專題02有理數(shù)的運(yùn)算（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律有理數(shù)的運(yùn)算能準(zhǔn)確運(yùn)算并解決應(yīng)用題必考點(diǎn)，易錯(cuò)運(yùn)算順序或符號(hào)括號(hào)科學(xué)記數(shù)法小題必考，易錯(cuò)確定的值有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能運(yùn)用有理數(shù)解決實(shí)際問題，熟練使用科學(xué)記數(shù)法解決問題，建立數(shù)學(xué)模型綜合應(yīng)用題必考，需要強(qiáng)化建模能力知識(shí)點(diǎn)01有理數(shù)的加法（1）有理數(shù)加法法則：①同號(hào)相加，取相同符號(hào)，并把絕對(duì)值相加．②絕對(duì)值不等的異號(hào)加減，取絕對(duì)值較大的加數(shù)符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0．③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．（在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)：是同號(hào)還是異號(hào)，是否有0．從而確定用那一條法則．在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號(hào)，后絕對(duì)值”．）（2）相關(guān)運(yùn)算律交換律：a+b＝b+a；結(jié)合律（a+b）+c＝a+（b+c）．知識(shí)點(diǎn)02有理數(shù)的減法（1）有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，首先弄清減數(shù)的符號(hào)；②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，要同時(shí)改變兩個(gè)符號(hào)：一是運(yùn)算符號(hào)（減號(hào)變加號(hào)）；二是減數(shù)的性質(zhì)符號(hào)（減數(shù)變相反數(shù)）；【注意】：在有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因?yàn)闇p法沒有交換律．減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應(yīng)依法則進(jìn)行計(jì)算．知識(shí)點(diǎn)03有理數(shù)的加減混合運(yùn)算（1）有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法．（2）方法指引：①在一個(gè)式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉(zhuǎn)化成加法，并寫成省略括號(hào)的和的形式．②轉(zhuǎn)化成省略括號(hào)的代數(shù)和的形式，就可以應(yīng)用加法的運(yùn)算律，使計(jì)算簡(jiǎn)化．知識(shí)點(diǎn)04有理數(shù)的乘法法則有理數(shù)的乘法（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘．（2）任何數(shù)同零相乘，都得0．知識(shí)點(diǎn)05倒數(shù)的概念（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．一般地，a?1a=1（a≠0），就說a（a≠0）的倒數(shù)是（2）方法指引：①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要．倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的．②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，只需在這個(gè)數(shù)前面加上“﹣”即可求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個(gè)整數(shù)分之一求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置注意：0沒有倒數(shù)．知識(shí)點(diǎn)06有理數(shù)的乘法運(yùn)算律乘法結(jié)合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c.知識(shí)點(diǎn)07多個(gè)有理數(shù)相乘多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．方法指引：①運(yùn)用乘法法則，先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘．②多個(gè)因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號(hào)當(dāng)先，這樣做使運(yùn)算既準(zhǔn)確又簡(jiǎn)單．知識(shí)點(diǎn)08有理數(shù)除法法則1.有理數(shù)除法法則一：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).用字母表示：a÷b=a·1b2.有理數(shù)除法法則二兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，且商的絕對(duì)值等于被除數(shù)的絕對(duì)值除以除數(shù)的絕對(duì)值的商.0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0.方法指引：（1）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運(yùn)算時(shí)一定注意兩個(gè)原則：①變除為乘，②從左到右．知識(shí)點(diǎn)09有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算有理數(shù)乘除混合運(yùn)算通常是先將除法轉(zhuǎn)化成乘法,然后按照乘法法則,確定積的符號(hào),最后求出結(jié)果.注意：除法沒有運(yùn)算律，只有將除法轉(zhuǎn)化為乘法后，才可以利用乘法的運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)10有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算順序在運(yùn)算時(shí)要注意按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行，如果有括號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的.在同級(jí)運(yùn)算中，要按從左到右的順序來計(jì)算，并合理運(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算.知識(shí)點(diǎn)11有理數(shù)的乘方（1）有理數(shù)乘方的定義：求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可以讀作a的n次冪．）（2）乘方的法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．（3）方法指引：①有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先要確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值；②由于乘方運(yùn)算比乘除運(yùn)算又高一級(jí)，所以有加減乘除和乘方運(yùn)算，應(yīng)先算乘方，再做乘除，最后做加減．知識(shí)點(diǎn)12非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方偶次方具有非負(fù)性．任意一個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．知識(shí)點(diǎn)13有理數(shù)的混合運(yùn)算（1）有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．（2）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡(jiǎn)化．【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運(yùn)算的四種運(yùn)算技巧1．轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運(yùn)算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計(jì)算．2．湊整法：在加減混合運(yùn)算中，通常將和為零的兩個(gè)數(shù)，分母相同的兩個(gè)數(shù)，和為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別結(jié)合為一組求解．3．分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進(jìn)行計(jì)算．4．巧用運(yùn)算律：在計(jì)算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律或乘法運(yùn)算律往往使計(jì)算更簡(jiǎn)便．知識(shí)點(diǎn)14近似數(shù)和有效數(shù)字（1）有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字．（2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說法．（3）規(guī)律方法總結(jié)：“精確到第幾位”和“有幾個(gè)有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實(shí)際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對(duì)數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個(gè)近似數(shù)中哪個(gè)相對(duì)更精確一些．知識(shí)點(diǎn)15科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào)．題型一有理數(shù)的加減混合運(yùn)算解｜題｜技｜巧1.先確定運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)2.將除法轉(zhuǎn)化為乘法3.注意符號(hào)規(guī)則，特別是負(fù)號(hào)的處理4.分步計(jì)算，避免一步出錯(cuò)全盤皆錯(cuò)易｜錯(cuò)｜點(diǎn)｜撥混合運(yùn)算中最容易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤和運(yùn)算順序錯(cuò)誤，特別是乘方運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)【例1】（2526七年級(jí)上·江西九江·階段練習(xí)）閱讀下面的材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．計(jì)算：?55解：因?yàn)?556=?5+所以原式===0+=?11上面這種計(jì)算方法叫拆項(xiàng)法．任務(wù)：(1)上述材料中，序號(hào)①的內(nèi)容為________．(2)試用上述方法計(jì)算：①11②?2005【答案】(1)17(2)①?2；②?799【思路引導(dǎo)】本題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握拆項(xiàng)法，將帶分?jǐn)?shù)拆成整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩部分，再分別相加．（1）根據(jù)拆項(xiàng)法的規(guī)則，將帶分?jǐn)?shù)1734拆分為整數(shù)17和分?jǐn)?shù)（2）①利用拆項(xiàng)法把帶分?jǐn)?shù)拆成整數(shù)和分?jǐn)?shù)，然后分別對(duì)整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分進(jìn)行計(jì)算；②運(yùn)用拆項(xiàng)法拆分帶分?jǐn)?shù)，再分別結(jié)合整數(shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算?！就暾獯稹浚?）解：由拆項(xiàng)法可知，173（2）解：①1==(1?2+3?4)+=(?2)+=?2+(1?1)=?2+0=?2②?200=(?200)+?=[(?200)+(?199)+(?400)+1]+?=?798+=?7993【變式11】（2526七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)?3+40+(2)31【答案】(1)?3(2)14【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算，掌握有理數(shù)的加減運(yùn)算法則和加法運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的加法交換律，將正數(shù)和負(fù)數(shù)分別相加，然后再進(jìn)行加法運(yùn)算；（2）將絕對(duì)值化簡(jiǎn)、括號(hào)去掉，將同分母的分?jǐn)?shù)結(jié)合，計(jì)算即可．【完整解答】（1）解：?3=?3?32?8+40=?43+40=?3；（2）解：3=3=3=9?7+12=14．【變式12】（2526七年級(jí)上·新疆和田·階段練習(xí)）有理數(shù)的加減混合運(yùn)算：（寫出必要的計(jì)算過程）(1)9?(2)?0.6+1.7+0.6?1.7?9(3)1(4)1【答案】(1)?1(2)?9(3)1.5(4)?3【思路引導(dǎo)】本題主要考查有理數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）原式先根據(jù)有理數(shù)減法法則進(jìn)行變形，然后再進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（2）原式根據(jù)加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)算即可；（3）原式根據(jù)加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)算即可；（4）原式根據(jù)加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)算即可．【完整解答】（1）解：9?=9+11?21=20?21=?1；（2）解：?0.6+1.7+0.6?1.7?9==0+0?9=?9；（3）解：1===1+0.5=1.5；（4）解：1=1==5?8=?3．題型二有理數(shù)加減中的簡(jiǎn)便運(yùn)算【例2】（2526七年級(jí)上·遼寧大連·階段練習(xí)）閱讀下題的計(jì)算方法：計(jì)算：?55解：原式===0+=?5上面這種計(jì)算算方法叫做拆項(xiàng)法，請(qǐng)按此方法計(jì)算：?553【答案】?1【思路引導(dǎo)】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，掌握拆項(xiàng)法是解題關(guān)鍵．根據(jù)拆項(xiàng)法，可把整數(shù)結(jié)合在一起，分?jǐn)?shù)結(jié)合在一起，再根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案．【完整解答】解：原式=?55=?55=0+?1=?1．【變式21】（2526七年級(jí)上·新疆和田·階段練習(xí)）計(jì)算：用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算：(1)?17(2)4(3)?5(4)?1【答案】(1)?20；(2)11；(3)?7；(4)21【思路引導(dǎo)】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，涉及減法轉(zhuǎn)化為加法、加法運(yùn)算律的應(yīng)用以及絕對(duì)值的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律以及絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先將減法轉(zhuǎn)化為加法，再按照從左到右的順序依次計(jì)算；（2）將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再利用加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算；（3）利用加法交換律和結(jié)合律，把分母相同的分?jǐn)?shù)結(jié)合在一起進(jìn)行計(jì)算；（4）先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)，再將減法轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行計(jì)算．【完整解答】（1）解：(?17)+(+3)?(?2)?(+8)=?17+3+2?8=?20；（2）解：4=4=(4=7+4=11；（3）解：?5=?5=(?5=?8+1=?7；（4）解：|?1=1=(1=2+1?=3?=21【變式22】（2526七年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）計(jì)算下列各題：(1)?(2)49(3)+0.125(4)?2021【答案】(1)?(2)?23(3)10(4)1【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則及簡(jiǎn)便運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵；（1）先算絕對(duì)值，再算加減；（2）把同分母的結(jié)合，能湊整的結(jié)合計(jì)算即可；（3）把同分母的結(jié)合計(jì)算即可；（4）拆帶分?jǐn)?shù)，將整數(shù)部分結(jié)合，分?jǐn)?shù)部分結(jié)合計(jì)算即可．【完整解答】（1）解：原式=?=?=?=?11（2）解：原式=(49=77+(?100)=?23；（3）解：原式==(=?3+=101（4）解：原式=(?2021?2022+4043+1)+(?=1+0=1．題型三有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用答｜題｜模｜板1.明確實(shí)際問題中的正負(fù)意義2.建立有理數(shù)運(yùn)算模型3.計(jì)算結(jié)果并結(jié)合實(shí)際解釋易｜錯(cuò)｜點(diǎn)｜撥實(shí)際問題中要特別注意單位的統(tǒng)一和結(jié)果的合理性。【例3】（2526七年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）如圖所示，將?1、2、?3、4、?5、6、?7、8分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使圖中橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等，則圖中a+b的值為（

）A．?6或?3 B．?8或1 C．?1或?4 D．1或?1【答案】A【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)的加法．解決本題的關(guān)鍵是內(nèi)、外兩圈上的4個(gè)數(shù)字的和是2，橫、豎的4個(gè)數(shù)字的和也是2．設(shè)內(nèi)圈上的數(shù)為c，外圈上的數(shù)為d，由于八個(gè)數(shù)的和是4，可得內(nèi)、外兩圈上的4個(gè)數(shù)字的和是2，橫、豎的4個(gè)數(shù)字的和也是2，列等式可得結(jié)論．【完整解答】解：如圖，設(shè)內(nèi)圈上的數(shù)為c，外圈上的數(shù)為d，∵橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等，?1+2?3+4?5+6?7+8=4，∴內(nèi)、外兩圈上的4個(gè)數(shù)字的和是2，橫、豎的4個(gè)數(shù)字的和也是2，∴b=2??7+6+8=?5，b+c=2?6+4∴b=?5,c=?3,a+d=1，當(dāng)a=?1時(shí)，d=2，符合題意，此時(shí)a+b=?1?5=?6；當(dāng)a=2時(shí)，d=?1，符合題意，此時(shí)a+b=2?5=?3；綜上所述，圖中a+b的值為?6或?3．故選：A．【變式31】（2324七年級(jí)上·福建廈門·開學(xué)考試）一輛客車從甲地開往乙地，每小時(shí)行駛75千米，預(yù)計(jì)3小時(shí)到達(dá)，行了1小時(shí)，機(jī)器發(fā)生故障，就地維修了20分鐘，要想準(zhǔn)時(shí)到達(dá)而不誤事，以后每小時(shí)應(yīng)加快多少千米？【答案】每小時(shí)應(yīng)加快15千米．【思路引導(dǎo)】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，由剩余路程除以實(shí)際行駛的時(shí)間可得實(shí)際的速度，再減去計(jì)劃速度即可得到答案．【完整解答】解：由題意可得：3×75?75=150÷=150×=90?75=15（千米），答：每小時(shí)應(yīng)加快15千米．【變式32】（2425七年級(jí)上·黑龍江佳木斯·期末）一輛公共汽車從起點(diǎn)站開出后，途中經(jīng)過6個(gè)?？空?，最后到達(dá)終點(diǎn)站．下表記錄了這輛公共汽車全程載客的變化情況，其中正數(shù)表示上車人數(shù)，負(fù)數(shù)表示下車人數(shù)，0表示無人上車或下車．停靠站起點(diǎn)站中間第1站中間第2站中間第3站中間第4站中間第5站中間第6站終點(diǎn)站上、下車人數(shù)+21?3；+8?4；+20；+4?7；+1?9；+6?7；0?12(1)中間第4站上車的人數(shù)是人，下車的人數(shù)是人；(2)途中的6個(gè)站中，第站沒有人上車，第站沒有人下車；(3)公共汽車離開中間第2站時(shí)車上的人數(shù)為人，離開中間第4站時(shí)車上的人數(shù)為人；(4)從表中你還能知道什么信息？【答案】(1)1；7(2)6；3(3)24；22(4)見解析（答案不唯一）【思路引導(dǎo)】本題考查了正負(fù)數(shù)的應(yīng)用、有理數(shù)加減法的應(yīng)用，正確理解正負(fù)數(shù)的意義是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，正數(shù)表示上車人數(shù)，負(fù)數(shù)表示下車人數(shù)解答即可；（2）在表格的數(shù)據(jù)中，找出上車人數(shù)為0人、下車人數(shù)為0人即可得；（3）將起始點(diǎn)的人數(shù)，與中間第1站和中間第2站的上、下車人數(shù)相加即可得；再與中間第3站、中間第4站的上、下車人數(shù)相加即可得；（4）在表格的數(shù)據(jù)中，途中的6個(gè)站中，分別找出上、下車人數(shù)最多的站點(diǎn)即可得．【完整解答】（1）解：由表格可知，中間第4站上車的人數(shù)是1人，下車的人數(shù)是7人，故答案為：1；7．（2）解：由表格可知，途中的6個(gè)站中，中間第3站的下車人數(shù)為0人，中間第6站的上車人數(shù)為0人，所以途中的6個(gè)站中，第6站沒有人上車，第3站沒有人下車，故答案為：6；3．（3）解：公共汽車離開中間第2站時(shí)車上的人數(shù)為21+=21+5?2=24（人），離開中間第4站時(shí)車上的人數(shù)為24+=24+4?6=22（人），故答案為：24；22．（4）解：從表中可以知道，途中的6個(gè)站中，中間第5站下車的人數(shù)最多，中間第1站上車的人數(shù)最多．題型四有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【例4】（2526七年級(jí)上·山西太原·階段練習(xí)）閱讀下面解題過程并解答問題：計(jì)算：?15解：原式=?15=?15=3(1)上面解題過程從第________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤原因是________________；(2)請(qǐng)寫出正確的解答過程．【答案】(1)二；運(yùn)算順序不對(duì)(2)過程見解析【思路引導(dǎo)】本題考查的是有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，準(zhǔn)確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算的運(yùn)算順序可得答案；（2）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，再按照從左至右的順序進(jìn)行計(jì)算即可.【完整解答】（1）解：上面解題過程從第二步開始出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是運(yùn)算順序不對(duì)，故答案為：二，運(yùn)算順序不對(duì)；（2）解：?15==15÷=15×==108【變式41】（2526七年級(jí)上·山東臨沂·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)16+?25(2)12(3)?21(4)59【答案】(1)?20(2)?(3)2(4)5【思路引導(dǎo)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．（1）同號(hào)兩數(shù)先相加進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算；（2）同分母兩數(shù)先相加進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算；（3）先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算即可；（4）用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可．【完整解答】（1）解：16+=16+24+=40+=?20；（2）解：1==0+=?3（3）解：?2===2；（4）解：5=?=?20+27?2=5．【變式42】（2526七年級(jí)上·河北保定·階段練習(xí)）有理數(shù)混合計(jì)算(1)2?6÷(2)?8?(3)?9+(4)?【答案】(1)1(2)?0.8(3)?9(4)?【思路引導(dǎo)】該題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)運(yùn)算法則．（1）先計(jì)算乘除法，再計(jì)算減法；（2）先計(jì)算小括號(hào)，再計(jì)算除法，最后計(jì)算加減法；（3）先計(jì)算絕對(duì)值，再計(jì)算乘除法，最后計(jì)算加減法；（4）先計(jì)算括號(hào)，再計(jì)算除法；【完整解答】（1）解：2?6÷=2?=2?1=1．（2）解：?8?=?8?=?8?=?8?=?8+7+0.2=?0.8．（3）解：?9+=?9+=?9+=?9．（4）解：?==?=?19題型五有理數(shù)四則混合運(yùn)算【例5】（2526七年級(jí)上·云南紅河·階段練習(xí)）觀察下列等式規(guī)律：等式一：12等式二：13等式三：14等式四：15探尋規(guī)律，解答下列問題：(1)直接寫出第五個(gè)等式；(2)計(jì)算：12(3)觀察探究，并計(jì)算：12【答案】(1)1(2)4(3)2024【思路引導(dǎo)】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，從給定的等式中找到規(guī)律，是解題的關(guān)鍵：（1）仿照給出的等式寫出算式即可；（2）去絕對(duì)值后進(jìn)行計(jì)算即可；（3）去絕對(duì)值后，利用裂項(xiàng)相消法，進(jìn)行計(jì)算即可．【完整解答】（1）解：第五個(gè)等式為16（2）原式=1?1（3）原式===1?=1?=2024【變式51】（2526七年級(jí)上·湖北襄陽·階段練習(xí)）我們定義一種新運(yùn)算對(duì)任意兩個(gè)有理數(shù)x、y，有x?y=x(1)求2??4(2)求?3?【答案】(1)0(2)23【思路引導(dǎo)】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合運(yùn)算、新定義運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，掌握有理數(shù)的四則混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)新定義的法則，結(jié)合有理數(shù)的混合運(yùn)算法則求解即可；（2）先根據(jù)新定義計(jì)算4??2，再計(jì)算?3【完整解答】（1）解：2??4（2）解：?3====23．【變式52】（2526七年級(jí)上·山東臨沂·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)9917(2)?5×(3)?1(4)?13×【答案】(1)?899(2)0(3)?(4)?13.34【思路引導(dǎo)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練運(yùn)用運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解答本題的關(guān)鍵．（1）將991718變形為（2）原式運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可；（3）原式先計(jì)算13（4）原式運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可．【完整解答】（1）解：99==100×=?900+=?8991（2）解：?5==0×=0；（3）解：因?yàn)?===?42+21?14=?35所以，?1（4）解：?13×=?13×=?13×=?13×1?0.34×1=?13?0.34=?13.34．題型六有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【例6】（2526七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）某陶瓷廠計(jì)劃每個(gè)工人一周生產(chǎn)陶瓷工藝品280個(gè)，平均每天生產(chǎn)40個(gè)，但實(shí)際每天的生產(chǎn)量與計(jì)劃相比有出入，下表是該廠一工人某周的生產(chǎn)情況（以40個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)，超產(chǎn)記為正，減產(chǎn)記為負(fù)）；星期一二三四五六日增減（個(gè)）+5?6+5+13?10+16?8(1)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)可知該工人星期三生產(chǎn)工藝品__________________個(gè)：(2)該工人本周實(shí)際生產(chǎn)工藝品多少個(gè)？(3)已知該廠實(shí)行計(jì)件工資制，每周結(jié)算一次，每生產(chǎn)一個(gè)工藝品可得5元，以280個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)，超過部分每個(gè)另獎(jiǎng)10元，未達(dá)標(biāo)準(zhǔn)的部分每個(gè)扣3元，求該工人在這一周實(shí)際獲得的工資總額．【答案】(1)45(2)295個(gè)(3)1625元【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)加減法的實(shí)際應(yīng)用，能正確理解題意，根據(jù)題意列式計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）用星期三的增減量與標(biāo)準(zhǔn)相加即可；（2）用計(jì)劃的總數(shù)加上這7天超出的數(shù)量即可得到答案；（3）用生產(chǎn)的總數(shù)乘以單價(jià)5加上超過的數(shù)量乘以單價(jià)10，即可得到答案；【完整解答】（1）星期三的增減量是+5，以每天生產(chǎn)40個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)，所以星期三生產(chǎn)工藝品的數(shù)量為40+5=45個(gè)；故答案為：45；（2）5?6+5+13?10+16?8+280=295（個(gè)）∴該工人在本周實(shí)際生產(chǎn)工藝品的數(shù)量為295個(gè)．（3）295×5+(295?280)×10=1475+15×10=1475+150=1625（元）∴該工人在這一周實(shí)際獲得的工資總額為1625元．【變式61】（2526七年級(jí)上·福建泉州·階段練習(xí)）隨著城市的快速發(fā)展，小張計(jì)劃對(duì)城市中的幾個(gè)重要地點(diǎn)進(jìn)行考察，以便更好地了解城市規(guī)劃．他依次訪問了博物館、圖書館、公園、科技館和市政府，收集了相關(guān)資料如下表．素材一路線圖：小張家→博物館→圖書館→公園→科技館→市政府素材二這條考察路線近似看成南北走向．如果規(guī)定向北為正，向南為負(fù)，他這天行走的里程（單位：km）如下：+6素材三小張選擇騎共享電單車進(jìn)行考察，已知每千米的騎行費(fèi)用為0.3元(1)向市政府在小張家的哪個(gè)方向？距離是多少？(2)計(jì)算小張騎共享電單車完成整個(gè)考察路線的總費(fèi)用．【答案】(1)市政府在小張家的正北方向，距離是4km(2)6.6元【思路引導(dǎo)】本題主要考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算的應(yīng)用，四則混合運(yùn)算的應(yīng)用，正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用等知識(shí)．（1）把記錄的數(shù)據(jù)直接相加得出答案，再根據(jù)題意可判斷方向和距離．（2）把記錄數(shù)據(jù)的絕對(duì)值相加再乘每千米的騎行費(fèi)用即可求解．【完整解答】（1）解：6+?2∵規(guī)定向北為正，向南為負(fù)，∴市政府在小張家的正北方向，距離是4km（2）解：0.3×6∴小張騎共享電單車完成整個(gè)考察路線的總費(fèi)用為6.6元．【變式62】（2526七年級(jí)上·甘肅白銀·階段練習(xí)）小明家新?lián)Q了一輛新能源純電汽車，他連續(xù)7天記錄了每天行駛的路程（如表），以50km為標(biāo)準(zhǔn)，多于50km的記為“+”，不足50km的記為“?”，剛好50km的記為“0”．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程km?8?10?140+24+23+35(1)這7天里路程最多的一天比最少的一天多走多少千米？(2)請(qǐng)求出小明家的新能源汽車這七天一共行駛了多少千米？(3)已知新能源汽車每行駛100km耗電量為15度，每度電為0.4元，請(qǐng)計(jì)算小明家這7天的行駛費(fèi)用是多少錢？【答案】(1)49(2)400(3)24元【思路引導(dǎo)】本題主要考查了正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)四則混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)減法的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可知第七天路程最多，第三天路程最少，據(jù)此列式求解即可；（2）把表格中這七天的路程相加，所得結(jié)果加上7天中每天行駛50km的總路程即可得到答案；（3）求出總用電量，再乘以每度電的費(fèi)用即可得到答案．【完整解答】（1）解：+35??14答：這7天里路程最多的一天比最少的一天多走49km（2）解：50×7+?8=350?8?10?14+0+24+23+35=400km答：小明家的新能源汽車這七天一共行駛了400km（3）解：400÷100×15×0.4=24元，答：小明家這7天的行駛費(fèi)用是24元．題型七有理數(shù)乘除中的簡(jiǎn)便運(yùn)算【例7】（2324七年級(jí)上·貴州遵義·開學(xué)考試）怎樣簡(jiǎn)便就怎樣計(jì)算．(1)168.1÷(2)7.67?(3)0.6×(4)1【答案】(1)20.5(2)11(3)0.6(4)27【思路引導(dǎo)】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，掌握算理是解決問題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算括號(hào)里的乘法和減法，再計(jì)算括號(hào)外的除法；（2）能湊整的先運(yùn)算，然后再進(jìn)行加減計(jì)算即可；（3）用乘法分配律的逆運(yùn)算簡(jiǎn)便計(jì)算；（4）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算；【完整解答】（1）解：168.1÷=168.1÷=168.1÷8.2=20.5；（2）解：7.67?=7.67+4.33?=12?1=11；（3）解：0.6×=0.6×=0.6×=0.6×1=0.6；（4）解：1===4+14+9=27．【變式71】（2425七年級(jí)下·重慶·自主招生）計(jì)算：3.85÷5【答案】432【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)乘除的簡(jiǎn)便運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)乘除的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)乘除的運(yùn)算法則即可求解．【完整解答】解：3.85÷=====20×=432．【變式72】（2324七年級(jí)上·廣東河源·期中）學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)后，薛老師給同學(xué)們出了這樣的兩道題：①?1②?1下面是小剛和小明做的過程：小剛：解：①原式=?小明：解：②原式=?請(qǐng)回答：(1)小剛和小明的解題都對(duì)嗎？如果不對(duì)，請(qǐng)寫出正確的計(jì)算過程；(2)小華是個(gè)愛動(dòng)腦筋的好學(xué)生，他觀察了①、②這兩個(gè)式子是互為倒數(shù)的關(guān)系，故先求出①式的結(jié)果，即可得到②式的結(jié)果，你認(rèn)為他的思路正確嗎？(3)如果你認(rèn)為小華是正確的，請(qǐng)?jiān)囍?jì)算：?1【答案】(1)小剛的解題是對(duì)的，小明的解題是不對(duì)的，見解析(2)小華的思路正確，理由見解析(3)10【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)乘除的簡(jiǎn)便運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)乘除的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)除法的運(yùn)算法則即可解答；（2）根據(jù)倒數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）先計(jì)算18【完整解答】（1）解：小剛的解題是對(duì)的，小明的解題是不對(duì)的，②的正確計(jì)算過程如下：?====1（2）解：小華的思路正確，理由如下：?==1，∴①、②這兩個(gè)式子是互為倒數(shù)的關(guān)系，由小剛的解題可得，?1∴?1∴先求出①式的結(jié)果，即可得到②式的結(jié)果，∴小華的思路正確；（3）解：1==?9?3+14+1=3，∵?172÷∴?1∴原式=1題型八根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)【例8】（2526七年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知a，b，c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示．(1)填空：a+b___________0；c?a___________0；（填“＞”“＜”或“=”）(2)已知，表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)距離為4，且m與c互為相反數(shù)，n與b互為倒數(shù)，求m+ca【答案】(1)<；>(2)?17【思路引導(dǎo)】本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)的特征，絕對(duì)值的意義，相反數(shù)的定義，倒數(shù)的定義，熟悉掌握絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)數(shù)軸上的位置關(guān)系和絕對(duì)值的定義判斷即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置特征，相反數(shù)的定義，倒數(shù)的定義，得到a=?4，m+c=0，nb=1，代入運(yùn)算即可．【完整解答】（1）解：∵a>∴a+b<0，∵a>∴c?a>0，故答案為：<；>．（2）∵a的點(diǎn)到原點(diǎn)距離為4，a<0，∴a=?4，∵m與c互為相反數(shù)，∴m+c=0，∵n與b互為倒數(shù)，∴nb=1，∴m+ca【變式81】（2526七年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B分別表示數(shù)a和b，則下列式子錯(cuò)誤的是（

）A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)×b<0 C．a(chǎn)?b×a+b<0【答案】C【思路引導(dǎo)】本題考查了數(shù)軸表示有理數(shù)，有理數(shù)的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，正確判斷a,b的大小以及正負(fù)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)數(shù)軸得到a<?1,0<b<1,a>b，再判斷a?b<0,a+b<0【完整解答】解：由數(shù)軸可得a<?1,0<b<1,a∴ab<0，a?b<0,a+b<0，∴a?b×∵a<?1,0<b<1，∴a+1<0,b?1<0，∴a+1×故C錯(cuò)誤，符合題意，故選：C．【變式82】（2425七年級(jí)上·廣西桂林·階段練習(xí)）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且表示數(shù)a的點(diǎn)、數(shù)b的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離相等．(1)用“>”“<”或“=”填空：b0，a+b0，a?c0，b?c0；(2)若a=|?1.5|，則b=；(3)計(jì)算：|b?1|+|3?a|?2．【答案】(1)<，=，>，<；(2)?1.5；(3)2．【思路引導(dǎo)】本題主要考查數(shù)軸、絕對(duì)值、整式的加減，解決本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)數(shù)軸上的信息，判斷出a、b、c的取值范圍，再利用加法法則判斷代數(shù)式的取值范圍．1根據(jù)表示數(shù)b的點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，可知b<0，根據(jù)表示數(shù)a的點(diǎn)、數(shù)b的點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)，且與原點(diǎn)的距離相等，可知表示數(shù)a和數(shù)b互為相反數(shù)，所以a+b=0，由數(shù)軸可知a>0>c，?c>0，根據(jù)有理數(shù)的加法法則可知a?c=a+?c>0，由數(shù)軸可知b<c<0，可知?c>0，b>2根據(jù)a=|?1.5|，可知a=1.5，根據(jù)表示數(shù)a的點(diǎn)、數(shù)b的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離相等，可知b=?1.5；3由數(shù)軸可知：b<?1，1<a<2，b?1<0，3?a>0，因?yàn)楸硎緮?shù)a的點(diǎn)、數(shù)b的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離相等，可知a+b=0，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)和有理數(shù)的加法則計(jì)算即可．【完整解答】（1）解：由數(shù)軸可知表示數(shù)b的點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，∴b<0∵表示數(shù)a的點(diǎn)、數(shù)b的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離相等，∴a和b互為相反數(shù)，∴a+b=0；由數(shù)軸可知a>0>c，∴?c>0，∴a?c=a+?c由數(shù)軸可知b<c<0，∴?c>0，b>∴b?c=b+?c故答案為：<，=，>，<；（2）解：∵a=|?1.5|=1.5，∴b=?a=?1.5，故答案為：?1.5（3）解：由有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置，可得：b<?1，1<a<2，∴b?1<0，3?a>0，∵表示數(shù)a的點(diǎn)、數(shù)b的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離相等∴a+b=0，∴|b?1|+|3?a|?2=1?b+3?a?2＝2．題型九數(shù)軸上的翻折【例9】（2526七年級(jí)上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·階段練習(xí)）如圖，小麗在紙上畫了一條不完整的數(shù)軸，折疊紙面，使數(shù)軸上表示?1的點(diǎn)和表示3的點(diǎn)重合，若該數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間的距離為8，且折疊后也互相重合，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（

）A．?4或4 B．?2或5 C．?3或4 D．?3或5【答案】D【思路引導(dǎo)】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的加減法，能正確找出折疊點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．表示?1點(diǎn)和表示3的點(diǎn)重合，則折疊的點(diǎn)表示1，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)經(jīng)上述折疊后重合，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為8，則A點(diǎn)與B點(diǎn)到折疊點(diǎn)（表示1的點(diǎn)）距離都是4，進(jìn)而求出A點(diǎn)表示的數(shù)即可．【完整解答】解：∵折疊后數(shù)軸上表示?1的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)重合，∴折疊點(diǎn)為?1和3的中點(diǎn)，它表示1，∵數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)經(jīng)上述折疊后重合，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為8，∴A點(diǎn)與B點(diǎn)到折疊點(diǎn)（表示1的點(diǎn)）距離都是4，當(dāng)A點(diǎn)在折疊點(diǎn)右側(cè)時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)為1+4=5，當(dāng)A點(diǎn)在折疊點(diǎn)左側(cè)時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)是1?4=?3，∴點(diǎn)A表示的數(shù)是5或?3．故選∶D．【變式91】（2526七年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右依次有點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為3，點(diǎn)(1)若A表示的數(shù)是?5，則數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)為：___________；(2)若以點(diǎn)B為原點(diǎn)，求點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)的和．(3)若C表示的數(shù)是4，將數(shù)軸折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，求折疊后與點(diǎn)B重合的點(diǎn)表示的數(shù)．【答案】(1)?2(2)5(3)1【思路引導(dǎo)】本題考查數(shù)軸與有理數(shù)，兩點(diǎn)中點(diǎn)的計(jì)算方法，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)點(diǎn)A在數(shù)軸上所表示的數(shù)以及點(diǎn)B與點(diǎn)A的位置和距離進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的方法以及絕對(duì)值的定義確定a、b、c的值，再代入求和即可；（3）求出AC長(zhǎng)度，則可求AC中點(diǎn)E與C的距離，則BE長(zhǎng)可求，因?yàn)榘聪嗤绞秸郫BB,F重合，所以BF=2BE，進(jìn)而CF可求，則題目可解．【完整解答】（1）解：∵點(diǎn)A在數(shù)軸上所表示的數(shù)是?5，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊，且AB=3，∴點(diǎn)B在數(shù)軸上所表示的數(shù)為?5+3=?2，故答案為：?2；（2）解：當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B表示的數(shù)為0b=0，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，且AB=3，點(diǎn)C在點(diǎn)B的右邊，且BC=8，∴點(diǎn)A在數(shù)軸所表示的數(shù)為0?3=?3，點(diǎn)C在數(shù)軸上所表示的數(shù)為0+8=8，∴?3+0+8=5，∴點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)的和為5；（3）解：折疊后，A,C重合，則是沿過AC中點(diǎn)的E的直線MN折疊，A到C距離3+8=11，∴C到E距離12∴B到C距離8?5.5=2.5，∵按相同方式折疊B,F重合，∴E為BF中點(diǎn)，∴B到F距離2×2.5=5，∴C到F距離8?5=3，∵C表示的數(shù)是4，∴F表示的數(shù)為4?3=1．【變式92】（2526七年級(jí)上·河南南陽·階段練習(xí)）已知在紙面上有一個(gè)數(shù)軸（如圖），折疊紙面．操作一：若數(shù)軸上表示數(shù)1的點(diǎn)與表示數(shù)?1的點(diǎn)重合，則折痕經(jīng)過的點(diǎn)表示的數(shù)是0；操作二：若數(shù)軸上表示數(shù)?4的點(diǎn)與表示數(shù)0的點(diǎn)重合，則根據(jù)操作二解答下列各題：(1)此時(shí)折痕經(jīng)過的點(diǎn)表示的數(shù)是______；數(shù)軸上表示數(shù)3的點(diǎn)與表示數(shù)______的點(diǎn)重合；(2)若點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是5個(gè)單位長(zhǎng)度，并且A，B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，求點(diǎn)B表示的數(shù)；(3)若數(shù)軸上M，N兩點(diǎn)之間的距離為2026，并且M，N兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，如果點(diǎn)M表示的數(shù)比點(diǎn)N表示的數(shù)大，點(diǎn)M表示的數(shù)是______；N表示的數(shù)是______．【答案】(1)?2，?7(2)?9或1(3)1011，?1015【思路引導(dǎo)】本題主要考查了數(shù)軸的綜合應(yīng)用，讀懂題意，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題目中對(duì)折痕點(diǎn)解釋可知，折痕點(diǎn)是兩個(gè)點(diǎn)的中間數(shù)字，再根據(jù)題目給的條件計(jì)算即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離計(jì)算方法計(jì)算即可；（3）根據(jù)已知條件得到?2+12×2026=1011，再根據(jù)M點(diǎn)表示的數(shù)比N點(diǎn)表示的數(shù)大，即可得解．【完整解答】（1）解：∵數(shù)軸上數(shù)?4表示的點(diǎn)與數(shù)0表示的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)?4+023??2=5，而∴數(shù)軸上數(shù)3表示的點(diǎn)與數(shù)?7表示的點(diǎn)重合．故答案為：?2，?7；（2）解：點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是5個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)A表示的數(shù)為5或?5，∵A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，∴當(dāng)點(diǎn)A表示?5時(shí)，?2??5=3，當(dāng)點(diǎn)A表示5時(shí)，5??2=7，∴B點(diǎn)表示的數(shù)是?9或1，（3）解：∵M(jìn)、N兩點(diǎn)之間的距離為2026，并且M、N兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，∴?2+12×2026=1011又∵M(jìn)點(diǎn)表示的數(shù)比N點(diǎn)表示的數(shù)大，∴M點(diǎn)表示的數(shù)是1011，N點(diǎn)表示的數(shù)是?1015．題型十有理數(shù)的乘方運(yùn)算【例10】（2526七年級(jí)上·遼寧錦州·階段練習(xí)）（1）已知a=5，b=3，且a?b=b?a（2）若x?12+y+2【答案】（1）?8或?2（2）?1【思路引導(dǎo)】本題考查絕對(duì)值的意義，非負(fù)性，有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義和非負(fù)性，求出a,b的值，再利用減法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x,y的值，再根據(jù)乘方法則進(jìn)行計(jì)算即可．【完整解答】解：（1）∵a=5，b∴a=±5,b=±3，∵a?b=b?a∴b?a≥0，即：b≥a，∴a=?5，∴a?b=?5?3=?8或a?b=?5??3（2）∵x?12∴x?1=0,y+2=0，∴x=1,y=?2，∴x+y2023【變式101】（2526七年級(jí)上·湖南衡陽·階段練習(xí)）閱讀材料：求1+2+2解：設(shè)S=1+2+22S=2+2將②式減去①式，得2S?S=22014即1+2+仿照此法計(jì)算1+3+32+33A．3n+1?1 B．3n+1?12 【答案】B【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，讀懂材料是解題的關(guān)鍵．仿照所給的解答方式進(jìn)行求解即可.【完整解答】設(shè)S=1+3+33S=3+3將下式減去上式得3S?S=3即S=3即1+3+3故選：B.【變式102】（2324七年級(jí)上·甘肅酒泉·期末）在下列各數(shù)中：?12，?42，??3，?5A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【思路引導(dǎo)】本題主要考查負(fù)數(shù)的定義、有理數(shù)乘方、去括號(hào)、絕對(duì)值等知識(shí)點(diǎn)，熟記相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．先運(yùn)用有理數(shù)乘方、去括號(hào)、絕對(duì)值化簡(jiǎn)相關(guān)數(shù)據(jù)，然后再根據(jù)負(fù)數(shù)的定義解答即可．【完整解答】解：?42=16，??3=3，?5所以在?12，?42、??3、?52、??2、?1故選B．題型十一有理數(shù)乘方逆運(yùn)算【例11】（2425七年級(jí)上·云南昭通·階段練習(xí)）閱讀下列各式：a?b2=a2?b2解答下列問題：(1)寫出a?b6=，猜想：a?b(2)計(jì)算：?0.1252022【答案】(1)a6?(2)1【思路引導(dǎo)】本題考查的是新定義運(yùn)算的含義，乘方的運(yùn)算，理解題意，總結(jié)規(guī)律再運(yùn)用規(guī)律解題是關(guān)鍵．（1）由題干閱讀部分信息，再總結(jié)可得答案；（2）利用（1）中規(guī)律結(jié)合乘方的含義把原式化為18【完整解答】（1）解：a?b6=a（2）解：?0.125=====1【變式111】（2023·山東棗莊·一模）定義運(yùn)算：若am=b，則logab=m(a>0)，例如23=8，則A．?1 B．2 C．1 D．4【答案】A【思路引導(dǎo)】先根據(jù)乘方確定53=125、【完整解答】解：∵53∴l(xiāng)og∴l(xiāng)og5=3?4，=?1．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查新定義對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算、乘方的逆運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，仔細(xì)閱讀題目中的定義，找出新定義運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是乘方的逆運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．【變式112】（2223七年級(jí)上·重慶云陽·期中）請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面材料，并解答下列問題．如果a(a>0,a≠1)

的b次冪等于N，即指數(shù)式ab=N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)式記作：①因?yàn)橹笖?shù)式22=4，所以以2為底4的對(duì)數(shù)是2，對(duì)數(shù)式記作：②因?yàn)橹笖?shù)式42=16(1)請(qǐng)根據(jù)上面閱讀材料將下列指數(shù)式改為對(duì)數(shù)式：①62=36(2)將下列對(duì)數(shù)式改為指數(shù)式：①log525(3)計(jì)算：log【答案】(1)①log636=2(2)①52=25(3)6【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義求解；（2）利用對(duì)數(shù)的定義寫成冪的形式；（3）先利用乘方的意義得到26【完整解答】（1）解：①62對(duì)數(shù)式記作：log6②43對(duì)數(shù)式記作：log4（2）①log5指數(shù)式為52②log3指數(shù)式為33（3）∵2log2【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了有理數(shù)乘方：求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．也考查了閱讀理解能力．題型十二程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算【例12】（2526七年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）根據(jù)如圖所示的程序進(jìn)行計(jì)算，若輸入x的值為?3，則輸出的值為．【答案】14【思路引導(dǎo)】本題考查了代數(shù)式求值及程序流程圖的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)別程序給定的運(yùn)算順序（輸入x→平方→乘以2→減去4），并將輸入值代入該順序逐步計(jì)算．先明確程序的運(yùn)算步驟：用輸入的x值先進(jìn)行平方運(yùn)算，再將平方結(jié)果乘以2，最后用所得結(jié)果減去4；將x=?3按此順序代入，先計(jì)算(?3)的平方，再依次完成乘法和減法運(yùn)算，即可得到輸出值．【完整解答】解：根據(jù)程序運(yùn)算順序，輸入x=?3，計(jì)算過程如下：

第一步，計(jì)算x的平方：(?3)2=9第二步，將平方結(jié)果乘以2：9×2=18；

第三步，將乘法結(jié)果減去4：18?4=14.故答案為：14．【變式121】（2526七年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖是一個(gè)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算程序，若一開始輸入的x值為?2，則輸出的結(jié)果y是【答案】?41【思路引導(dǎo)】本題主要考查了程序框圖與有理數(shù)的運(yùn)算．根據(jù)程序要求先計(jì)算?2×?4??3，若結(jié)果【完整解答】解：當(dāng)輸入x為?2時(shí)，?2×?4?將x=11再次輸入，當(dāng)輸入的數(shù)為11時(shí)，11×?4??3所以輸出的結(jié)果為?41，故答案為：?41．【變式122】（2526七年級(jí)上·北京·階段練習(xí)）如圖是一個(gè)數(shù)字傳輸器，箭頭代表傳輸路徑，方框代表傳輸方式，菱形代表判斷，理解這個(gè)數(shù)字傳輸器的工作原理，回答下列問題：(1)當(dāng)x=3時(shí)，y=____________；當(dāng)x=2024時(shí)，y=___________；(2)若輸出的y值為0，則輸入的x為___________；（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）(3)若x是自然數(shù)，請(qǐng)寫出y的所有可能值________________．【答案】(1)3，1(2)5k(3)0，1，2，3【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)這個(gè)數(shù)字傳輸器的工作原理和操作步驟正向推導(dǎo)即可得出答案；（2）根據(jù)這個(gè)數(shù)字傳輸器的工作原理和操作步驟反向推導(dǎo)即可得出答案；（3）將自然數(shù)逐個(gè)輸入求得輸出，通過觀察、分析，即可總結(jié)出規(guī)律．【完整解答】（1）根據(jù)這個(gè)數(shù)字傳輸器的工作原理，可知：當(dāng)x=3時(shí)，∵3不大于3，∴取相反數(shù)，得：?3，∵?3不大于0，∴取絕對(duì)值，得：3，∴當(dāng)x=3時(shí)，y=3；當(dāng)x=2024時(shí)∵2024大于3，∴加?5，得：2024+?5∵2019大于3，∴加?5，得：2019+?5∵2014大于3，∴加?5，得：2014+?5……∵9大于3，∴加?5，得：9+?5∵4大于3，∴加?5，得：4+?5∵?1不大于3，∴取相反數(shù)，得：1，∵1大于0，∴取倒數(shù)，得：1，∴當(dāng)x=2024時(shí)，y=1故答案為：3，1；（2）若輸出的y的值為0，∵0沒有倒數(shù)，∴0是取絕對(duì)值而來，∴取絕對(duì)值之前的值是：0，又∵0是取相反數(shù)而來，∴取相反數(shù)之前的值是：0，∵0是輸入的x經(jīng)過若干次加?5而來，即x?5k=0k=∴x=5kk=故答案為：5k（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=0，當(dāng)x=1時(shí)，y=1，當(dāng)x=2時(shí)，y=2，當(dāng)x=3時(shí)，y=3，當(dāng)x=4時(shí)，y=1，當(dāng)x=5時(shí)，y=0，當(dāng)x=6時(shí)，y=1，當(dāng)x=7時(shí)，y=2，當(dāng)x=8時(shí)，y=3，當(dāng)x=9時(shí)，y=1，當(dāng)x=10時(shí)，y=0，……當(dāng)x=5kk=0,1,當(dāng)x=5k+1k=0,1,當(dāng)x=5k+2k=0,1,當(dāng)x=5k+3k=0,1,當(dāng)x=5k+4k=0,1,故答案為：0，1，2，3．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算，有理數(shù)大小比較，有理數(shù)的加法運(yùn)算，求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，求倒數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，弄懂題意并熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．題型十三算“24”點(diǎn)【例13】（2526七年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）小明有5張寫著不同數(shù)字的卡片（如圖），請(qǐng)你按要求抽出卡片，完成下列問題：(1)從中抽取2張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字相乘的積最大，如何抽取，最大值是多少？(2)從中抽取2張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？(3)從中抽取4張卡片，用學(xué)過的運(yùn)算方法，使其運(yùn)算結(jié)果為24．請(qǐng)寫出運(yùn)算式子．（一種即可）【答案】(1)抽取?5和?4兩張卡片，乘積最大，最大為20(2)抽取?5和+2兩張卡片，商最小，最小為?(3)抽取?5，?4，+2，6四張卡片，?5【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘，計(jì)算積，再根據(jù)有理數(shù)的大小比較解答即可；（2）根據(jù)同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除，計(jì)算商，再根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)相比較，絕對(duì)值大的反而小，解答即可；（3）根據(jù)有理數(shù)大的混合運(yùn)算解答即可．本題考查了有理數(shù)乘除，有理數(shù)的大小比較，有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則，大小比較是解題的關(guān)鍵．【完整解答】（1）解：根據(jù)正數(shù)大于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)，故抽取的卡片上的數(shù)字之積為正數(shù)時(shí)，由可能最大，抽取?5和?4兩張卡片，?4×?5抽取6和+2兩張卡片，6×+2故最大為20故抽取?5和?4兩張卡片，乘積最大，最大為20．（2）解：根據(jù)負(fù)數(shù)小于0，小于正數(shù)，正數(shù)大于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)，故抽取的卡片上的數(shù)字之商為負(fù)數(shù)時(shí)，有可能最小，且負(fù)數(shù)的絕對(duì)值越大，越小，故抽取?5和+2兩張卡片，商最小，最小為?5（3）解：抽取?5，?4，+2，6四張卡片，?5×【變式131】（2526七年級(jí)上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，小玉有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求抽出卡片，完成下列問題：(1)從中抽出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字的和最小，則應(yīng)如何抽取？最小的和是多少？(2)從中抽出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字的乘積最小，則應(yīng)如何抽??？最小的乘積是多少？(3)從中抽出3張卡片，使這3張卡片上的數(shù)字經(jīng)過加、減、乘、除運(yùn)算后，組成一個(gè)最大的數(shù)，則應(yīng)如何抽?。孔畲蟮臄?shù)是多少？(4)從中抽出4張卡片，用學(xué)過的運(yùn)算方法，要使結(jié)果為24，則應(yīng)如何抽??？寫出運(yùn)算式子（一種即可）．【答案】(1)應(yīng)抽取?5,?3；最小和為?8．(2)抽取?5,4，最小的乘積是?20；(3)應(yīng)抽取?5,?3，4，最大的數(shù)是60；(4)?3,?5,3,4，(?3)?(?5)×3×4=24【思路引導(dǎo)】有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）觀察這五個(gè)數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的加法進(jìn)行計(jì)算判斷即可；（2）觀察這五個(gè)數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的乘法進(jìn)行計(jì)算判斷即可；（3）觀察這五個(gè)數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算判斷即可；（4）利用加減乘除來連接，答案不唯一．【完整解答】（1）解：∵?5<?3<0<3<4，∴從中抽出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字的和最小，則應(yīng)抽取?5,?3，則?5+(?3)=?8，即最小的和為?8．答：抽取?5,?3，最小的和為?8；（2）從中抽出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字的乘積最小，則應(yīng)抽取?5,4，則?5×4=?20，答：抽取?5,4，最小的乘積是?20；（3）應(yīng)抽取?5,?3，4，則(?3)×(?5)×4=60，答：應(yīng)抽取?5,?3，4，最大的數(shù)是60；（4）答案不唯一；例如抽取?3,?5,3,4；則(?3)?(?5)×3×4=24【變式132】（2324七年級(jí)下·河北保定·期中）嘉琪有6張寫有不同數(shù)值的卡片，請(qǐng)按下列要求抽出卡片，完成下列問題：(1)從中取出兩張卡片，使這兩張卡片上的數(shù)乘積最大，最大值是多少？(2)從中取出兩張卡片，使這兩張卡片上的數(shù)相除的商最小，最小值是多少？(3)從中取出兩張卡片，使這兩張卡片上的數(shù)的倒數(shù)最大和最小，這兩數(shù)的倒數(shù)分別是多少？(4)從中取出非負(fù)數(shù)的卡片組成一個(gè)最大的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示；(5)算24點(diǎn)游戲：從中取出四張卡片，用學(xué)過的“+、?、×、÷”進(jìn)行運(yùn)算，使結(jié)果為24．寫出1個(gè)算式即可（運(yùn)算算式可以加括號(hào)）．【答案】(1)18(2)?6(3)1，?(4)8.21×(5)8×?6【思路引導(dǎo)】此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，倒數(shù)的性質(zhì)，科學(xué)記數(shù)法．（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則即可確定；（2）根據(jù)有理數(shù)的除法法則即可確定；（3）根據(jù)倒數(shù)的性質(zhì)即可確定；（4）根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義解答即可；（5）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可確定．【完整解答】（1）解：∵從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，則取同號(hào)兩張卡片，∴都抽取負(fù)數(shù)，即卡片是?3、?6，乘積的為18，都抽取正數(shù)，即卡片是2、8，乘積的為16，∴抽取的2張卡片是?3、?6，乘積的最大值為18；（2）解：∵從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小，則選取異號(hào)兩數(shù)，∴我抽取的2張卡片是?6、1，商的最小值?6；（3）解：∵各張卡片的倒數(shù)分別為?13，12，?16∴倒數(shù)最大是1，最小是?1∴我抽取的2張卡片是1、?3，這兩數(shù)的倒數(shù)分別是1、?1（4）解：∵中取出非負(fù)數(shù)的卡片組成一個(gè)最大的數(shù)，∴抽取的卡片是0、2、8、1，最大的數(shù)是8210，用科學(xué)記數(shù)法表示為：8.21×10（5）解：抽取的卡片是?3、?6、8、1，結(jié)果為24的算式8×?6題型十四含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【例14】（2526七年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）計(jì)算題：(1)?82(2)2÷(3)?5(4)25×(5)(?4)(6)?【答案】(1)?51(2)?1(3)25(4)25(5)?128(6)30【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．（1）根據(jù)有理數(shù)的減法運(yùn)算法則求解即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算法則求解即可；（3）先計(jì)算乘方，然后計(jì)算乘除，最后計(jì)算加減；（4）利用有理數(shù)的乘法分配律求解即可；（5）首先計(jì)算乘方和括號(hào)內(nèi)的加法，然后計(jì)算除法即可；（6）先計(jì)算乘方，然后計(jì)算乘除，最后計(jì)算加減．【完整解答】（1）?82==?51；（2）2÷=2×=?1；（3）?5=5+8+12=25；（4）25×=25×=25×=25×1=25；（5）(?4)=16×=?128；（6）?=?36×=6?3×=6+24=30．【變式141】（2526七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)?2+9÷(2)1÷5(3)?3(4)?1(5)24×?99(6)?14×?【答案】(1)?2(2)?(3)?42(4)?2(5)?2399.5(6)88【思路引導(dǎo)】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算除法，再進(jìn)行有理數(shù)的加減運(yùn)算；（2）先將除法化為乘法，再進(jìn)行有理的乘法運(yùn)算；（3）先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除，最后計(jì)算加減；（4）先將除法化為乘法，再利用乘法分配律計(jì)算；（5）先將帶分?jǐn)?shù)進(jìn)行變形，再利用乘法分配律計(jì)算；（6）逆用乘法分配律計(jì)算即可．【完整解答】（1）解：?2=?2?3+3=?2；（2）解：1÷=1×=?4（3）解：?=?9?16×2+8÷=?9?32?1=?42；（4）解：?==?=12?18+8?4=?2；（5）解：24×=24×=24×=0.5?2400=?2399.5（6）解：?14×=14×===88．【變式142】（2526七年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）（1）①觀察一列數(shù)1，2，4，8，16，…，發(fā)現(xiàn)從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是；根據(jù)此規(guī)律，如果an（n為正整數(shù)）表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，那么a10=，②為了求1+2+2令M=1+2+2則2M=2+2因此2M?M=2所以M=2即1+2+2仿照以上推理：（2）計(jì)算1+7+7（3）計(jì)算1+2×2+3×2【答案】（1）2，29，2n?1；（2）【思路引導(dǎo)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的數(shù)探索出數(shù)的排列規(guī)律，再根據(jù)例題會(huì)用錯(cuò)位相減法求和是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)所給的數(shù)，可得an（2）令M=1+7+72+（3）設(shè)S=1+2×2+3×22+4×23+??+9×【完整解答】解：（1）∵2÷1=2，∴每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比是常數(shù)2，∴an∴a10故答案為：2，29，2（2）令M=1+7+7∴7M=7+7∴6M=7解得M=7n+1∴1+7+72+（3）設(shè)S=1+2×2+3×22∴2S=2+2×22∴S?2S=1+2+2由（1）②得1+2+2所以?S=2即S=9×2所以1+2×2+3×2期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1．（2425七年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）不改變?cè)降闹担÷运闶街械睦ㄌ?hào)和加號(hào)后，可以寫成?6+3?4?5的是（

）A．?6?+3?C．+?6++3【答案】D【思路引導(dǎo)】本題考查的是省略加號(hào)的和的形式，將各選項(xiàng)中的算式通過有理數(shù)加減法則轉(zhuǎn)換為省略括號(hào)和加號(hào)的形式，逐一對(duì)比即可確定正確選項(xiàng)．【完整解答】解：A．?6?+3?B．?6++3+C．+?6++3D．?+6??3故選：D．2．（2526七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）人工智能模型的參數(shù)量越大，理解能力越強(qiáng)．DeepSeekV3?0324模型參數(shù)可達(dá)685000000000個(gè)，其中數(shù)685000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．6.85×1011 B．6.85×1010 C．【答案】A【思路引導(dǎo)】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．將一個(gè)數(shù)表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，【完整解答】解：685000000000=6.85×10故選：A．3．（2526七年級(jí)上·遼寧·期中）如圖是一個(gè)“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”，按下面的運(yùn)算過程輸入一個(gè)數(shù)x，若輸入x=3，則輸出的結(jié)果為（

）A．15 B．13 C．11 D．?5【答案】C【思路引導(dǎo)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，根據(jù)數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)列出對(duì)應(yīng)算式．把x=3代入數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)中計(jì)算即可求出所求．【完整解答】解：當(dāng)x=3時(shí)，3×?2當(dāng)x=?5時(shí)，?5×故選：C．4．（2526七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是3，從點(diǎn)A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左平移8個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，則點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離為．【答案】5【思路引導(dǎo)】本題考查的是數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題，有理數(shù)的減法運(yùn)算，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，先求解B表示的數(shù)，進(jìn)一步可得答案．【完整解答】解：點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是3?8=?5，∴0??5∴點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離為5．故答案為：5．5．（2526七年級(jí)上·廣東深圳·期中）手機(jī)支付給生活帶來便捷，如圖是王老師某日微信賬單的收支明細(xì)（正數(shù)表示收入，負(fù)數(shù)表示支出，單位：元）王老師當(dāng)天微信收支的最終結(jié)果是．【答案】支出3元【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)的加減應(yīng)用，根據(jù)有理數(shù)的加減法進(jìn)行計(jì)算，最后根據(jù)結(jié)果的正負(fù)，即可求解．【完整解答】解：依題意得14?8?9=?3，即支出3元，故答案為：支出3元．6．（2425七年級(jí)上·貴州遵義·期中）定義一種新運(yùn)算“#”，a#b=ab÷a+b，如3#4=3×4÷3+4=12÷7=12【答案】6【思路引導(dǎo)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．也考查了閱讀理解能力．根據(jù)新定義先運(yùn)算1#2，再運(yùn)算1#2#3【完整解答】解：根據(jù)題中新定義可得1#2=1×2÷1+2則1#2#3=故答案為：6117．（2526七年級(jí)上·廣東揭陽·期中）計(jì)算：(1)27?13+?4(2)5【答案】(1)?22(2)15【思路引導(dǎo)】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算和乘法混合運(yùn)算，解決此題的關(guān)鍵是正確的計(jì)算；（1）根據(jù)有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法一一計(jì)算即可；（2）根據(jù)乘法混合運(yùn)算的步驟，先乘后加，有括號(hào)的先算括號(hào)里的進(jìn)行計(jì)算即可；【完整解答】（1）（1）原式=27+=27+=?22；（2）（2）原式=5===8．（2425七年級(jí)上·湖北十堰·期中）隨著短視頻軟件的普及，許多人利用各種直播平臺(tái)做電商，小李也將自己家果園的蘋果梨在某直播平臺(tái)進(jìn)行銷售，經(jīng)過一段時(shí)間的銷售，小李發(fā)現(xiàn)每天能銷售100kg左右的蘋果梨．下表為小李12月份第一周銷售蘋果梨的情況(以100kg為標(biāo)準(zhǔn)，超額記為正，不足記為負(fù)，單位：kg)．星期一二三四五六日與標(biāo)準(zhǔn)銷售量的差值?3?1+1?2?6+13+8根據(jù)以上內(nèi)容解答下列問題：(1)這周銷售量最多的一天比銷售量最少的一天多銷售多少千克蘋果梨?(2)若蘋果梨的售價(jià)為5.5元/kg【答案】(1)19kg(2)3905元【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)表格可知星期六銷售最多，星期五銷售最少，用星期六的+13減去星期五的?6即可；（2）求出一周總的銷售量，再用單價(jià)乘以數(shù)量，即可得到總收入．本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，有理數(shù)的乘法運(yùn)算，掌握正負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．【完整解答】（1）由表格可知，星期六銷售最多，星期五銷售最少，星期六比星期五多銷售：+13??6=19（（2）小李這周直播銷售蘋果梨的總量為：100×7+?3+?1∴總收入為：5.5×710=3905（元）．9．（2425七年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期中）[情境題生活應(yīng)用]隨著人們生活水平的提高，家用轎車越來越多地進(jìn)入家庭．小明家買了一輛小轎車，他連續(xù)記錄了7天中每天行駛的路程（如下表，單位：km），以50km為標(biāo)準(zhǔn)，多于50km的記為“+”，不足50km的記為“?”，剛好50第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天?8?11?140?16+38+18(1)這七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行駛了多少千米？(2)請(qǐng)求出這七天中平均每天行駛多少千米．(3)若行駛100km需用汽油6【答案】(1)行程最多的一天比行程最少的一天多行駛了54千米(2)這七天中平均每天行駛51千米(3)小明家一個(gè)月共用91.8升汽油【思路引導(dǎo)】本題考查了正負(fù)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，有理數(shù)的加減乘除法的應(yīng)用，熟練掌握題意，正確列出各運(yùn)算式子是解題關(guān)鍵．（1）用多于50千米最多的減去不足50千米最少的；（2）50加上將表格中數(shù)字的和除以7的商即可得；（3）用（2）中的結(jié)果乘以30求出一個(gè)月行駛的總里程，再乘以平均每千米耗油量6100【完整解答】（1）解：38??16答：行程最多的一天比行程最少的一天多行駛了54千米．（2）解：?8?11?14+0?16+38+18=7則50+7÷7=51答：這七天中平均每天行駛51千米，（3）解：51×30×6答：小明家一個(gè)月共用91.8升汽油．10．（2425七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘法后，老師給同學(xué)們這樣一道題目：計(jì)算：4924小明：原式=?1249小軍：原式=49+(1)希望你通過以上兩種解法的不同理解，用不同于以上兩種方法求解，并寫出計(jì)算過程．(2)用你認(rèn)為最合適的方法計(jì)算：1915【答案】(1)見解析(2)?159【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)乘法運(yùn)算律．把帶分?jǐn)?shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，再利用乘法分配律計(jì)算即可求解．（1）將原式變形為50?1（2）把191516寫成【完整解答】（1）解：49==50×=?250+=?2494（2）解：19==20×=?160+=?1591期中重難突破練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1．2425七年級(jí)上·遼寧鞍山·期中）有下列計(jì)算：①0??8=?8；②?13??13=0A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)的減法、乘法、除法、乘方運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則逐個(gè)計(jì)算判斷即可．【完整解答】解：①0??8②?13?③23④?23所以計(jì)算正確的1個(gè)．故選：A．2．（2526七年級(jí)上·全國(guó)·期中）小李同學(xué)做了以下幾道計(jì)算題，其中做對(duì)的題的數(shù)量為（

）①8?4×?②?7÷9×1③?2④4×2A．1道 B．2道 C．3道 D．4道【答案】A【思路引導(dǎo)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．按照有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法，逐一計(jì)算，進(jìn)一步比較得出答案即可．【完整解答】解：①8?4×?②?7÷9×1③?2④4×2綜上所述，正確的是③，有1道，故選：A．3．（2526七年級(jí)上·浙江·期中）在數(shù)學(xué)課上，老師讓甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別做了一道有理數(shù)計(jì)算題，你認(rèn)為做對(duì)的同學(xué)是()甲：64?乙：24?4×丙：?3?。?6?12A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，按照有理數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，后算加減，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【完整解答】解：甲：64?2乙：24?4×3丙：?32?。?6?12÷所以，我認(rèn)為做對(duì)的同學(xué)是丁，故選：D．4．（2526七年級(jí)上·江蘇·期中）計(jì)算：???22【答案】?4【思路引導(dǎo)】此題主要考查了相反數(shù)和有理數(shù)的乘方，關(guān)鍵是掌握多重符號(hào)的化簡(jiǎn)的方法．根據(jù)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：與“+”個(gè)數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“”號(hào)結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“”號(hào)，結(jié)果為正，結(jié)合乘方運(yùn)算即可得到答案．【完整解答】解：??故答案為：?4．5．（2526七年級(jí)上·廣東揭陽·階段練習(xí)）如果一對(duì)有理數(shù)a、b使等式a?b=ab+1成立，那么這對(duì)有理數(shù)a、b叫做“幻生有理數(shù)對(duì)”，記為a,b．根據(jù)上述定義，下列四對(duì)有理數(shù)1,0；2,13；5,43；【答案】5,【思路引導(dǎo)】本題主要考查新定義運(yùn)算和有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解“幻生有理數(shù)對(duì)”的定義是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題意將各項(xiàng)列式計(jì)算后進(jìn)行判斷即可．【完整解答】解：∵a?b=1?0=1ab+1=1×0+1=1∴1=1故1,0是“幻生有理數(shù)對(duì)”．∵a?b=2?1ab+1=2×1∴53故2,1∵a?b=5?4ab+1=5×4∴113故5,4∵a?b=?2?3=?5ab+1=∴?5=?5故?2,3是“幻生有理數(shù)對(duì)”．故答案為：5,6．（2425七年級(jí)上·陜西西安·期中）某數(shù)學(xué)愛好者制作了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)把有理數(shù)對(duì)x,y放入其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的有理數(shù)：x2?y+2，例如把有理數(shù)對(duì)3,1放入其中，就會(huì)得到32?1+2=10．現(xiàn)將有理數(shù)對(duì)?1,3放入其中，得到有理數(shù)m，再將有理數(shù)對(duì)【答案】3【思路引導(dǎo)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算和新定義問題，解題的關(guān)鍵是理解新定義．先根據(jù)新定義求出m，得到有理數(shù)對(duì)m,?1的值，再根據(jù)新定義解即可．【完整解答】解：將有理數(shù)對(duì)?1,3放入其中，得到有理數(shù)m，則根據(jù)題意可得m=?1再將m,?1即0,?1放入其中后，得到的有理數(shù)是02故答案為：3．7．（2425七年級(jí)上·甘肅天水·期末）某公路檢修隊(duì)乘車從A地出發(fā)，在南北走向的公路上檢修道路，規(guī)定向南走為正，向北走為負(fù)，從出發(fā)到收工時(shí)所行駛的路程記錄如下（單位：千米）：+3，?7，+5，+7，?8，+6，?9，+13．(1)問收工時(shí)，檢修隊(duì)在A地哪邊？距A地多遠(yuǎn)？(2)問從出發(fā)到收工時(shí)，汽車共行駛多少千米？(3)在汽車行駛過程中，若每行駛1千米耗油0.3升，則檢修隊(duì)從A地出發(fā)到收工后回到A地，汽車共耗油多少升？【答案】(1)收工時(shí)，檢修隊(duì)在A地南邊，距A地10千米(2)從出發(fā)到收工時(shí)，汽車共行駛58千米(3)檢修隊(duì)從A地出發(fā)到收工后回到A地，汽車共耗油20.4升．【思路引導(dǎo)】本題主要考查了有理數(shù)加減的應(yīng)用，有理數(shù)四則混合運(yùn)算的應(yīng)用；（1）把所給的路程記錄相加，如果結(jié)果為正，則在A地南邊，如果結(jié)果為負(fù)則在A地北邊，如果為0則在A地，據(jù)此求解即可；（2）把每次所走的路程相加即可得到答案；（3）根據(jù)油耗=每千米油耗×路程進(jìn)行求解即可．【完整解答】（1）解：+3+答：收工時(shí)，檢修隊(duì)在A地南邊，距A地10千米．（2）解：+3+答：從出發(fā)到收工時(shí)，汽車共行駛58千米．（3）解：0.3×58+10答：檢修隊(duì)從A地出發(fā)到收工后回到A地，汽車共耗油20.4升．8．（2526七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）某水果超市購進(jìn)7箱蘋果，標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每箱20千克，每箱與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量差值如下（單位：千克，超過的用正數(shù)表示，不足的用負(fù)數(shù)表示）：0.45，0.7，?0.2，0.4，?0.5，?0.35，0.6，實(shí)際總質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量相比超過或不足多少千克？這7箱蘋果共有多少千克？【答案】實(shí)際總質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量相比超過1.1千克，這7箱蘋果共有141.1千克．【思路引導(dǎo)】本題主要考查了有理數(shù)加法，乘法的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，熟練掌握有理數(shù)加法，乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．由題意將記錄的數(shù)據(jù)相加，用有理數(shù)的加法法則計(jì)算再結(jié)合正負(fù)數(shù)的定義即可得到實(shí)際總質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量相比是超過還是不足；將標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量乘以7再加上1.1即可得到答案．【完整解答】解：0.45+0.7?0.2+0.4?0.5?0.35+0.6=1.1（千克）20×7+1.1=140+1.1=141.1（千克）答：實(shí)際總質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量相比超過1.1千克，這7箱蘋果共有141.1千克．9．（2425七年級(jí)上·浙江杭州·期中）對(duì)于任意有理數(shù)m，n定義一種新運(yùn)算：m⊕n=n?m(1)若a=?6，b=7，求a⊕b的值；(2)已知點(diǎn)A，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為?1，x，且A，B兩點(diǎn)的距離是7，y是???5的相反數(shù)，求【答案】(1)12(2)?20或?2【思路引導(dǎo)】本題考查了新定義的運(yùn)算，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，相反數(shù)的定義，理解新定義運(yùn)算規(guī)則，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義運(yùn)算規(guī)則直接計(jì)算即可；（2）先根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離和相反數(shù)的定義得出x，y的值，然后根據(jù)新定義計(jì)算x⊕y，最后計(jì)算x⊕y⊕【完整解答】（1）解：∵m⊕n=n?m∴a⊕b=?6（2）解：∵點(diǎn)A，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為?1，x，且A，B兩點(diǎn)的距離是7，∴?1?x∴x=?8或6，∵y是???5的相反數(shù)，且∴y=5，當(dāng)x=?8時(shí)，x⊕y=?8∴x⊕y當(dāng)x=6時(shí)，x⊕y=6⊕5=5?6∴x⊕y綜上所述，x⊕y⊕?1的值為?20或10．（2526七年級(jí)上·陜西·期中）計(jì)算：(1)?3+(2)6×?3(3)?3(4)?2【答案】(1)1(2)2(3)?26(4)?【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）先進(jìn)行乘法運(yùn)算，再進(jìn)行加法運(yùn)算即可；（3）利用乘法分配律計(jì)算即可；（4）先進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行乘法運(yùn)算，最后進(jìn)行減法運(yùn)算即可；本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．【完整解答】（1）解：?3=?3?4?11+19=?18+19=1；（2）解：6×=?18+25?5=?18+20=2；（3）解：?=?=?27?20+21=?26；（4）解：?=?8?=?8?=?8+=?41期中綜合拓展練（測(cè)試時(shí)間：15分鐘）1．（2526七年級(jí)上·陜西·期中）下列各組運(yùn)算結(jié)果中，數(shù)值最小的是（）A．??3?22 B．?3×?22 【答案】A【思路引導(dǎo)】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，有理數(shù)比較大小，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算，然后比較大小即可．【完整解答】解：A、??3?2B、?3×C、?32D、?32∵?25<?18<?12<9∴最小的數(shù)是?25，故選：A．2．（2526七年級(jí)上·全國(guó)·期中）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置