4.2圖形變換與坐標(biāo)變化（第2課時軸對稱與坐標(biāo)變化）教學(xué)設(shè)計1.教學(xué)內(nèi)容本節(jié)為新教材蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊第4章《平面直角坐標(biāo)系》4.2節(jié)第2課時，主要研究平面內(nèi)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸或原點(diǎn)的對稱變換。通過觀察、實(shí)驗和推導(dǎo)，學(xué)生需要掌握點(diǎn)與點(diǎn)之間坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，以及圖形在對稱變換中的頂點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律，為后續(xù)旋轉(zhuǎn)、綜合變換等學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。2.內(nèi)容解析本節(jié)核心在于研究軸對稱（含原點(diǎn)對稱）導(dǎo)致的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系。學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了平移變換及其坐標(biāo)對應(yīng)規(guī)律，本節(jié)通過類比與實(shí)驗，明確：?點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(a,-b)，橫坐標(biāo)不變、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；?點(diǎn)P(a,b)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(-a,b)，縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；?點(diǎn)P(a,b)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(-a,-b)，橫、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。這些坐標(biāo)對應(yīng)關(guān)系不僅揭示了幾何變換和代數(shù)坐標(biāo)之間的對應(yīng)，還能在畫圖和解題時將幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)形結(jié)合的問題，從而提升學(xué)生分析幾何圖形的效率和準(zhǔn)確性。本節(jié)通過“形”與“數(shù)”的雙向轉(zhuǎn)化，突出對稱思想，培養(yǎng)學(xué)生空間想象力和幾何直觀。學(xué)生在觀察點(diǎn)、線段乃至三角形等圖形關(guān)于坐標(biāo)軸或原點(diǎn)的對稱變換時，能更深入地感受坐標(biāo)方法的簡潔與優(yōu)越性。由局部點(diǎn)的變化到整體圖形的變化，幫助學(xué)生體會規(guī)律歸納與推廣的過程，鞏固坐標(biāo)幾何與圖形變換的銜接，為后續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)雜變換（如旋轉(zhuǎn)、綜合變換）以及解析幾何中的應(yīng)用問題做好準(zhǔn)備。1.教學(xué)目標(biāo)?在平面直角坐標(biāo)系中，能以坐標(biāo)軸為對稱軸（或以原點(diǎn)為對稱中心），寫出一個已知頂點(diǎn)坐標(biāo)的圖形的對稱圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，知道對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系。?會利用對稱點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，畫出對稱圖形。?進(jìn)一步體會用代數(shù)方法表達(dá)圖形變換的意義，充分經(jīng)歷由“形”到“數(shù)”、由“數(shù)”到“形”的過程，發(fā)展幾何直觀。2.目標(biāo)解析?學(xué)生需能運(yùn)用坐標(biāo)軸或原點(diǎn)對稱的“橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”原理，熟練判斷并寫出變化后的坐標(biāo)。?要求學(xué)生在畫圖過程中學(xué)會將圖形轉(zhuǎn)化為若干關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，對這些關(guān)鍵點(diǎn)做坐標(biāo)運(yùn)算，再畫出對稱后的圖形。?強(qiáng)調(diào)在圖形變換問題中運(yùn)用代數(shù)思想，培養(yǎng)抽象概括及數(shù)形結(jié)合能力，引導(dǎo)學(xué)生提升對幾何直觀的認(rèn)識。3.重點(diǎn)難點(diǎn)?教學(xué)重點(diǎn)：識記并熟練運(yùn)用點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸及原點(diǎn)對稱的坐標(biāo)變換規(guī)律，并能準(zhǔn)確畫出對應(yīng)的圖形。?教學(xué)難點(diǎn)：靈活判定復(fù)雜圖形的對稱，利用關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)的變化處理多步驟變換。大多數(shù)學(xué)生已掌握平移變換的坐標(biāo)規(guī)律，對“橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)”的變化有初步了解。對于本節(jié)內(nèi)容，理解軸對稱（含原點(diǎn)對稱）應(yīng)該較易接受，但在多次變換的綜合題中，學(xué)生往往容易出現(xiàn)坐標(biāo)正負(fù)弄錯或順序混淆的情況。同時，與圖形畫法相結(jié)合，需要學(xué)生具備較好的數(shù)形結(jié)合意識。因而在教學(xué)過程中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)際操作、畫圖及類比總結(jié)來掌握對稱變換的本質(zhì)與規(guī)律，并注意多次變換下的推理準(zhǔn)確性。創(chuàng)設(shè)情景，問題引入1. 出示生活情境：展示各種生活中的對稱現(xiàn)象（如蝴蝶翅膀、樹葉等），讓學(xué)生觀察并思考：為什么這些圖案能在某條線或某個點(diǎn)的“翻折”下彼此重合？2. 導(dǎo)入問題：“我們已經(jīng)知道平移前后的點(diǎn)的坐標(biāo)之間有一定的聯(lián)系，類似地，軸對稱前后點(diǎn)的坐標(biāo)之間會不會也有聯(lián)系呢？”【設(shè)計意圖】通過生活情境激發(fā)學(xué)生對對稱現(xiàn)象的興趣，將生活中的對稱與數(shù)學(xué)中的對稱相聯(lián)結(jié)，喚起學(xué)生已有的“平移坐標(biāo)變化”經(jīng)驗，明確本節(jié)課所要研究的核心問題，激發(fā)探究欲望。探究點(diǎn)1：點(diǎn)與坐標(biāo)軸（或原點(diǎn)）的對稱變換1. 師生活動：讓學(xué)生在方格紙上描點(diǎn)P(1,-3)，并分別作出它關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱的點(diǎn)。觀察并記錄對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化。教師繼續(xù)提問：（1）作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P′，點(diǎn)P′與點(diǎn)P的坐標(biāo)之間有怎樣的關(guān)系？（2）作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P"，點(diǎn)P與點(diǎn)P"的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？（3）點(diǎn)P′與點(diǎn)P"的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？它們關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱嗎？學(xué)生思考后，師生共同給出結(jié)果：（1）點(diǎn)P′與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)相反.（2）點(diǎn)P"與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)相反.（3）點(diǎn)P′與點(diǎn)P"的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？它們關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱嗎？2. 新知導(dǎo)出：通過操作與討論，師生共同歸納：點(diǎn)P(a,b)的變換方式變換后點(diǎn)的坐標(biāo)坐標(biāo)變化規(guī)律關(guān)于x軸對稱(a,-b)橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)互為相反數(shù)關(guān)于y軸對稱(-a,b)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)互為相反數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱(-a,-b)橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)3.討論交流：如果點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)P′與點(diǎn)P"關(guān)于y軸對稱，那么點(diǎn)P與點(diǎn)P"是否一定關(guān)于原點(diǎn)對稱？解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b)，因為點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于x軸對稱，所以點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(a,－b)，因為點(diǎn)P′與點(diǎn)P"關(guān)于y軸對稱，所以點(diǎn)P"的坐標(biāo)為(－a,－b)，所以點(diǎn)P與點(diǎn)P"一定關(guān)于原點(diǎn)對稱．【設(shè)計意圖】通過學(xué)生自主畫圖與教師演示，讓他們“形”與“數(shù)”相結(jié)合，從具體的點(diǎn)坐標(biāo)變化總結(jié)出一般規(guī)律，鞏固“對稱”的概念并提升幾何直觀和符號表達(dá)能力。探究點(diǎn)2：圖形關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱變換1. 問題引入：看下面例子：例2如圖，△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2，4)，B(－4，3)，C(－1，1).(1)把△ABC沿y軸翻折得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1并寫出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)把△A1B1C1沿x軸翻折得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2并寫出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)說明點(diǎn)A與點(diǎn)A2的坐標(biāo)之間的關(guān)系．(4)若△ABC內(nèi)部一點(diǎn)P(m,n)在△A1B1C1中的對稱點(diǎn)為P1，在△A2B2C2中的對稱點(diǎn)為P2，請直接寫出點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)．解：(1)△A1B1C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1(2，4)，B1(4，3)，C1(1，1)；(2)△A2B2C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A2(2,－4)，B2(4,－3)，C2(1,－1)；(3)點(diǎn)A與點(diǎn)A2的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)也互為相反數(shù).(4)P1(－m,n)，P2(－m,－n)． 教師總結(jié)：圖形在對稱變換前后坐標(biāo)之間的關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為圖形上關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)的變化．2. 師生互動：o 教師提問：若先關(guān)于x軸對稱，再關(guān)于y軸對稱，結(jié)果會如何？o 學(xué)生討論：分組驗證，達(dá)到進(jìn)一步理解“關(guān)于原點(diǎn)對稱”的結(jié)論。3. 探究思考：將點(diǎn)P(2，0)繞原點(diǎn)按逆時針方向分別旋轉(zhuǎn)90°，45°可以得到點(diǎn)P′，P"，你能分別寫出點(diǎn)P′，P"的坐標(biāo)嗎？【設(shè)計意圖】通過完整的幾何圖形案例，讓學(xué)生體驗從“現(xiàn)實(shí)圖形”到“坐標(biāo)變化”的抽象過程，再回到“圖形對稱關(guān)系”的直觀驗證。此環(huán)節(jié)鞏固并深化了“關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對稱”的坐標(biāo)變換規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力和綜合應(yīng)用能力。1.分別寫出點(diǎn)(－4，3)關(guān)于x軸和y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)．解：點(diǎn)(－4，3)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(－4，－3)，點(diǎn)(－4，3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，3)．2.如圖，x軸是△AOB的對稱軸，y軸是△BOC的對稱軸，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2)，寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．解：因為點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，－2)．因為點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－1，－2)．3.(1)如圖，寫出點(diǎn)A，B，C，D，E以及它們關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)畫出圖中所示圖形關(guān)于y軸對稱的圖形；(3)將原圖形和(2)中所畫的圖形看作一個整體，畫出整體圖形關(guān)于x軸對稱的圖形.解：(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，4)，其關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)是它本身，坐標(biāo)為(0，4)；點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，2)，其關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)是點(diǎn)F，坐標(biāo)為(－1，2)；點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，2)，其關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)是點(diǎn)G，坐標(biāo)為(－2，2)；點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，1)，其關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)是點(diǎn)H，坐標(biāo)為(－2，1)；點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4，0)，其關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)是點(diǎn)I，坐標(biāo)為(－4，0)．4.如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(2，0)，(0，1)，將線段AB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AB'，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是___(3，2)_____.真題感知1.(2024·綿陽)蝴蝶顏色絢麗，翩翩起舞時非常美麗，深受人們喜愛，它的圖案具有對稱美，如圖，蝴蝶圖案關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)為M1，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－2，－3)，則點(diǎn)M1的坐標(biāo)為()A.（2，－3） B.（－3，2）C.（－2，3） D.（2，3）【答案】A2.(2024·自貢)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，D(4，－2)，將Rt△OCD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△OAB的位置，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A.（2，4） B.（4，2）C.（－4，－2） D.（－2，4）【答案】A3.(2023·棗莊)銀杏是著名的活化石植物，其葉有細(xì)長的葉柄，呈扇形.如圖所示為一片銀杏葉標(biāo)本，葉片上兩點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為(－3，2)，(4，3)，將銀杏葉繞原點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，葉柄上點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_____(－1，－3)_______.拓展提升1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(a＋b，2－a)與點(diǎn)B(a－5，b－2a)關(guān)于y軸對稱.(1)試確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo).(2)如果點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是C，求△ABC的面積.解：（1）∵點(diǎn)A(a＋b，2－a)與點(diǎn)B(a－5，b－2a)關(guān)于y軸對稱，∴&2-a＝b∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(4，1)、(－4，1).(2)由(1)，得AB＝8.∵點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是C，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－4，－1).∴BC＝2.∴S△ABC＝12BC·AB＝12×2×81. 標(biāo)題：4.2圖形變換與坐標(biāo)變化（第2課時軸對稱與坐標(biāo)變化）2. 規(guī)律：①點(diǎn)a,b→關(guān)于x軸對稱→a,-b②點(diǎn)a,b→關(guān)于y軸對稱→-a,b③點(diǎn)a,b→關(guān)于原點(diǎn)對稱→-a,-b3. 典例：o 例1：o 例2：4. 小結(jié)：1. 基礎(chǔ)練習(xí)：完成對應(yīng)教材練習(xí)題，并完成下列各題.（1）分別寫出以下各點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)：P（-2,3）、Q（2）在方格紙上畫出三角形ABC，A（-1,2），B（-3,1），C（2. 提高練習(xí)（可選做）：（1）若點(diǎn)M（a,b）與點(diǎn)N（a’,b’）關(guān)于原點(diǎn)對稱，且a+b=3，a′?b（2）若矩形的一個頂點(diǎn)為1,2，沿x軸、y軸依次對稱兩次后得到相應(yīng)的頂點(diǎn)（可分別記為P1、P2、P3…），試寫出它們的坐標(biāo)表達(dá)式，并簡要說明理由。3. 探究作業(yè)：觀察生活中的對稱現(xiàn)象（建筑、藝術(shù)作品等），拍照找出至少兩處與本節(jié)課“坐標(biāo)軸對稱”概念相吻合的場景，通過標(biāo)注畫圖或文字描述，說明它們適用的對稱規(guī)律。本節(jié)課經(jīng)過理論介紹與實(shí)踐操作，學(xué)生對“坐標(biāo)軸對稱”與“原點(diǎn)對稱”的概念有了清晰理解，達(dá)到了預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)：首先，