2025年高三數(shù)學高考開放探索性壓軸題模擬試題一、函數(shù)與導數(shù)綜合探索題（本小題滿分15分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax^2-bx-1)（其中(a,b\in\mathbb{R})），其導函數(shù)為(f'(x))，且曲線(y=f(x))在點((0,f(0)))處的切線方程為(y=0)。（1）基礎(chǔ)探究求(b)的值及(f'(x))的表達式，并討論函數(shù)(f(x))在區(qū)間((0,+\infty))上的單調(diào)性。（2）開放拓展若函數(shù)(f(x))在((0,+\infty))上存在兩個不同的極值點(x_1,x_2)（(x_1<x_2)），請完成以下探究：①求實數(shù)(a)的取值范圍；②證明：(x_1+x_2>2)；③選做探究（從以下兩個方向中任選一個作答）：方向1：是否存在實數(shù)(a)，使得(f(x_1)+f(x_2)<0)？若存在，求出一個滿足條件的(a)值；若不存在，說明理由。方向2：設(shè)(g(x)=f(x)-k(x-1))，若對任意(x\geq1)，(g(x)\geq0)恒成立，求實數(shù)(k)的最大值（用含(a)的代數(shù)式表示）。二、解析幾何與動態(tài)問題（本小題滿分15分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1)，其左、右焦點分別為(F_1,F_2)，過點(P(t,0))（(t\in\mathbb{R})）的直線(l)與橢圓(C)交于(A,B)兩點（點(A,B)與橢圓頂點不重合）。（1）定點與定值探究當(t=1)時，設(shè)直線(AF_2)與(BF_2)的斜率分別為(k_1,k_2)，證明：(k_1+k_2)為定值，并求出該定值。（2）動態(tài)拓展若直線(l)的斜率為1，且線段(AB)的垂直平分線與(x)軸交于點(Q(m,0))，請完成以下探究：①求(m)關(guān)于(t)的函數(shù)關(guān)系式(m=h(t))，并求出(m)的取值范圍；②開放設(shè)計：請自行設(shè)定一個與點(Q)相關(guān)的探究問題（例如：點(Q)的軌跡方程、(|PQ|)的最值、(\triangleABQ)的面積等），并給出解答過程。三、數(shù)列與不等式創(chuàng)新題（本小題滿分15分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，且對任意(n\in\mathbb{N}^*)，有(a_{n+1}=\frac{a_n^2+2}{2a_n+1})。（1）性質(zhì)探究①證明：數(shù)列({a_n})是單調(diào)遞減數(shù)列；②求數(shù)列({a_n})的極限值(L)（直接寫出結(jié)果，無需證明）。（2）不等式拓展設(shè)(b_n=a_n-L)，證明：(b_{n+1}<\frac{b_n^2}{2})，并利用此結(jié)論探究：是否存在正整數(shù)(k)，使得對任意(n\geqk)，都有(b_n<\left(\frac{1}{2}\right)^{2^n})？若存在，求出最小的(k)值；若不存在，說明理由。（3）開放應(yīng)用請結(jié)合以上結(jié)論，設(shè)計一個與數(shù)列({a_n})相關(guān)的求和不等式問題，并給出解答（例如：證明(\sum_{i=1}^na_i<M)，其中(M)為常數(shù)）。四、概率與統(tǒng)計綜合實踐（本小題滿分15分）某工廠為提高產(chǎn)品質(zhì)量，對一條生產(chǎn)線的產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測。已知該生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品分為“優(yōu)質(zhì)品”“合格品”“次品”三個等級，其概率分別為(p,q,r)（(p+q+r=1)），且每件產(chǎn)品的等級相互獨立。（1）基礎(chǔ)計算若(p=0.6)，(q=0.3)，現(xiàn)從該生產(chǎn)線隨機抽取10件產(chǎn)品，記其中“優(yōu)質(zhì)品”的件數(shù)為(X)，求(X)的數(shù)學期望(E(X))和方差(D(X))。（2）開放建模工廠計劃通過技術(shù)升級調(diào)整(p,q,r)的值。設(shè)升級后“優(yōu)質(zhì)品”概率為(p'=p+t)，“次品”概率為(r'=kr)（其中(t>0)，(0<k<1)，且(p+t+q+kr=1)）。請設(shè)計一個具體的優(yōu)化目標（例如：在成本約束下最大化“優(yōu)質(zhì)品”概率、最小化“次品”概率等），并建立數(shù)學模型求解（需明確目標函數(shù)、約束條件及求解過程）。（3）數(shù)據(jù)分析現(xiàn)有升級前后的兩組樣本數(shù)據(jù)（每組各100件產(chǎn)品）：升級前：優(yōu)質(zhì)品60件，合格品30件，次品10件；升級后：優(yōu)質(zhì)品70件，合格品25件，次品5件。請用(\chi^2)獨立性檢驗（(\alpha=0.05)）判斷產(chǎn)品等級與技術(shù)升級是否獨立，并寫出檢驗結(jié)論（(\chi^2=\sum\frac{(n_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}})，其中(E_{ij})為期望頻數(shù)，臨界值(\chi^2_{0.05}(2)=5.991)）。參考答案與評分標準（簡要框架）一、函數(shù)與導數(shù)綜合探索題（1）由切線方程得(f(0)=0)，(f'(0)=0)，解得(b=1)，(f'(x)=e^x-2ax-1)；單調(diào)性需分(a\leq\frac{e}{4})和(a>\frac{e}{4})討論。（2）①(a>\frac{e}{4})；②構(gòu)造函數(shù)(h(x)=f'(x)-f'(2-x))，證明(h(x)<0)；③方向1：存在(a=1)滿足條件；方向2：(k\leqe-2a)。二、解析幾何與動態(tài)問題（1）設(shè)直線(l:x=my+1)，聯(lián)立橢圓方程得(k_1+k_2=0)；（2）①(m=\frac{t}{7})，(m\in(-\frac{1}{7},\frac{1}{7}))；②若探究(|PQ|)的最值，可得(|PQ|_{\text{min}}=\frac{6|t|}{7}\geq0)。三、數(shù)列與不等式創(chuàng)新題（1）①用數(shù)學歸納法證明(a_n>\frac{\sqrt{8}}{2}\approx1.414)，再證(a_{n+1}-a_n<0)；②(L=\sqrt{2}-1)；（2）(k=2)；（3）例如：證明(\sum_{i=1}^na_i<n+1)。四、概率與統(tǒng)計綜合實踐（1）(E(X)=6)，(D(X)=2.4)；（2）若目標為最小化(r')，則(k=0.5)，(t=0.1)；（3）(\chi^2=