高中數(shù)學(xué)之概率與記錄

求等也許性事件、互斥事件和互相獨(dú)立事件的概率

解此類題目常應(yīng)用如下知識：

⑴等也許性事件(占典概型川勺概率:P(A)=EI=叱

等也許事件概率口勺計(jì)算環(huán)節(jié)：

計(jì)算一次試驗(yàn)的基本領(lǐng)件總數(shù)〃;

設(shè)所求事件A,并計(jì)算事件A包括的基本領(lǐng)件H勺個數(shù)團(tuán);

P(A)=—

依公式”求值;

答,即給問題?種明確日勺答復(fù).

(2)互斥事件有一種發(fā)生的概率:P(A+B)=P(A)+P(B);

特例：對立事件H勺概率:P(A)+P(EI)=P(A+回)=1.

⑶互相獨(dú)立事件同步發(fā)生的概率:P(A-B)=P(A)?P(B);

特例：獨(dú)立反復(fù)試驗(yàn)的概率:Pn(k)=l3.其中P為事件A在?次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，此式為二

項(xiàng)式[(1-P)+P]n展開H勺第k+1項(xiàng).

⑷處理概率問題要注意,'四個環(huán)節(jié)，一種結(jié)合”：

求概率H勺環(huán)節(jié)是：

第一步，確定事件性質(zhì)團(tuán)

即所給H勺問題歸結(jié)為四類事件中H勺某一種.

第二步，判斷事件日勺運(yùn)算團(tuán)

即是至少有一種發(fā)生，還是同步發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件.

第三步，運(yùn)用公式團(tuán)求解

例L第四步，答，即給斃出的問題有一種明確的答復(fù).

例2.在五個數(shù)字國中，。

若隨機(jī)取出三個數(shù)字，則剩余兩個數(shù)字都是奇數(shù)的概率是(成

果用數(shù)值表達(dá)）.

qC33

C；5x410-

［解答過程］03提醒：2

例2.一種總體具有100個個體，以簡樸隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一種容量為5的樣本,

則指定日勺某個個體被抽到的概率為

［解答過程］20提醒：10020

例3.接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)W、J概率為0.80.既有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱

反應(yīng)的概率為.（精確到0.01）

［考察目H勺］本題重要考察運(yùn)用組合、概率的基本知識和分類計(jì)數(shù)原理處理問題的能力，以及

推理和運(yùn)算能力.

［解答提醒］至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為

C；O.8O30.2。2+C；-0.804?0.20+C/-O.8O5=0.94

故填0.94.

離散型隨機(jī)變量的分布列

1.隨機(jī)變量及有關(guān)概念

①隨機(jī)試驗(yàn)的成果可以用一種變量來表達(dá)，這樣的變量叫做隨機(jī)變量，常用希臘字母1、n

等表達(dá).

②隨機(jī)變量也許取口勺值，可以按一定次序一一列出，這樣的J隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.

③隨機(jī)變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量M做持續(xù)型隨機(jī)變量.

2.離散型隨機(jī)變量的分布列

①離散型隨機(jī)變量的分布列的概念和性質(zhì)

■般

地，

設(shè)離

散型??????

隨機(jī)

變量團(tuán)

也許

取日勺

值為

段

團(tuán)，???

為隨機(jī)變量郵勺概率分布，簡稱那9分布列.

???

/

團(tuán)，???由概率的性質(zhì)可知，任一禽散型隨機(jī)變量的

…，0

取每分布列都具有下述兩個性質(zhì)：

一種

(1)0,01,2,…;(2)0-=1.

值0

(01,②常見的離散型隨機(jī)變量日勺分布列：

2,…

…)的J(1)二項(xiàng)分布

概率P

(0)

題

則稱

下表.

PP1P2???P???

0次獨(dú)

立反復(fù)

試驗(yàn)

中，事

件A發(fā)

生的次

數(shù)團(tuán)是

一種隨

機(jī)變

量，其

所有也

許的取01???k???n

值為0,

1,

2,…n,

并且團(tuán)，

其中團(tuán)，

團(tuán)隨

機(jī)變量

0口勺分

布列如

下：

g

pO尸???C：PZ°

稱這樣隨機(jī)變量團(tuán)服從二項(xiàng)分布，記作團(tuán)其中團(tuán)、團(tuán)為參數(shù)，并記:團(tuán).

(2)幾何分布

在獨(dú)立反復(fù)試驗(yàn)中，某事件第?次發(fā)生時所作的試驗(yàn)的次數(shù)回是?種取值為正整數(shù)的離散型

隨機(jī)變量，“團(tuán)”表達(dá)在第k次獨(dú)立反復(fù)試驗(yàn)時事件第一次發(fā)生.

隨機(jī)變

量團(tuán)的

概率分123???k???

布為：

彳

2??????

PPqpqpq"\p

例1.

廠家在產(chǎn)品出廠前，需對產(chǎn)品做檢查,廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時，商家按協(xié)議規(guī)定也需隨機(jī)

抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢查，以決定與否接受這批產(chǎn)品.

(I)若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8,從中任意取出4件進(jìn)行檢查，求至少有1

件是合格的概率：

(II)若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品中,其中有3件不合格,按協(xié)議規(guī)定該商家從中任取2件.都

進(jìn)行檢查，只有2件都合格時才接受這批產(chǎn)品.否則拒收，求出該商家檢查出不合格產(chǎn)品數(shù)引向

分布列及期望石與并求出該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.

［解答過程］(I)記“廠家任取4件產(chǎn)品檢查，其中至少有1件是合格品”為事件A

用對立事件A來算，有回

(II)13也許的取值為團(tuán).

小=0)=冬=些

V)C2190,

V>G)190,

P(^=2)=-S-=—

,)￡190

012

136513

p

190190190

記“商家任取2件產(chǎn)品檢查，都合格”為事件B,則商家拒收這批產(chǎn)品的概率

'）19095.

因此商家拒收這批產(chǎn)品的概率為固

例12.

某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一-種問題，能對的回答問題者進(jìn)入卜一輪考核，否則即被

淘汰.已知某選手能對的問答第一、二、三輪的問題H勺概率分別為0、團(tuán)、團(tuán)，且各輪問題能否對

時回答互不影響.

（I）求該選手被淘汰的概率；

（II）該選手在選拔中回答問題日勺個數(shù)記為&求隨機(jī)變量回的分布列與數(shù)學(xué)期望.

（注：本小題成果可用分?jǐn)?shù)表達(dá)）

［解答過程］解法一：（I）記“該選手能對日勺回答第回輪的問題”的事件為團(tuán)，則&團(tuán)，回，

該選手被淘汰的概率

P=P（%+AA+&A2%）=P（W）+P（A）P（A）+尸（A）P（4）尸（4）

142433101

=—+-X-+—X-X-=---

555555125.

（II）團(tuán)的也許值為胤團(tuán)，

———428

P（^=2）=P（AA）=P（A）^（A2）=-X-=—

4312

=3）=P（A4）=P（A）P（A,）=-X-=—

JJ?.

'J口勺分布列為

自123

\_812

P

52525

解法二：（I）記“該選手能對的I回答第回輪日勺問題”的事件為團(tuán)，則胤團(tuán)團(tuán).

同該選手被淘汰的概率史.

(II)同解法一.

(3)離散型隨機(jī)變最日勺期望與方差

隨機(jī)變量"勺數(shù)學(xué)期望和方差

(1)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望:回…；期望反應(yīng)隨機(jī)變量取值的平均水平.

⑵離散型隨機(jī)變量的方差：回…團(tuán)…；

方差反應(yīng)隨機(jī)變最取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的J程度.

⑶基本性質(zhì)：回：0.

⑷若(3?B(n,p),則0;D0=npq(這里q=l-p);

假如隨機(jī)變量而服從幾何分布,團(tuán)，則團(tuán),D團(tuán)至其中q=l-p.

例012n0i2

1.甲、

乙兩名

工人加

工同一

種零

件，兩

人每天

加工的1

零件數(shù)

相等，

所得次

品數(shù)分

別為

￡、n,

￡和n

時分布

列如

下：

￡

P612p532

loToioToW

則比較兩名工人的技術(shù)水平日勺高下為

思緒：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等H勺條件下B次品數(shù)H勺平均值，即期望；二是要

看出次品數(shù)H勺波動狀況，即方差值日勺大小.

解答過程：工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)￡的期望和方差分別為：

f：=Ox—+lx—+2x—=0.7

6101010,

DE=(0-0.7尸x9+(I—o.7)2x—+(2-0.7)2x—=0.891

101010.

工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)n的期望和方差分別為：

ca9539

￡0x—J2_2X—=0.7=(0-O.7)2X—+(1-O.7)2x—+(2-0.7)2x—=0.664

,;=1()+X1()+1(),101010

由E￡=En知，兩人出次品的平均數(shù)相似，技術(shù)水平相稱，但D￡>D*可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)

定.

小結(jié)：期望反應(yīng)隨機(jī)變量取值日勺平均水平；方差反應(yīng)隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離

散的程度.

例2.

某商場

經(jīng)銷某

商品，根

據(jù)以往

資料記

錄，顧客

12345

采用的

付款期

數(shù)團(tuán)於J分

布列為

P0.40.20.20.10.1

商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250

元；分4期或5期付款，其利潤為300元.(3表達(dá)經(jīng)銷一件該商品的利潤.

(I)求事件團(tuán)：“購置該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率團(tuán);

(II)求團(tuán)的分布列及期望因

［解答過程］(I)由團(tuán)表達(dá)事件“購置該商品口勺3位顧客中至少有1位采用1期付款”.

知.表達(dá)事件”購置該商品H勺3位顧客中無人采用1期付款”

團(tuán)，回.

(n)團(tuán)的j也許取值為團(tuán)元方元，團(tuán)元.

產(chǎn)(〃=200)=尸(4=1)=0.4,

PQ7=250)=P(&=2)+P化=3)=0.2+0.2=0.4

P(〃=300)=1-P(?7=2OO)-P(7；=250)=1-0.4-0.4=0.2

〃的分布列為

7200250300

P0.40.40.2

（30（元）.

抽樣措施與總體分布的估計(jì)

抽樣措施

1.簡樸隨機(jī)抽樣：設(shè)一種總體U勺個數(shù)為N,假如通過逐一抽取的措施從中抽取一種樣本，且

每次抽取時各個個體被抽到日勺概率相等，就稱這樣的抽樣為簡樸隨機(jī)抽樣.常用抽簽法和隙

機(jī)數(shù)表法.

2.系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中口勺個數(shù)較多時，可將總體提成均衡的幾種部分，然后按照預(yù)先定出的

規(guī)則，從每?部分抽取1個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機(jī)械

抽樣）.

3.分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯日勺幾部分構(gòu)成時，營將總體提成幾部分，然后按照各部

分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣.

總體分布的估計(jì)

由于總體分布一般不易懂得，我們往往用樣本的頻率分布去估計(jì)總體H勺分布，一般地，樣本

容量越大，這種估計(jì)就越精確.

總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律一般稱為總體分布.

當(dāng)總體中日勺個體取不一樣數(shù)值很少時，其頻率分布表由所取樣本日勺不?樣數(shù)值及對應(yīng)的頻

率表達(dá)，幾何表達(dá)就是對應(yīng)的條形圖.

當(dāng)總體中B勺個體取值在某個區(qū)間上時用頻率分布直方圖來表達(dá)對應(yīng)樣本日勺頻率分布.

總體密度曲線：當(dāng)樣本容量無限增人，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限

靠近于i條光滑曲線，印總體密度曲線.

經(jīng)典例題

例1.某工廠生產(chǎn)A.B.C三和不一樣型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2:3:5.現(xiàn)用分層抽樣措

施抽出一種容量為n的樣本，樣本中A種型號產(chǎn)品有16件.那么此樣本的容量n=.

解答過程:A種型號的總體是胤則樣本容量出固

例2.一種總體中有100個個體,隨機(jī)編號0,1,2,…,99,依編號次序平均提成10個小組，組

號依次為1,2,3,…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣措施抽取?種容量為10的）樣本，規(guī)定假如在第1組隨

機(jī)抽取的號碼為團(tuán)，那么在第團(tuán)組中抽取H勺號碼個位數(shù)字與團(tuán)的個位數(shù)字相似，若團(tuán)，則在第7

組中抽取的號碼是

解答過程：第K組的號碼為團(tuán)，團(tuán)，…,團(tuán)，當(dāng)m=6時，第k組抽取的號的個位數(shù)字為m+kH勺個

位數(shù)字，因此第7組中抽取的號碼II勺個位數(shù)字為3,因此抽取號碼為63.

正態(tài)分布與線性回歸

1.正態(tài)分布的概念及重要性質(zhì)

（1）正態(tài)分布的概念

假如持續(xù)型隨機(jī)變量團(tuán)的概率密度函數(shù)為胤x團(tuán)其中囪、回為常數(shù)，并且回＞0,則稱團(tuán)服

從正態(tài)分布，記為田（0,（3）.

（2）期望Et2=u,方差圓

（3）正態(tài)分布的性質(zhì)

正態(tài)曲線具有下列性質(zhì)：

①曲線在x軸上方，并且有關(guān)直線x=P對稱.

②曲線在x=口時處在最高點(diǎn)，由這?點(diǎn)向左右兩邊延伸時，曲線逐漸減少.

③曲線的對稱軸位置由U確定；曲線的形狀由（3確定，團(tuán)越大，曲線越“矮胖”；反之越“高瘦”.

三。原則即為

數(shù)值分布在（U—5U+。）中的概率為0.6526

數(shù)值分布在（口-2o,u+2o）中日勺概率為0.9544

數(shù)值分布在(H-3O,"3O)中II勺概率為0.9974

(4)原則正態(tài)分布

當(dāng)回=0,團(tuán)=1時回服從原則的正態(tài)分布，記作團(tuán)(0,1)

(5)兩個重要的公式

①叭-x)=1一雙工),②P(a<4<b)=0S)-0(a)

(6)NJ。?)與N(0,l)兩者聯(lián)絡(luò).

若回，則團(tuán)；

②若助則回.

2.線性回歸

簡樸的說，線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關(guān)系日勺一種數(shù)學(xué)措施.

變量和變量之間的關(guān)系大體可分為兩種類型：確定性的函數(shù)關(guān)系和不確定FI勺函數(shù)關(guān)系.不確

定性的)兩個變量之間往往仍有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的)有關(guān)關(guān)系H勺一種數(shù)量

記錄措施.它可以提供變量之間有關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式.

詳細(xì)說來，對n個樣本數(shù)據(jù)(團(tuán)),(團(tuán))，…，(回)，其回歸直線方程，或經(jīng)驗(yàn)公式為：國.其

中此其中例分別為阿、|(3|口勺平均數(shù).

例1.假如隨機(jī)變量g?N(U,。2