試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁廣東省東莞市翰林實驗學校2025-2026學年九年級上學期9月月考數(shù)學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列方程是一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．拋物線的頂點坐標是（

）A． B． C． D．3．用求根公式解一元二次方程時a，b，c的值是（）A． B．C． D．4．將拋物線向下平移2個單位長度，再向左平移1個單位長度，能得到拋物線的是（

）A． B．C． D．5．某小區(qū)計劃在一塊長、寬的長方形空地上修建三條同樣寬的道路(如圖)，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為．設(shè)道路的寬為，則下面所列方程正確的是(

)A． B．C． D．6．已知點和點在二次函數(shù)的圖象上，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法確定7．已知，是方程的兩個實數(shù)根，則的值是(

)A． B． C． D．8．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的解為（

）A． B．C． D．9．若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B．且C． D．且10．如圖1，在菱形中，，連接，點從點出發(fā)沿方向以的速度運動至點，點同時從點出發(fā)沿方向以的速度運動至點．設(shè)運動的時間為，的面積為．已知與之間的函數(shù)圖象如圖2所示，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11．方程的解為：．12．當時，函數(shù)是二次函數(shù)．13．若關(guān)于x的一元二次方程的一個根是，則代數(shù)式的值為．14．如圖，壯壯同學投擲實心球，出手（點P處）的高度是，出手后實心球沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是，高度是．若實心球落地點為M，則．15．拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點，且．下列四個結(jié)論：①；②若，則；③若，則關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)解；④點，在拋物線上，若，，總有，則．其中正確的是（填寫序號）．三、解答題16．解方程：；17．已知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求b的值；(2)求出該二次函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸；18．龍巖市公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔10月份到12月份的銷量，該品牌頭盔10月份銷售50個，12月份銷售72個，10月份到12月份銷售量的月增長率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)若此種頭盔的進價為30元/個，商家經(jīng)過調(diào)查統(tǒng)計，當售價為40元/個時，月銷售量為500個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到8000元，且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔每個售價應(yīng)定為多少元？19．【項目學習】配方法是數(shù)學中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例：求代數(shù)式的最小值．解：，∵，∴∴當時，的最小值是4．(1)【類比探究】求代數(shù)式的最小值；(2)【靈活運用】如圖，某農(nóng)場計劃建造一個長方形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該長方形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個長方形，且長方形與長方形面積比為，柵欄的總長度為．當為多少時，長方形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？20．已知關(guān)于的一元二次方程．(1)若方程有實數(shù)根，求的取值范圍；(2)若方程的兩實數(shù)根分別為，，且滿足．求的值．21．16世紀中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發(fā)火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．某科技小組運用信息技術(shù)模擬火箭運行過程．如圖，以發(fā)射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線和直線．其中，當火箭運行的水平距離為時，自動引發(fā)火箭的第二級．(1)若火箭第二級的引發(fā)點的高度為，求出a，b的值；(2)在（1）問的條件下，火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低，求這兩個位置之間的距離．22．若關(guān)于x的一元二次方程的根均為整數(shù)，則稱這個方程為“快樂方程”．通過計算發(fā)現(xiàn)，任何一個“快樂方程”的判別式一定為完全平方數(shù)．現(xiàn)規(guī)定為該“快樂方程”的“快樂數(shù)”．例如：“快樂方程”的兩個根均為整數(shù)，其“快樂數(shù)”．若有另一個“快樂方程”的“快樂數(shù)”，且滿足，則稱與互為“開心數(shù)”．(1)“快樂方程”的“快樂數(shù)”為________；(2)若關(guān)于x的一元二次方程（m為整數(shù)，且）是“快樂方程”，求m的值，并求該方程的“快樂數(shù)”；(3)若關(guān)于x的一元二次方程與（m，n均為正整數(shù)）都是“快樂方程”，且其“快樂數(shù)”互為“開心數(shù)”，直接寫出n的值．23．已知拋物線與x軸交于點A，B．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，拋物線與y軸交于點C，點P為線段上一點（不與端點重合），直線分別交拋物線于點E，D，設(shè)面積為，面積為，求的值．(3)如圖2，點K是拋物線對稱軸與x軸的交點，過點K的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點M，N，過拋物線頂點G作直線軸，點Q是直線l上一動點．求的最小值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《廣東省東莞市翰林實驗學校2025-2026學年九年級上學期9月月考數(shù)學試卷》參考答案題號12345678910答案DBCBCCBBBC1．D【分析】本題考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義：含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是，是整式方程，進行分析，即可作答．【詳解】解：A、方程，當時，方程變?yōu)?，此時未知數(shù)的最高次數(shù)是，是一元一次方程；只有當時，它才是一元二次方程；由于題目中沒有明確，所以不能確定它一定是一元二次方程；不符合題意；B、方程中，含有和兩個未知數(shù)，不符合“只含有一個未知數(shù)”的要求，因此它是二元二次方程，不是一元二次方程，不符合題意；C、方程，因為分母中含有未知數(shù)，它是分式方程，而一元二次方程是整式方程，所以該方程不是一元二次方程，不符合題意；D、方程，整理后為，這個方程只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，同時它也是整式方程，完全符合一元二次方程的定義；符合題意；故選：D．2．B【分析】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式知識是解題的關(guān)鍵；本題直接根據(jù)二次函數(shù)的頂點式進行解答即可．【詳解】解：∵拋物線解析式為，∴頂點坐標是，故選：B3．C【分析】本題考查解一元二次方程的一般形式、公式法解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確一元二次方程的一般形式．先將方程化為一般形式，然后即可寫出、、，本題得以解決．【詳解】解：，，，，，故選：C．4．B【分析】本題主要考查了函數(shù)圖象平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平移的性質(zhì)．采用倒推的思想，利用平移的性質(zhì)進行求函數(shù)解析式即可．【詳解】解：由先向右平移1個單位長度后解析式為，再向上平移2個單位長度后解析式為，故選：B．5．C【分析】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，利用平移和長方形的面積公式，列出一元二次方程即可．【詳解】解：設(shè)道路的寬為，由題意，得：；故選C．6．C【分析】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．把點的坐標代入函數(shù)解析式求出，，即可得到答案．【詳解】解；∵點和點在二次函數(shù)的圖象上，∴，，∴，故選：C7．B【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程(a≠0)的兩根，則，．熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，將代數(shù)式化簡，再代入，即可得出答案．【詳解】解：∵，是方程的兩個實數(shù)根，，∴，，∴．故選：B．8．B【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；理解函數(shù)與方程的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．由圖知拋物線與x軸交于點，代入，求出m的值，再解方程即可．【詳解】解：由圖知，拋物線與x軸交于點，將代入，得，∴，∴原方程為，解得：；故選：B．9．B【詳解】本題主要考查了一元二次方程根的判別式．利用一元二次方程根的判別式，可知Δ＞0，進一步求解即可．解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，且解得：且．故選：B．10．C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，動點問題與函數(shù)圖象，三角形面積計算，表示出的面積表達式是解決本題的關(guān)鍵．先根據(jù)點M和點N的運動速度和路徑，分情況討論的面積表達式，再結(jié)合函數(shù)圖象即可求解a的值．【詳解】解：四邊形是菱形，，，．如圖1，當點N在上運動時，，．過點M作于點E．在中，，．．當點N在點C時，，即．解得（負值已舍）．．如圖2，當點N在上運動時，，．過點N作于點H．在中，，．．當時，．解得，（不符合題意，舍去）．．故選：C．11．，【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，理解因式分解法解方程的依據(jù)是關(guān)鍵．首先把方程移項，把方程的右邊變成0，然后對方程左邊分解因式，根據(jù)幾個因式的積是0，則這幾個因式中至少有一個是0，即可把方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程，從而求解．【詳解】解：移項得：，即，于是得：或，則方程的解為：，．故答案為：，．12．【分析】本題考查根據(jù)二次函數(shù)的定義求字母的值，二次函數(shù)中未知數(shù)的最高次數(shù)是2，二次項的系數(shù)不能為0，由此列式求解即可．【詳解】解：由題意知，解得，又，，，故答案為：．13．【分析】本題考查了一元二次方程的解；根據(jù)一元二次方程解的定義求出，然后整體代入計算即可．【詳解】解：把代入得：，∴，∴，故答案為：．14．【分析】本題考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，設(shè)拋物線為，把點，代入即可求出解析式；當時，求得x的值，即為實心球被推出的水平距離．【詳解】解：以點O為坐標原點，射線方向為x軸正半軸，射線方向為y軸正半軸，建立平面直角坐標系，∵出手后實心球沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是，高度是．設(shè)拋物線解析式為：，把點代入得：，解得：，∴拋物線解析式為：；當時，，解得，（舍去），，即此次實心球被推出的水平距離為．故答案為：15．②③④【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可得拋物線對稱軸，即可判斷①，根據(jù)，兩點之間的距離大于，即可判斷②，根據(jù)拋物線經(jīng)過得出，代入頂點縱坐標，求得縱坐標的最大值即可判斷③，根據(jù)④可得拋物線的對稱軸，解不等式，即可求解．【詳解】解：∵（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點，且．∴對稱軸為直線，，∵，∴，故①錯誤，∵∴，即，兩點之間的距離大于又∵∴時，∴若，則，故②正確；③由①可得，∴，即，當時，拋物線解析式為設(shè)頂點縱坐標為∵拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，∴∴∴∵，，對稱軸為直線，∴當時，取得最大值為，而，∴關(guān)于x的一元二次方程無解，故③正確；④∵，拋物線開口向下，點，在拋物線上，，，總有，又，∴點離較遠，∴對稱軸解得：，故④正確．故答案為：②③④．16．，【分析】本題考查了解一元二次方程，運用配方法進行解方程，即可作答．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得，．17．(1)(2)，【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握求二次函數(shù)解析式的方法．（1）直接把點代入到二次函數(shù)解析式中進行求解即可；（2）根據(jù)（1）所求把二次函數(shù)化成頂點式進行求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∴；（2）∵，∴二次函數(shù)解析式為，∴二次函數(shù)的頂點坐標為，對稱軸為直線．18．(1)設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為(2)該品牌頭盔每個售價應(yīng)定為50元【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)該品牌頭盔10月份銷售50個，12月份銷售72個列出方程求解即可；（2）設(shè)該品牌頭盔每個售價為y元，根據(jù)利潤（售價進價）銷售量列出方程求解即可．【詳解】（1）解；設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，依題意，得解得（不合題意，舍去）答：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為．（2）解：設(shè)該品牌頭盔每個售價為y元，依題意，得整理，得解得因盡可能讓顧客得到實惠，所以不合題意，舍去．所以．答：該品牌頭盔每個售價應(yīng)定為50元．19．(1)當時，的最小值為3(2)當，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為【分析】本題考查了配方法求代數(shù)式極值中的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是正確配方，識別完全平方項的非負性，根據(jù)不等式的性質(zhì)求解．（1）將原式配方，，根據(jù)，再根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可．（2）設(shè)，由長方形與長方形面積比為，得到，根據(jù)柵欄總長度和面積比建立方程，通過配方，利用不等式的性質(zhì)求最大值．【詳解】（1）解：，∵，∴，∴當時，的最小值為3；（2）解：設(shè)，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴當時，最大，最大值為48，∴當，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為．20．(1)(2)【分析】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當時，方程有實數(shù)根”；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，找出關(guān)于的一元二次方程．（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出實數(shù)的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，結(jié)合，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出實數(shù)的值，即可求出，，代入即可得答案．【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，，解得：，實數(shù)的取值范圍為．（2），是關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根，，．，，，，即，解得：或，當時，方程變?yōu)?，，不符合題意，舍去，當時，方程變?yōu)椋?，，，?1．(1)，；(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）將代入拋物線和直線，即可求出a，b的值；（2）將變?yōu)?，即可確定頂點坐標，即最高點，由比火箭運行的最高點低，得出，進而對應(yīng)的x的值，然后進行比較，再列式計算即可．【詳解】（1）解：∵火箭第二級的引發(fā)點的高度為，∴拋物線和直線均經(jīng)過點，∴，，解得，．（2）解：由（1）知，，∴∴最大值，當時，則解得，又∵火箭運行的水平距離為時，自動引發(fā)火箭的第二級．若火箭第二級的引發(fā)點的高度為．∴不合題意舍去；∴當火箭第二級高度時，在第二次級解得∴這兩個位置之間的距離．22．(1)(2)m的值是0，該方程的“快樂數(shù)”是(3)n的值為3【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式以及“快樂方程”的定義，熟練掌握題目中“快樂方程”，“快樂數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“快樂數(shù)”的定義即可求出“快樂方程”的“快樂數(shù)”；（2）先計算，根據(jù)“快樂方程”的定義，此為完全平方數(shù)，根據(jù)，得到，即可求出的值為16或25，根據(jù)m為整數(shù)，即可求出m的值，即可求其“快樂數(shù)”；（3）關(guān)于x的一元二次方程是“快