2025年江蘇省揚(yáng)州市梅嶺中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，若，則的面積為（）A. B.C. D.2．已知雙曲線(xiàn)：，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.3．某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新設(shè)備用于生產(chǎn).第一年需運(yùn)營(yíng)費(fèi)用萬(wàn)元，從第二年起，每年運(yùn)營(yíng)費(fèi)用均比上一年增加萬(wàn)元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為萬(wàn)元.設(shè)該設(shè)備使用了年后，年平均盈利額達(dá)到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B.C. D.4．某工廠(chǎng)去年的電力消耗為千瓦，由于設(shè)各更新，該工廠(chǎng)計(jì)劃每年比上一年的電力消耗減少，則從今年起，該工廠(chǎng)第5年消耗的電力為（）A.m千瓦 B.m千瓦C.m千瓦 D.m千瓦5．由小到大排列的一組數(shù)據(jù)：，其中每個(gè)數(shù)據(jù)都小于，另一組數(shù)據(jù)2、的中位數(shù)可以表示為（）A. B.C. D.6．已知圓：，圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.外切C.相交 D.內(nèi)切7．已知點(diǎn)P(5，3，6)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(2，3，1)，且一個(gè)方向向量為，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為()A. B.C. D.8．給出下列結(jié)論：①如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為0.2，則的平均數(shù)和方差分別為14和1.8；②若兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1．③對(duì)A、B、C三種個(gè)體按3：1：2的比例進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取的A種個(gè)體有15個(gè)，則樣本容量為30．則正確的個(gè)數(shù)是（）.A.3 B.2C.1 D.09．阿基米德（公元前287年~公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為6π，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.10．已知空間向量，則（）A. B.C. D.11．已知球O的半徑為2，球心到平面的距離為1，則球O被平面截得的截面面積為（）A. B.C. D.12．?dāng)?shù)列中，，，則（）A.32 B.62C.63 D.64二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直，則實(shí)數(shù)___________.14．若，且，則的最小值是____________.15．已知直線(xiàn)，，若，則實(shí)數(shù)______16．某地區(qū)有3個(gè)疫苗接種定點(diǎn)醫(yī)院，現(xiàn)有10名志愿者將被派往這3個(gè)醫(yī)院協(xié)助新冠疫苗接種工作，每個(gè)醫(yī)院至少需要2名至多需要4名志愿者，則不同的安排方法共有___________種.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣lnx（1）求曲線(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；（2）求函數(shù)f（x）的極值.18．（12分）已知橢圓，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，且，.求證：為定值，并計(jì)算出該定值.19．（12分）已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)C上，設(shè)雙曲線(xiàn)C的左支上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，點(diǎn)，且，直線(xiàn)NQ與雙曲線(xiàn)C交于另一點(diǎn)B．證明：動(dòng)直線(xiàn)PB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)20．（12分）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，為原點(diǎn).橢圓上任意一點(diǎn)到，距離之和為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的斜率為2的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，求的面積.21．（12分）已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.22．（10分）已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿(mǎn)足.（1）求角的大?。唬?）若，，，求的長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出，可知為等腰三角形，取的中點(diǎn)，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，，則，所以，，由橢圓的定義可得，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，則，由勾股定理可得，所以，.故選：B.2、D【解析】以雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)作為邊界條件，即可保證直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支只有一個(gè)交點(diǎn).【詳解】雙曲線(xiàn)：的兩條漸近線(xiàn)為和兩漸近線(xiàn)的傾斜角分別為和由經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支只有一個(gè)交點(diǎn)，可知直線(xiàn)的傾斜角取值范圍為，故直線(xiàn)的斜率的取值范圍是故選：D3、D【解析】設(shè)該設(shè)備第年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)為萬(wàn)元，利用為等差數(shù)列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設(shè)該設(shè)備第年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)為萬(wàn)元，則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，則該設(shè)備使用年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)用總和為，設(shè)第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，注意根據(jù)題設(shè)條件概括出數(shù)列的類(lèi)型，另外用基本不等式求最值時(shí)注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.4、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槿ツ甑碾娏ο臑榍?，工廠(chǎng)計(jì)劃每年比上一年的電力消耗減少，所以今年的電力消耗為，因此從今年起，該工廠(chǎng)第5年消耗的電力為，故選：D5、C【解析】先根據(jù)題意對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，然后由中位數(shù)的定義求解即可【詳解】因?yàn)橛尚〉酱笈帕械囊唤M數(shù)據(jù)：，其中每個(gè)數(shù)據(jù)都小于，所以另一組數(shù)據(jù)2、從小到大的排列為，所以這一組數(shù)的中位數(shù)為，故選：C6、C【解析】求出兩圓的圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑和與差的關(guān)系，判斷圓與圓的位置關(guān)系【詳解】圓：的圓心為，半徑，圓：，即，圓心，半徑，兩圓的圓心距，顯然，即，所以圓與圓相交.故選：C7、B【解析】根據(jù)向量和直線(xiàn)l的方向向量的關(guān)系即可求出點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離.【詳解】由題意，，，，，，到直線(xiàn)的距離為.故選：B.8、B【解析】對(duì)結(jié)論逐一判斷【詳解】對(duì)于①，則的平均數(shù)為，方差為，故①正確對(duì)于②，若兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，故②錯(cuò)誤對(duì)于③，對(duì)A、B、C三種個(gè)體按3：1：2的比例進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取的A種個(gè)體有15個(gè)，則樣本容量為，故③正確故正確結(jié)論為2個(gè)故選：B9、D【解析】設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)題意得到和，求得的值，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)闄E圓C的離心率為，可得，又由，即，解得，又因?yàn)闄E圓的面積為，可得，即，聯(lián)立方程組，解答，所以橢圓方程為.故選：D.10、C【解析】A利用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示判斷；B根據(jù)向量平行的判定，是否存在實(shí)數(shù)使即可判斷；C向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求即可判斷；D利用向量坐標(biāo)的線(xiàn)性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求即可.【詳解】因?yàn)?，所以A不正確：因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)使，所以B不正確；因?yàn)椋?，所以C正確；因?yàn)椋?，所以D不正確故選：C11、B【解析】根據(jù)球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑即可求解.【詳解】由球的性質(zhì)可知，截面圓的半徑為，所以截面的面積.故選：B12、C【解析】把化成，故可得為等比數(shù)列，從而得到的值.【詳解】數(shù)列中，，故，因?yàn)?，故，故，所以，所以為等比?shù)列，公比為，首項(xiàng)為.所以即，故，故選C.【點(diǎn)睛】給定數(shù)列的遞推關(guān)系，我們常需要對(duì)其做變形構(gòu)建新數(shù)列（新數(shù)列的通項(xiàng)容易求得），常見(jiàn)的遞推關(guān)系和變形方法如下：（1），取倒數(shù)變形為；（2），變形為，也可以變形為；二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)兩條直線(xiàn)相互垂直的條件列方程，解方程求得m的值.【詳解】由于兩條直線(xiàn)垂直，故，解得.故答案為：.14、【解析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求a+4b的最小值即可.【詳解】由，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立，∴最小值為.故答案為：15、【解析】由直線(xiàn)垂直可得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程即可.【詳解】由直線(xiàn)垂直可得：，解得：.故答案為：16、22050【解析】先分組，再排列，注意部分平均分組問(wèn)題，需要除以平均組數(shù)的全排列.【詳解】根據(jù)題意，這10名志愿者的安排方法共有兩類(lèi)：第一類(lèi)是2，4，4，第二類(lèi)是3，3，4.故不同的安排方法共有種.故答案為：22050三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）極小值為，無(wú)極大值【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線(xiàn)方程；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：，則，，即切線(xiàn)的斜率為0，所以曲線(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為；小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值.18、（1）（2）證明見(jiàn)解析，定值為【解析】（1）由題意得，從而寫(xiě)出橢圓的方程即可；（2）易知直線(xiàn)斜率存在，令，，，，，將直線(xiàn)的方程代入橢圓的方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)公式即可求得值，從而解決問(wèn)題.【小問(wèn)1詳解】（1）由條件得，所以方程為【小問(wèn)2詳解】易知直線(xiàn)斜率存在，令，，，由，因?yàn)椋?，?1-x1因?yàn)椋?，?4-x1由①，由②將，代入上式，得19、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義求得的值得雙曲線(xiàn)方程；（2）確定垂直于軸，設(shè)直線(xiàn)BP的方程為，設(shè)，，則，直線(xiàn)方程代入雙曲線(xiàn)方程，由相交求得范圍，由韋達(dá)定理，利用N、B、Q三點(diǎn)共線(xiàn)，且NQ斜率存在，由斜率相等得出的關(guān)系，代入韋達(dá)定理的結(jié)論可求得的值，從而得直線(xiàn)BP所過(guò)定點(diǎn)【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，?dòng)點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的左支，則，可得，，所以，點(diǎn)M的軌跡方程為；【小問(wèn)2詳解】證明：∵，∴直線(xiàn)PQ垂直于x軸，易知，直線(xiàn)BP的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)BP的方程為，設(shè)，，則，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左支、右支各有一個(gè)交點(diǎn)，需滿(mǎn)足或，∴，，又，又N、B、Q三點(diǎn)共線(xiàn)，且NQ斜率存在，∴，即，∴，∴，∴，化簡(jiǎn)得：，∴，∴，即，滿(mǎn)足判別式大于0，即直線(xiàn)BP方程為，所以直線(xiàn)BP過(guò)定點(diǎn)20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意和橢圓的定義可知a，c，再根據(jù)，即可求出b，由此即可求出橢圓的方程；（2）求出直線(xiàn)方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離，再根據(jù)面積公式即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，，∴，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】直線(xiàn)l的方程為，代入橢圓方程得，設(shè)，，則，，，∴，又∵點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離，∴，即△OAB的面積為.21、（1）（2）【解析】設(shè)出，由直線(xiàn)的斜率為求得，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點(diǎn)軸時(shí)，不合題意；當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長(zhǎng)公式求得，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡(jiǎn)后換元，利用基本不等式求得最值，進(jìn)一步求出值，則直線(xiàn)方程可求.試題解析：（1）設(shè)，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以，.又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為：，聯(lián)立消去得，當(dāng)，所以，即或時(shí).所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離所以，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時(shí)取等號(hào)，滿(mǎn)足所以的面積最大時(shí)直線(xiàn)的方程為：或.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線(xiàn)求最值，屬于難題.解決圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題一般有兩種方