4單擺[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.知道單擺的概念和單擺振動時回復(fù)力的來源(重點)。2.知道影響單擺周期的因素，掌握單擺的周期公式(重難點)。一、單擺及其回復(fù)力如圖所示，一根細線上端固定，下端連接一個金屬小球，用手使小球偏離豎直方向一個很小的夾角，然后釋放，小球在A、A'間來回擺動，不計空氣的阻力。(1)小球擺動過程中受到哪些力的作用？(2)什么力提供向心力？什么力提供回復(fù)力？(3)小球經(jīng)過O點平衡位置時回復(fù)力為零，合外力也為零嗎？答案(1)小球受重力和細線的拉力作用。(2)細線的拉力和重力沿徑向的分力的合力提供向心力。重力沿切線方向的分力提供小球振動的回復(fù)力。(3)小球經(jīng)過平衡位置時還有向心力，其合外力不為零。1.單擺(1)定義：細線一端固定在懸點，另一端系一個小球，如果細線的長度不可改變，細線的質(zhì)量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長度相比也可以忽略，這樣的裝置就叫作單擺。(2)單擺是實際擺的理想化模型。2.單擺的回復(fù)力(1)來源：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力，即F＝mgsinθ。(2)規(guī)律：在擺角很小時，擺球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總指向平衡位置，即F＝－mglx說明：在擺角很小時，用弧度表示的θ與它的正弦sinθ近似相等，即sinθ≈θ≈xl，因此單擺的回復(fù)力可表示為F＝－mglx(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，l表示單擺的擺長，負號表示回復(fù)力F與位移x的方向相反)，由此知回復(fù)力符合F＝－例1(2024·河北省高二聯(lián)考)如圖所示，單擺在豎直平面內(nèi)的A、C之間做簡諧運動，O點為單擺的固定懸點，B點為運動中的最低位置，則下列說法正確的是()A.擺球受到重力、拉力、回復(fù)力三個力的作用B.擺球在B點時，動能最大，回復(fù)力最大C.擺球在A點和C點時，速度為零，故細線拉力最小，但回復(fù)力最大D.擺球由A點向B點擺動過程中，細線拉力增大，回復(fù)力增大答案C解析擺球在運動過程中只受到重力和拉力作用，A錯誤；單擺做簡諧運動，在最低點B處，即平衡位置處時，速度最大，動能最大，回復(fù)力為零，故B錯誤；擺球在A點和C點時，即最大位移處時，速度為零，故細線拉力最小，回復(fù)力最大，故C正確；擺球由A點向B點擺動過程中，速度增大，細線拉力增大，回復(fù)力減小，故D錯誤。二、單擺的周期1.單擺振動的周期與擺球質(zhì)量無關(guān)(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，在振幅較小時與振幅無關(guān)(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，但與擺長有關(guān)(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，擺長越長，周期越大(選填“越大”“越小”或“不變”)。2.單擺周期公式(1)提出：單擺周期公式是荷蘭物理學(xué)家惠更斯首先提出的。(2)公式：T＝2πl(wèi)g，即周期T與擺長l的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根成反比，而與振幅、擺球質(zhì)量無關(guān)說明：①單擺的周期公式在擺角很小時成立。②公式中的l是擺長，即懸點到擺球球心的距離，l＝l線＋d2，d③公式中的g是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。例2(2024·遼寧省名校聯(lián)盟高二期中)圖為某一單擺的簡化模型，其擺角α小于5°，單擺的周期為T，下列說法正確的是()A.把擺球質(zhì)量減小一半，其他條件不變，則單擺的周期變大B.把擺角α變大(仍小于5°)，其他條件不變，則單擺的周期變大C.將單擺擺長增加為原來的2倍，其他條件不變，則單擺的周期將變?yōu)?TD.將此單擺從兩極移到地球赤道上，其他條件不變，則單擺的周期將變大答案D解析根據(jù)單擺周期公式T＝2πl(wèi)g可知，單擺周期與擺球質(zhì)量無關(guān)，與擺角α無關(guān)，故A、B錯誤；其他條件不變，將擺長增加為原來的2倍，則單擺的周期將變?yōu)?T，故C錯誤；其他條件不變，因為在赤道上的g比在兩極的小，則單擺的周期將變大，故D例3周期是2s的單擺叫秒擺，秒擺的擺長是多少？把一個地球上的秒擺拿到月球上去，它在月球上做50次全振動要用多少時間？已知地球表面的重力加速度為9.8m/s2，月球上的自由落體加速度為1.6m/s2，π2取9.8。答案1m1752s解析根據(jù)單擺周期公式T＝2πl(wèi)g可得l＝代入數(shù)據(jù)解得l＝9.8×224×9.8秒擺搬到月球上，其與地球上的秒擺的周期關(guān)系為T它在月球上做50次全振動所用的時間為t＝50T'＝50Tgg'＝50×2×9.81.6s＝1752三、單擺模型的拓展1.類單擺模型如圖所示，在光滑弧面上來回滾動的小球(可視為質(zhì)點)，在圓弧半徑R遠大于運動弧長的情況下，小球運動可看成簡諧運動，T＝2πRg在上類模型中，若將另一在O點小球與在A點的小球同時由靜止釋放，哪個小球先到達最低點O'位置？答案O點小球做自由落體運動，R＝12gt12，得t1＝2Rg，A點小球做類單擺運動，T＝2πRg，第一次到達O'用時14周期，則t2＝π2Rg，2.等效擺長及等效重力加速度(1)等效擺長：圖(a)中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動起來效果是相同的，甲擺的等效擺長為lsinα，其周期T＝2πl(wèi)sin(2)等效重力加速度：一般情況下，公式中g(shù)的值等于擺球靜止在平衡位置時，擺線的拉力與擺球質(zhì)量的比值。例4如圖所示，三根長度均為l0的繩l1、l2、l3組合系住一質(zhì)量分布均勻的小球，球的直徑為d(d?l0)，繩l2、l3與天花板的夾角α＝30°，重力加速度為g。則：(1)若小球在紙面內(nèi)做小角度的左右擺動，周期T1為多少？(2)若小球做垂直于紙面的小角度擺動，周期T2又為多少？答案(1)2π2l0解析(1)根據(jù)題意可知，若小球以O(shè)'為圓心做簡諧運動，所以擺長為l＝l0＋d振動的周期為T1＝2πl(wèi)g＝2πl(wèi)0(2)根據(jù)題意可知，若小球以O(shè)為圓心做簡諧運動，擺長l'＝l0＋l0sinα＋d振