2025年高三數(shù)學(xué)高考科技前沿專題模擬試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）量子通信加密：量子密鑰分發(fā)中，光子偏振態(tài)的概率分布服從參數(shù)為(p)的二項(xiàng)分布。已知某次通信中成功傳輸密鑰的概率為(p=0.9)，若連續(xù)發(fā)送10個(gè)光子，至少有9個(gè)光子成功傳輸?shù)母怕蕿椋ǎ〢.(10\times0.9^9\times0.1+0.9^{10})B.(0.9^9\times0.1+0.9^{10})C.(10\times0.9^9\times0.1)D.(0.9^{10})AI圖像識(shí)別：某神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入層有256個(gè)神經(jīng)元，隱藏層神經(jīng)元數(shù)量是輸入層的(\frac{3}{4})，輸出層神經(jīng)元數(shù)量是隱藏層的(\frac{1}{6})。若各層神經(jīng)元通過(guò)全連接方式傳遞信號(hào)（即任意兩神經(jīng)元間有一條連接），則該模型的連接總數(shù)為（）A.(256\times192+192\times32)B.(256\times192\times32)C.(256+192+32)D.((256+192)\times(192+32))自動(dòng)駕駛路徑規(guī)劃：某無(wú)人車(chē)在平面直角坐標(biāo)系中沿曲線(y=x^3-3x^2+2x)行駛，其速度方向與x軸夾角的正切值等于該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。則車(chē)輛在點(diǎn)((2,0))處的行駛方向角（與x軸正方向夾角）為（）A.(0^\circ)B.(45^\circ)C.(90^\circ)D.(135^\circ)衛(wèi)星軌道計(jì)算：北斗衛(wèi)星繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)，近地點(diǎn)距離地心(r_1=7000,\text{km})，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離地心(r_2=26000,\text{km})。若橢圓的離心率(e=\frac{c}{a})，其中(2a=r_1+r_2)，(c)為半焦距，則該橢圓的離心率為（）A.(\frac{19000}{33000})B.(\frac{9500}{16500})C.(\frac{16500}{9500})D.(\frac{33000}{19000})區(qū)塊鏈哈希值計(jì)算：某區(qū)塊鏈采用SHA-256算法，其哈希值由64個(gè)十六進(jìn)制字符組成（每個(gè)字符取值為0-9，A-F）。若隨機(jī)生成一個(gè)哈希值，至少出現(xiàn)一個(gè)重復(fù)字符的概率為（）A.(1-\frac{16^{64}}{16^{64}})B.(1-\frac{P_{16}^{64}}{16^{64}})C.(\frac{P_{16}^{64}}{16^{64}})D.(\frac{16^{64}-16!}{16^{64}})3D打印材料配比：某打印材料由甲、乙、丙三種成分組成，其體積比為(3:2:5)，密度分別為(\rho_甲=2,\text{g/cm}^3)，(\rho_乙=3,\text{g/cm}^3)，(\rho_丙=4,\text{g/cm}^3)。則混合后材料的平均密度為（）A.(3,\text{g/cm}^3)B.(3.2,\text{g/cm}^3)C.(3.5,\text{g/cm}^3)D.(4,\text{g/cm}^3)元宇宙虛擬空間：在球坐標(biāo)系中，某虛擬建筑的表面由方程(r=2+\sin\theta\cos\phi)（(0\leq\theta\leq\pi)，(0\leq\phi<2\pi)）確定，其體積可通過(guò)三重積分計(jì)算。若將該建筑投影到直角坐標(biāo)系的Oxy平面，所得投影區(qū)域的面積為（）A.(\pi)B.(2\pi)C.(4\pi)D.(8\pi)腦機(jī)接口信號(hào)處理：某腦電信號(hào)的波形近似為周期函數(shù)(f(t)=A\sin(2\pift+\phi))，其中頻率(f=50,\text{Hz})，相位(\phi=\frac{\pi}{3})。則該信號(hào)在(t=0.01,\text{s})時(shí)的瞬時(shí)頻率為（）A.(25,\text{Hz})B.(50,\text{Hz})C.(100,\text{Hz})D.(150,\text{Hz})二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）AI醫(yī)療影像診斷：某深度學(xué)習(xí)模型對(duì)肺癌CT影像的識(shí)別準(zhǔn)確率為90%，假陽(yáng)性率為5%（健康人被誤診為患病的概率）。已知某地區(qū)肺癌發(fā)病率為0.1%，則下列說(shuō)法正確的有（）A.隨機(jī)抽取1人，檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率為(0.9\times0.001+0.05\times0.999)B.檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的人中，實(shí)際患病的概率約為1.77%C.若模型準(zhǔn)確率提升至95%，則陽(yáng)性預(yù)測(cè)值（患病概率）將提高D.假陽(yáng)性率與發(fā)病率無(wú)關(guān)太空望遠(yuǎn)鏡軌道設(shè)計(jì)：韋伯望遠(yuǎn)鏡在日地拉格朗日L2點(diǎn)附近做圓周運(yùn)動(dòng)，與地球、太陽(yáng)保持共線。已知太陽(yáng)質(zhì)量(M_s=2\times10^{30},\text{kg})，地球質(zhì)量(M_e=6\times10^{24},\text{kg})，日地距離(r=1.5\times10^{11},\text{m})。若忽略其他天體引力，下列判斷正確的有（）A.望遠(yuǎn)鏡所受太陽(yáng)引力大于地球引力B.軌道半徑約為日地距離的1%C.運(yùn)行周期與地球公轉(zhuǎn)周期相同D.向心加速度與地球公轉(zhuǎn)加速度大小相等量子計(jì)算算法復(fù)雜度：對(duì)于N個(gè)量子比特的系統(tǒng)，其狀態(tài)空間維度為(2^N)。下列關(guān)于量子算法與經(jīng)典算法復(fù)雜度對(duì)比的說(shuō)法正確的有（）A.量子傅里葉變換復(fù)雜度為(O(N^2))，優(yōu)于經(jīng)典算法的(O(N2^N))B.Shor質(zhì)因數(shù)分解算法可在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決經(jīng)典N(xiāo)P問(wèn)題C.量子算法對(duì)所有問(wèn)題的加速效果均優(yōu)于經(jīng)典算法D.Grover搜索算法將經(jīng)典(O(N))復(fù)雜度降至(O(\sqrt{N}))新能源電池優(yōu)化：某鋰電池的充電過(guò)程中，電量(Q(t))（單位：mAh）與時(shí)間(t)（單位：min）的關(guān)系滿足微分方程(\frac{dQ}{dt}=k(Q_m-Q))，其中(Q_m=5000,\text{mAh})為最大容量，(k=0.02,\text{min}^{-1})。則下列結(jié)論正確的有（）A.充電過(guò)程中電量增長(zhǎng)速率逐漸減小B.(Q(t)=5000(1-e^{-0.02t}))是該方程的解C.充電30分鐘后電量約為2595mAhD.理論上需無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間才能充滿電三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）智能電網(wǎng)負(fù)荷預(yù)測(cè)：某地區(qū)日用電量(y)（萬(wàn)千瓦時(shí)）與平均氣溫(x)（℃）的線性回歸方程為(\hat{y}=-1.2x+50)。若明日預(yù)報(bào)氣溫為(15^\circ\text{C})，則預(yù)測(cè)用電量為_(kāi)_______萬(wàn)千瓦時(shí)。無(wú)人機(jī)集群控制：10架無(wú)人機(jī)以等間隔分布在半徑為50m的圓周上，形成圓形編隊(duì)。則相鄰兩架無(wú)人機(jī)之間的直線距離為_(kāi)_______m（精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）。基因序列比對(duì)：某DNA序列由A、T、C、G四種堿基組成，若某片段包含100個(gè)堿基，其中A占30%，T占25%，則該片段中C和G的數(shù)量之和為_(kāi)_______，C與G數(shù)量相等時(shí)的排列方式有________種（用組合數(shù)表示）。超導(dǎo)材料臨界溫度：某高溫超導(dǎo)材料的臨界溫度(T_c)（K）與壓力(p)（GPa）的關(guān)系為(T_c(p)=100+20p-p^2)，則最大臨界溫度為_(kāi)_______K，對(duì)應(yīng)的壓力為_(kāi)_______GPa。四、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）AI推薦系統(tǒng)某短視頻平臺(tái)的推薦算法基于用戶相似度，已知用戶A和用戶B對(duì)5類視頻的評(píng)分向量分別為(\vec{a}=(4,5,3,2,5))和(\vec=(5,4,3,4,3))。（1）計(jì)算兩用戶的余弦相似度(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|})；（2）若相似度大于0.9則視為“高度相似”，判斷A、B是否屬于該類別。（12分）自動(dòng)駕駛決策模型某無(wú)人車(chē)在平直道路上行駛，前方突然出現(xiàn)障礙物，其剎車(chē)加速度(a(t)=-kv(t))，其中(v(t))為速度（m/s），(k=0.5,\text{s}^{-1})。初始速度(v_0=20,\text{m/s})。（1）求速度(v(t))關(guān)于時(shí)間(t)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若剎車(chē)距離(s=\int_0^{t_s}v(t)dt)（(t_s)為停車(chē)時(shí)間），求剎車(chē)距離。（12分）衛(wèi)星導(dǎo)航定位某GPS衛(wèi)星在地球同步軌道運(yùn)行，軌道半徑(R=4.2\times10^7,\text{m})，地球半徑(r=6.4\times10^6,\text{m})，重力加速度(g=9.8,\text{m/s}^2)。（1）推導(dǎo)同步衛(wèi)星周期(T)的表達(dá)式（用(R)、(r)、(g)表示）；（2）計(jì)算該衛(wèi)星的運(yùn)行周期（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）。（12分）機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)擬合某實(shí)驗(yàn)室對(duì)新型材料的電阻(R)（Ω）與溫度(T)（K）的關(guān)系進(jìn)行測(cè)量，得到數(shù)據(jù)如下：|(T)|200|250|300|350|400||--------|-----|-----|-----|-----|-----||(R)|120|90|70|55|45|（1）用最小二乘法擬合(R=aT+b)，求系數(shù)(a)、(b)；（2）預(yù)測(cè)溫度為320K時(shí)的電阻值。（12分）量子通信糾錯(cuò)編碼某量子通信系統(tǒng)采用5量子比特糾錯(cuò)碼，其中信息比特2個(gè)，校驗(yàn)比特3個(gè)。當(dāng)錯(cuò)誤比特?cái)?shù)不超過(guò)1時(shí)可實(shí)現(xiàn)糾錯(cuò)。（1）計(jì)算無(wú)錯(cuò)誤傳輸?shù)母怕剩ㄔO(shè)單比特錯(cuò)誤概率為(p=0.01)）；（2）若采用重復(fù)編碼（將信息比特重復(fù)3次），對(duì)比兩種編碼方案的抗干擾能力。（12分）元宇宙經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)某虛擬世界中，虛擬貨幣“元晶”的價(jià)格(P(t))（美元/枚）與時(shí)間(t)（天）的關(guān)系滿足微分方程(\frac{dP}{dt}=0.05P(1-\frac{P}{1000}))，初始價(jià)格(P(0)=100)美元。（1）求解該微分方程，寫(xiě)出(P(t))的表達(dá)式；（2）分析價(jià)格的長(zhǎng)期趨勢(shì)，并計(jì)算價(jià)格達(dá)到500美元所需時(shí)間（精確到1天）。五、選做題（本大題共2小題，任選1題作答，共10分）（10分）航天發(fā)射軌道優(yōu)化某火箭從地面發(fā)射，燃料耗盡時(shí)速度(v=8,\text{km/s})，高度(h=200,\text{km})。地球半徑(R=6400,\text{km})，引力加速度(g=9.8,\text{m/s}^2)。（1）證明：第二宇宙速度(v_2=\sqrt{2gR})；（2）判斷該火箭能否擺脫地球引力（計(jì)算(v)與(v_2)的比值）。（10分）腦機(jī)接口信號(hào)解碼某腦電