2025年高三數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)文化專題模擬試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)智慧我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載："今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn)徑幾何？"其意為：現(xiàn)有圓柱形木材埋在墻壁中，不知其直徑大小.用鋸子去鋸這木材，鋸口深1寸（即CD=1寸），鋸道長(zhǎng)1尺（即AB=1尺=10寸）.則這根圓柱形木材的直徑是（）A.12寸B.24寸C.26寸D.28寸（注：鋸道AB為圓柱橫截面圓的弦長(zhǎng)，鋸深CD為圓心到弦AB的距離與半徑的差值）古希臘幾何的公理化體系古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中構(gòu)建了嚴(yán)格的公理化體系，其中"平行公理"的原始表述為："如果一條直線與兩條直線相交，使得同旁內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角，那么這兩條直線如果無(wú)限延長(zhǎng)，將會(huì)在小于兩個(gè)直角的一側(cè)相交."由此可推斷，以下命題中與平行公理等價(jià)的是（）A.三角形內(nèi)角和等于180°B.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行C.存在相似但不全等的三角形D.任意三角形都有外接圓歐拉公式的奇妙世界瑞士數(shù)學(xué)家歐拉提出的歐拉公式(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta)被譽(yù)為"數(shù)學(xué)中的天橋"，將指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)緊密聯(lián)系.若復(fù)數(shù)(z=e^{\frac{\pi}{3}i}+\frac{1}{e^{\frac{\pi}{3}i}})，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限祖暅原理與體積計(jì)算我國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家祖暅提出"冪勢(shì)既同，則積不容異"，即夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.利用祖暅原理可推導(dǎo)的幾何體體積公式是（）A.球體：(V=\frac{4}{3}\piR^3)B.棱臺(tái)：(V=\frac{1}{3}h(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2))C.圓錐：(V=\frac{1}{3}\piR^2h)D.以上均可以斐波那契數(shù)列的數(shù)學(xué)美意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在《算盤全書(shū)》中提出了著名的"兔子問(wèn)題"，由此衍生出斐波那契數(shù)列({F_n})：1，1，2，3，5，8，13，...，其遞推公式為(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n)（(n\in\mathbf{N}^*)，(F_1=F_2=1)）.若將數(shù)列各項(xiàng)除以4所得的余數(shù)按原順序構(gòu)成新數(shù)列({a_n})，則數(shù)列({a_n})的第2025項(xiàng)為（）A.1B.2C.3D.0楊輝三角的對(duì)稱性我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中記載了"開(kāi)方作法本源圖"（即楊輝三角），揭示了二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律.在楊輝三角中，第n行（從0開(kāi)始計(jì)數(shù)）的數(shù)字之和為(2^n)，若將第n行的數(shù)字依次記為(C_n^0,C_n^1,\cdots,C_n^n)，則下列結(jié)論正確的是（）A.(C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1})B.第10行中數(shù)字最大的項(xiàng)為(C_{10}^5)C.第2025行中共有2026個(gè)數(shù)字D.以上均正確劉徽割圓術(shù)的極限思想我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)"割圓術(shù)"，其核心思想是"割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣".即通過(guò)不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓周率的近似值.若設(shè)圓的半徑為1，圓內(nèi)接正n邊形的邊長(zhǎng)為(l_n)，則(l_{2n})與(l_n)的關(guān)系為（）A.(l_{2n}=\sqrt{2-\sqrt{4-l_n^2}})B.(l_{2n}=2\sqrt{1-\sqrt{1-(\frac{l_n}{2})^2}})C.(l_{2n}=\sqrt{2+\sqrt{4-l_n^2}})D.(l_{2n}=2\sqrt{1+\sqrt{1-(\frac{l_n}{2})^2}})笛卡爾坐標(biāo)系的創(chuàng)立法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立的平面直角坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，開(kāi)創(chuàng)了近代數(shù)學(xué)的新篇章.在平面直角坐標(biāo)系中，方程(x^3+y^3=3axy)（(a>0)）表示的曲線被稱為"笛卡爾葉形線"，則該曲線（）A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)((a,a))C.與直線(x+y+a=0)相切D.與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)黃金分割的美學(xué)價(jià)值黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618).在正五邊形ABCDE中，對(duì)角線AD與BE相交于點(diǎn)O，則(\frac{AO}{OD})的值為（）A.(\frac{\sqrt{5}-1}{2})B.(\frac{\sqrt{5}+1}{2})C.(\sqrt{5}-2)D.(\sqrt{5}+2)費(fèi)馬大定理的千年探索法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出："當(dāng)整數(shù)(n>2)時(shí)，關(guān)于x，y，z的方程(x^n+y^n=z^n)沒(méi)有正整數(shù)解."這一猜想被稱為費(fèi)馬大定理，歷經(jīng)358年才被英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯證明.若將該定理的思想應(yīng)用于方程(x^3+y^3=z^3)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在正整數(shù)解((x,y,z)=(1,1,2))B.存在正整數(shù)解((x,y,z)=(2,3,5))C.對(duì)于任意正整數(shù)x，y，z，(x^3+y^3>z^3)D.以上均不正確二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）中國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成就下列關(guān)于中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作的說(shuō)法中，正確的有（）A.《周髀算經(jīng)》是我國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)著作，記載了勾股定理的特例"勾三股四弦五"B.《九章算術(shù)》分方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就C.南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中提出了"大衍求一術(shù)"，即現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組解法D.元代數(shù)學(xué)家朱世杰的《四元玉鑒》創(chuàng)立了"增乘開(kāi)方法"，解決了高次方程的數(shù)值解法問(wèn)題微積分的創(chuàng)立與發(fā)展微積分的創(chuàng)立是17世紀(jì)數(shù)學(xué)史上的重大事件，關(guān)于其發(fā)展歷程，下列說(shuō)法正確的有（）A.牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中提出了"流數(shù)術(shù)"，建立了微積分的基本框架B.萊布尼茨首創(chuàng)了微積分符號(hào)系統(tǒng)，如(\int)表示積分，(\frac{dy}{dx})表示導(dǎo)數(shù)C.柯西在《分析教程》中給出了極限的嚴(yán)格定義，為微積分奠定了理論基礎(chǔ)D.黎曼在19世紀(jì)擴(kuò)展了積分的概念，提出了黎曼積分，適用于更廣泛的函數(shù)類型非歐幾何的革命性突破19世紀(jì)，羅巴切夫斯基、波爾約和黎曼等人突破了歐幾里得幾何的局限，創(chuàng)立了非歐幾何.下列關(guān)于非歐幾何的說(shuō)法中，正確的有（）A.羅巴切夫斯基幾何中，過(guò)直線外一點(diǎn)可以作兩條直線與已知直線平行B.黎曼幾何中，三角形內(nèi)角和大于180°C.非歐幾何為愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論提供了數(shù)學(xué)工具D.非歐幾何的創(chuàng)立證明了歐幾里得平行公理是可以被證明的數(shù)學(xué)符號(hào)的演變與統(tǒng)一數(shù)學(xué)符號(hào)的統(tǒng)一與規(guī)范是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要里程碑，下列關(guān)于數(shù)學(xué)符號(hào)的說(shuō)法中，正確的有（）A.阿拉伯?dāng)?shù)字（0-9）起源于印度，經(jīng)阿拉伯人傳入歐洲B.符號(hào)"π"由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉首先使用，代表圓周率C.虛數(shù)單位"i"由笛卡爾引入，用于表示(\sqrt{-1})D.積分符號(hào)"(\int)"由萊布尼茨創(chuàng)造，源于拉丁文"總和"（Summa）的首字母三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）秦九韶算法的高效運(yùn)算我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的"秦九韶算法"是一種多項(xiàng)式求值的簡(jiǎn)化算法.對(duì)于多項(xiàng)式(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0)，可將其改寫為(f(x)=(\cdots((a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\cdots+a_1)x+a_0).若用秦九韶算法求多項(xiàng)式(f(x)=2x^5-3x^4+2x^3-5x^2+4x-6)當(dāng)(x=2)時(shí)的值，則運(yùn)算過(guò)程中需要進(jìn)行的乘法次數(shù)為_(kāi)_____，加法次數(shù)為_(kāi)_____.阿基米德的窮竭法古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用"窮竭法"計(jì)算圓的面積，即通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形的面積逼近圓的面積.若設(shè)圓的半徑為1，圓內(nèi)接正6邊形的面積為(S_6)，圓內(nèi)接正12邊形的面積為(S_{12})，則(S_{12}-S_6=)______（結(jié)果保留根號(hào)）.楊輝三角與二項(xiàng)式定理在楊輝三角中，第n行（從0開(kāi)始計(jì)數(shù)）的數(shù)字之和為(2^n)，若將第n行中所有能被3整除的數(shù)去掉，剩下的數(shù)按原順序構(gòu)成新數(shù)列({b_n})，則第5行的新數(shù)列({b_n})的所有項(xiàng)之和為_(kāi)_____.哥德巴赫猜想的探索德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出："任何大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和."這一猜想至今未被完全證明，但已被驗(yàn)證對(duì)于很大的偶數(shù)成立.若將偶數(shù)2024表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，則其中較大的質(zhì)數(shù)的最小值為_(kāi)_____.四、解答題（本大題共6小題，共80分）《海島算經(jīng)》中的測(cè)量問(wèn)題（12分）我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽所著《海島算經(jīng)》是一部關(guān)于測(cè)量數(shù)學(xué)的著作，其中第一題："今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問(wèn)島高及去表各幾何？"（注：1步=6尺，1丈=10尺，"卻行"指后退）請(qǐng)根據(jù)上述描述，畫出示意圖并計(jì)算海島的高度及海島到前表的距離.歐拉公式的應(yīng)用（14分）（1）利用歐拉公式(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta)證明：(\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta)，(\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta)；（2）若復(fù)數(shù)(z_1=e^{\frac{\pi}{4}i})，(z_2=e^{\frac{\pi}{3}i})，求(|z_1+z_2|)的值，并將復(fù)數(shù)(z_1z_2)表示為三角形式.祖沖之的圓周率貢獻(xiàn)（14分）我國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家祖沖之將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后7位，即(3.1415926<\pi<3.1415927)，這一成就領(lǐng)先世界約1000年.（1）利用劉徽割圓術(shù)，設(shè)圓的半徑為1，計(jì)算圓內(nèi)接正12邊形、正24邊形的面積，由此估計(jì)圓周率的范圍；（2）已知祖沖之提出的"約率"為(\frac{22}{7})，"密率"為(\frac{355}{113}).分別計(jì)算這兩個(gè)分?jǐn)?shù)與(\pi)的誤差（精確到(10^{-7})），并說(shuō)明密率的精確度更高的原因.費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題的推廣（14分）法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出的"費(fèi)馬點(diǎn)"是指三角形內(nèi)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成120°.（1）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，求費(fèi)馬點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和；（2）在Rt△ABC中，(\angleC=90^\circ)，(AC=3)，(BC=4)，求費(fèi)馬點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和.《九章算術(shù)》中的數(shù)列問(wèn)題（14分）《九章算術(shù)》"衰分"章中有如下問(wèn)題："今有大夫、不更、簪裊、上造、公士凡五人，共獵得五鹿.欲以爵次分之，問(wèn)各得幾何？"其意為：有大夫、不更、簪裊、上造、公士五人，共獵得5只鹿，按爵位從高到低的順序遞減分配，問(wèn)每人各得多少鹿？（注：古代爵位等級(jí)從高到低為大夫、不更、簪裊、上造、公士，分配比例為5:4:3:2:1）（1）按上述比例計(jì)算五人各得鹿的數(shù)量；（2）若將問(wèn)題改為"共獵得N只鹿，按爵位等級(jí)分配比例為(k:k-1:\cdots:1)（k為正整數(shù)）"，試推導(dǎo)第n（(1\leqn\leqk)）人分得鹿的數(shù)量的通項(xiàng)公式.數(shù)學(xué)文化的創(chuàng)新應(yīng)用（12分）（1）英國(guó)數(shù)學(xué)家圖靈提出的"圖靈機(jī)"模型為現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).若一臺(tái)圖靈機(jī)每次運(yùn)算可將輸入的數(shù)x轉(zhuǎn)換為(f(x)=\frac{2x+1}{x+2})，則對(duì)初始輸入(x_0=1)，經(jīng)過(guò)3次運(yùn)算后輸出的數(shù)(x_3=)；（2）美國(guó)數(shù)學(xué)家曼德博創(chuàng)立的分形幾何中，"科赫雪花"是由等邊三角形通過(guò)不斷迭代生成的圖形.若初始等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，經(jīng)過(guò)n次迭代后，科赫雪花的周長(zhǎng)為(L_n)，面積為(S_n)，則(\lim{n\to\infty}L_n=)，(\lim{n\to\infty}S_n=)______.五、選做題（本大題共2小題，每小題10分，考生任選一題作答）中國(guó)古代歷法中的數(shù)學(xué)我國(guó)古代歷法中的"上元積年"是指從某個(gè)理想的歷元（上元）到所求年的累計(jì)年數(shù).若某歷法規(guī)定：上元到某年的累計(jì)年數(shù)N滿足(N\equiv1\mod4)，(N\equiv2\mod5)，(N\equiv3\mod6)，則符合條件的最小正整數(shù)N為_(kāi)_____.現(xiàn)代密碼學(xué)中的數(shù)學(xué)RSA加密算法是基于大數(shù)分解難題設(shè)計(jì)的公鑰加密算法.若選取兩個(gè)質(zhì)數(shù)(p=5)，(q=11)，則公鑰(n=pq=)，私鑰(d)滿足(ed\equiv1\mod\phi(n))（其中(\phi(n)=(p-1)(q-1))，(e=3)），則(d=).參考答案與解析（部分）一、單項(xiàng)選擇題C解析：設(shè)圓的半徑為r，則((r-1)^2+5^2=r^2)，解得(r=13)，直徑為26寸.B解析：平行公理的等價(jià)命題為"過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行".A解析：(z=e^{\frac{\pi}{3}i}+\frac{1}{e^{\frac{\pi}{3}i}}=2\cos\frac{\pi}{3}=1)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1,0)，位于第一象限.D解析：祖暅原理可用于推導(dǎo)球體、棱臺(tái)、圓錐等幾何體的體積公式.A解析：數(shù)列({a_n})為周期數(shù)列，周期為6，(2025\div6=337\cdots3)，第3項(xiàng)為1.D解析：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)包括組合數(shù)公式、中間項(xiàng)最大、項(xiàng)數(shù)為n+1等.A解析：由勾股定理可得(l_{2n}=\sqrt{r^2-(r-\sqrt{r^2-(\frac{l_n}{2})^2})^2})，代入(r=1)化簡(jiǎn)得A選項(xiàng).B解析：將(x=a,y=a)代入方程得(a^3+a^3=3a