*

對于泊松輸入—負指數(shù)分布服務(wù)的排隊系統(tǒng)的一般決策過程：1、求出P0

及

Pn。2、計算各項數(shù)量運行指標。3、用系統(tǒng)運行指標構(gòu)造目標函數(shù)，對系統(tǒng)進行優(yōu)化。

泊松輸入—指數(shù)服務(wù)排隊模型

*

典型分布——

泊松分布及其性質(zhì)，負指數(shù)分布及其性質(zhì)

*一．M/M/s/∞系統(tǒng)又稱無限隊長、無限源系統(tǒng)。

當(dāng)s=1時為單服務(wù)臺系統(tǒng)；當(dāng)s>1時為多服務(wù)臺系統(tǒng)。

若系統(tǒng)內(nèi)的顧客數(shù)n>s，則有n-s個顧客在等待服務(wù)*服務(wù)強度：令：則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率為：服務(wù)臺全部空閑的概率：任意時刻狀態(tài)為n的概率：*4項主要工作指標：（1）平均等待隊長：（2）平均隊長：（3）平均逗留時間：（4）平均等待時間：*特別地，當(dāng)S=1（單服務(wù)臺系統(tǒng)）時：**

例1、某醫(yī)院急診室同時只能診治一個病人，診治時間服從指數(shù)分布，每個病人平均需要15min，病人按泊松分布到達，平均每小時到達3人。分析此排隊系統(tǒng)。解：（1）確定參數(shù)：這是單服務(wù)臺系統(tǒng)，有故服務(wù)強度為：（2）計算穩(wěn)態(tài)概率：*病人需要等待的概率為：（3）計算系統(tǒng)主要工作指標：急診室內(nèi)外的病人平均數(shù)：急診室外排隊等待的病人平均數(shù)：病人在急診室內(nèi)外逗留的時間：*病人平均等候的時間：（4）為使病人平均逗留時間不超過半小時，那么平均服務(wù)時間應(yīng)減少多少？代入得平均服務(wù)時間：平均服務(wù)時間至少應(yīng)減少3min*（5）若醫(yī)院希望候診的病人90%以上都有座位，則候診室至少應(yīng)安置多少座位？設(shè)：應(yīng)安置x個座位，則有x+1個座位?！耙?0%以上的候診病人有座位”相當(dāng)于“來診的病人數(shù)不多于x+1個的概率不小于90%”，即：或從而*兩邊取對數(shù)：所以即候診室應(yīng)安置6個座位。*

例2、承上例，假設(shè)醫(yī)院增強急診室的服務(wù)能力，使其同時能診治兩個病人，且平均服務(wù)率相同，試分析該系統(tǒng)工作情況，并與例1進行比較.解：這相當(dāng)于增加了一個服務(wù)臺，從而有：**病人必須等候的概率即系統(tǒng)狀態(tài)的概率：例1、例2比較見教材P163表6-1*二．M/M/s/r系統(tǒng)又稱有限隊長、無限源系統(tǒng)當(dāng)r=s時為損失制系統(tǒng)；當(dāng)r>s時為混合制系統(tǒng)

當(dāng)顧客到達系統(tǒng)時，若系統(tǒng)已經(jīng)滿員（N=r）,則后到的顧客就自動消失。不需規(guī)定就能保證系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)。*1、當(dāng)s=1時服務(wù)強度：穩(wěn)態(tài)概率為：*平均隊長、平均等待隊長：到達的潛在顧客能進入系統(tǒng)的概率為系統(tǒng)的有效平均到達率為：*

例3、某小型美容院只能安置3個座位供顧客等候，一旦滿座則后平者不再進店等候。已知顧客到達間隔與美容時間均為指數(shù)分布，平均到達間隔80min，平均美容時間為50min。求一顧客期望等候時間及該店潛在顧客的損失率。解：這是一個M/M/s/r系統(tǒng)故服務(wù)強度為：**故任一顧客期望等待時間為：該店潛在顧客的損失率：*2、當(dāng)s>2時服務(wù)強度：

與M/M/s/系統(tǒng)一樣則：**特別地，當(dāng)r=s（損失制）時，公式化簡為：使用的服務(wù)臺的平均數(shù)：*

例4、某街口汽車加油站可同時為兩輛汽車加油，并還可容納三輛汽車等待，超過此限則不能等待而消失。汽車到達間隔與加油時間均為指數(shù)分布，平均每小時到達16輛，平均加油時間為每輛6min。求每輛汽車的平均逗留時間。解：這是一個M/M/2/r系統(tǒng)**系統(tǒng)潛在顧客損失率：每輛汽車平均逗留時間：*三、M/M/s/m/m系統(tǒng)又稱有限源系統(tǒng)

典型情況：1、s名電工共同負責(zé)m臺機器的維修；2、m個車工共同使用s個電動砂輪；3、m個教師共同使用計算機終端；4、一家人共同使用一個衛(wèi)生間等等。

顧客源即m臺機器，機器發(fā)生故障表示顧客到達；s名電工即服務(wù)臺。*顧客源此排隊系統(tǒng)是一個循環(huán)排隊系統(tǒng)：設(shè)（1）m臺機器質(zhì)量相同，每臺機器連續(xù)運轉(zhuǎn)時間相互獨立，都服務(wù)參數(shù)為的指數(shù)分布。是1臺機器在單位時間內(nèi)發(fā)生故障的平均次數(shù)，每臺機器連續(xù)運轉(zhuǎn)時間為。*（2）s名電工技術(shù)程度相同，每人對機器的修復(fù)時間相互時間都服從參數(shù)為的指數(shù)分布。是1工人在單位時間內(nèi)修復(fù)機器的臺次，工人修復(fù)每臺機器的平均時間為。（3）機器的正常運轉(zhuǎn)與修復(fù)狀態(tài)相互獨立，修復(fù)的機器具有與新機器相同的質(zhì)量。系統(tǒng)的服務(wù)強度：令：*穩(wěn)態(tài)概率為：有效平均到達率：主要指標L等可由公式（4—2）和李特爾公式求得。*特別地，當(dāng)s=1時：*

例5、一個工人負責(zé)照管6臺自動機床。當(dāng)機床需要加料或刀具磨損時就自動停車，等待工人照管。設(shè)每臺機床平均每小時停車一次，每次需要工人照管的平均時間為0.1h，試分析該系統(tǒng)的運行情況。解：這是M/M/1/6/6系統(tǒng)工人空閑的概率為：*停車機床平均數(shù)：等待照管的機床平均數(shù)：*平均停車時間：平均等待時間：生產(chǎn)損失率：機床利用率：*

第四節(jié)排隊系統(tǒng)的優(yōu)化目標

與最優(yōu)化問題復(fù)習(xí)提問：一、常見的排隊系統(tǒng)有哪些？如何表示？二、排隊系統(tǒng)的主要指標有哪些？三、常見的排隊模型分析法四、排隊系統(tǒng)的優(yōu)化*

第四節(jié)排隊系統(tǒng)的優(yōu)化目標

與最優(yōu)化問題

以完全消除排隊現(xiàn)象為研究目標是不現(xiàn)實的，那會造成服務(wù)人員和設(shè)施的嚴重浪費，但是設(shè)施的不足和低水平的服務(wù)，又將引起太多的等待，從而導(dǎo)致生產(chǎn)和社會性損失。*

從經(jīng)濟角度考慮，排隊系統(tǒng)的費用應(yīng)該包含以下兩個方面：一是服務(wù)費用，它是服務(wù)水平的遞增函數(shù)；二是顧客等待的機會損失(費用)，它是服務(wù)水平的遞減函數(shù)。

兩者的總和呈一條U形曲線。*

系統(tǒng)最優(yōu)化的目標就是尋求上述合成費用曲線的最小點。在這種意義下，排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化問題通常分為兩類：一類稱之系統(tǒng)的靜態(tài)最優(yōu)設(shè)計，目的在于使設(shè)備達到最大效益，或者說，在保證一定服務(wù)質(zhì)量指標的前題下，要求機構(gòu)最為經(jīng)濟；另一類叫作系統(tǒng)動態(tài)最優(yōu)運營，是指一個給定排隊系統(tǒng)，如何運營可使某個目標函數(shù)得到最優(yōu)。*排隊系統(tǒng)常見的優(yōu)化問題在于：

(1)確定最優(yōu)服務(wù)率

*；

(2)確定最佳服務(wù)臺數(shù)量c*；

(3)選擇最為合適的服務(wù)規(guī)則；

(4)或是確定上述幾個量的最優(yōu)組合。

研究排隊系統(tǒng)的根本目的在于以最少的設(shè)備得到最大的效益，或者說，在一定的服務(wù)質(zhì)量的指標下要求機構(gòu)最為經(jīng)濟。*排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化問題分為兩大類：1、系統(tǒng)的靜態(tài)最優(yōu)設(shè)計問題2、系統(tǒng)的動態(tài)最優(yōu)控制問題

我們只討論系統(tǒng)靜態(tài)的最優(yōu)設(shè)計問題即僅就

，S這兩個決策變量的分別單獨優(yōu)化。*

一、M／M／1／∞系統(tǒng)的最優(yōu)平均服務(wù)率

*

設(shè)C1——當(dāng)

=1時服務(wù)系統(tǒng)單位時間的平均費CW——平均每個顧客在系統(tǒng)逗留單位時間的損失；y——整個系統(tǒng)單位時間的平均總費用。其中C1，C2均為可知(下同)。則目標函數(shù)為

(4-52)*將L=

／(

-

)，代入上式，得易見y是關(guān)于決策變量

的一元非線性函數(shù)由微分法可求得最小費用：

*由一階條件解得駐點

(4-53)*

根號前取正號是為了保證

<1，即

*>

，這樣，系統(tǒng)才能達到穩(wěn)態(tài)。又由二階條件

(因

>

）可知(4-53)給出的

*為(

,∞)上的全局唯一最小點。將

*代入

(4-52)中，可得最小總平均費用

（4-54）*

例6:興建一座港口碼頭，只有一個裝卸船只的泊位。要求設(shè)計裝卸能力。裝卸能力單位為（只/日）船數(shù)。已知：單位裝卸能力的平均生產(chǎn)費用a=2千元，船只逗留每日損失b=1.5千元。船只到達服從泊松分布，平均速率λ=3只/日。船只裝卸時間服從負指數(shù)分布。目標是每日總支出最少。應(yīng)用舉例*

解：λ=3μ待定模型M/M/1/∞/∞隊長Ls=λ/(μ-λ)總費用C=aμ+bLs=aμ+bλ/(μ-λ)求極值（最小值）令

求導(dǎo)dc/du=a+(-bλ)/(μ-λ)2=0得:μ-λ=+-(bλ/a)1/2（根據(jù)題意舍負）所以μ=λ+(bλ/a)1/2=3+(2.25)1/2=4.5(只/日)*

二、M／M／s／∞系統(tǒng)的最優(yōu)服務(wù)臺數(shù)s*設(shè)目標函數(shù)為

(4-55)其中：s——并聯(lián)服務(wù)臺的個數(shù)(待定)；f(s)——整個系統(tǒng)單位時間的平均總費用，它是關(guān)于服務(wù)臺數(shù)s的函數(shù)；c2——單位時間內(nèi)平均每個服務(wù)臺的費用；*cw——平均每個顧客在系統(tǒng)中逗留(或等待)單位時間的損失；L(s)——平均隊長(或平均等待隊長)，它是關(guān)于服務(wù)臺數(shù)s的函數(shù)；我們要確定最優(yōu)服務(wù)臺數(shù)s*∈{1，2，…}，使由于s取值離散，不能采用微分法或非線性規(guī)劃的方法，因此我們采用差分法。顯然有

（4-56）*把式（4-55）代人式(4-56)中，得由此可得令

(4-57)

依次計算s=1，2，…時的L(s)值及每一差值L(s)-L(s+1)，根據(jù)

落在哪兩個差值之間就可確定s*。*

例7:建造一碼頭，要求設(shè)計裝卸船只的泊位數(shù)。已知:預(yù)計到達λ=3只/天，泊松流；裝卸μ=2只/天，負指數(shù)分布。裝卸費每泊位每天a=2千元，停留損失費b=1.5千元/日。目標是總費用最少。

解:模型M/M/s/∞/∞c待定總費用：F=ac+bLs（s）離散，無法用求導(dǎo)來解。*考慮:M/M/s/∞/∞要求:ρ=λ/(sμ)<1即s>(λ/μ)=1.5討論s=2,3,4…

s-1

P0=[∑sn/n﹗ρn+ss/s!ρs/(1-ρ)]-1

n=0

Lq=ssρs+1/s!(1-ρ)2P0L=Lq+λ/μ

*

結(jié)論：s=3即設(shè)計三個裝卸泊位可使每天的總費用最少為8.60526千元。ρ=1/2ρ

=3/4ρ=3/8*

例8:某市政府的上訪接待室每天平均接待來訪48次，來訪者為泊松流，每天上訪所造成的損失為平均每次20元。該室每設(shè)置一名接待員的服務(wù)成本為平均每天8元，接待時間為指數(shù)分布，平均每天可接待25次。問應(yīng)設(shè)置幾名接待員能使平均總費用為最小?

解:由題意知，這是一個M／M／s