2025-2026學(xué)年上海市實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則（）A10100 B.-10100C.5052 D.-50522．若拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為A. B.C.8 D.43．觀察：則第行的值為（）A. B.C. D.4．“冰雹猜想”數(shù)列滿足：，，若，則（）A.4 B.3C.2 D.15．已知函數(shù)，，當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.6．若雙曲線的焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.7．已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若，則的公差為（）A.4 B.3C.2 D.18．已知，，，則，，的大小關(guān)系是A. B.C. D.9．已知直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且直線l與圓相切，則的面積的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.410．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.8411．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，，是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A.9 B.8C.7 D.612．如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與直線垂直，則__________14．某工廠年前加緊手套生產(chǎn)，設(shè)該工廠連續(xù)5天生產(chǎn)的手套數(shù)依次為，，，，（單位：萬只），若這組數(shù)據(jù)，，，，的方差為4，且，，，，的平均數(shù)為8，則該工廠這5天平均每天生產(chǎn)手套______萬只15．已知函數(shù)，設(shè)，且函數(shù)有3個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為___________.16．已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，且過點(diǎn).（1）求雙曲線漸近線方程；（2）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極大值與極小值；（2）若函數(shù)在上的最大值是最小值的3倍，求a的值.19．（12分）設(shè)函數(shù)（1）求的值；（2）求的極大值20．（12分）已知直線l經(jīng)過直線，的交點(diǎn)M（1）若直線l與直線平行，求直線l的方程；（2）若直線l與x軸，y軸分別交于A，兩點(diǎn)，且M為線段AB的中點(diǎn)，求的面積（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）21．（12分）如圖1，在中，，，，分別是，邊上的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為．若存在，求出長；若不存在，請說明理由22．（10分）長方體中，，點(diǎn)分別在上，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)已知條件，用并項(xiàng)求和法即可求得結(jié)果.【詳解】∵∴∴.故選：D.2、A【解析】先把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得的值.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)利用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求拋物線的方程的問題，涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于簡單題目.3、B【解析】根據(jù)數(shù)陣可知第行為，利用等差數(shù)列求和，即可得到答案；【詳解】根據(jù)數(shù)陣可知第行為，，故選：B4、A【解析】根據(jù)題意分別假設(shè)為奇數(shù)、偶數(shù)的情況，求出對應(yīng)的即可.【詳解】由題意知，因?yàn)椋魹槠鏀?shù)時，，與為奇數(shù)矛盾，不符合題意；若為偶數(shù)時，，可得，符合題意.不符合故選：A5、C【解析】由題意得出，構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得出對任意的恒成立，利用參變量分離法可得出，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時，恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則對任意的恒成立，，令，其中，則.，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；又，所以.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.6、A【解析】由焦距為可得，又，進(jìn)而可得，最后根據(jù)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為即可求解.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的焦距為，所以，所以，解得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，即，故選：A.7、A【解析】由已知，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式列方程組求公差即可.詳解】由題設(shè)，，解得.故選：A8、B【解析】若對數(shù)式的底相同，直接利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可，若底不同，則根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小【詳解】對于的大?。?，，明顯；對于的大?。簶?gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，即對于的大?。?，，，故選B【點(diǎn)睛】將兩兩變成結(jié)構(gòu)相同的對數(shù)形式，然后利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷，對于結(jié)構(gòu)類似的，可以通過構(gòu)造函數(shù)來來比較大小，此題是一道中等難度的題目9、A【解析】由直線與圓相切可得，再利用基本不等式即求.【詳解】由已知可得，，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，，所以面積的最小值為1.故選：A10、C【解析】根據(jù)對稱性以及概率之和等于1求出，再由即可得出答案.【詳解】∵隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，∴故選：C.11、A【解析】由雙曲線方程求出，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線的兩支之間，結(jié)合可求得答案【詳解】由，得，則，所以左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，則由雙曲線的定義得，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的兩支之間，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號，所以的最小值為9，故選：A12、C【解析】過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，利用拋物線的定義和平行線的性質(zhì)、直角三角形求解【詳解】如圖，過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由拋物線定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，從而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此拋物線的方程為y2＝3x，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-3【解析】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以考點(diǎn)：本題考查兩直線垂直的充要條件點(diǎn)評：若兩直線方程分別為,則他們垂直的充要條件是14、2【解析】結(jié)合方差、平均數(shù)的公式列方程，化簡求得正確答案.【詳解】依題意設(shè)，則，.故答案為：15、【解析】由題意畫出函數(shù)圖象，把函數(shù)有3個不同的零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有3個交點(diǎn)的問題，分為和時分類討論即可.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，要使函數(shù)有3個不同的零點(diǎn)，則函數(shù)和函數(shù)有三個交點(diǎn)，由已知得函數(shù)恒過點(diǎn),當(dāng)時，過點(diǎn)時，函數(shù)和函數(shù)有三個交點(diǎn)，將代入得，即，當(dāng)時，與相切時，此時函數(shù)和函數(shù)有兩個交點(diǎn)，如圖所示，，設(shè)此時的切點(diǎn)為，則直線的斜率為，直線的方程為，將點(diǎn)代入得，解得，此時的斜率為，將逆時針旋轉(zhuǎn)至和平行時，即為的位置時，函數(shù)和函數(shù)有三個交點(diǎn)，此時，故的范圍為，綜上所述實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故答案為：.16、【解析】由題意可得在R上單調(diào)遞增，再由，利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式求解【詳解】定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，由，得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）將已知點(diǎn)代入雙曲線方程，然后可得；（2）由雙曲線右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同可解.【小問1詳解】因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，所以所以，得又因?yàn)椋运噪p曲線的漸近線方程【小問2詳解】由（1）得所以所以雙曲線的右焦點(diǎn)是所以拋物線的焦點(diǎn)是所以，所以所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程18、（1）的極大值為0,的極小值為（2）2【解析】（1）先求導(dǎo)可得，再利用導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而求解；（2）由（1）可得在上的最小值為，由，，可得的最大值為，進(jìn)而根據(jù)求解即可.【詳解】解:（1）當(dāng)時，，所以，令，則或，則當(dāng)和時，；當(dāng)時，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,所以極大值為；的極小值為.（2）由題,，由（1）可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值即為的極小值；因?yàn)?,所以，因?yàn)椋瑒t，所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值,考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值,考查運(yùn)算能力.19、（1）-3（2）2【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)公式和法則求解；（2）令，利用極大值的定義求解.【小問1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以；【小問2詳解】令，得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得極大值.20、（1）（2）4【解析】（1）求出兩直線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程為代入點(diǎn)M的坐標(biāo)可得答案；（2）設(shè)，，因?yàn)闉榫€段AB的中點(diǎn)，可得，由的面積為可得答案.【小問1詳解】由，得，所以點(diǎn)M坐標(biāo)為，因?yàn)?，則設(shè)直線l的方程為，又l過點(diǎn)，代入得，故直線l方程為.【小問2詳解】設(shè)，，因?yàn)闉榫€段AB的中點(diǎn)，則，所以，故，，則的面積為.21、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)題意分別由已知條件計(jì)算出的面積和的面積，利用求解，（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后求出平面與平面的法向量，利用向量平夾角公式列方程可求得結(jié)果小問1詳解】在中，，因?yàn)?，分別是，邊上的中點(diǎn)，所以∥，，所以，所以，因?yàn)?，所以平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以是等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，中，，所以邊上的高為，所以，在梯形中，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因，所以，所以，得，所以點(diǎn)到平面的距離為【小問2詳解】由（1）可知平面，，所以以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則平面與平面夾角的余弦值為，兩邊平方得，，解得或（舍去），所以，所以22、（1）證明見解析.（2）【解析】（1）根據(jù)