2025年高三數(shù)學(xué)高考模塊整合模擬試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.數(shù)學(xué)文化與集合運(yùn)算《九章算術(shù)》中記載："今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。"若設(shè)上、中、下禾每秉的實(shí)（糧食數(shù)量）分別為(x)、(y)、(z)斗，則下列集合中恰含方程組所有解的是（）A.({(3,4,2.5)})B.({(4,5,2)})C.({(5,4,2)})D.({(2,3,4)})2.復(fù)數(shù)與數(shù)學(xué)史意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾在《大術(shù)》中首次系統(tǒng)研究了復(fù)數(shù)。若復(fù)數(shù)(z)滿足(z(1+i)=2i)（其中(i)為虛數(shù)單位），則(z)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.平面向量與幾何直觀古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中提出"橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為常數(shù)"。已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的左、右焦點(diǎn)分別為(F_1,F_2)，點(diǎn)(P)為橢圓上一點(diǎn)，向量(\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0)，且(|PF_1|=3)，(|PF_2|=5)，則橢圓(C)的離心率為（）A.(\frac{\sqrt{2}}{2})B.(\frac{4}{5})C.(\frac{5}{7})D.(\frac{5}{13})4.三角函數(shù)與實(shí)際應(yīng)用我國(guó)古代歷法中的"二十四節(jié)氣"反映了季節(jié)更替和氣候變化。已知某地夏至日正午太陽(yáng)高度角為(75^\circ)，冬至日正午太陽(yáng)高度角為(30^\circ)，若該地一年中正午太陽(yáng)高度角(H)與時(shí)間(t)（單位：月，以冬至日為(t=0)）的關(guān)系可近似為(H(t)=A\cos(\omegat+\varphi)+B)，則(\omega)的值為（）A.(\frac{\pi}{6})B.(\frac{\pi}{12})C.(\frac{\pi}{3})D.(\frac{\pi}{24})5.函數(shù)與大數(shù)據(jù)模型某電商平臺(tái)根據(jù)用戶(hù)消費(fèi)數(shù)據(jù)建立商品推薦模型，其中用戶(hù)活躍度指數(shù)(S)與日均在線時(shí)長(zhǎng)(t)（單位：小時(shí)）的關(guān)系滿足(S(t)=k\log_2(t+1)+b)。已知當(dāng)(t=1)時(shí)，(S=3)；當(dāng)(t=3)時(shí)，(S=5)，則當(dāng)(t=7)時(shí)，(S)的值為（）A.6B.7C.8D.96.不等式與優(yōu)化問(wèn)題秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中提出"增乘開(kāi)方法"解決高次方程求解問(wèn)題。若正數(shù)(x,y)滿足(x+2y=4)，則(\frac{1}{x}+\frac{2}{y})的最小值為（）A.3B.(\frac{9}{4})C.4D.(\frac{11}{4})7.立體幾何與空間想象《周髀算經(jīng)》中記載了"勾股定理"的雛形?，F(xiàn)有一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，在其內(nèi)部挖去一個(gè)以正方體中心為球心、半徑為1的球體，則剩余幾何體的表面積為（）A.(24+4\pi)B.(24-\pi)C.(24+2\pi)D.(24)8.概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析某高校為研究學(xué)生閱讀習(xí)慣，隨機(jī)抽取100名學(xué)生統(tǒng)計(jì)其每周閱讀時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），得到頻率分布直方圖如下：（注：直方圖數(shù)據(jù)為[0,2)頻率0.1，[2,4)頻率0.2，[4,6)頻率0.3，[6,8)頻率0.25，[8,10]頻率0.15）則這100名學(xué)生每周閱讀時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)約為（）A.5.2小時(shí)B.5.6小時(shí)C.6.0小時(shí)D.6.4小時(shí)9.數(shù)列與數(shù)學(xué)文化楊輝三角是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的杰出成就，其第(n)行（從0開(kāi)始計(jì)數(shù)）的數(shù)對(duì)應(yīng)二項(xiàng)式((a+b)^n)展開(kāi)式的系數(shù)。若將楊輝三角中第偶數(shù)行的奇數(shù)項(xiàng)取出，按原來(lái)順序排列構(gòu)成新數(shù)列({a_n})，則(a_5)的值為（）A.6B.10C.15D.2110.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)歐拉在《無(wú)窮分析引論》中系統(tǒng)研究了指數(shù)函數(shù)。已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax^2-bx-1)，若(f(0)=0)且(f'(0)=0)，則函數(shù)(f(x))的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.((-\infty,0))B.((0,+\infty))C.((-\infty,1))D.((1,+\infty))11.圓錐曲線與動(dòng)態(tài)問(wèn)題古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在《論螺線》中研究了曲線的性質(zhì)。已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過(guò)點(diǎn)(F)的直線(l)與拋物線交于(A,B)兩點(diǎn)，若線段(AB)的中點(diǎn)(M)到(y)軸的距離為3，則(|AB|=)（）A.6B.8C.10D.1212.創(chuàng)新題型：數(shù)學(xué)文化新定義我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出"三斜求積術(shù)"，即已知三角形三邊長(zhǎng)求面積的方法："以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開(kāi)平方得積。"若將其寫(xiě)成現(xiàn)代公式，即(S=\sqrt{\frac{1}{4}[c^2a^2-(\frac{c^2+a^2-b^2}{2})^2]})（其中(a,b,c)為三角形三邊長(zhǎng)）?，F(xiàn)有一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為(\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{7})，則該三角形的面積為（）A.(\frac{\sqrt{26}}{2})B.(\frac{\sqrt{26}}{4})C.(\frac{3\sqrt{2}}{2})D.(\frac{3\sqrt{2}}{4})二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.數(shù)學(xué)史與數(shù)列斐波那契在《算盤(pán)全書(shū)》中提出斐波那契數(shù)列：1,1,2,3,5,8,...，若數(shù)列({a_n})為斐波那契數(shù)列（即(a_1=1,a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n)），則(a_8+a_{10}=)________。14.線性規(guī)劃與實(shí)際應(yīng)用某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品需消耗A原料3kg、B原料2kg，生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品需消耗A原料1kg、B原料4kg?，F(xiàn)有A原料12kg、B原料16kg，若甲產(chǎn)品每件利潤(rùn)為50元，乙產(chǎn)品每件利潤(rùn)為30元，則該工廠可獲得的最大利潤(rùn)為_(kāi)_______元。15.解析幾何與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，曲線(C:\rho=2\cos\theta)與直線(l:\theta=\frac{\pi}{4}(\rho\in\mathbb{R}))交于A,B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為_(kāi)_______。16.函數(shù)與不等式創(chuàng)新題定義"雙勾函數(shù)"為形如(f(x)=x+\frac{a}{x}(a>0))的函數(shù)，其最小值為(2\sqrt{a})。若關(guān)于(x)的不等式(x+\frac{4}{x}\geqm)對(duì)任意(x\in(0,+\infty))恒成立，則實(shí)數(shù)(m)的最大值為_(kāi)_______；若存在(x\in(0,+\infty))使得(x+\frac{4}{x}\leqn)成立，則實(shí)數(shù)(n)的最小值為_(kāi)_______。（本小題第一空2分，第二空3分）三、解答題（本大題共6小題，共70分）17.（10分）數(shù)學(xué)文化與三角函數(shù)《九章算術(shù)》中"勾股章"記載："今有圓材埋在壁中，不知大小。以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺。問(wèn)徑幾何？"（注：1尺=10寸）（1）請(qǐng)根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；（2）求解該圓材的直徑。18.（12分）數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意(n\in\mathbb{N}^*)，(S_n<\frac{1}{2})。19.（12分）立體幾何與空間向量如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(diǎn)(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點(diǎn)。（1）求證：(DE\parallel)平面(A_1ABB_1)；（2）求直線(A_1D)與平面(B_1DE)所成角的正弦值。20.（12分）概率統(tǒng)計(jì)與大數(shù)據(jù)分析某科技公司為優(yōu)化產(chǎn)品性能，對(duì)某型號(hào)芯片進(jìn)行壽命測(cè)試，隨機(jī)抽取1000片芯片，測(cè)得其壽命（單位：小時(shí)）的頻率分布表如下：壽命區(qū)間[1000,2000)[2000,3000)[3000,4000)[4000,5000]頻率0.10.30.40.2（1）根據(jù)頻率分布表，估計(jì)該型號(hào)芯片壽命的平均數(shù)和方差（同一區(qū)間數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）；（2）若該芯片壽命服從正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))，其中(\mu)為（1）中估計(jì)的平均數(shù)，(\sigma^2)為（1）中估計(jì)的方差，試求(P(X>4000))（精確到0.01）；（3）公司承諾：壽命低于2000小時(shí)的芯片可免費(fèi)更換。若某批次芯片共生產(chǎn)10萬(wàn)片，試估計(jì)需免費(fèi)更換的芯片數(shù)量。（附：若(X\simN(\mu,\sigma^2))，則(P(\mu-\sigma<X\leq\mu+\sigma)\approx0.6827)，(P(\mu-2\sigma<X\leq\mu+2\sigma)\approx0.9545)）21.（12分）解析幾何與動(dòng)態(tài)問(wèn)題已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過(guò)點(diǎn)(P(2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)(Q(1,0))的直線(l)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，設(shè)(M)為線段(AB)的中點(diǎn)，直線(OM)與橢圓(C)交于(D,E)兩點(diǎn)（(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)），問(wèn)：是否存在直線(l)使得(|DE|=2|AB|)？若存在，求出直線(l)的方程；若不存在，說(shuō)明理由。22.（12分）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（大數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)模型壓軸題）隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，用戶(hù)數(shù)據(jù)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。某平臺(tái)用戶(hù)數(shù)量(N(t))（單位：萬(wàn)人）與時(shí)間(t)（單位：年，(t\geq0)）的關(guān)系可近似用對(duì)數(shù)增長(zhǎng)模型描述：(N(t)=k\ln(t+1)+b)，其中(k,b)為常數(shù)。（1）已知當(dāng)(t=0)時(shí)，用戶(hù)數(shù)量為100萬(wàn)人；當(dāng)(t=1)時(shí)，用戶(hù)數(shù)量為200萬(wàn)人，求(k,b)的值；（2）求該模型下用戶(hù)數(shù)量的增長(zhǎng)速率(v(t)=N'(t))，并分析其變化趨勢(shì)；（3）若平臺(tái)服務(wù)器最大承載量為500萬(wàn)人，預(yù)測(cè)該平臺(tái)用戶(hù)數(shù)量達(dá)到服務(wù)器承載上限的時(shí)間（精確到0.1年）；（4）為提升用戶(hù)體驗(yàn)，平臺(tái)計(jì)劃通過(guò)技術(shù)升級(jí)將用戶(hù)增長(zhǎng)模型優(yōu)化為(N'(t)=\frac{k}{(t+1)\ln(t+2)})，對(duì)比原模型，分析優(yōu)化后增長(zhǎng)速率的變化特點(diǎn)。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題C2.D3.B4.A5.B6.A7.C8.B9.C10.B11.B12.A二、填空題2114.22015.(\sqrt{2})16.4；4三、解答題（要點(diǎn)）17.（1）轉(zhuǎn)化為圓中弦長(zhǎng)問(wèn)題：設(shè)圓半徑為(r)，弦長(zhǎng)10寸，弦心距(r-1)寸，由勾股定理得(r^2=5^2+(r-1)^2)；（2）解得(r=13)寸，直徑為26寸。18.（1）(a_n=2^n-1)；（2）(b_n=\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1})，(S_n=1-\frac{1}{2^{n+1}-1})；（3）數(shù)學(xué)歸納法證明略。22.（1）(k=100/\ln2)，(b=100)；（2）(v(t)=\frac{100}{\ln2\cdot(t+1)})，隨(t)增大單調(diào)遞減；（3）(t=e^{4\ln2}-1\a