河北省八所重點(diǎn)中學(xué)2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓與圓沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.2．如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（簡(jiǎn)稱ICME—7）的會(huì)徽?qǐng)D案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長(zhǎng)從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.8 B.9C.10 D.113．直線在軸上的截距為（）A.3 B.C. D.4．某制藥廠為了檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗預(yù)防的作用，把名使用疫苗的人與另外名未使用疫苗的人一年中的記錄作比較，提出假設(shè)：“這種疫苗不能起到預(yù)防的作用”，利用列聯(lián)表計(jì)算得，經(jīng)查對(duì)臨界值表知.則下列結(jié)論中，正確的結(jié)論是（）A.若某人未使用該疫苗，則他在一年中有的可能性生病B.這種疫苗預(yù)防的有效率為C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防的作用”D.有的把握認(rèn)為這種疫苗不能起到預(yù)防生病的作用5．直線且的傾斜角為（）A. B.C. D.6．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件7．已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.8．已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切，且與定圓C：外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程A. B.C. D.9．如果，那么下面一定成立的是（）A. B.C. D.10．已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下列數(shù)列一定為等比數(shù)列的是（）A. B.C. D.11．?dāng)?shù)列，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.12．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，則a4+a5+a6等于（）A.40 B.42C.43 D.45二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在上的最大值為______________14．求值______.15．如圖，AD與BC是三棱錐中互相垂直的棱，，（c為常數(shù)）.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.16．正方體，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，（1）求的大??；（2）若，．求的面積18．（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）若分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程（2）是否存在過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，使（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出直線的斜率；若不存在，說明理由20．（12分）2021年國(guó)慶期間，某電器商場(chǎng)為了促銷，給出了兩種優(yōu)惠方案，顧客只能選擇其中的一種，方案一：每消費(fèi)滿8千元，可減8百元.方案二：消費(fèi)金額超過8千元（含8千元），可抽取小球三次，其規(guī)則是依次從裝有2個(gè)紅色小球、2個(gè)黃色小球的一號(hào)箱子，裝有2個(gè)紅色小球、2個(gè)黃色小球的二號(hào)箱子，裝有1個(gè)紅色小球、3個(gè)黃色小球的三號(hào)箱子各抽一個(gè)小球（這些小球除顏色外完全相同），其優(yōu)惠情況為：若抽出3個(gè)紅色小球則打6折；若抽出2個(gè)紅色小球則打7折；若抽出1個(gè)紅色小球則打8折；若沒有抽出紅色小球則不打折.（1）若有兩名顧客恰好消費(fèi)8千元，他們都選中第二方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率；（2）若你朋友在該商場(chǎng)消費(fèi)了1萬元，請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)幫助你朋友分析一下應(yīng)選擇哪種付款方案.21．（12分）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到軸的距離相等.（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于A，兩點(diǎn)，且滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn))，證明：直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn).22．（10分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸且焦點(diǎn)在軸上，拋物線：，若拋物線的焦點(diǎn)在橢圓上，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）已知斜率存在且不為零的直線滿足：與橢圓相交于不同兩點(diǎn)、，與直線相交于點(diǎn).若橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿足：，，且存在點(diǎn)，使得恒為定值，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出圓、的圓心和半徑，再由兩圓沒有公共點(diǎn)列不等式求解作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，因圓、沒有公共點(diǎn)，則有或，即或，又，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B2、B【解析】由題意可得的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可得周長(zhǎng)及，進(jìn)而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項(xiàng)和，所以，故選：B.3、A【解析】把直線方程由一般式化成斜截式，即可得到直線在軸上的截距.【詳解】由，可得，則直線在軸上的截距為3.故選：A4、C【解析】根據(jù)的值與臨界值的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】∵，，∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防的作用”，C對(duì)，由已知數(shù)據(jù)不能確定若某人未使用該疫苗，則他在一年中有的可能性生病，A錯(cuò)，由已知數(shù)據(jù)不能判斷這種疫苗預(yù)防的有效率為，B錯(cuò)，由已知數(shù)據(jù)沒有的把握認(rèn)為這種疫苗不能起到預(yù)防生病的作用,D錯(cuò)，故選：C.5、C【解析】由直線方程可知其斜率，根據(jù)斜率和傾斜角關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】直線方程可化為：，直線的斜率，直線的傾斜角為.故選：C.6、A【解析】根據(jù)直線垂直求出值即可得答案.【詳解】解：若直線和直線垂直，則，解得或，則“”是“直線和直線垂直”的充分非必要條件.故選：A.7、A【解析】作出可行域，利用代數(shù)式的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合可求得的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立可得，即點(diǎn)，代數(shù)式的幾何意義是連接可行域內(nèi)一點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)在可行域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線的傾斜角為銳角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線的傾斜角最大，此時(shí)取最大值，即.故選：A.8、D【解析】由題意動(dòng)圓M與直線y=2相切，且與定圓C：外切∴動(dòng)點(diǎn)M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以C（0，-3）為焦點(diǎn)，直線y=3為準(zhǔn)線的拋物線故所求M的軌跡方程為考點(diǎn)：軌跡方程9、C【解析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，以及特例法和作差比較法，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，，所以不正確；對(duì)于B中，因?yàn)?，根?jù)不等式的性質(zhì)，可得，對(duì)于C中，由，可得可得，所以，所以正確；對(duì)于D中，由，可得，則，所以，所以不正確.故選：C.10、A【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷【詳解】設(shè)的公差是，即，顯然，且是常數(shù)，是等比數(shù)列，若中一個(gè)為1，則，則不是等比數(shù)列，只要，，都不可能是等比數(shù)列，如，，故選：A11、B【解析】根據(jù)給定數(shù)列，結(jié)合選項(xiàng)提供通項(xiàng)公式，將n代入驗(yàn)證法判斷是否為通項(xiàng)公式.【詳解】A：時(shí)，排除；B：數(shù)列，，，，…滿足.C：時(shí)，排除；D：時(shí)，排除；故選：B12、B【解析】根據(jù)已知求出公差即可得出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，所以，則.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)得，令，解得或，且所以原函數(shù)在上的最大值為考點(diǎn)：1．函數(shù)求導(dǎo)；2．利用導(dǎo)函數(shù)求最值14、【解析】將原式子變形為：，將代入變形后的式子得到結(jié)果即可.【詳解】將代入變形后的式子得到結(jié)果為故答案為：15、【解析】分析得都在以為焦點(diǎn)的橢球上，再利用橢球的性質(zhì)得到，化簡(jiǎn)即得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以都在以為焦點(diǎn)橢球上，由橢球的性質(zhì)得，是垂直橢球焦點(diǎn)所在直線的弦，的最大值為,此時(shí)共面且過中點(diǎn)，即故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：16、【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)異面直線所成角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，即可得解；（2）首先由余弦定理求出，即可得到，再根據(jù)面積公式計(jì)算可得；【小問1詳解】解：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?，又在中，，所以，，所以；【小?詳解】解：由余弦定理得，即，解得，所以，又，所以；.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）令，求導(dǎo)得到函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，故，得到證明.（2），討論和兩種情況，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到，解得答案.【詳解】（1）令，有，令可得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，故有.（2）由①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，沒有增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，令可得，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，必須且，可得，此時(shí)，又由，當(dāng)時(shí)，由(1)有，取時(shí)，顯然有，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.19、（1）；（2）存在；【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，利用列方程，化簡(jiǎn)求得直線的斜率.【小問1詳解】依題意，得橢圓的方程為【小問2詳解】存在．理由如下：顯然當(dāng)直線的斜率不存在，即時(shí)，不滿足條件故由題意可設(shè)的方程為．由是直線與橢圓的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，由消去y，并整理，得，則，解得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，即存在斜率的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，使20、（1）（2）選擇方案二更劃算【解析】（1）要使方案二比方案一優(yōu)惠，則需要抽出至少一個(gè)紅球，求出沒有抽出紅色小球的概率，再根據(jù)對(duì)立事件的概率公式即可得出答案；（2）若選擇方案一，則需付款（元），若選擇方案二，設(shè)付款金額為元，則可取6000，7000，8000，10000，求出對(duì)應(yīng)概率，從而可求得的期望，在比較的期望與9200的大小即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：根據(jù)題意得要使方案二比方案一優(yōu)惠，則需要抽出至少一個(gè)紅球，設(shè)沒有抽出紅色小球?yàn)槭录?，則，所以所求概率；【小問2詳解】解：若選擇方案一，則需付款（元），若選擇方案二，設(shè)付款金額為元，則可取6000，7000，8000，10000，，，，，故的分布列為X60007000800010000P所以（元），因?yàn)椋赃x擇方案二更劃算.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)利用拋物線點(diǎn)，n)到焦點(diǎn)的距離等于到x軸的距離求出，從而得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)聯(lián)立直線與拋物線方程，通過韋達(dá)定理求出直線方程，然后由，即可求解【小問1詳解】由題意可得，故拋物線方程為；【小問2詳解】設(shè)，，，，直線的方程為，聯(lián)立方程中，消去得，，則，又，解得或(舍去)，直線方程為，直線過定點(diǎn)22、（1）（2）【解析】（1）先求得橢圓的，代入公式即可求得橢圓的方程；（2）以設(shè)而不求的方法得到兩根和，再由條件，得到四邊形為平行四邊形，并以向量方式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再與恒為定值進(jìn)行聯(lián)系，即可求得的值