第6講等腰三角形知識點1等腰三角形的相關概念分類討論求邊角的值1.等腰三角形的兩個腰相等，兩個底角也相等.2.直角三角形30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半.【典例】1.若等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，求此三角形的底角.【方法總結】本題考查了等腰三角形的性質，以及含特殊角的直角三角形，熟記三角形的高相對于三角形的三種位置關系（三角形內部，三角形的外部，三角形的邊上），解題時注意需要分類討論．2.如果一等腰三角形的周長為27，且兩邊的差為12，求這個等腰三角形的腰長.【方法總結】已知等腰三角形的周長和兩邊之差來求等腰三角形的底或腰時，我們需要分類討論，分為兩種情況：一種是“腰底=某個值”，第二種是“底腰=某個值”，可將底或腰設為未知數，再根據等腰三角形的周長列出方程，求出三邊以后根據三角形的三邊關系進行驗證，選擇合理的數值.【隨堂練習】1．已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為40°，求此等腰三角形的頂角為______．2．已知等腰三角形周長為12，一邊長為5，則它另外兩邊差的絕對值是______．3．如圖，在△ABC中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，點D為AB的中點，點P在線段BC上以4厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．當點Q的運動速度為_____厘米/秒時，能夠在某一時刻使△BPD與△CQP全等．4．已知一個等腰三角形的兩邊長分別是2和5，那么這個等腰三角形的周長為____．5．等腰三角形的一腰上的高與另一腰所在直線的夾角為40°，則這個三角形的底角為______．知識點2等腰三角形的性質邊角關系等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角”），即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.【典例】1.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.【方法總結】本題考查了等腰三角形的性質，解答此題的關鍵是建立起各角之間的關系，結合圖形列出方程進行解答．2.如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交邊AB于D點，交邊AC于E點，若△ABC與△EBC的周長分別是40，24，求AB的長.【方法總結】本題考查了等腰三角形的性質和垂直平分線上的性質，根據垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，得出相等的線段，把三角形的周長表示出來，再利用相等的線段進行轉化求解.【隨堂練習】1．如圖，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各角的度數．2．如圖，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，求∠B的度數．3．如圖所示，在△ABC中，D為AB邊上一點，且AD=CD=BC，∠ACB=75°，求∠DCB的度數．知識點3等腰三角形的性質三線合一等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合.例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，①AD⊥BC②BD=CD③AD平分∠BAC,上述三個條件，任意滿足一個，可得到另外兩個.即①②，③；②①，③；③①，②.【典例】1.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，E是AC邊上的一點，且∠CBE=∠CAD．求證：BE⊥AC．【方法總結】本題主要是利用等腰三角形的三線合一，根據三線合一的性質可知，等腰三角形底邊上的中線也是底邊的高線.注：等腰三角形常作的輔助線是，過頂角的頂點向底邊作垂線，再利用三線合一得到一些相等的關系式，當題目中給出等腰三角形底邊上的中點時，常常將等腰三角形的頂角頂點和它直接相連.【隨堂練習】1．如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP=OC．（1）求∠APO+∠DCO的度數；（2）求證：點P在OC的垂直平分線上．2．在△ABC中，AB=AC．（1）如圖1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，則∠EDC=____（2）如圖2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，則∠EDC=____（3）思考：通過以上兩題，你發(fā)現∠BAD與∠EDC之間有什么關系？請用式子表示：_________（4）如圖3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述關系？如有，請你寫出來，并說明理由．知識點4等腰三角形的判定與性質1.等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱“等角對等邊”）.2.等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）.3.等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合.【典例】1.如圖，A、B兩點在正方形網格的格點上，每個方格都是邊長為1的正方形，點C也在格點上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件是點C共有_______個．【方法總結】本題考查的等腰三角形的判定，利用的是數形結合思想，當已知兩個格點找尋第三個格點時，需要分類討論，將這條邊作為底和作為腰時可以構建的等腰三角形的個數之和，即為所求的點的個數.2.如圖，∠BOC=60°，點A是BO延長線上的一點，OA=10cm，動點P從點A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿OC以1cm/s的速度移動，如果點P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間，當t=_____________s時，△POQ是等腰三角形．【方法總結】本題主要考查了等腰三角形的性質，由等腰三角形的兩個腰相等得出方程是解決問題的關鍵，注意本題分類討論時，由于∠POQ=60°，可得出△POQ是等邊三角形，再根據PO=QO進行求解．3.如圖，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，交AC于點E．（1）求證：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A的度數．【方法總結】本題主要考查的是“平行+角分線”模型，在之后學習菱形證明題時也會用到，需記牢.模型如下：如圖所示，①∠1=∠2；②AC∥BD;③AB=AC（△ABC是等腰三角形）上述條件任意兩個成立則第三個也成立.即①②③；①③②；②③①.【隨堂練習】1．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于E．（1）當∠BDA=115°時，∠EDC=___°，∠DEC=____°；點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變___（填“大”或“小”）；（2）當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數．若不可以，請說明理由．2．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC交AB于點E，EF∥AC，EF分別交BC、BD于點F、G．（1）求證：BE=CF；（2）若AE=BE，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有的直角三角形．3．如圖，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，交AC于點E．（1）求證：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A的度數．綜合運用1.如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都是1．已知A、B是兩格點，若△ABC為等腰三角形，且S△ABC=1.5，則滿足條件的格點C有________個.2.如圖，C是△ABE的BE邊上一點，F在AE上，D是BC的中點，且AB=AC=CE，下列結論：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1=∠2；④AB+BD=DE其中正確的結論有_________．3.如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，E、F分別是AB、AC上的點，且AE=AF，求證：DE=DF．4.如圖，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于點E，∠D=20°．（1）求∠B的度數，并判斷△