多元微分計算真題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設函數(shù)f(x,y)在點(1,1)處可微，且f(1,1)=2，?f/?x(1,1)=1，?f/?y(1,1)=-1，則f(1+Δx,1+Δy)的線性近似為：A.2+Δx-ΔyB.2+Δx+ΔyC.2-Δx+ΔyD.2-Δx-Δy答案：A2.函數(shù)f(x,y)在點(0,0)處可微，且f(0,0)=0，?f/?x(0,0)=1，?f/?y(0,0)=2，則極限lim(x→0,y→0)(f(x,y)-x-2y)/√(x^2+y^2)等于：A.0B.1C.2D.不存在答案：A3.設函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有定義，且在D內(nèi)處處可微，則f(x,y)在D內(nèi)：A.必定連續(xù)B.必定不連續(xù)C.可能連續(xù)也可能不連續(xù)D.無法確定答案：A4.設函數(shù)f(x,y)在點(1,1)處可微，且f(1,1)=3，?f/?x(1,1)=2，?f/?y(1,1)=-1，則f(1,1)沿方向向量(1,1)的方向導數(shù)為：A.1B.2C.3D.0答案：A5.設函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有定義，且在D內(nèi)處處可微，則f(x,y)在D內(nèi)的梯度向量?f(x,y)：A.必定存在B.必定不存在C.可能存在也可能不存在D.無法確定答案：A6.設函數(shù)f(x,y)在點(1,1)處可微，且f(1,1)=1，?f/?x(1,1)=1，?f/?y(1,1)=1，則f(1,1)沿方向向量(1,-1)的方向導數(shù)為：A.0B.1C.-1D.√2答案：A7.設函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有定義，且在D內(nèi)處處可微，則f(x,y)在D內(nèi)的全微分df：A.必定存在B.必定不存在C.可能存在也可能不存在D.無法確定答案：A8.設函數(shù)f(x,y)在點(0,0)處可微，且f(0,0)=0，?f/?x(0,0)=0，?f/?y(0,0)=0，則f(x,y)在點(0,0)處：A.必定連續(xù)B.必定不連續(xù)C.可能連續(xù)也可能不連續(xù)D.無法確定答案：A9.設函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有定義，且在D內(nèi)處處可微，則f(x,y)在D內(nèi)的偏導數(shù)?f/?x和?f/?y：A.必定存在B.必定不存在C.可能存在也可能不存在D.無法確定答案：A10.設函數(shù)f(x,y)在點(1,1)處可微，且f(1,1)=2，?f/?x(1,1)=1，?f/?y(1,1)=-1，則f(1,1)沿方向向量(-1,1)的方向導數(shù)為：A.0B.1C.-1D.√2答案：C二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.設函數(shù)f(x,y)在點(1,1)處可微，且f(1,1)=2，?f/?x(1,1)=1，?f/?y(1,1)=-1，則f(1,1)沿方向向量(1,1)的方向導數(shù)為：A.1B.-1C.√2D.0答案：A,C2.設函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有定義，且在D內(nèi)處處可微，則f(x,y)在D內(nèi)的梯度向量?f(x,y)：A.必定存在B.必定不存在C.可能存在也可能不存在D.無法確定答案：A3.設函數(shù)f(x,y)在點(0,0)處可微，且f(0,0)=0，?f/?x(0,0)=1，?f/?y(0,0)=2，則極限lim(x→0,y→0)(f(x,y)-x-2y)/√(x^2+y^2)等于：A.0B.1C.2D.不存在答案：A4.設函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有定義，且在D內(nèi)處處可微，則f(x,y)在D內(nèi)的全微分df：A.必定存在B.必定不存在C.可能存在也可能不存在D.無法確定答案：A5.設函數(shù)f(x,y)在點(1,1)處可微，且f(1,1)=3，?f/?x(1,1)=2，?f/?y(1,1)=-1，則f(1,1)沿方向向量(1,-1)的方向導數(shù)為：A.1B.-1C.√2D.0答案：A,C6.設函數(shù)f(x,y)在點(0,0)處可微，且f(0,0)=0，?f/?x(0,0)=0，?f/?y(0,0)=0，則f(x,y)在點(0,0)處：A.必定連續(xù)B.必定不連續(xù)C.可能連續(xù)也可能不連續(xù)D.無法確定答案：A7.設函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有定義，且在D內(nèi)處處可微，則f(x,y)在D內(nèi)的偏導數(shù)?f/?x和?f/?y：A.必定存在B.必定不存在C.可能存在也可能不存在D.無法確定答案：A8.設函數(shù)f(x,y)在點(1,1)處可微，且f(1,1)=2，?f/?x(1,1)=1，?f/?y(1,1)=-1，則f(1,1)沿方向向量(-1,1)的方向導數(shù)為：A.1B.-1C.√2D.0答案：B,C9.設函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有定義，且在D內(nèi)處處可微，則f(x,y)在D內(nèi)的梯度向量?f(x,y)：A.必定存在B.必定不存在C.可能存在也可能不存在D.無法確定答案：A10.設函數(shù)f(x,y)在點(0,0)處可微，且f(0,0)=0，?f/?x(0,0)=1，?f/?y(0,0)=2，則f(0,0)沿方向向量(1,1)的方向導數(shù)為：A.1B.-1C.√2D.0答案：A,C三、判斷題（每題2分，共10題）1.設函數(shù)f(x,y)在點(1,1)處可微，且f(1,1)=2，?f/?x(1,1)=1，?f/?y(1,1)=-1，則f(1,1)沿方向向量(1,1)的方向導數(shù)為√2：答案：正確2.設函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有定義，且在D內(nèi)處處可微，則f(x,y)在D內(nèi)的梯度向量?f(x,y)必定存在：答案：正確3.設函數(shù)f(x,y)在點(0,0)處可微，且f(0,0)=0，?f/?x(0,0)=1，?f/?y(0,0)=2，則f(0,0)沿方向向量(1,1)的方向導數(shù)為√2：答案：正確4.設函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有定義，且在D內(nèi)處處可微，則f(x,y)在D內(nèi)的全微分df必定存在：答案：正確5.設函數(shù)f(x,y)在點(1,1)處可微，且f(1,1)=3，?f/?x(1,1)=2，?f/?y(1,1)=-1，則f(1,1)沿方向向量(1,-1)的方向導數(shù)為√2：答案：正確6.設函數(shù)f(x,y)在點(0,0)處可微，且f(0,0)=0，?f/?x(0,0)=0，?f/?y(0,0)=0，則f(0,0)沿方向向量(1,1)的方向導數(shù)為0：答案：正確7.設函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有定義，且在D內(nèi)處處可微，則f(x,y)在D內(nèi)的偏導數(shù)?f/?x和?f/?y必定存在：答案：正確8.設函數(shù)f(x,y)在點(1,1)處可微，且f(1,1)=2，?f/?x(1,1)=1，?f/?y(1,1)=-1，則f(1,1)沿方向向量(-1,1)的方向導數(shù)為√2：答案：正確9.設函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上有定義，且在D內(nèi)處處可微，則f(x,y)在D內(nèi)的梯度向量?f(x,y)必定存在：答案：正確10.設函數(shù)f(x,y)在點(0,0)處可微，且f(0,0)=0，?f/?x(0,0)=1，?f/?y(0,0)=2，則f(0,0)沿方向向量(1,1)的方向導數(shù)為1：答案：正確四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述多元函數(shù)可微的定義及其與連續(xù)性和偏導數(shù)的關系。答案：多元函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處可微，是指存在常數(shù)A和B，使得當(x,y)→(x0,y0)時，f(x,y)-f(x0,y0)=A(x-x0)+B(y-y0)+o(√((x-x0)^2+(y-y0)^2))。若函數(shù)可微，則必定連續(xù)，且偏導數(shù)?f/?x(x0,y0)和?f/?y(x0,y0)存在，且等于A和B。2.解釋方向導數(shù)的定義及其計算方法。答案：方向導數(shù)是指函數(shù)在某一點沿某一方向的變化率。設函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處可微，方向向量為(a,b)，則f(x,y)在點(x0,y0)沿方向向量(a,b)的方向導數(shù)為?f/?x(x0,y0)a+?f/?y(x0,y0)b。3.說明全微分的定義及其與偏導數(shù)的關系。答案：全微分是指函數(shù)在某一點沿所有方向的變化率的線性組合。設函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處可微，則f(x,y)在點(x0,y0)處的全微分為df=?f/?x(x0,y0)dx+?f/?y(x0,y0)dy。4.討論梯度向量的定義及其在幾何和物理中的應用。答案：梯度向量是指函數(shù)在某一點處偏導數(shù)的向量形式。設函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處可微，則梯度向量為?f(x0,y0)=(?f/?x(x0,y0),?f/?y(x0,y0))。在幾何上，梯度向量指向函數(shù)值增加最快的方向；在物理中，梯度向量可以表示電場、磁場等場的強度和方向。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論多元函數(shù)的可微性與連續(xù)性的關系，并舉例說明。答案：多元函數(shù)的可微性與其連續(xù)性密切相關。若函數(shù)在某一點處可微，則必定在該點處連續(xù)。這是因為可微性要求函數(shù)在該點處的局部線性近似成立，而局部線性近似成立的前提是函數(shù)在該點處連續(xù)。例如，函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2在點(0,0)處可微，且在該點處連續(xù)。2.討論方向導數(shù)的物理意義，并舉例說明其在實際問題中的應用。答案：方向導數(shù)表示函數(shù)在某一點沿某一方向的變化率。在物理學中，方向導數(shù)可以表示電場、磁場等場的強度和方向。例如，在電場中，電勢的梯度向量表示電場的強度和方向；在熱力學中，溫度的梯度向量表示熱流的密度和方向。3.討論全微分的物理意義，并舉例說明其在實際問題中的應用。答案：全微分表示函數(shù)在某一點沿所有方向的變化率的