試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)四川省資陽(yáng)市安岳中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則為（

）A．2 B．4 C．6 D．以上都不對(duì)2．以下一些說(shuō)法，其中正確的有（

）A．一年按365天計(jì)算，兩名學(xué)生的生日相同的概率是B．買(mǎi)彩票中獎(jiǎng)的概率是0.001，那么買(mǎi)1000張彩票一定能中獎(jiǎng)C．乒乓球比賽前，用抽簽來(lái)決定誰(shuí)先發(fā)球，抽簽方法是從1～10共10個(gè)數(shù)中各抽取1個(gè)，再比較大小，這種抽簽方法是公平的D．昨天沒(méi)有下雨，則說(shuō)明關(guān)于氣象局預(yù)報(bào)昨天“降水的概率為90%”是錯(cuò)誤的3．圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．外離 D．相交4．在平行六面體中，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．C． D．5．從兩名男生，兩名女生共4名同學(xué)中隨機(jī)選2名參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，則所選兩名同學(xué)性別不同的概率為（

）A． B． C． D．6．若直線與曲線C：有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．已知M，N分別是四面體的棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，且，設(shè)向量，，，則（

）A． B．C． D．8．若圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C．或. D．或二、多選題9．不透明的口袋內(nèi)裝有紅色?綠色和藍(lán)色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對(duì)立的事件有（

）A．2張卡片都不是紅色 B．2張卡片恰有一張紅色C．2張卡片至少有一張紅色 D．2張卡片都為綠色10．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．已知向量，，若，則為鈍角B．已知，，則向量在向量上的投影向量是C．若直線經(jīng)過(guò)第三象限，則，D．已知，，三點(diǎn)不共線，對(duì)于空間任意一點(diǎn)，若，則，，，四點(diǎn)共面11．已知曲線，則（

）A．關(guān)于軸對(duì)稱(chēng) B．C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．的周長(zhǎng)為 D．直線與有個(gè)交點(diǎn)三、填空題12．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為棱上任意一點(diǎn)，則=.13．已知圓，是x軸上動(dòng)點(diǎn)，分別是圓的切線，切點(diǎn)分別為兩點(diǎn)，則直線恒過(guò)定點(diǎn)．14．某超市舉行有獎(jiǎng)答題活動(dòng)，參加活動(dòng)的顧客依次回答三個(gè)問(wèn)題.不管答對(duì)或者答錯(cuò)，三題答完活動(dòng)結(jié)束.規(guī)定每位顧客只能參加一次活動(dòng).已知每位顧客第一題答對(duì)的概率為，第二題答對(duì)的概率為，第三題答對(duì)的概率為，若答對(duì)兩題，則可獲得價(jià)值100元的獎(jiǎng)品，若答對(duì)三題，則可獲得價(jià)值200元的獎(jiǎng)品，若答對(duì)的題數(shù)不夠2題，則不能獲獎(jiǎng).假設(shè)顧客是否通過(guò)每一關(guān)相互獨(dú)立.現(xiàn)有甲，乙兩名顧客參加該活動(dòng)，則兩人最后獲得獎(jiǎng)品價(jià)值總和為300元獎(jiǎng)品的概率為.四、解答題15．已知空間三點(diǎn)，設(shè).(1)求和的夾角的余弦值;(2)若向量與互相垂直，求的值.16．求滿足下列條件的直線方程.(1)過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程；(2)已知，，兩直線，交點(diǎn)為，求過(guò)點(diǎn)且與距離相等的直線方程.17．某校為了厚植文化自信?增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷，特舉辦“中國(guó)詩(shī)詞精髓”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，比賽中只有兩道題目，比賽按先題后題的答題順序各答1次，答對(duì)題得2分，答對(duì)題得3分，答錯(cuò)得0分.已知學(xué)生甲答對(duì)題的概率為，答對(duì)題的概率為，其中，學(xué)生乙答對(duì)題的概率為，答對(duì)題的概率為，且甲乙各自在答兩題的結(jié)果互不影響.已知甲比賽后得5分的概率為，得3分的概率為.(1)求的值；(2)求比賽后，甲乙總得分不低于8分的概率.18．圖1是直角梯形，，，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2.

(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為，若存在，則的值；(3)在（2）的前提下，求出直線與平面所成角的正弦值.19．已知圓與圓內(nèi)切．(1)求的值．(2)直線與圓交于兩點(diǎn)，若，求的值；(3)過(guò)點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與圓相交，所得的弦為和，若，求實(shí)數(shù)的最大值．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《四川省資陽(yáng)市安岳中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案ACDBDCCCABDBD題號(hào)11答案ABC1．A【分析】寫(xiě)出點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求的值．【詳解】空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以．故選：A．2．C【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，先確定一名學(xué)生的生日，求出另外一名學(xué)生的生日與其相同的概率，對(duì)于B選項(xiàng)，買(mǎi)彩票中獎(jiǎng)的概率是0.001，這是中獎(jiǎng)的可能性，對(duì)于C選項(xiàng)，抽簽的先后順序不影響概率大小，對(duì)于D選項(xiàng)概率是一種可能性，不代表事件是否一定發(fā)生.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，先確定一名學(xué)生的生日，則另外一名學(xué)生的生日與其相同的概率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，買(mǎi)彩票中獎(jiǎng)的概率是0.001，這是中獎(jiǎng)的可能性，不代表買(mǎi)1000張彩票一定能中獎(jiǎng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，抽簽的先后順序不影響概率大小，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，概率是一種可能性，不代表事件是否一定發(fā)生，故D錯(cuò)誤.故選：C.3．D【分析】結(jié)合兩圓的圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系，即可求解．【詳解】圓，則圓心，半徑，圓，則圓心，半徑，則，由于，即，故圓與圓的位置關(guān)系為相交．故選：D．4．B【分析】根據(jù)向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】依題意，，所以.所以.故選：B5．D【分析】根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，利用列舉法，可得答案.【詳解】?jī)擅猩鷺?biāo)記為，，兩名女生標(biāo)記為，.從中隨機(jī)選2名參加社會(huì)實(shí)踐的事件有，，，，，，共計(jì)6種.其中兩名同學(xué)性別不同的事件有，，，，共計(jì)4種，所求概率.故選：D.6．C【分析】根據(jù)曲線的方程可得曲線是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的軸的上半部分（含軸），求出直線與圓相切時(shí)的值，再結(jié)合圖形即可求解.【詳解】由得，所以曲線是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的軸的上半部分（含軸），直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離，解得或（舍去），當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線斜率為，結(jié)合圖形可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.7．C【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量線性運(yùn)算求解即得.【詳解】在四面體中，分別為的中點(diǎn)，且，所以.故選：C8．C【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離距離為的直線與圓有且只有兩個(gè)交點(diǎn).【詳解】由兩平行直線距離公式可知，與相距的直線為與.又的圓心為，半徑為，與相距.則與中一條直線與圓相交，另一條與圓相離.即一條直線到距離小于，另一條直線到距離大于.則或或.故選：C9．ABD【分析】列舉出所有情況，然后再利用互斥事件和對(duì)立事件的定義判斷.【詳解】解：6張卡片中一次取出張卡片的所有情況有：“2張都為紅色”?“2張都為綠色”?“2張都為藍(lán)色”?“1張為紅色1張為綠色”?“1張為紅色1張為藍(lán)色”?“1張為綠色1張為藍(lán)色”，選項(xiàng)中給出的四個(gè)事件中與“2張都為紅色”互斥而非對(duì)立的事件是：“2張都不是紅色”，“2張恰有一張紅色”，“2張都為綠色”，其中“2張至少一張為紅色”包含事件“2張都為紅色”，二者并非互斥.故選：ABD.10．BD【分析】取可得，進(jìn)而得到A錯(cuò)誤；由投影向量的計(jì)算可得B正確；令可得C錯(cuò)誤；由空間向量共面定理可得D正確；【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，向量在向量上的投影向量為，故B正確；對(duì)于C，令，則直線為，且經(jīng)過(guò)第三象限，但此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以由向量共面定理的推論可得，，，四點(diǎn)共面，故D正確；故選：BD.11．ABC【分析】設(shè)點(diǎn)在曲線上，分別代入點(diǎn)與，可判斷AB選項(xiàng)；分別確定曲線在各象限時(shí)的圖形及其對(duì)應(yīng)的曲線，可判斷C選項(xiàng)與D選項(xiàng).【詳解】設(shè)點(diǎn)在曲線上，即，A選項(xiàng)：代入點(diǎn)，可知，即點(diǎn)在曲線上恒成立，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：代入點(diǎn)，得，即點(diǎn)在曲線上恒成立，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，即過(guò)，，三點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)方程為，即，表示以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在第一象限的部分；當(dāng)，時(shí)方程為，即，表示以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在第四象限的部分；當(dāng)，時(shí)方程為，即，表示以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在第二象限的部分；當(dāng)，時(shí)方程為，即，表示以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在第三象限的部分；曲線在第一象限部分的方程為設(shè)圓心為，與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，，則，所以第一象限內(nèi)圖形所表示弧長(zhǎng)為，又曲線關(guān)于軸及原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以曲線的周長(zhǎng)為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：直線，過(guò)點(diǎn)，在曲線右半部分的內(nèi)部，所以與曲線右半部分有個(gè)交點(diǎn)，且直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，又直線當(dāng)時(shí)，，即過(guò)點(diǎn)，在曲線左半部分的內(nèi)部，所以直線與曲線左半部分有個(gè)交點(diǎn)，綜上所述直線與曲線有個(gè)交點(diǎn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC.12．1【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】如圖，在正方體中，為棱上任意一點(diǎn)，則，，.故答案為：1.13．【分析】先設(shè)，然后求出直線的方程，計(jì)算定點(diǎn)即可.【詳解】設(shè),，易知由平面向量數(shù)量積的幾何意義可知，所以有所以點(diǎn)在直線上故直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)故答案為：14．【分析】?jī)扇俗詈螳@得獎(jiǎng)品價(jià)值總和為300元獎(jiǎng)品的事件為甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，利用獨(dú)立事件的乘法公式求出對(duì)應(yīng)的概率即可求解.【詳解】?jī)扇俗詈螳@得獎(jiǎng)品價(jià)值總和為300元獎(jiǎng)品的事件為：甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，即甲答對(duì)2題且乙答對(duì)3題，或甲答對(duì)3題且乙答對(duì)2題，又每位顧客答對(duì)2題的概率為，每位顧客答對(duì)3題的概率為，所以兩人最后獲得獎(jiǎng)品價(jià)值總和為300元獎(jiǎng)品的概率為：.故答案為：15．(1)(2)2或【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)表示求出，再利用向量夾角的坐標(biāo)表示計(jì)算即得.（2）利用垂直關(guān)系的向量表示及向量數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合（1）中信息列出方程求解即可.【詳解】（1）由點(diǎn)，得，所以，所以和夾角的余弦值為（2）由（1）可得，因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，則，整理可得，解得或，所以的值為2或.16．(1)或(2)或【分析】（1）依題意，考慮截距相等包括均為0和相等且不為0兩種情況分類(lèi)求解；（2）先求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，由題意，分別求與直線平行的直線方程和經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)的直線方程即可.【詳解】（1）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可得所求直線為，即，滿足題意；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，依題意可設(shè)直線的方程為，其中，代入，可得，解得，所以所求直線的方程為，即，綜上，直線的方程為或.（2）由題意，聯(lián)立方程組，解得，即得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)且與平行，可得，即直線的斜率，故直線的方程，即；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)和的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?，，可得，則，所以直線的方程，即，綜上，滿足條件的直線方程為或.17．(1)(2).【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.（2）記甲得分為i分的事件為，乙得分為i分的事件為，從而得到不低于8分的事件為，再結(jié)合概率加法、乘法公式即可求解.【詳解】（1）由題意得，解得.（2）比賽結(jié)束后，甲?乙個(gè)人得分可能為.記甲得分為i分的事件為，乙得分為i分的事件為，相互獨(dú)立，記兩輪投籃后甲總得分不低于8分為事件E，則，且彼此互斥.易得.，所以所以兩輪投籃后，甲總得分不低于8分的概率為.18．(1)證明見(jiàn)詳解(2)存在，(3)【分析】（1）作出輔助線，得到⊥BE，⊥BE，且，由勾股定理逆定理求出AF⊥，從而證明出線面垂直，面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用空間向量求解出點(diǎn)P的坐標(biāo)，（3）根據(jù)（2）可得，利用空間向量求線面夾角.【詳解】（1）取BE的中點(diǎn)F，連接AF，，

因?yàn)樗倪呅蜛BCE是邊長(zhǎng)為4的菱形，并且，所以均為等邊三角形，故⊥BE，⊥BE，且，因?yàn)?，所以，由勾股定理逆定理得：AF⊥，又因?yàn)椋矫鍭BE，所以⊥平面ABED，因?yàn)槠矫?，所以平面平面ABED；（2）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A所在直線為x軸，F(xiàn)B所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，，，即，解得：，故，設(shè)平面的法向量為，則，則，令，則，故，其中則，解得：或（舍去），所以存在點(diǎn)，使得到平面的距離為，此時(shí).（3）由（2）可得：，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19．(1)；(2)；(3).【分析】（1）由圓O與圓E內(nèi)切以及圓E半徑和圓心O與圓E的位置關(guān)系可得，進(jìn)而得解.（2）設(shè)，聯(lián)立圓與直線方程求出和即可由數(shù)量積計(jì)算得解.（3）分直線斜率不存在、斜率為0、斜率存在且不為0三種情況分類(lèi)討論，結(jié)合點(diǎn)到直線距離以及點(diǎn)斜式依次得和，接著分和結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)