2025年四川省井研中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，點坐標(biāo)為，則的最小值為（）A. B.C. D.2．已知，，若，則（）A.9 B.6C.5 D.33．若，，則下列各式中正確的是（）A. B.C. D.4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的可能為（）A.9 B.5C.4 D.35．準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.6．人教A版選擇性必修二教材的封面圖案是斐波那契螺旋線，它被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等．斐波那契螺旋線的畫法是:以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…為邊長的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．下圖為該螺旋線在正方形邊長為1，1，2，3，5，8的部分，如圖建立平面直角坐標(biāo)系（規(guī)定小方格的邊長為1），則接下來的一段圓弧所在圓的方程為（）A. B.C. D.7．某公司門前有一排9個車位的停車場，從左往右數(shù)第三個，第七個車位分別停著A車和B車，同時進來C，D兩車．在C，D不相鄰的情況下，C和D至少有一輛與A和B車相鄰的概率是（）A. B.C. D.8．已知實數(shù)，，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.9．函數(shù)的圖象如圖所示，則下列大小關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.10．下列曲線中，與雙曲線有相同漸近線是（）A. B.C. D.11．如圖，在三棱錐中，，二面角的正弦值是，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.12．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的．”從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（）種A.54 B.72C.96 D.120二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，則與側(cè)面所成角的正弦值為______14．某企業(yè)有4個分廠，新培訓(xùn)了一批6名技術(shù)人員，將這6名技術(shù)人員分配到各分廠，要求每個分廠至少1人，則不同的分配方案種數(shù)為________.15．如圖，在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________.16．已知函數(shù)，，則曲線在處的切線方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是拋物線的焦點，點在拋物線上，且.（1）求的方程；（2）過上一動點作的切線交軸于點.判斷線段的中垂線是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.18．（12分）已知拋物線C:（1）若拋物線C上一點P到F的距離是4，求P的坐標(biāo)；（2）若不過原點O的直線l與拋物線C交于A、B兩點，且，求證：直線l過定點19．（12分）已知數(shù)列，若_________________（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和從下列三個條件中任選一個補充在上面的橫線上，然后對題目進行求解①；②，，；③，點，在斜率是2的直線上20．（12分）在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，分別是棱，的中點（1）證明：平面；（2）若，且四棱錐的體積是6，求三棱錐的體積21．（12分）近年來某村制作的手工藝品在國內(nèi)外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質(zhì)量把關(guān)，質(zhì)量把關(guān)程序如下：（?。┤粢患止に嚻?位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級；（ⅱ）若3位行家中僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，再由另外2位行家進行第二次質(zhì)量把關(guān)．若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為B級；若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級；（ⅲ）若3位行家中有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級．已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨立（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率；（2）求81件手工藝品中，質(zhì)量為C級的手工藝品件數(shù)的方差；（3）求10件手工藝品中，質(zhì)量為D級的手工藝品最有可能是多少件？22．（10分）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點（1）求橢圓C方程；（2）已知直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，與直線交于點Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若①求△面積的范圍，②證明：為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)點P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，進而把問題轉(zhuǎn)化為求|PM|+|PD|的最小值，即可求解【詳解】解：由題意，設(shè)點P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，當(dāng)D，P，M三點共線時，|PM|+|PD|取得最小值為故選：B2、D【解析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】.故選：D.3、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合，，利用不等式的性質(zhì)可判斷，從而判斷，再利用不等式性質(zhì)得出正確答案.【詳解】，，，又，，兩邊同乘以負(fù)數(shù)，可知故選：D4、D【解析】根據(jù)輸出結(jié)果可得輸出時，結(jié)合執(zhí)行邏輯確定輸入k的可能值，即可知答案.【詳解】由，得，則輸人的可能為.∴結(jié)合選項知：D符合要求.故選：D.5、D【解析】的準(zhǔn)線方程為.【詳解】的準(zhǔn)線方程為.故選：D.6、C【解析】由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由于每一個圓弧為四分之一圓，從而可求出下一段圓弧所以圓的圓心，進而可得其方程【詳解】解：由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由題意可知下一段圓弧過點，因為每一段圓弧的圓心角都為90°，所以下一段圓弧所在圓的圓心與點的連線平行于軸，因為下一段圓弧半徑為13，所以所求圓的圓心為，所以所求圓的方程為，故選：C7、B【解析】先求出基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車相鄰的對立事件是和都不與和車相鄰，由此能求出和至少有一輛與和車相鄰的概率【詳解】解：某公司門前有一排9個車位的停車場，從左往右數(shù)第三個，第七個車位分別停著車和車，同時進來，兩車，在，不相鄰的條件下，基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車相鄰的對立事件是和都不與和車相鄰，和至少有一輛與和車相鄰的概率：故選：B8、C【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)和作差法判斷大小依次判斷每個選項得到答案.【詳解】當(dāng)時，不等式不成立，錯誤；，故錯誤正確；當(dāng)時，不等式不成立，錯誤；故選：.【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，作差法判斷大小，意在考查學(xué)生對于不等式知識的綜合應(yīng)用.9、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得答案.【詳解】因為函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)值表示的是此點處切線的斜率，所以由圖可得，故選：C10、B【解析】求出已知雙曲線的漸近線方程，逐一驗證即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為.故選：B11、A【解析】利用二面角S﹣AC﹣B的余弦值求得，由此判斷出，且兩兩垂直，由此將三棱錐補形成正方體，利用正方體的外接球半徑，求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)是的中點，連接，由于，所以，所以是二面角的平面角，所以.在三角形中，，在三角形中，，在三角形中，由余弦定理得：，所以，由于，所以兩兩垂直.由此將三棱錐補形成正方體如下圖所示，正方體的邊長為2，則體對角線長為.設(shè)正方體外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積為，故選：.12、A【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，由加法原理計算可得答案【詳解】根據(jù)題意，甲乙都沒有得到冠軍，而乙不是最后一名，分2種情況討論：①甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；則一共有種不同的名次情況，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】作圖，考慮底面是正三角形，按照線面夾角的定義構(gòu)造直角三角形即可.【詳解】依題意，作圖如下，取的中點G，連結(jié)，∵是正三角形，∴，，又∵是正三棱柱，∴底面，∴，即平面，，與平面的夾角=，在中，，故答案為：.14、1560【解析】先把6名技術(shù)人員分成4組，每組至少一人，有兩種情況：（1）4個組的人數(shù)按3,1,1,1分配，（2）4個組的人數(shù)為2,2,1,1，求出所有的分組方法，然后再把4個組的人分給4個分廠，從而可求得答案【詳解】先把6名技術(shù)人員分成4組，每組至少一人.（1）若4個組的人數(shù)按3,1,1,1分配，則不同的分配方案有(種).（2）若4個組的人數(shù)為2,2,1,1，則不同的分配方案有(種).故所有分組方法共有20＋45＝65(種).再把4個組的人分給4個分廠，不同的方法有(種).故答案為：156015、##【解析】過作，垂足為，則平面，則即為所求角，從而可得結(jié)果.【詳解】依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，可知點H為中點，由平面，可得，又所以平面，則即為所求角，因為，，所以，故答案為：.16、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在點處的切線方程.【詳解】由，求導(dǎo)，知，又，則函數(shù)在點處的切線方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）過定點，定點為【解析】（1）利用拋物線的定義求解；（2）設(shè)直線的方程為，，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)直線與拋物線C相切，由求得，再得到，寫出線段的中垂線方程求解.【小問1詳解】解：由題意得，，解得=2p，因為點M（，4）在拋物線C上，所以42=2p=4p2，解得p=2，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由已知得，直線的斜率存在且不為0，所以設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立并消去得：，因為直線與拋物線C相切，所以，得，，所以，得，在中，令得，所以，所以線段中點為，線段的中垂線方程為，所以線段的中垂線過定點.18、（1）（2）見解析【解析】（1）由拋物線的定義，可得點的坐標(biāo)；（2）可設(shè)直線的方程為，，，，與拋物線聯(lián)立，消，利用韋達定理求得，，再根據(jù)，可得，從而可求得參數(shù)的關(guān)系，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)，，由拋物線的定義可知，即，解得，將代入方程，得，即的坐標(biāo)為；【小問2詳解】證明：由題意知直線不能與軸平行，可設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，消去得，設(shè)，，，則，，由，可得，即，即，即，又，解得，所以直線方程為，當(dāng)時，，所以直線過定點19、答案見解析.【解析】（1）若選①，根據(jù)通項公式與前項和的關(guān)系求解通項公式即可；若選②，根據(jù)可得數(shù)列為等差數(shù)列，利用基本量法求解通項公式即可；若選③，根據(jù)兩點間的斜率公式可得，可得數(shù)列為等差數(shù)列進而求得通項公式；（2）利用裂項相消求和即可【詳解】解：（1）若選①，由，所以當(dāng)，，兩式相減可得：，而在中，令可得：，符合上式，故若選②，由（，）可得：數(shù)列為等差數(shù)列，又因為，，所以，即，所以若選③，由點，在斜率是2的直線上得：，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列且（2）由（1）知：，所以20、（1）證明見解析.（2）2.【解析】（1）取的中點，連接，．運用面面平行的判定和性質(zhì)可得證；（2）過點作，垂足為，連接，，設(shè)點到平面的距離為，根據(jù)棱錐的體積求得，再利用三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，可求得答案.【小問1詳解】證明：如圖，取的中點，連接，因為，分別是棱，的中點，所以，又平面，平面，所以平面因為，且，分別是棱，的中點，所以，又平面，平面，所以平面因為平面，且，所以平面平面因為平面，所以平面【小問2詳解】解：過點作，垂足為，連接，，則四邊形是正方形，從而因為，所以，則，從而直角梯形的面積設(shè)點到平面的距離為，則四棱錐的體積，解得因為三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，所以三棱錐的體積因為平面，所以三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，所以三棱錐的體積為221、（1）（2）（3）2件【解析】（1）根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算可得；（2）首先求出一件手工藝品質(zhì)量為C級的概率，設(shè)81件手工藝品中質(zhì)量