiān)趫D①中作圖，并說明理由．(2)如圖②，當(dāng)A，B貨場(chǎng)在河岸l同側(cè)時(shí)，要使運(yùn)輸總路程最短，點(diǎn)M應(yīng)選在河岸l的什么位置？請(qǐng)?jiān)趫D②中作圖，并說明理由．【答案】(1)當(dāng)點(diǎn)選在線段與河岸的交點(diǎn)時(shí)，作圖見解析(2)當(dāng)點(diǎn)選在線段與河岸的交點(diǎn)時(shí)，作圖見解析【詳解】（1）解：如圖，連接交河岸于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；理由：兩點(diǎn)之間線段最短，所以點(diǎn)為所選的位置。答：當(dāng)點(diǎn)選在線段與河岸的交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)運(yùn)輸總路程最短。（2）如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn),點(diǎn)即為所求。理由：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，由兩點(diǎn)之間線段最短，點(diǎn)M為所選擇的位置。答：選在線段與河岸的交點(diǎn)時(shí)，運(yùn)輸總路程最短?！咀兪?】如圖A，B兩城鎮(zhèn)在河流的異側(cè)，架一座橋連通兩岸，選擇一個(gè)架橋點(diǎn)使從A到B距離最短，架橋點(diǎn)選在何處，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出．【答案】見解析【詳解】解：如圖所示，即為所作．【變式2】【提出問題】唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題．如圖1，將軍從山腳下的點(diǎn)A出發(fā)，到達(dá)河岸上點(diǎn)C飲馬后再回到點(diǎn)B宿營(yíng)，他時(shí)常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？(1)【數(shù)學(xué)理解】如圖2，小亮作出了點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接與直線l（即河岸）交于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是飲馬的地方，此時(shí)所走的路程就是最短的．他的思考過程如下，請(qǐng)你橫線上填寫理由、依據(jù)或內(nèi)容．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線垂直平分(2)【解決問題】如圖4，將軍牽馬從軍營(yíng)處出發(fā)，到河流飲馬，再到草地吃草，最后回到點(diǎn)處，試分別在和上各找一點(diǎn)、，使得將軍走過的路程最短．（保留畫圖痕跡，輔助線用虛線，最短路徑用實(shí)線）【答案】(1)三角形任意兩邊之和大于第三邊，，線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等(2)見解析點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線垂直平分故答案為：三角形任意兩邊之和大于第三邊；；線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；（2）如圖所示，分別作點(diǎn)關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)、，連接分別交，于、，則路線，，即為所求．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得路線，，即為所求．題型三垂直平分線相關(guān)解答題答｜題｜模｜板∴點(diǎn)在垂直平分線上，∴點(diǎn)在垂直平分線上，∴垂直平分．點(diǎn)、都在的垂直平分線上，(2)試判斷點(diǎn)O是否在的垂直平分線上，并說明理由．【答案】(1)12(2)點(diǎn)O在的垂直平分線上，理由見解析（2）解：點(diǎn)O在的垂直平分線上，理由如下：∴點(diǎn)O在的垂直平分線上．題型四角平分線相關(guān)解答題答｜題｜模｜板【答案】(1)見解析(2)4【答案】(1)見解析(2)22【答案】(1)見解析(2)9題型五三線合一相關(guān)解答題答｜題｜模｜板【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【答案】7【答案】(1)(2)∴是的垂直平分線，∵的垂直平分線分別交、、于點(diǎn)E、F、O，答：的長(zhǎng)為；（2）解：∵是的垂直平分線，題型六等邊三角形的判定答｜題｜模｜板【答案】(1)，(2)見解析(3)見解析∵D是邊的中點(diǎn)，【答案】(1)見解析【答案】(1)證明過程見解析；∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，理由：又∵有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形，期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）一、單選題【答案】A【詳解】解：連接，延長(zhǎng)交于D，∵點(diǎn)P是，的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：A．【答案】C故選：C．【答案】C故選：C二、填空題【答案】6故答案為：6．【答案】24故答案為：24．三、解答題【答案】(1)31(2)【詳解】（1）解：∵垂直平分，【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(3)故答案為：．【答案】(1)6；(2)證明見解析．期中重難突破練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）一、單選題1．三條公路將A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)體育公園，要使體育公園到三個(gè)村莊的距離相等，那么這個(gè)體育公園應(yīng)建的位置是（

）A．三條高線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【詳解】解：∵體育公園到三個(gè)村莊的距離都相等，故選：D．觀察后得出如下結(jié)論：上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．②④ C．②③ D．①④【答案】B綜上，②④正確，故選：B．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C故選：C．二、填空題【答案】/12度故答案為：．【答案】/90度【詳解】解：如圖：∵和分別垂直平分和，故答案為：．【答案】度/【詳解】解：如圖所示，連接，又∵是公共邊，故答案為：．三、解答題(2)試判斷點(diǎn)O是否在的垂直平分線上，并說明理由．【答案】(1)12(2)點(diǎn)O在的垂直平分線上，理由見解析（2）解：點(diǎn)O在的垂直平分線上，理由如下：∴點(diǎn)O在的垂直平分線上．【答案】與互相垂直，理由見解析【詳解】解：與互相垂，理由如下：∴是線段的垂直平分線，∴與互相垂直，【答案】(1)見解析(2)2期中綜合拓展練（測(cè)試時(shí)間：15分鐘）一、單選題1．（2022年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)）下列圖形：其中軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【詳解】從左到右依次對(duì)圖形進(jìn)行分析：第1個(gè)圖在豎直方向有一條對(duì)稱軸，是軸對(duì)稱圖形，符合題意；第2個(gè)圖在水平方向有一條對(duì)稱軸，是軸對(duì)稱圖形，符合題意；第3個(gè)圖找不到對(duì)