專題3.7拋物線的標準方程和性質（舉一反三講義）【人教A版】TOC\o"13"\h\u【題型1拋物線的定義及辨析】 2【題型2求拋物線的軌跡方程】 3【題型3拋物線的焦點坐標及準線方程】 5【題型4求拋物線的標準方程】 6【題型5根據(jù)拋物線的方程求參數(shù)】 8【題型6求拋物線上的點到定點的距離最值】 9【題型7拋物線上距離的和、差最值問題】 12【題型8判斷拋物線的開口方向】 15【題型9拋物線的對稱性及其應用】 17【題型10拋物線的實際應用問題】 19知識點1拋物線的標準方程1．拋物線的定義(1)定義：平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準線.(2)集合語言表示設點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到直線l的距離為d，則拋物線就是點的集合P={M||MF|=d}.2．拋物線的標準方程拋物線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：圖形標準方程焦點坐標準線方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)3．拋物線標準方程的求解待定系數(shù)法：求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.4．與拋物線有關的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：由條件建立目標函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進行求解，如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，利用函數(shù)的單調性等，亦可用均值不等式求解.【題型1拋物線的定義及辨析】【例1】（2425高二上·浙江紹興·期末）已知拋物線y2=4x上一點P到焦點F的距離是4，則點P到y(tǒng)軸的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解題思路】由拋物線方程求焦點坐標及準線方程，結合拋物線定義條件可轉化為點P到準線的距離為4，由此可求結論.【解答過程】由拋物線y2=4x可得焦點F(1,0)，準線方程為因為點P到焦點F的距離是4，由拋物線的定義，可得點P到準線x=?1的距離為4，所以點P到y(tǒng)軸的距離為4?1=3.故選：B.【變式11】（2425高二上·福建南平·期末）已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F，若C上的點Mx0,5與焦點F的距離為3pA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解題思路】由條件結合拋物線定義列方程求p可得結論.【解答過程】拋物線x2=2py的準線方程為點Mx0,5到直線y=?因為點Mx0,5與焦點F所以5+p所以p=2.故選：B.【變式12】（2425高二上·江西九江·期末）已知拋物線y2=2pxp>0上一點M2,yA．12 B．2 C．3 【答案】B【解題思路】根據(jù)題意結合拋物線的定義運算求解即可.【解答過程】根據(jù)拋物線的定義，可知2+p2=3故選：B．【變式13】（2425高二上·四川涼山·期末）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，若拋物線上一點M到直線x=?2的距離為5，則MF=（

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解題思路】根據(jù)拋物線的定義，結合焦半徑公式即可求解.【解答過程】由于拋物線C:y2=4x的準線方程為x=?1，拋物線上點M故點M到直線x=?1的距離為4，故MF=4故選：B.【題型2求拋物線的軌跡方程】【例2】（2425高二上·福建福州·階段練習）已知動點P到點F2,0的距離比它到直線x=?1的距離大1，則動點P的軌跡方程為（

）A．y2=4x B．y2=?4x C．【答案】D【解題思路】利用拋物線的定義求解即可.【解答過程】由題意可知，動點P到點F2,0的距離等于它到直線x=?2由拋物線的定義可知，點P在以F2,0為焦點，x=?2為準線的拋物線上，其軌跡方程為y故選：D.【變式21】（2425高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知動點P(x，y)滿足5(x?2)2+(y?1)2A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【解題思路】等價變形給定等式，再利用式子表示的幾何意義，由拋物線的定義可得.【解答過程】因為5(x?2)得(x?2)2即動點P(x,y)到定點(2,1)的距離與到定直線3x+4y?7=0的距離相等，且點(2,1)不在直線3x+4y?7=0上，則由拋物線定義知，動點P(x,y)的軌跡為拋物線.故選：D.【變式22】（2425高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐標系xOy中，動點Px,y到直線x=?1的距離比它到定點3,0的距離小2，則點P的軌跡方程為（

A．y2=6x B．y2=12x C．【答案】B【解題思路】根據(jù)拋物線的定義即可求解.【解答過程】由題意知動點Px,y到直線x=?3的距離與它到定點3,0由拋物線的定義知，點P的軌跡是以3,0為焦點，x=?3為準線的拋物線，所以p=6，點P的軌跡方程為y2故選：B.【變式23】（2425高二上·全國·課前預習）已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓C：x2＋(y＋3)A．x2=?12y B．x2=12y C．y【答案】A【解題思路】根據(jù)動圓M與直線y=2相切，且與定圓C：x2＋(y＋3)2=1外切，可得動點【解答過程】設動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等,由拋物線的定義可知，動圓圓心的軌跡是以C(0，3)為焦點，以y＝3為準線的一條拋物線，所以p2=3,2p=12，其方程為故選：A.【題型3拋物線的焦點坐標及準線方程】【例3】（2526高二上·全國·單元測試）拋物線x=?14y2A．x=?1 B．x=1 C．y=?1 D．y=1【答案】B【解題思路】由拋物線的標準方程可得結果.【解答過程】依題意得y2=?4x，所以2p=4，所以所以拋物線y2=?4x的準線方程為故選：B.【變式31】（2025·上海徐匯·一模）下列拋物線中，焦點坐標為0,18的是（A．y2=12x B．y2【答案】C【解題思路】求出各選項中拋物線的焦點坐標，即可得出答案.【解答過程】對于拋物線y2=12x，2p=所以，拋物線y2=1同理可知，拋物線y2=14x的焦點坐標為1拋物線x2=1故選：C.【變式32】（2425高二下·廣西南寧·開學考試）已知拋物線C的方程為x2+8y=0，則拋物線的焦點坐標為（A．?2,0 B．?4,0 C．0,?2 D．0,?4【答案】C【解題思路】根據(jù)拋物線的標準方程可得出該拋物線的焦點坐標.【解答過程】拋物線C的標準方程為x2=?8y，則2p=8，可得p=4，故拋物線C的焦點坐標為0,?2.故選：C.【變式33】（2425高二上·安徽·期末）已知拋物線的方程為y=4x2，則拋物線的準線方程為（A．y=?116 B．y=18 C．【答案】A【解題思路】把拋物線方程化為標準方程可得結果.【解答過程】∵拋物線的方程為y=4x∴標準方程為x2∴拋物線的準線方程為y=?1故選：A.【題型4求拋物線的標準方程】【例4】（2425高二上·湖南·期末）若拋物線y2=2pxp>0上一點P6,A．y2=16x B．y2=12x C．【答案】B【解題思路】將拋物線上點到焦點的距離轉化為到準線的距離求解.【解答過程】拋物線的準線方程為x=?p所以點P到焦點的距離為6??所以p=6，拋物線的方程為y2故選：B.【變式41】（2425高二上·重慶·期末）若拋物線C:y=mx2(m>0)過點(2,1)A．y=?1 B．y=?116 C．x=?1 【答案】A【解題思路】代入點的坐標可得m=1【解答過程】將(2,1)代入C:y=mx2(m>0)可得1=4m故拋物線的標準方程為x2故準線方程為y=?1，故選：A.【變式42】（2425高二下·陜西西安·期中）拋物線x2=2py(p>0)上縱坐標為2的點到焦點的距離5，則該拋物線的方程為（A．x2=12y B．x2=10y C．【答案】A【解題思路】根據(jù)拋物線定義將到焦點的距離轉化為到準線的距離建立關系可求出p.【解答過程】∵拋物線x2=2py(p>0)上縱坐標為2的點到焦點的距離5，可知此點到準線的距離為又拋物線x2=2py(p>0)的準線方程為所以可得2+p2=5所以拋物線方程為x2故選：A.【變式43】（2425高二上·河南南陽·期中）已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C:y2=2pxp>0的焦點，點Mx0,4在C上，且MFA．y2=4x B．y2=8x C．【答案】B【解題思路】根據(jù)拋物線的定義得MF=x0+p2，結合MF=2OF得【解答過程】由拋物線的定義，得MF=又2OF=p，MF=2OF，則因此，由點Mp2,4在C上，得16=2p×p2所以C的方程為y2故選：B．【題型5根據(jù)拋物線的方程求參數(shù)】【例5】（2425高二上·江蘇連云港·期中）已知拋物線C:x2=4y上一點P(m,1)，則m=A．m=±2 B．m=?2 C．m=2 D．m=【答案】A【解題思路】將P點坐標代入拋物線的方程，從而求得m的值.【解答過程】P點坐標代入拋物線的方程得m2=4，解得故選：A.【變式51】（2526高二上·全國·單元測試）拋物線y=mx2(m<0)上一點Ax0A．?18 B．?14 C．【答案】A【解題思路】根據(jù)拋物線方程，先求得準線方程.結合拋物線定義即可求得點A到準線的距離.【解答過程】因為y=mx2(m<0)，所以x2=根據(jù)拋物線定義，得?14m?(?4)=6故選：A.【變式52】（2425高二上·廣東·期末）已知A是拋物線C:x2=2py(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為9，到x軸的距離為4，則p=A．4 B．5 C．8 D．10【答案】D【解題思路】確定拋物線的準線方程，根據(jù)拋物線的焦半徑公式，即可求得答案.【解答過程】由題意知拋物線C:x2=2py(p>0)因為點A到C的焦點的距離為9，到x軸的距離為4，即A點縱坐標為4，所以4?(?p2)=9故選：D.【變式53】（2425高二下·江蘇南京·階段練習）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，準線為l，點A在拋物線C上，點B在準線l上，若△AFB是邊長為2的等邊三角形，則pA．1 B．3 C．2 D．2【答案】A【解題思路】利用拋物線定義可知AB⊥l，再由等邊三角形的邊長為2即可求得p=BF【解答過程】根據(jù)題意，易知AF=AB，由拋物線定義可得設準線與l的交點為D，如下圖所示：

因此AB與DF平行，又△AFB是邊長為2的等邊三角形，所以∠ABF=60°，即可得DF=BFcos故選：A.【題型6求拋物線上的點到定點的距離最值】【例6】（2425高三上·安徽·階段練習）已知拋物線x2=2pyp>0，點A4,4在拋物線上，點B0,3，若PA．8 B．22 C．9 【答案】B【解題思路】把點A4,4代入拋物線中求出p=2，再設P【解答過程】因為點A4,4在拋物線上，所以42=2p?4所以拋物線方程為x2=4y，設則PB2所以PB的最小值為22故選：B.【變式61】（2425高三上·廣東·開學考試）設點P為圓(x?3)2+y2=1上的一動點，點Q為拋物線yA．1?22 B．22?1 C．【答案】B【解題思路】設Q(y24,y)，可得【解答過程】如下圖，設Q(y則|PQ|≥|QC|?1，|QC|2=(y∴|QC|≥22，因此|PQ|≥|QC|?1≥2故選：B．【變式62】（2425高二上·上海閔行·期末）已知拋物線C1:y2=8x，圓C2:x?22+y2=1，若點P、QA．35 B．45 C．34【答案】B【解題思路】要使|PM||PQ|最小，則|PQ|需最大，根據(jù)拋物線的定義可得|PQ|max=|PF|+1=x+3，【解答過程】如圖，設圓心為F，則F為拋物線y2該拋物線的準線方程為x=?2，設P(x,y)，由拋物線的定義得|PF|=x+2，要使|PM||PQ|最小，則|PQ|如圖，|PQ|最大時，經過圓心F，且圓F的半徑為1，|PQ|max=|PF|+1=x+3所以|PM||PQ|=x2+16所以|PM||PQ|=(t?3)而f(t)=25得1t=325<13，f(t)故選：B．【變式63】（2425高二下·遼寧朝陽·期末）已知拋物線C:y=a2x2的焦點為0,2，點P是拋物線C上任意一點，則點P到點A．26 B．5 C．27【答案】A【解題思路】利用拋物線的焦點坐標，求出a，設出P的坐標，表示出距離，利用二次函數(shù)的性質求解最小值即可．【解答過程】因為拋物線C的焦點為0,2，由題意得14a2=2，則a2則PA=所以當y=1時，PAmin故選：A.【題型7拋物線上距離的和、差最值問題】【例7】（2526高二上·全國·單元測試）已知直線l1:3x?4y?6=0和直線l2:y=?2，拋物線x2=4y上一動點P到直線A．2 B．3 C．115 【答案】B【解題思路】求出焦點F0,1，準線l:y=?1，設動點P到直線l,l1,l2的距離分別為d,d1,d2【解答過程】由題意可得，拋物線x2=4y的焦點F0,1設動點P到直線l,l1,l2的距離分別為d,d1由d2=d+1=PF當且僅當點P在點F到直線l1的垂線上且P在F與l1之間，即故動點P到直線l1、直線l

故選：B.【變式71】（2425高二上·安徽黃山·期末）已知點P是拋物線y=14x2上的動點，定點A1,0，則P到點A的距離與PA．2?1 B．12 C．3?1【答案】A【解題思路】由拋物線焦半徑公式可得d=PM?1，PA+d=【解答過程】拋物線y=14x2?設P到x軸的距離為d，過點P作PN⊥準線y=?1于點N，由拋物線焦半徑公式可得PN=PM，

則PA+d=PA+其中AM=12+12=2，所以P到點故選：A.【變式72】（2425高二上·遼寧·期末）已知拋物線C:32x=y2的焦點為F，點H4,2，P是拋物線C上的一個動點，則PFA．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【解題思路】過點H作HM垂直于準線，垂足為M，過點P作PD垂直于準線，垂足為D，由拋物線的定義可得PD=PF，可得出PF+PH=PD+PH，利用當【解答過程】由題意得F8,0，準線方程為x=?8，過點H作HM垂直于準線，垂足為M過點P作PD垂直于準線，垂足為D，由拋物線的定義可得PD=PF+當且僅當P為線段HM與拋物線的交點時，等號成立，故PF+PH的最小值為故選：C.【變式73】（2425高二上·河南新鄉(xiāng)·期末）已知拋物線C:y2=4x的準線為l，直線l′:3x+y+53=0，動點M在C上運動，記點M到直線lA．23 B．33 C．43【答案】B【解題思路】由拋物線的定義可知d1=MF，設MN⊥l'于點N，d【解答過程】設拋物線C:y2=4x的焦點為F設MN⊥l′于點N，則d1+d2=MF+由拋物線C:y2=4x，得F1,0，所以故選：B.知識點2拋物線的簡單幾何性質1．拋物線的幾何性質拋物線的簡單幾何性質：標準方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)圖形頂點(0,0)(0,0)軸對稱軸y=0對稱軸x=0焦點準線離心率e=1e=1開口開口向右開口向左開口向上開口向下焦半徑范圍x≥0x≤0y≥0y≤02．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異：①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；②頂點個數(shù)不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點；③焦點個數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是0<e<1,雙曲線的離心率范圍是e>1，拋物線的離心率是e=1；⑤橢圓和雙曲線都有兩條準線，而拋物線只有一條準線；⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.【題型8判斷拋物線的開口方向】【例8】（2425高二上·江蘇揚州·期中）對拋物線y=18x2A．開口向上，焦點為0，2 B．開口向上，焦點為0，C．開口向右，焦點為2，0 D．開口向右，焦點為1【答案】A【解題思路】將拋物線方程改寫為標準方程形式x2【解答過程】由題知，該拋物線的標準方程為x2則該拋物線開口向上，焦點坐標為0,2.故選：A.【變式81】（2425高二上·陜西榆林·階段練習）在同一坐標系中，方程y2a2+xA． B．C． D．【答案】D【解題思路】由a>b>0，判斷橢圓焦點在y軸上，ax+by【解答過程】由a>b>0，方程y2a2ax+by2=0得y故選：D.【變式82】（2425高二上·山東濟寧·期中）下列關于拋物線y=2x2的圖象描述正確的是（A．開口向上，焦點為0,18 C．開口向上，焦點為0,12 【答案】A【解題思路】利用拋物線方程，判斷開口方向以及焦點坐標即可.【解答過程】拋物線y=2x2，即可知拋物線的開口向上，焦點坐標為0,1故選：A.【變式83】（2425高二上·重慶·期末）已知a≠0，則方程ax?yx?ay+aA． B．C． D．【答案】C【解題思路】由方程ax?yx?ay+a2=0【解答過程】方程ax?yx?ay+a2=0當a>0時，則有y=a2x2x≥0,y≥0或y=1當a<0時，則有y=a2x2x≤0,y≥0或y=綜上，方程ax?y故選：C.【題型9拋物線的對稱性及其應用】【例9】（2425高二上·浙江溫州·期中）已知等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線y2=4x上，則這個等邊三角形的邊長為（A．83 B．42 C．43【答案】A【解題思路】設另外兩個頂點的坐標分別為m24,m,m【解答過程】由題意，依據(jù)拋物線的對稱性，及等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線y2可設另外兩個頂點的坐標分別為m2∴tan30°=3故這個等邊三角形的邊長為2m=83故選：A.【變式91】（2425高二·全國·課后作業(yè)）若點(m,n)在拋物線y2=?13x上，則下列點中一定在該拋物線上的是（A．(?m,?n) B．(m,?n) C．(?m,n) D．(?n,?m)【答案】B【解題思路】利用拋物線關于x軸對稱求解即可【解答過程】由拋物線關于x軸對稱易知，點(m,?n)一定在該拋物線上.故選：B.【變式92】（2425高二上·河南駐馬店·期末）已知拋物線C：y=14x2，則過拋物線A．4037 B．4044 C．2019 D．2022【答案】A【解題思路】根據(jù)已知條件，結合拋物線的性質，先求出過焦點的最短弦長，再結合拋物線的對稱性，即可求解．【解答過程】∵拋物線C：y=14x由拋物線的性質可得，過拋物線焦點中，長度最短的為垂直于y軸的那條弦，則過拋物線C的焦點，長度最短的弦的長為4×1=4，由拋物線的對稱性可得，弦長在5到2022之間的有共有2018×2=4036條，故弦長為整數(shù)且不超過2022的直線的條數(shù)是4036+1=4037．故選：A．【變式93】（2425高三下·河南開封·階段練習）在平面直角坐標系xOy中，拋物線C:y2=8x,P為x軸正半軸上一點，線段OP的垂直平分線l交C于A,B兩點，若∠OAP=120°，則四邊形OAPBA．643 B．64 C．803【答案】A【解題思路】線段OP的垂直平分線l交C于A,B兩點,結合拋物線的對稱性可得AB與OP互相平分,則四邊形OAPB為菱形,可設P點坐標,通過幾何關系求出A點坐標,在代入拋物線方程即可求解.【解答過程】因為線段OP的垂直平分線l交C于A,B兩點，所以結合拋物線的對稱性可得AB與OP互相平分,則四邊形OAPB為菱形.設點P2t,0且t>0則線段OP的垂直平分線l方程為x=t令l與x軸交于點H,又∠OAP=120°，

則在直角三角形OAH中∠OAH=繼而可得AH=所以A點坐標為t,3代入拋物線C:y2=8x，可得t直角三角形OAH中OA=2所以四邊形OAPB的周長為4OA故選：A.【題型10拋物線的實際應用問題】【例10】（2425高二上·江蘇揚州·期中）如圖，一座拋物線形拱橋，當橋洞內水面寬16m時，拱頂距離水面4m，當水面下降1m后，橋洞內水面寬為（

）A．43m B．45m C．【答案】D【解題思路】以拋物線的頂點為坐標原點，拋物線的對稱軸為y軸，過原點且垂直于y軸的直線為x軸建立平面直角坐標系，設拋物線的方程為x2=?2pyp>0，分析可知點8,?4在該拋物線上，求出p【解答過程】以拋物線的頂點為坐標原點，拋物線的對稱軸為y軸，過原點且垂直于y軸的直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為x2=?2pyp>0所以64=?2p×?4，可得p=8，所以拋物線的方程為x當水面下降1m后，即當y=?5時，x2=?16×因此，當水面下降1m后，橋洞內水面寬為8故選：D.【變式101】（2425高二上·陜西渭南·期中）圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑AB=6，深度MO=1