專題強化02：全等三角形的輔助線與模型【模型歸納】【模型探究】題型一：一線三等角模型【例1】．（25-26八年級上·江西南昌·階段練習）（1）如圖1，在中，，，直線經(jīng)過點A，分別從點B，C向直線作垂線，垂足分別為D，E．求證：；（2）如圖2，在中，，直線經(jīng)過點A，點D，E分別在直線上，如果，猜想，，有何數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖3，，，點B的坐標為，點C的坐標為，直接寫出點A的坐標______．【答案】（1）證明見解析．（2），證明見解析．（3）【分析】本題考查了一線三等角模型，結(jié)合已知條件運用等量代換找到相等的角是解題關(guān)鍵．（1）利用同角的余角相等得出，再利用角角邊證明全等即可．（2）利用和可得，證明，得到，等量代換即可．（3）過點A和點B向軸作垂線，借助一線三等角得到全等三角形，并利用邊長相等求坐標即可．【詳解】解：（1），，，，，，，，．（2），，，，，，，，，，．（3）過點A作軸點D，過點B作軸于點E，由（1）可得：，，，，，，，．【變式1】．（23-24八年級上·廣東汕頭·期中）閱讀理解，自主探究：“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角角度為，于是有三組邊相互垂直．所以稱為“一線三垂直模型”．當模型中有一組對應邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形．(1)問題解決：如圖1，在等腰直角中，，，過點C作直線，于D，于E，求證：；(2)問題探究：如圖2，在等腰直角中，，，過點C作直線，于D，于E，，，求的長；(3)拓展延伸：在平面直角坐標系中，，點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，為等腰直角三角形；①如圖3，當時，求點C的坐標；②直接寫出其他符合條件的C點的坐標．【答案】(1)見解析(2)(3)①；②，，【分析】（1）因為于D，，所以，因為，即可通過證明作答．（2）因為，，得，因為，即可通過證明，再運用全等三角形的性質(zhì)，即可作答．（3）①過點B作軸，過點A作的延長線，易得，通過證明，再設點B的坐標為，，根據(jù)，進行列式作答即可；②分類討論，當，，和分別作圖，接著證明相應三角形全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，列式作答即可．【詳解】（1）解：∵于D，，∴即，∵∴∵∴（2）解：∵，，∴，∴，∵，∴∵∴則∵∴即；（3）解：①過點B作軸，過點A作的延長線，如圖：因為過點A作的延長線∴∵過點B作軸，∴∵∴∴∵點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，∴設點B的坐標為，∵，∴，解得，故點C的坐標為；②，，過點B作軸，過點A作射線軸，且過點B作，如圖：易知因為∴∵過點B作軸，過點B作∴∵∴∴∵點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，∴設點B的坐標為，∵，∴，此時無解，當，，過點A作直線軸，與軸交于點D，過點B作于點E，如圖：∵，∴即∵∴∴∵點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，∴設點B的坐標為，∵，∴，解得故點C的坐標為；當，，過點A作直線軸，過點B作于點E，過點C作于點D，如圖：∵，∴即∵∴∴∵點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，∴設點B的坐標為，∵，∴，解得故點C的坐標為；當時，，過點C作直線軸，過點B作于點E，過點A作于點D，如圖：∵，∴即∵∴∴∵點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，∴設點B的坐標為，∵，∴，解得故點C的坐標為；綜上，其他符合條件的C點的坐標為，，【變式2】．（24-25八年級上·廣東汕頭·期末）閱讀理解，自主探究：“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角角度為，于是有三組邊相互垂直．所以稱為“一線三垂直模型”．當模型中有一組對應邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形．(1)問題解決：如圖1，在等腰直角中，，，過點C作直線，于D，于E，求證：；(2)問題探究：如圖2，在等腰直角中，，，過點C作直線，于D，于E，，，求的長；(3)拓展延伸：如圖3，在平面直角坐標系中，，，在平面平面直角坐標系中是否存在一點B，使得為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出B點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)存在，點B的坐標為或或．【分析】（1）根據(jù)余角的性質(zhì)得到，即可根據(jù)證明；（2）同（1）證明，得到，，求出即可；（3）分三種情況：①當時，；②當時，；③當時，；分別構(gòu)造全等三角形，由全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；（2）證明：∵于D，于E，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，∴；（3）解：在平面平面直角坐標系中存在點B，使得為等腰直角三角形，理由如下：分三種情況：①當時，，如圖3，過點A作軸，過點C作于E，過點B作于F，同（1）得：，∴，，∵，，∴，，∴；②當時，，如圖4，過點C作軸，過點A作于E，過點B作于F，同（1）得：，∴，，∵，，∴，，∴；③當時，，如圖5，過點B作軸，交x軸于F，過點C作于E，同（1）得：，∴，，設，則，∵，，∴，，∴，解得：，∴；綜上，使為等腰直角三角形，點B的坐標為或或．題型二：手拉手模型【例2】．（24-25八年級上·河南平頂山·期末）數(shù)學基本思想歸結(jié)為三個核心要素：抽象、推理、模型．圖形與幾何學習尤其需要我們從復雜的問題中進行抽象，形成一些基本幾何模型，用類比等方法，進行再探究、推理，以達到解決問題的目的(1)【模型探究】如圖1，和中，，且，連接．這一圖形稱為“手拉手模型”．求證，請你完善下列過程．證明：∵，∴（）①．即．…（）②(2)【類比推理】如圖2，中，，以B為端點引一條與腰相交的射線，在射線上取點D，使，求的度數(shù)．（提示：可構(gòu)建手拉手模型，在上找一點E，使）【答案】(1)等式的性質(zhì)，(2)42°【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由等式的性質(zhì)可得，則可證明，再利用即可證明；（2）在上取一點E，使，連接，由等邊對等角得到，則可證明，進而證明，得到，設和交于點O，由，可得．【詳解】（1）證明：∵，∴（等式的性質(zhì)）．即．又∵，∴；（2）解：在上取一點E，使，連接，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，設和交于點O，∵，∴．【變式1】．（24-25九年級上·四川廣元·期末）【模型感知】手拉手模型是初中數(shù)學里三角形全等知識點考察的重要模型．兩個有公共頂點且頂角相等的等腰三角形組成的圖形叫手拉手模型．（1）如圖1，已知和都是等邊三角形，連接，．求證：；【模型應用】（2）如圖2，已知和都是等邊三角形，將繞點旋轉(zhuǎn)一定的角度，當點在的延長線上時，請直接寫出線段、、之間存在的數(shù)量關(guān)系為______；【類比探究】（3）如圖3，已知和都是等邊三角形．①當點在線段上時，過點作于點．求證：②當點在線段的延長線上時，請直接寫出線段，與之間存在的數(shù)量關(guān)系為______．【答案】（1）見解析；（2）；（3）①見解析；②．【分析】（1）由和都是等邊三角形得，，，進而推出，證明即可得證；（2）由和都是等邊三角形得，，，從而推出，進而證明得，即可得證；（3）如圖，當點在線段上或當點在線段的延長線上時，證明，可得，結(jié)合證明從而得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：和都是等邊三角形，，，，，，在和中，，．（2）解：和都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，．（3）解：①和是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，，，，，．②如圖，當點在線段的延長線上時，和是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，，．，，．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，含的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．【變式2】．（23-24七年級下·山東濟南·期末）【閱讀材料】小明同學發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律：兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形，底角頂點連起來，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形，小明把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手模型”．

【材料理解】（1）如圖1，與都是等腰三角形，，，且，則有；線段和的數(shù)量關(guān)系是．【深入研究】（2）如圖2，與都是等腰三角形，，，且，請判斷線段和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；【深化模型】（3）如圖3，，，求證：【答案】（1），；（2），，證明見解析；（3）見解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，理解題中“手拉手模型”，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，利用類比方法證明是解答的關(guān)鍵．（1）先得到，再證明，然后利用全等三角形的對應邊相等可得結(jié)論；（2）同理先得到，再證明，得到，，進而利用三角形的外角性質(zhì)得到即可證得結(jié)論；（3）作，，連接，證明是等邊三角形，得到，，進而得到D、C、H三點共線，則，然后證明得到即可證的結(jié)論．【詳解】解：（1）∵，∴，即，在和中，，∴，∴，故答案為：；；（2），，理由如下：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴．（3）證明如圖，作，，連接，

∴是等邊三角形，∴，，∵，∴D、C、H三點共線，∴，∵，∴，又，，∴，∴，∴．題型三：半角模型【例3】．（22-23九年級上·廣西南寧·期中）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形是正方形，分別在邊上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．如圖①，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點與點重合，得到，連接(1)試判斷之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．(2)如圖②，點分別在正方形的邊的延長線上，，連接，請寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．【答案】(1)．證明見解析(2)．證明見解析【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到全等三角形，再利用全等三角形的性質(zhì)進行等量轉(zhuǎn)化進而得出結(jié)論；（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到全等三角形，再利用全等三角形得到邊相等，進而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：．證明如下：由旋轉(zhuǎn)，可知：∴點共線∵∴在和中∴∴∵∴（2）解：．證明如下：

在上?。B接，∵，∴∴∵∴在和中，∴∴∵∴【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用全等三角形的性質(zhì)進行等量轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（24-25八年級上·全國·期中）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形（四邊相等，四個內(nèi)角均為）中，、分別在邊、上，且，連接，這種模型屬于“半角模型”中的一類，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路．大致思路：巧妙地通過輔助線在邊向外構(gòu)造，使得，進而證出度數(shù)，最后證明，即可得出結(jié)論．請補充輔助線的作法，并寫出完整證明過程．（1）延長到點G，使，連接．（2）求證：．【問題應用】如圖2，在四邊形中，，以A為頂點的分別交于E、F，且，求五邊形的周長【答案】（1）DF；（2）見解析；問題應用：【分析】[問題發(fā)現(xiàn)]（1）根據(jù)“巧妙地通過輔助線在邊向外構(gòu)造，使得”可知，我們要做輔助線，使得，則可得出答案；（2）結(jié)合正方形的性質(zhì)，證明即可；[問題應用]根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，，，推出、、三點共線，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到，據(jù)此求解即可．本題是四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：[問題發(fā)現(xiàn)]（1）依題意，延長到點，使，連接，故答案為：；（2）證明：由（1）得，四邊形是正方形，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，．[問題應用]依題意，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，、、三點共線，，，，，，，，，，∴五邊形的周長為故答案為：．【變式2】．（22-23八年級上·江西宜春·期中）問題背景：“半角模型”問題．如圖1，在四邊形中，，，，點E，F(xiàn)分別是上的點，且，連接，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學的方法是延長到點G．使．連結(jié)，先證明，再證明，從而得出結(jié)論：_____________；(2)拓展延伸：如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊上的點，且，請問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．(3)嘗試應用：如圖3，在四邊形中，，，E、F分別是邊延長線上的點，且，請?zhí)骄烤€段具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)(2)成立，理由見解析(3)，證明見解析【分析】（1）延長到點G．使．連接，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）延長到，使，連接．證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，再得到，再利用全等三角形的性質(zhì)則可得出結(jié)論；（3）在上截取，使，連接．證明．由全等三角形的性質(zhì)得出．證明，由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】（1）解：．延長到點G．使．連接，∵，∴．∴．∴．∴．又∵，∴．∴．∵．∴．故答案為：；（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立．理由是：如圖2，延長到，使，連接．，，，在與中，，，，，．．又，，．．，（3）解：結(jié)論：．證明：如圖③中，在上截取，使，連接．∵，∴．在與中，，∴．∴．∴．∴．∵，∴，

∴，∵，∴．題型四：倍線中線模型【例4】．（25-26七年級上·山東濟寧·階段練習）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點E，使，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到的理由是．A．

B．

C．

D．（2）求得的取值范圍是．A．

B．

C．

D．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖2，是的中線，點E在的延長線上，，求證：．【答案】（1）B；（2）C；（3）詳見解析【分析】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確作輔助線，構(gòu)造全等三角形．（1）根據(jù)三角形全等的判定定理即可進行解答；（2）根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可進行解答；（3）延長至，使，可證明，可得，，從而得到，再根據(jù)以及三角形外角的性質(zhì)可得，可證明，可得到，即可求證．【詳解】解：（1）延長到點E，使，∵是的中線，∴，在和中，∵，，，∴；故選：B（2）∵，∴，在中，∵，，∴，∴；故選：C（3）延長至，使，是的中線，，∵，，，，，，，，，即，在和中，，，，．【變式1】．（25-26八年級上·重慶·階段練習）如圖，已知在中，是邊上的中線，分別以為直角邊作直角和，其中，連接．(1)若，求的取值范圍；(2)求證：．【答案】(1)(2)見詳解【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)；（1）延長至點，使，連接，證明，可得，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可解答．（2）根據(jù)可得，推出，等量代換得到，再證明，得到，進而可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，延長至點，使，連接，因為是邊的中線，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以．（2）證明：因為，所以，因為，所以．因為，所以，所以，因為，所以，又因為，所以，所以．因為，所以．【變式2】．（24-25八年級上·全國·期末）綜合與實踐【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)和同學們合作交流后，得到了如下的解決方法：延長到E，使，連接BE．請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到，依據(jù)是___________；A．

B．

C．

D．（2）由“三角形的三邊關(guān)系”，可求得的取值范圍是___________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．[初步運用]（3）如圖2，是的中線，交于E，交于F，．若，，求線段BF的長．【答案】（1）C；（2）；（3）5【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）由全等三角形的判定定理解答即可；（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計算；（3）延長到M，使，連接，由證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：（1）∵是邊上的中線，∴，在和中，，∴，故選：C；（2）∵，即，∴，∵，∴，故答案為：；（3）延長到M，使，連接，如圖所示：∵，，∴，∵是中線，∴，∵在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即．題型五：截長補短模型【例5】．（23-24九年級上·甘肅蘭州·期中）通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整．【原題】如圖1，點E，F(xiàn)分別在正方形的邊上，，連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系．【模型】我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決半角模型問題時，“旋轉(zhuǎn)”、“截長補短”均是常用的方法．(1)思路梳理：A.旋轉(zhuǎn)法：把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，則，，可以得到，即點共線．易證，故之間的數(shù)量關(guān)系為．B.截長補短法：延長至點G，使得，由，，即，可以得到．(2)類比引申如圖2，點E，F(xiàn)分別在正方形的邊的延長線上，．連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】(1)；(2)．【分析】把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，根據(jù)四邊形為正方形，，，可得點、共線，由旋轉(zhuǎn)，，可證。得出即可；把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，可證點、、在一條直線上。由旋轉(zhuǎn)，，，可證，得出即可．【詳解】（1）解：四邊形為正方形，,,把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，,點、、共線，,,,,即，在和中，，，,,即,故答案為：；（2），理由如下，如圖所示，,把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至,可使與重合，,點、、在一條直線上，,,,,，,,，，，在和中，，，，，．【點睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角的和差計算，線段和差計算等知識點，熟練掌握其性質(zhì)并能正確添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵．【變式1】．（24-25八年級下·貴州黔南·期末）綜合與實踐：【模型解讀】“半角模型”是指在一個大角中包含著一個大小為其一半的角，通過邊與角的特殊關(guān)系解決線段長度、角度的相關(guān)問題．例如：如圖1，在正方形中，點E，F(xiàn)分別在上，連接，且，我們把這種模型稱為“半角模型”．在解決問題時，“截長補短”是一種常用的方法，將分散的線段或角集中在一起，構(gòu)造全等三角形，從而利用全等三角形的性質(zhì)來解決問題．【實踐證明】（1）如圖1，連接EF，為了證明“”，小李同學運用所學的幾何知識，延長到點H，使，連接，通過證明，得到，從而得到，請你按照小李同學的思路寫出證明過程；【知識運用】（2）利用（1）的結(jié)論，若正方形的邊長是4，則的周長是；【拓展延伸】（3）如圖2，在四邊形中，，，點E，F(xiàn)分別在的延長線上，連接，且探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）見解析；（2）8；（3），見解析【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．（1）沿著小李的思路，先證，再證，即可得出結(jié)論；（2）設，則，然后計算周長即可；（3）在上截取，使，連接，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】解：（1），理由如下：沿著小李的思路進行證明，在正方形中，有，，∴，∵，，，∴，∴，，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，，∴；（2）設，則，∴的周長為：，故答案為：8；（3），理由如下：如下圖中，在上截取，使，連接，

∵，，∴，在與中，，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，且，∴．【變式2】．（23-24八年級下·黑龍江齊齊哈爾·期末）【問題情境】神奇的半角模型在幾何圖形中，共頂點處的兩個角，其中較小的角是較大的角的一半時，我們稱之為半角模型．截長補短法是解決這類問題常用的方法．如圖1，在正方形中，以A為頂點的，與分別交于E、F兩點，為了探究之間的數(shù)量關(guān)系，小明的思路如下：如圖2，延長到點H，使，連接，先證明，再證明．從而得到之間的數(shù)量關(guān)系．(1)提出問題：之間的數(shù)量關(guān)系為________________．(2)知識應用：如圖3，，，以A為頂點的，，與分別交于E、F兩點，你認為（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．(3)知識拓展：如圖4，在四邊形中，，，．與互補，與分別交于E、F兩點，且，請直接寫出的周長________________．（用含a、b、c的式子表示．）【答案】(1)(2)（1）中的結(jié)論還成立，證明見解析(3)【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．（1）延長到點H，使，連接，先證明，再證明，即可解答；（2）延長到點M，使，連接，先證明，再證明，即可解答；（3）延長到點P，使，連接，先證明，再證明，可得，從而得到的周長，即可解答．【詳解】（1）解：延長到點H，使，連接，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；故答案為：（2）解：（1）中的結(jié)論還成立，證明如下：延長到點M，使，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：如圖，延長到點P，使，連接，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴的周長．故答案為：題型六：旋轉(zhuǎn)法模型【例6】．（24-25七年級下·山東濟南·期末）和是兩個角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板，【問題初探】（1）當兩個三角板如圖（1）所示的位置擺放時，D、B、C在同一直線上，連接、，請證明：；【類比探究】（2）當三角板保持不動時，將三角板繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到如圖（2）所示的位置，判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2），，理由見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形．（1）由判定，推出；（2）過點C作垂直于的延長線于點H，交于點O，判定，推出，，由三角形內(nèi)角和定理推出，推出．【詳解】（1）證明：在和中，，∴，∴；（2）解：，，理由如下：如圖，過點C作垂直于的延長線于點H，交于點O，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴．【變式1】．（24-25九年級上·山東濟寧·期中）綜合與實踐【問題重現(xiàn)】義務教育教科書數(shù)學八年級上冊《第十一章三角形》中我們學過了三角形中線的定義、畫法、性質(zhì)等．下面是一道關(guān)于三角形的中線有關(guān)問題：如圖1，是的中線，，，求的取值范圍．問題解決思路：延長到，使得，連接，可證（相當于將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，把，，變換到中，利用三角形的三邊關(guān)系可得，所以．根據(jù)上面信息，解決下面問題．【問題變式】如圖2，點，，分別在的邊，，上，是邊上的中點，，連接．（1）求證：；（2）當時，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；【問題拓展】（3）如圖3，四邊形中，，，，點，分別在四邊形的邊，上，且，連接．探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系并證明．

【答案】（1）詳見解析（2），證明見解析（3），證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定即性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，合理作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）延長至，使，證出得到，再證出，得到，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)進行角的等量代換求出，再利用勾股定理求解即可；（3）延長至，使，證出得到，，通過角的等量代換得到，推出后即可求解．【詳解】解：（1）證明：延長至，使，連接，，如圖所示：∵是邊上的中點，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．在和中，，∴，∴，∵，∴；（2）猜想：，證明：由（1）可知，，又∵，∴，∴，即，在中，由勾股定理得，∵，，∴；（3）答：，證明：延長至，使，如圖所示：∵，，∴，∵，∴在和中：∴，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，∴在和中，，∴．∴，∵，∴．【變式2】．（24-25八年級上·廣西南寧·期中）【問題初探】和是兩個都含有角的大小不同的直角三角板．（1）當兩個三角板如圖（1）所示的位置擺放時，、、在同一直線上，，，，．依據(jù)的是判定定理_________．A．

B．

C．

D．【類比探究】（2）當三角板保持不動時，將三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)到如圖（2）所示的位置，判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．【拓展延伸】（3）如圖（3），在四邊形中，，，，連接，，，到直線的距離為7，請求出的面積．

【答案】（1）B；（2），；（3）【分析】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）由條件可以看出是兩邊及夾角對應相等的兩個三角形全等，據(jù)此求解即可；（2）先證明得到，，再延長與交于點O，證明即可得到；（3）過A作交延長線于M，作交于N，可證得，可得，再由求出和的長即可．【詳解】解：（1），，，．依據(jù)的是判定定理，故選：B；（2），，理由如下：∵，∴，∵，，∴，∴，，延長與交于點O，如圖2，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）過A作交延長線于M，作交于N，如圖3，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∵A到直線的距離為7，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴．【專題精練】1．（24-25八年級上·山東臨沂·期中）如圖，點為定角的平分線上的一個定點，，，且與互補，若在繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與，相交于，兩點．(1)試判斷的形狀，并給出證明；(2)的值是否為定值？若是，請求出這個定值，若不是，請說明理由．【答案】(1)為等邊三角形，證明見解析(2)的值是定值，【分析】（1）如圖，作于E，于F，只要證明即可；（2）證明，可得，由，可得，進而可求的值．【詳解】（1）為等邊三角形．證明：如圖作于，于．，，，又，，平分，于，于，，在和中，，，．又，，，為等邊三角形．（2）的值是定值．理由：在和中，，，，，又，，．在中，，，，，．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．2．（22-23八年級上·湖北十堰·階段練習）如圖，、是的高，M為上一點，且，N為延長線上一點，且．試判斷與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】且，證明見解析【分析】由于、是高，則，根據(jù)等角的余角相等得到，然后根據(jù)可判斷，則，，由于，則，所以．【詳解】解：且．證明：∵、是高，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵是的高，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（25-26八年級上·湖北襄陽·階段練習）構(gòu)建數(shù)學基本模型是我們解決復雜問題的一種重要思想，優(yōu)秀的同學總會積累很多基本模型，提高自己的綜合能力．一線三直角就是一重要的模型．(1)如圖1，中，，，過點任畫一條直線，分別過、作此直線的垂線，垂足為、，請指出此圖中全等形，并證明．(2)如圖2，在直角坐標系數(shù)中，若點坐標為，以為直角邊作直角三角形，且，①若點的坐標為，求點坐標；②如圖3，若點在軸正半軸上運動，過點作線段，且，連接交軸于點，當點運動時，的長度是否發(fā)生變化，若變化說明理由，若不變，求出長度．【答案】(1)，證明見解析；(2)①；②不變，長度為．【分析】本題考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標與圖形，掌握一線三直角模型是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)同角的余角相等，得到，再根據(jù)證明全等即可；（2）①過點作軸于點，證明，得到，，即可得出點坐標；②過點作軸于點，同①理可證，得到，，再證明，得到，即可得解．【詳解】（1）解：，證明如下：，，，，，，，在和中，，；（2）解：①如圖2，過點作軸于點，點坐標為，點的坐標為，，，直角三角形，，，，，，在和中，，，，，，點坐標為；②如圖3，過點作軸于點，同①可得，，，，軸，，，，在和中，，，，當點運動時，的長度不發(fā)生變化，長度為．4．（24-25八年級下·廣西賀州·期末）“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角的度數(shù)為，且三組邊相互垂直，所以稱為“一線三垂直”模型．當模型中有一組對應邊長相等時，模型中必定存在全等三角形．【模型呈現(xiàn)】（1）如圖1，在等腰直角中，，，過點作直線，于點，于點，請直接寫出、與之間的數(shù)量關(guān)系；【模型應用】（2）如圖2，在等腰直角中，，，過點作直線，過點作于點，過點作于點，，．①求的長；②如圖3，延長，交于點，求的長度．【答案】（1），（2）①，②【分析】本題考查了“一線三垂直”的全等模型，掌握模型的構(gòu)成與結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）證即可求解；（2）①證即可求解；②設，根據(jù)，即可求解；【詳解】解：（1）、與之間滿足的數(shù)量關(guān)系為：；理由如下：由題意得：，∴；∵，∴，∴，∵，∴；（2）①在等腰直角中，，，，

于點，于點，，，，

在和中，，，，

；

②設，在中，

在中，

在中，

，解得

5．（23-24八年級上·遼寧葫蘆島·期末）某校八年級（1）班數(shù)學興趣小組在一次活動中進行了試驗探究活動，請你和他們一起活動吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，是的中線，延長至點，使，連接，求證：．【理解與運用】（2）如圖2，是的中線，若，求的取值范圍；（3）如圖3，是的中線，，點在的延長線上，，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及中點性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）延長至點，使，連接，如圖所示，根據(jù)題意，由三角形全等的判定得到，從而根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得證；（2）延長至點，使，連接，如圖所示，由三角形全等的判定與性質(zhì)得到，設，在中，由三邊關(guān)系即可得到答案；（3）延長至點，使，連接，如圖所示，得到，再由三角形全等的判定與性質(zhì)得到，進而可確定，再由全等性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）證明：延長至點，使，連接，如圖所示：∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：延長至點，使，連接，如圖所示：∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，設，在中，由三邊關(guān)系可得，即，∴；（3）證明：延長至點，使，連接，如圖所示：∴，∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．6．（2025九年級下·全國·專題練習）如圖，為等腰直角三角形，，，點D在線段上，連接，，，過C作，且，連接，交于F．(1)求的面積；(2)證明：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）在中，求出即可解決問題；（2）在上取一點M，使得，只要證明是等邊三角形即可解決問題．【詳解】（1）解：在中，∵，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）證明：在上取一點M，使得，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形30度角性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．7．（24-25八年級下·山東棗莊·期中）如圖所示，在中，，，點為的中點，交的平分線于點，于點，交的延長線于點．(1)求證：；(2)求的長．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握知識點的應用是解題的關(guān)鍵．（）如圖所示，連接，，先利用證明得到，再由角平分線的性質(zhì)得到，即可利用證明則；（）證明，得到，由（）得，則，據(jù)此求出的長，即可求出的長；【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，，∵是的中點，，∴，，又∵，∴，∴，∵平分，，，∴，，又∵，∴，∴；（2）解：在和中，∴，∴，由（）得，∴，∴，∵，，∴，∴．8．（24-25八年級上·重慶云陽·期中）如圖1，在與是兩個等腰直角三角形，即于點且，且，連接，交于點F．(1)求證：，；(2)如圖2，若將（1）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．①試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②你能求出的度數(shù)嗎？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)①，理由見解析；②能，，理由見解析【分析】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用．（1）由等腰直角三角形求出，證出，推出，，根據(jù)求出，求出即可；（2）①如圖3中，結(jié)論：，只要證明即可；②由，得到，再結(jié)合，得到．【詳解】（1）證明：∵，，∴，，，在和中，，∴，，，如圖，與交于點，，，，，，，∴，；（2）解：①，理由如下：∵與是等邊三角形，，，，，，，在和中，，∴，；②能，理由如下：與交于點，∵，，∵，，，∴，即的度數(shù)為．9．（23-24七年級下·河南鄭州·期中）【綜合實踐】如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因為頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．(1)【初步把握】如圖1，與都是等腰三角形，，，且，則有；線段和的數(shù)量關(guān)系是；(2)【深入研究】如圖2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一條直線上．請判斷線段與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說明理由；(3)【拓展延伸】如圖3，直線，垂足為點O，上有一點M在點O右側(cè)且，點N是上一個動點，連接，在下方作等腰直角三角形，，，連接．請直接寫出線段的最小值及此時的長度．【答案】(1)；(2)；；理由見解析(3)4；4【分析】本題考查四邊形綜合應用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理．（1）由，可得，根據(jù)可得，則可得出結(jié)論；（2）由，得，即可證，有，，而是等腰三角形且，知，故，即可得，；（3）證明，當有最小，即最小，即垂線段最短，當軸時，最小，則可得出答案．【詳解】（1）∵，∴，即，在和中，，∴；故答案為：；；（2）解：與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是∵，∴，即，在和中，，∴，∴，，∵是等腰三角形且，∴，∴，∴，∴；（3）∵是等腰直角三角形，∴，將繞M點順時針旋轉(zhuǎn)得（N與重合），連接，∴，∴，，∴，當有最小，即最小，當軸時，由，，∴，，∴，最小值為4．10．（23-24八年級上·天津濱海新·期中）如圖，和中，，連接與交于點M，與交于點N．(1)求證：；(2)試猜想與有何特殊關(guān)系，并證明；(3)連接，有以下兩個結(jié)論：①平分；②平分，其中正確的有______（請寫序號，少選、錯選均不得分）．【答案】(1)見解析(2)且，理由見解析(3)②【分析】本題考查了常見的全等三角形模型――“手拉手模型”，熟記模型的構(gòu)成條件、推理過程及結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）推出，即可求證；（2）由可得，結(jié)合可得，即可得；（3）作，由可得，，即可推出，從而結(jié)論②正確；假設結(jié)論①正確，可得出，，與條件不符．【詳解】（1）證明：∵，，，∴∵∴（2）解：且，理由如下：∵，∴，，，，，∴（3）解：作，如圖所示：∵，∴，∵∴∵∴平分假設①正確，即平分，則有：∴即：∵平分，，，，，故只有當時，①才成立；故答案為：②11．（22-23八年級上·福建龍巖·期中）如圖，與均為等邊三角形并且B，C，D三點共線．

(1)求證：CH平分，并求的度數(shù)；(2)試探究之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）作、，由，可知，，由全等三角形性質(zhì)知，據(jù)此得出平分，在和中利用三角形內(nèi)角和可得到，即可求出的度數(shù)；（2）在上截取，連接，構(gòu)造全等三角形，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，推理得出為等邊三角形，進而得到，最后根據(jù)，得到．【詳解】（1）如圖①，作，垂足為點，作，垂足為點，

和都是等邊三角形，，，，，即，在和中，，；，且，，，，，又，，點在的平分線上，即平分；∴∵，，，∴，∴，∴；（2）．證明：如圖，在上截取，連接，

，，又，，，且，又，，即，為等邊三角形，，又，．【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是正確解答本題的關(guān)鍵．解題時注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．12．（24-25八年級上·江蘇無錫·期中）閱讀理解半角模型：半角模型是指有公共頂點，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角兩邊相等，通過翻折或旋轉(zhuǎn)，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進一步構(gòu)造全等三角形，使條件弱化，這樣可把握問題的本質(zhì)．

【問題背景】如圖1，在四邊形中，分別是上的點，，試探究圖1中線段之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小亮同學認為解決此問題可以用如下方法：延長到點，使，連接，先證明，再證明，則可得到線段之間的數(shù)量關(guān)系是______________．【探索延伸】如圖2，在四邊形中，，分別是上的點，，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．【結(jié)論運用】如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東的方向以海里/小時的速度前進，小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達處，且兩艦艇之間的夾角為，則此時兩艦艇之間的距離為__________海里．

【答案】【問題背景】，理由見詳解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由見詳解；【結(jié)論運用】【問題背景】將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，與重合，可證點共線，可證，，由此即可求證；【初步探索】根據(jù)作圖可證，再證即可；【探索延伸】證明方法與“初步探索”的證明方法相同；【結(jié)論運用】如圖所示，連接，過點作軸于點，證明，，由此即可求解．【詳解】解：【問題背景】，理由如下，如圖所示，

∵，，∴將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，與重合，∴，∴，，，∵，∴，∴點共線，∵，，∴，∴，即，在中，，∴，∴，∵，∴；【初步探索】根據(jù)題意，，延長至點，∴，在中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，即，在中，，∴，∴，∵，∴，故答案為：；【探索延伸】仍然成立，理由如下，如圖所示，延長至點，使得，

∵，，∴，在中，，∴，∴，，∵，∴，即，∴，在中，，∴，∴，且，∴；【結(jié)論運用】如圖所示，連接，過點作軸于點，

根據(jù)題意可得，，，，，∴在中，，，則，∴，∵，∴，∵艦艇甲向正東方向以海里/小時的速度前進，艦艇乙以海里/小時的速度前進，形式小時，∴（海里），（海里），如圖所示，延長至點，使得，則，

在中，，∴，∴，，∴，∴在中，，∴，∴，∴（海里），∴此時兩艦艇之間的距離為海里，故答案為：．【點睛】本題主要考查四邊形的綜合，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合，方位角的運用，理解圖示，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（22-23七年級下·江蘇鹽城·期末）【嘗試探究】如圖1，已知在正方形中（四邊相等，四個內(nèi)角均為90°），點、分別在邊、上運動，當時，探究、和的數(shù)量關(guān)系，并加以說明；【模型建立】如圖2，若將直角三角形沿斜邊翻折得到，且，點、分別在邊、上運動，且，試猜想（2）中的結(jié)論還成立嗎？請加以說明；【拓展應用】如圖3，已知是邊長為8的等邊三角形（三邊相等，三個內(nèi)角均為60°），，，，以為頂點作一個60°角，使其角的兩邊分別交邊、于點、，連接，直接寫出的周長．

【答案】【嘗試探究】，證明見解析；【模型建立】成立，證明見解析；【拓展應用】16【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形．本題主要考查半角模型，平時多歸納，多積累，可以幫助我們快速解題．[嘗試探究]：把繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°至，可使與重合，證明即可得出結(jié)論；[模型建立]將繞順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，此時，與重合，證明，即可得出結(jié)論；[拓展應用]將繞點旋轉(zhuǎn)，得到，證明，得到，再根據(jù)三角形的周長公式進行求解即可．【詳解】解：【嘗試探究】．證明：如圖，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°至，可使與重合，

∵，∴，點、、共線，∴，即．在和中，，∴，∴，∴；【模型建立】成立，如圖，

證明：將繞順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，此時，與重合，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，同理得：點，，在同一條直線上，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴（2）中的結(jié)論還成立，；【拓展應用】∵是邊長為8的等邊三角形，∴，∵，∴，將繞點旋轉(zhuǎn)，得到，

∵，，∴和重合，，，，∴，∴三點共線，同法（2），可得：，∴，∴的周長．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形．本題主要考查半角模型，平時多歸納，多積累，可以幫助我們快速解題．14．（24-25七年級上·山東泰安·期末）【問題初探】（1）在數(shù)學課上，張老師給出如下問題：如圖1，平分，求證：．如圖2，小穎同學嘗試構(gòu)造“手拉手”模型，給出一種解題思路：過作，交于點，以此來證明陰影部分的三角形全等，得到．請你參考小穎的解題思路寫出證明過程．【類比分析】（2）張老師將圖1進行變換并提出了下面問題，請你解答：如圖3，，平分，求證：．【學以致用】（3）如圖4，在中，，，D是邊的中點，，與邊相交于點與邊相交于點．請直接寫出線段的值：___________．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）8【分析】（1）利用證明，得出即可；（2）過點作，，垂足分別為，，由角平分線的性質(zhì)可得，由“”可證，可得；（3）取中點，連接，根據(jù)證，得，即可得證，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）如圖，過點作，，垂足分別為，，，又平分，，，，在四邊形中，，又，，又，，且，，，；（3）取中點，連接，∵，，∴是等邊三角形，∴，，點、分別是、邊上的中點，，又是等邊三角形，，，，，，，，，，∵，，∴．【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．15．（24-25七年級下·山西晉中·期末）綜合與探究“在一條直線上有三個直角頂點”的幾何圖形，我們一般稱其為“一線三垂直”圖形