重難點培優(yōu)01立體幾何中的外接球與內(nèi)切球、棱切球問題目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"12"\h\u01知識重構(gòu)?重難梳理固根基 102題型精研?技巧通法提能力 5題型一墻角模型（★★★★★） 5題型二三棱錐的三組對棱長分別相等模型（★★★★） 7題型三其他補成長方體模型（★★★★★） 9題型四直棱柱、圓柱的外接球模型（★★★） 13題型五正棱錐、圓錐模型（★★★★★） 15題型六垂面模型（★★★★★） 19題型七棱臺、圓臺外接球（★★★★） 24題型八棱柱、圓柱內(nèi)切球（★★★） 29題型九圓錐、圓臺、棱臺內(nèi)切球（★★★★） 32題型十棱錐內(nèi)切球（★★★★） 3703實戰(zhàn)檢測?分層突破驗成效 45檢測Ⅰ組重難知識鞏固 45檢測Ⅱ組創(chuàng)新能力提升 67知識點01外接球模型一：墻角模型墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長(在長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)．)，秒殺公式：R2＝eq\f(a2＋b2＋c2,4)．可求出球的半徑從而解決問題．有以下四種類型：知識點02外接球模型二：三棱錐的三組對棱長分別相等模型知識點03外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型知識點04外接球模型四：垂面模型2、或者是有一側(cè)面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如類型Ⅰ，△ABC與△BCD都是直角三角形，類型Ⅱ，△ABC是等邊三角形，△BCD是直角三角形，類型Ⅲ，△ABC與△BCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與△BCD的外心作該三角形所在平面的垂線，交點O即為球心．類型Ⅳ，△ABC與△BCD都一般三角形，解決方法是過△BCD的外心O1作該三角形所在平面的垂線，用代數(shù)方法即可解決問題．設(shè)三棱錐A－BCD的高為h，外接球的半徑為R，球心為O．△BCD的外心為O1，O1到BD的距離為d，O與O1的距離為m，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝r2＋m2，,R2＝d2＋h－m2，))解得R．可用秒殺公式：R2＝r12＋r22－eq\f(l2,4)(其中r1、r2為兩個面的外接圓的半徑，l為兩個面的交線的長)知識點05外接球模型五：正棱錐與側(cè)棱相等模型2、側(cè)棱相等模型：解題步驟：知識點06內(nèi)切球思路：1、等積法思路以三棱錐P－ABC為例，求其內(nèi)切球的半徑．方法：等體積法，三棱錐P－ABC體積等于內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和；第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC?VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·r＋eq\f(1,3)S△PAB·r＋eq\f(1,3)S△PAC·r＋eq\f(1,3)S△PBC·r＝eq\f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；第三步：解出r＝eq\f(3VP－ABC,SO－ABC＋SO－PAB＋SO－PAC＋SO－PBC)＝eq\f(3V,S表)．2、球內(nèi)接圓錐3、球內(nèi)接圓柱4、球內(nèi)接圓臺5、棱切球方法：找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形題型一墻角模型【答案】【分析】利用長方體和外接球的關(guān)系可求球的半徑，利用面積公式可得答案.因為長方體的各頂點均在同一球的球面上，所以球的直徑等于長方體的對角線長，即半徑為，故答案為：A． B． C． D．【答案】B故選：B．【答案】B故選：B.【答案】C【分析】根據(jù)三棱錐兩兩垂直的特性將三棱錐補為長方體，三棱錐外接球的半徑為所補長方體的直徑，計算求出半徑，代入體積公式可得結(jié)果.根據(jù)長方體體對角線公式故選：C．題型二三棱錐的三組對棱長分別相等模型A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對棱相等的特征，可以將四面體放入長方體中，再求其外接球半徑即可.【詳解】如圖所示，該四面體的各頂點恰好是一個長方體的四個頂點，每條棱為長方體各面的對角線，故選：C．【分析】將四面體補形為為一個面對角線長分別為，，5的長方體，則長方體外接球即四面體外接球.可將其補形為一個面對角線長分別為，，5的長方體．題型三其他補成長方體模型【答案】B【分析】由題意畫出圖形，然后補形為長方體，求出長方體的對角線長，即可得到外接球的半徑，代入球的表面積公式得答案．

圖形可以補形為長方體，該瞥臑的外接球即該長方體的外接球，是長方體的體對角線，故選：B．【答案】A故選：A【答案】B【分析】因側(cè)棱垂直于底面，故將其補成直棱柱即可.故選：B.A． B． C． D．【答案】C【分析】因條件滿足“墻角”模型，故可構(gòu)建長方體模型求解外接球半徑，利用公式即得.【詳解】

故選：C.【答案】【分析】根據(jù)勾股定理逆定理，構(gòu)造長方體，利用長方體的性質(zhì)、球的表面積公式進行求解即可.故答案為：題型四直棱柱、圓柱的外接球模型1．（2025·河北石家莊·一模）已知一個圓柱的底面直徑與其外接球半徑均為2，則該圓柱的側(cè)面積為（

）【答案】B【分析】畫出軸截面，利用長度關(guān)系求出圓柱半徑和母線，進而得到答案.【詳解】如圖，軸截面為故選：B.A． B． C． D．【答案】B【詳解】故選：B.3．已知一個圓柱的底面半徑為3，體積為，若該圓柱的底面圓周都在球O的球面上，則球O的表面積為.【分析】利用圓柱的體積公式，結(jié)合圓柱的外接球球心在圓柱的中心，即可得到外接球半徑，從而可求外接球的表面積.【詳解】該圓柱的外接球記為球，則為的中點，4．已知正三棱柱的高為2，底面邊長為，則該三棱柱的外接球的體積為.【分析】利用正弦定理求底面等邊三角形的外接圓半徑，結(jié)合正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征求半徑和體積.【答案】【分析】根據(jù)三棱柱幾何特征結(jié)合外接球公式求出半徑，最后應(yīng)用基本不等式求出最小值結(jié)合球的表面積公式計算求解.故答案為：.題型五正棱錐、圓錐模型1．（2025·湖南益陽·三模）已知圓錐的母線長為，其外接球體積為，則該圓錐的表面積為（

）A．3π B．6π C．9π D．12π【答案】C【分析】由外接球的體積公式可得其半徑，然后作出圓錐及其外接球的軸截面，由勾股定理列出方程，代入計算，即可得到底面圓的半徑，再由圓錐的表面積公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】圓錐及其外接球的軸截面如圖，故選：C2．將直徑為6，圓心角為的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D易知圓錐外接球的球心在圓錐的高線上，設(shè)球的半徑為，故選：D3．若正四棱錐的高為6，且所有頂點都在半徑為4的球面上，則該正四棱錐的表面積為（

）【答案】C故選：C.【答案】B【詳解】故選：B.【答案】由球心到四個頂點的距離相等，故答案為：．6．已知一個底面半徑為的圓錐的底面圓周和頂點都在一個半徑為2的球的球面上，則圓錐的體積為.【答案】或【分析】分析圓錐的軸截面，由圓錐的外接球半徑可得軸截面的外接圓半徑，求得軸截面的頂角，進而得出圓錐的高，從而得出體積.【詳解】故答案為：或題型六垂面模型【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合球的截面性質(zhì)求出球半徑，進而求出球的表面積.故選：D【答案】C【詳解】取的中點，連接，，所以⊥，⊥，故選：C【答案】D故選：D【答案】B【詳解】如圖，取的中點，連接，故選：B．故答案為：；.【答案】【分析】故答案為：題型七棱臺、圓臺外接球1．（2425高三下·河北承德·月考）已知圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，母線與底面所成的角為，則圓臺的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D故選：D.2．（2425高三下·云南昆明·開學(xué)考試）正六棱臺的上、下底面邊長分別為3和4，側(cè)棱長是，則該棱臺的外接球半徑為（

）A．3 B．5 C． D．6【答案】B【詳解】因為正六棱臺的上、下底面邊長分別為3和4，即棱臺的高為1，故選：B．3．（2025·山東聊城·三模）已知某圓臺的軸截面中有一個角為，且下底是上底的2倍，若該圓臺的外接球的表面積為，則該圓臺的體積為（

）【答案】C【分析】首先根據(jù)已知條件求出圓臺的高，然后根據(jù)外接球的表面積求出上底和下底半徑，然后根據(jù)圓臺體積公式求出其體積.軸截面為等腰梯形，兩底邊長分別為和，腰與下底的夾角為.根據(jù)球心到上下底面圓周的距離均為2，得方程：所以圓臺體積為：故選：C.4．已知正四棱臺的高為，上、下底面邊長分別為2和4，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征和性質(zhì)求出球的半徑，進而可求出球的表面積.【詳解】故答案為：【分析】根據(jù)給定條件，求出正三棱臺高的范圍，再利用球的截面性質(zhì)建立方程，求出球半徑的范圍即可.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.6．（2526高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）如圖，某圓臺形臺燈燈罩的上、下底面圓的半徑分別為5cm，12cm，高為17cm，則該燈罩外接球的表面積為.題型八棱柱、圓柱內(nèi)切球1．已知圓柱存在內(nèi)切球，則該球與圓柱的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓柱內(nèi)切球半徑為，底面半徑為，高為，故選：C.2．（2025·天津紅橋·模擬預(yù)測）一個正方體的棱長為，若一個球內(nèi)切于該正方體，此球的體積是，則.【答案】2【分析】正方體內(nèi)切球的直徑即為正方體的棱長，即可得到內(nèi)切球的半徑，進而結(jié)合球的體積公式列方程求解即可.【詳解】依題意，正方體內(nèi)切球的直徑即為正方體的棱長，則內(nèi)切球的半徑為，故答案為：2.【答案】【分析】由等面積法求得底面內(nèi)切圓的半徑，進一步結(jié)合已知可得三棱柱的高，從而即可進一步求解.設(shè)其內(nèi)切圓半徑為，三棱柱的高為，故答案為：12.4．若底面邊長為2的正六棱柱存在內(nèi)切球，則其外接球體積是.【分析】由題意可得內(nèi)切球的半徑，進而可得正六棱柱的高，結(jié)合球的體積公式計算即可求解.【答案】設(shè)O到平面DEF的距離為，平面DEF截得球的截面圓的半徑為，故答案為：；.6．如圖，球內(nèi)切于正三棱柱，則球與正三棱柱的體積比為多少？題型九圓錐、圓臺、棱臺內(nèi)切球1．已知圓臺的上下底面半徑之比為，它的內(nèi)切球（與圓臺的上下底面以及每條母線都相切的球）體積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓臺的幾何性質(zhì)確定內(nèi)切球半徑從而得圓臺的高度，結(jié)合圓臺的幾何性質(zhì)求解上下底面半徑，從而可得圓臺體積.【詳解】由于圓臺的內(nèi)切球體積為，設(shè)其內(nèi)切球半徑為，設(shè)圓臺上底面半徑為，則下底面半徑為，由母線長與圓臺上下底面半徑，、高度關(guān)系可得：故選：A.【答案】B【分析】由幾何體結(jié)構(gòu)特征，得到內(nèi)切球與上、下底面切點為上下底的重心，作截面圖，結(jié)合圓的切線性質(zhì)求得到正三棱臺的高.故選：BA． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖為該幾何體的軸截面，其中圓O是等腰梯形ABCD的內(nèi)切圓，設(shè)圓O與梯形的腰相切于點P，Q，與上、下底分別切于點，，故選：B.4．（2425高三下·重慶北碚·月考）正六棱臺的上、下底面的邊長分別是2和6，且正六棱臺存在內(nèi)切球（與正六棱臺的各個面都相切），則它的側(cè)棱長是（

）【答案】C【分析】設(shè)所求為，用表示出正六棱臺的體積、表面積，設(shè)內(nèi)切球半徑為，可用等體積法表示出，另外一方面等于正六棱臺的高，由此可構(gòu)建方程求解.故選：C.5．如圖，圓錐的底面半徑為r，高為，且該圓錐內(nèi)切球（球與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的半徑為1，則．【詳解】畫出圓錐的軸截面如圖設(shè)內(nèi)切球的球心為，半徑為，【答案】/【分析】利用圓臺的性質(zhì)求得上底面的關(guān)徑與內(nèi)切球的半徑的關(guān)系，進而求得圓臺的體積，求得圓錐的高與內(nèi)切球的半徑的關(guān)系，求得圓錐的體積，可求體積比.【詳解】設(shè)圓臺的高為，上底面半徑為，圓臺的軸截面是等腰梯形，則兩腰長之和是兩底長之和，圓錐的軸截面為等腰三角形，等腰三角形的內(nèi)切圓即為圓錐的內(nèi)切球的大圓，故答案為：.題型十棱錐內(nèi)切球【答案】A設(shè)球的半徑為，故選：A.【答案】A【分析】過已知正四棱錐頂點及底面正方形一組對邊中點作截面，將問題轉(zhuǎn)化為三角形及內(nèi)部一系列圓相切問題求解作答.【詳解】故選：A4．（2024·湖南·二模）一個正四棱錐底面邊長為2，高為，則該四棱錐的內(nèi)切球表面積為.【答案】/【分析】根據(jù)三角形相似求出內(nèi)切球半徑，再利用球的表面積公式求其表面積.【詳解】由題意可知該幾何體為正四棱錐，如圖，設(shè)內(nèi)切球半徑為，故答案為：.題型十一棱切球A．12 B．16 C．20 D．24【答案】D【詳解】故選：D.【答案】D【分析】作出圖形，根據(jù)題意可得棱切球的球心即為底面正三角形的中心，再求出三棱錐的高，利用勾股定理即可求解外接球半徑.【詳解】因為球與該正三棱錐的各棱均相切，又因為底面邊長為，又因為球的半徑為1，所以棱切球的球心即為底面正三角形的中心點，連接PO，即為三棱錐的高，故選：D.3．一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的表面積是.【答案】【分析】將正四面體放置在正方體中，由此可得正方體的內(nèi)切球即滿足條件的球，根據(jù)正方體的性質(zhì)求球的半徑，結(jié)合球的表面積公式求結(jié)論..如圖所示．由正方體的性質(zhì)可得，該正方體的內(nèi)切球恰好與正四面體的六條棱都相切，設(shè)該正方體的棱長為，故答案為：.【答案】【分析】將四面體補成正方體，則正四面體的棱切球即正方體的內(nèi)切球，求出正方體的棱長，即可得球的半徑，由題意得球的球心到正四面體的各個面的距離都相等，且為半徑，由等體積法即可求出，利用球的體積公式即可求解.【詳解】將四面體補成正方體，則四面體的棱長全是該正方體的面對角線，球與正四面體六條棱相切，則球為正方體的內(nèi)切球，且切點為面對角線的中點，正四面體的棱長為，正四面體的棱長為，頂點在底面的投影位為底面三角形高的處，設(shè)正四面體的高為，球與正四面體四個面相切，則球心到正四面體的各個面的距離都相等，且為半徑，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于正四面體的棱切球，可以轉(zhuǎn)化為正方體的內(nèi)切球，方便理解與運算.檢測Ⅰ組重難知識鞏固1．（2425高三上·福建龍巖·月考）已知某圓柱的內(nèi)切球半徑為1，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得該圓柱底面圓的半徑為，圓柱的高為2，從而可求出其體積.【詳解】由題意得，該圓柱底面圓的半徑為，圓柱的高為2，故選：BA． B． C． D．【答案】A【分析】由題知根據(jù)墻角模型可把三棱錐補形成長方體，求長方體外接球即可．故選：A.A． B． C． D．【答案】A【分析】利用球的體積公式求出球的半徑，結(jié)合圓柱半徑可得圓柱的高，然后可解.故選：A．4．已知側(cè)棱長為2的正三棱錐的四個頂點都在一個球的球面上，且三個側(cè)面兩兩垂直，則這個球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C故選：C.A． B． C． D．【答案】C【分析】由補形法求得外接球的半徑，結(jié)合球的表面積公式即可得解.故選：C．【答案】A因為正方體的外接球直徑為，所以外接球的半徑為，故選：A.A． B． C． D．【答案】B如圖，的中點即為外接球的球心，為直徑，故選：B【答案】A故選：A.9．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）圓柱與圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐內(nèi)切球半徑為（

）【答案】C【分析】由等面積法先求出圓錐底面圓的半徑，再由等面積法求出圓錐軸截面內(nèi)切圓的半徑即可得解.【詳解】若圓柱與圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，根據(jù)對稱性，圓錐內(nèi)切球半徑為圓錐軸截面內(nèi)切圓的半徑，故選：C.【答案】B【分析】將正四面體放到正方體中，正方體的內(nèi)切球即與正四面體的六條棱均相切，再利用割補法求出體積.以正四面體的棱為正方體的面對角線，將該正四面體放到正方體中，則正方體的內(nèi)切球即與正四面體的六條棱均相切，故選：B11．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，該書商功一章中介紹了方亭（即正四棱臺）：“今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈”，翻譯為白話文為“已知正四棱臺，下底面邊長為5丈，上底面邊長為4丈，高為5丈”，設(shè)該正四棱臺的所有頂點在同一球面上，則該球的表面積為（

）【答案】A【詳解】設(shè)該正四棱臺上、下底面的外接圓的圓心分別為，，半徑分別為，，故選：A．【答案】C故選：C13．已知一個正四棱錐的高為16，且其外接球的半徑為10，則該正四棱錐的表面積為（

）A．512 B．256 C．128 D．64【答案】A【分析】根據(jù)正四棱錐及其外接球的特征，利用勾股定理求得底面對角線的一半的長，再求得底面正方形的邊長和正四棱錐的側(cè)棱長，利用余弦定理求得側(cè)面的頂角余弦值，計算正弦值，利用三角形面積公式計算一個側(cè)面的面積，進而求得全面積.故選：A.【答案】A故選：A【答案】C故選：.16．若半徑為的球與正六棱柱的各個面均相切，則該正六棱柱外接球的表面積為（

）【答案】D【分析】根據(jù)半徑為的球與正六棱柱的各個面均相切，可得正六棱柱的高和底面正六邊形的內(nèi)切圓半徑，可求出底面正六邊形的外接圓半徑，即可求出外接球的半徑和表面積.【詳解】因為半徑為的球與正六棱柱的各個面均相切，如圖所示，正六邊形外心和內(nèi)心是同一點，根據(jù)內(nèi)切圓半徑和外切圓半徑的關(guān)系，故選：D.【答案】C如圖所示故選：C．A． B． C． D．【答案】D故選：D.19．已知球O的半徑為3，圓錐內(nèi)接于球O，當(dāng)圓錐的體積最大時，圓錐內(nèi)切球的半徑為（

）【答案】D因為圓錐內(nèi)切球的半徑等于圓錐軸截面的內(nèi)切圓的半徑，故選：D【答案】B故選：B.【答案】D故選：DA． B． C． D．【答案】A【分析】利用等體積可求得內(nèi)切球半徑，再取截面并根據(jù)比例求得球的半徑，則可求得球的表面積．設(shè)球的半徑為，故選：A．23．（2425高三上·上?！ぴ驴迹┮粋€長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為、、，則此球的直徑為【答案】.【分析】長方體的外接球直徑為其體對角線長，根據(jù)勾股定理可求得.【詳解】長方體的外接球直徑為其體對角線長，根據(jù)題意可得：故答案為：.25．一個正方體的表面積為6，若一個球內(nèi)切于該正方體，則此球的體積是【答案】/【分析】求出正方體的棱長，進而求出其內(nèi)切球的半徑即可得解.【詳解】正方體的表面積為6，則該正方體的棱長為1，內(nèi)切球半徑為，故答案為：【答案】【分析】先求出四棱錐的表面積和體積，再利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，最后根據(jù)球的體積公式計算出內(nèi)切球的體積.故答案為：.27．已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為的半圓，則這個圓錐的外接球體積為.【分析】由圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓知，圓錐的軸截面為邊長為2的正三角形，由此作出圓錐的外接球的草圖，根據(jù)勾股定理即可求出外接球半徑，然后再根據(jù)球的體積公式，即可求出結(jié)果．【詳解】由于圓錐的側(cè)面展開恰為一個半徑為2的半圓，所以圓錐的底面圓周長為，母線長為2，所以圓錐的軸截面為邊長為2的正三角形，作出圓錐的外接球的草圖，如下：28．已知一底面邊長為的正三棱柱有內(nèi)切球，則該正三棱柱外接球的表面積為.【答案】【分析】分析可知該正三棱柱內(nèi)切球的半徑等于其底面等邊三角形內(nèi)切圓的半徑，利用等面積法可求得內(nèi)切球半徑，進而可得出棱柱的高，結(jié)合正棱柱的幾何特征求出其外接球半徑，再結(jié)合球體表面積公式可求得結(jié)果.連接、、，故答案為：.29．已知圓錐的底面半徑為2，且內(nèi)切球球心與外接球球心重合，則圓錐外接球表面積為【分析】根據(jù)圓錐的軸截面為