期中真題百練通關(guān)（71題14大易錯(cuò)題型）題型一：空間向量易錯(cuò)問題題型八：直線與圓位置關(guān)系易錯(cuò)問題題型二：直線傾斜角與斜率易錯(cuò)問題題型九：圓與圓位置關(guān)系易錯(cuò)問題題型三：直線方程易錯(cuò)問題題型十：橢圓定義與標(biāo)準(zhǔn)方程易錯(cuò)問題題型四：直線平行垂直判定易錯(cuò)問題題型十一：橢圓性質(zhì)應(yīng)用易錯(cuò)問題題型五：距離公式應(yīng)用易錯(cuò)問題題型十二：直線與橢圓位置關(guān)系易錯(cuò)問題題型六：直線對稱與反射易錯(cuò)問題題型十三：橢圓中點(diǎn)弦與焦點(diǎn)弦易錯(cuò)問題題型七：圓的方程易錯(cuò)問題題型十四：橢圓綜合問題易錯(cuò)問題題型一：空間向量易錯(cuò)問題1．【多選】（23-24高一下·山東淄博·期中）已知，，是平面上的三個(gè)非零向量，那么下列說法正確的是（

）A．若，則或B．若，則C．若，則與的夾角為D．在正方體中，【答案】BD【分析】根據(jù)向量的定義結(jié)合向量模的含義可判斷A；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷B；根據(jù)向量的夾角公式可判斷C；根據(jù)正方體的性質(zhì)可判斷D?！驹斀狻繉τ贏，若，但，的方向不確定，A錯(cuò)誤；對于B，若，兩邊平方得，則，B正確；對于C，，則，即得，故，，故，而，故與的夾角為，C錯(cuò)誤；對于D，在正方體中，，故四邊形為平行四邊形，故，故，D正確，故選：BD2．（24-25高一上·四川·期中）平行六面體中，，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】將都用基底表示出來，得到，即可得到.【詳解】，所以，故選：C.

3．（24-25高二下·福建漳州·期中）如圖在平行六面體中，、相交于，為的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算法則，，進(jìn)而可得答案.【詳解】由已知得，，.故故選：A4．（24-25高二上·天津河西·期中）設(shè)空間四點(diǎn)滿足，其中，則（

）A．點(diǎn)一定在直線上 B．點(diǎn)一定不在直線上C．點(diǎn)不一定在直線上 D．以上答案都不對【答案】A【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合空間三點(diǎn)共線的向量表示法求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，而，故，所以，所以，則點(diǎn)一定在直線上，故A正確.故選：A5．【多選】（24-25高二下·江蘇連云港·期中）關(guān)于空間向量，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若存在實(shí)數(shù)，，使得，則與，共面B．若與，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使得C．若，，共面，則存在實(shí)數(shù)，，，使得D．若存在實(shí)數(shù)，，，使得，則，，共面【答案】AC【分析】對于AC：根據(jù)平面向量基本定理分析判斷；對于BD：舉反例說明即可.【詳解】對于選項(xiàng)A：若向量共線，易知與共線，顯然共面；若向量不共線，根據(jù)平面向量基本定理可知與共面；綜上所述：與，共面，故A正確；對于選項(xiàng)B：若向量與共面，如果共線，與它們不共線，則不存在實(shí)數(shù)使得，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：若向量共線，則取，可得；若向量不共線，根據(jù)平面向量基本定理可知：存在實(shí)數(shù)，，使得，即，可得；綜上所述：若，，共面，則存在實(shí)數(shù)，，，使得，故C正確；對于選項(xiàng)D：例如，對于任意空間向量，，均有成立，此時(shí)無法判斷，，是否共面，故D錯(cuò)誤.故選：AC.6．（24-25高二下·上?！て谥校┰谡睦忮F中，，，設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，，則．

【答案】/【分析】由向量基本定理表達(dá)出，根據(jù)四點(diǎn)共面，得到方程，求出答案.【詳解】，因?yàn)椋?，所以，又，故，即，故，因?yàn)槠矫媾c直線交于點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，所以，解得.

故答案為：7．（24-25高二下·重慶·期中）如圖，已知平行四邊形且，沿對角線將折起，當(dāng)二面角為時(shí)，則與之間距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積公式計(jì)算模長即可.【詳解】已知平行四邊形，，且，，，二面角為，，，，，則，即與之間距離為.故選：D．8．（24-25高二下·江蘇宿遷·期中）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影向量為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由投影向量的計(jì)算公式即可求解.【詳解】空間向量在向量方向上的投影向量為，因?yàn)闉閱挝幌蛄?，，，所以，所以，故選：B9．（24-25高三下·云南昭通·期中）如圖甲，正方形的邊長為2，是的中點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，使得平面平面（如圖乙），連接，是棱的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求平面與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）應(yīng)用兩次線線平行得出四邊形為平行四邊形，進(jìn)而可得平面；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，得到所成角余弦值，進(jìn)而解出正弦值.【詳解】（1）證明：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，易得為的中位線，故，且.又，，故，，所以四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）如圖所示，過作于點(diǎn)，由已知平面平面，且平面平面，則平面，又在中，所以，所以，同理，到的距離為，到的距離為，所以到的距離為，到的距離為.如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸，為軸，過點(diǎn)作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)平面的法向量，則，得.設(shè)平面的法向量為，則，得.所以，則，所以平面與平面所成角的正弦值為.10．（24-25高二上·廣東廣州·期中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，在陽馬中，底面，底面是矩形，，，是的中點(diǎn)，．若點(diǎn)在矩形內(nèi)，且平面，則．【答案】/【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，設(shè)點(diǎn)，求得，通過平面，建立關(guān)于的方程，確定的值，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得．設(shè)，則．因?yàn)槠矫?，所以，則，解得，，所以，，故．故答案為：11．（25-26高二上·全國·期中）如圖，在四棱錐中，底面，為直角，，，為的中點(diǎn)，，且二面角的平面角為60°，則．

【答案】【分析】以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，根據(jù)二面角的平面角為60°建立方程求解即可．【詳解】因?yàn)榈酌?，，底面，所以，，又為直角，所以兩兩垂直．以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，．設(shè)為平面的法向量，則令，得．易知，平面的一個(gè)法向量為．由題意，二面角的平面角為60°，則，解得．故答案為：.

12．（24-25高二下·福建泉州·期中）如圖，在四棱錐中，，點(diǎn)Q為棱上一點(diǎn)．(1)用幾何法證明：平面；(2)當(dāng)點(diǎn)Q為棱的中點(diǎn)時(shí)，求①四棱錐的體積；②直線與平面所成角的正弦值；(3)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求．【答案】(1)證明見解析；(2)①；②；(3).【分析】（1）由勾股定理證得，再由線面垂直的判定定理即可證得.（2）①由（1）中信息，求出點(diǎn)Q到平面的距離，再求出錐體的體積；②建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的向量法求解.（3）設(shè)，分別求出平面和平面的法向量和，利用公式，求點(diǎn)的位置.【詳解】（1）在四棱錐中，由，得，，則，又，且平面，所以平面.（2）①在四邊形中，，則，而，則梯形的面積，由點(diǎn)Q為棱的中點(diǎn)，得點(diǎn)Q到平面的距離為，所以四棱錐的體積.②由（1）知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由為棱的中點(diǎn)，得，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）知，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，由，令，得，由二面角的余弦值為，得，即，整理得，解得，所以．題型二：直線傾斜角與斜率易錯(cuò)問題13．【多選】（23-24高二上·山西運(yùn)城·期中）已知點(diǎn)，點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上，經(jīng)過兩點(diǎn)直線的方向向量為，則下列選項(xiàng)中，可以是點(diǎn)B的坐標(biāo)的是（

）.A． B． C． D．【答案】BC【分析】應(yīng)用兩點(diǎn)的斜率公式結(jié)合方向向量計(jì)算求解.【詳解】經(jīng)過兩點(diǎn)直線的方向向量為，則的斜率為，對于A：，不合題意，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B：，符合題意，B選項(xiàng)正確；對于C：，符合題意，C選項(xiàng)正確；對于D：，不合題意，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC.14．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知過點(diǎn)的直線與以點(diǎn)和為端點(diǎn)的線段AB相交，求直線的斜率的取值范圍.【答案】【分析】首先利用兩點(diǎn)式斜率公式求出，，再結(jié)合圖象即可求出直線的斜率的取值范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)，依題意，．因?yàn)橹本€與線段有交點(diǎn)，所以或，由圖可知直線的斜率的取值范圍是．故答案為：．15．（24-25高一上·上海嘉定·期中）設(shè)，若三個(gè)不同的點(diǎn)，都在直線l上，則m的值為．【答案】【分析】討論、，結(jié)合已知及斜率兩點(diǎn)式求參數(shù)值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，為同一點(diǎn)，不合題意，當(dāng)，則，可得，此時(shí)滿足題意，所以.故答案為：題型三：直線方程易錯(cuò)問題16．（24-25高二上·江蘇淮安·期中）已知直線l過點(diǎn)，且與兩條坐標(biāo)軸的正半軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，則直線l的方程為．【答案】【分析】設(shè)出截距式方程，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求解．【詳解】由題意設(shè)直線方程為，且，又直線過點(diǎn)，則，，所以直線方程為，即．故答案為：．17．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直線在軸上的截距是軸上截距的倍，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得，分和兩種情況討論即可，求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，結(jié)合題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解之即可.【詳解】依題意可得，當(dāng)時(shí)，直線為，此時(shí)橫縱截距都等于，滿足題意；當(dāng)時(shí)，將直線的方程化為截距式方程可得，直線在軸上的截距為，在軸上截距，則，得或（舍去）.綜上所述，的值為或．故選：C.18．（23-24高二上·山西運(yùn)城·期中）一條直線經(jīng)過點(diǎn)，并且與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，此直線的截距式方程為.【答案】【分析】先求出，進(jìn)而由截距式寫出直線方程.【詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故,則直線的截距式方程為.故答案為：19．（24-25高二上·四川綿陽·期中）已知兩直線.(1)求過兩直線的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程；(2)已知兩點(diǎn)，動點(diǎn)在直線運(yùn)動，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出兩直線的交點(diǎn)，利用垂直得出斜率，點(diǎn)斜式可得方程；（2）求出點(diǎn)的對稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間直線最短可求答案.【詳解】（1）聯(lián)立方程，解得；因?yàn)樗笾本€垂直于直線，所以所求直線的斜率為，故所求直線方程為，即；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則，解得，即；則,故的最小值為.

題型四：直線平行垂直判定易錯(cuò)問題20．（25-26高二上·新疆·期中）已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】2或0【分析】由直線垂直的充要條件列出關(guān)于a的方程即可求解.【詳解】由于直線與直線垂直，故，解得或0．故答案為：2或0．21．（23-24高二上·山西運(yùn)城·期中）直線與直線互相平行，則a的值為.【答案】【分析】應(yīng)用兩條直線平行的斜率關(guān)系列式計(jì)算求參數(shù).【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，且直線與直線互相平行，則，即得.當(dāng)時(shí)，直線與直線平行符合題意.故答案為：.22．（24-25高二下·安徽銅陵·階段練習(xí)）已知直線與直線互相平行，則m為（

）A． B．-2 C．-2或2 D．2【答案】D【分析】利用兩直線平行的性質(zhì)列方程求出的值，再檢驗(yàn)兩直線是否重合即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相平行，所以，解得或，又因?yàn)闀r(shí)，兩直線重合，不符合題意，舍去.所以，.故選：D.23．（24-25高三下·上?！るA段練習(xí)）“”是“直線與垂直”的（

）.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分、必要條件以及兩直線間的位置關(guān)系等知識確定正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，充分性成立；“直線與垂直”恒成立，并不需要a參與其中，必要性不成立.故選：A24．【多選】（22-23高二上·福建莆田·期中）直線，則下列說法正確的是（

）A．若，則或 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AD【分析】應(yīng)用直線平行、垂直的判定列方程求參數(shù)，注意驗(yàn)證即可得答案.【詳解】已知直線，若，則，求得或，經(jīng)檢驗(yàn)或都滿足條件，故A正確，B不正確.若，則，得，故C不正確，D正確.故選：AD題型五：距離公式應(yīng)用易錯(cuò)問題25．（23-24高二上·山西運(yùn)城·期中）已知點(diǎn)，點(diǎn)B在直線上運(yùn)動，當(dāng)線段最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)線段最短時(shí)，直線與直線垂直，點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn).【詳解】當(dāng)線段最短時(shí)，直線與直線垂直，此時(shí)點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn).因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，直線方程為，由得，所以.故選：A.26．【多選】（25-26高二上·全國·期中）已知直線，則下列說法正確的是（

）A．直線在軸上的截距為1 B．直線與直線之間的距離為C．直線的一個(gè)方向向量為 D．直線與直線垂直【答案】BD【分析】令可判斷A；利用平行線之間的距離公式可判斷B；求出直線的斜率可判斷C；由方程判斷兩直線的位置關(guān)系可判斷D．【詳解】對于A，令得，直線在軸上的截距為，故A錯(cuò)誤；對于B，直線與直線平行，直線與直線之間的距離為，故B正確；對于C，直線的斜率為，以為方向向量的直線的斜率為3，故C錯(cuò)誤；對于D，由，得，故D正確．故選：BD.27．（24-25高二下·上海徐匯·期中）已知直線過點(diǎn)，且被兩平行直線和截得的線段長度為5，求直線的方程．【答案】或【分析】設(shè)出直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)給定條件列式探求兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，求出直線方程作答.【詳解】設(shè)直線與直線分別交于點(diǎn)，則，兩式相減得：，而，即，解得或，由，即，軸，得直線方程為，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，由，即，軸，得直線方程為，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以直線l的方程為或.28．（24-25高一下·河南·期中）已知點(diǎn)，，，過點(diǎn)A且以向量為方向向量的直線為l，點(diǎn)到直線l的距離為.(1)求m；(2)若，證明：四邊形ABCD是等腰梯形.【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）先確定直線l斜率，從而求出l的方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解；（2）由，得，且，即可得證.【詳解】（1）根據(jù)題意，以向量為方向向量的直線l斜率為，所以l的方程為，即，點(diǎn)到直線l的距離為，得或；（2）由（1）得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由，得，又，，則，即，且，所以四邊形ABCD是等腰梯形.題型六：直線對稱與反射易錯(cuò)問題29．（24-25高二上·天津靜?！て谥校┮阎?，，．求（均寫成一般式方程）：(1)邊上的中線所在的直線方程；(2)邊垂直平分線方程及點(diǎn)C關(guān)于對稱點(diǎn)D；(3)過點(diǎn)A且傾斜角為直線傾斜角2倍的直線方程．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）首先求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)斜式求解直線方程即可.（2）首先求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)斜式求解直線方程即可.根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的性質(zhì)得到，再解方程組即可.（3）首先根據(jù)正切二倍角公式得到所求直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求解直線方程即可.【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，則，，則，即.（2）設(shè)的中點(diǎn)為，則，，則，則，即.設(shè)，由題知：，即（3）設(shè)直線的傾斜角為，則，所以.所以過點(diǎn)A且傾斜角為直線傾斜角2倍的直線方程為：，即.30．（24-25高二上·湖北荊門·期中）已知直線：及點(diǎn)，點(diǎn)Q在l上，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的最大值為.【答案】.【分析】由圖，求出B關(guān)于l的對稱點(diǎn)為的坐標(biāo)，當(dāng)A，，Q三點(diǎn)共線時(shí)，可求的最大值及相應(yīng)Q坐標(biāo).【詳解】如圖，設(shè)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)為，因，則，即.連接，則所在的直線方程為.由得與l的交點(diǎn)為，記此點(diǎn)為Q，又在直線任取一點(diǎn)M，連接BM，，由對稱性，，則當(dāng)A，，M三點(diǎn)共線時(shí)，即M與Q重合時(shí)，此時(shí)的值最大且為.故答案為：；31．（23-24高二上·天津?yàn)I海新·期中）已知直線和兩點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)P使得最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷與直線的位置關(guān)系為在直線同側(cè)，故先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，此時(shí)求出直線的方程，則直線與的交點(diǎn)即為點(diǎn)位置.【詳解】由圖可判斷在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有，解得.所以直線的方程為，直線與的交點(diǎn)即為，由平面幾何知識可知此時(shí)最小.故選：B.32．【多選】（24-25高二上·河北唐山·期中）以下四個(gè)命題為真命題的是（

）A．過點(diǎn)且在軸上的截距是在軸上截距的4倍的直線的方程為B．直線的傾斜角的范圍是C．當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的值為D．直線關(guān)于對稱的直線方程為【答案】BCD【分析】舉例說明判斷A；求出直線斜率的范圍，進(jìn)而得傾斜角范圍判斷B；求出直線所過定點(diǎn)計(jì)算判斷C；利用對稱求出直線方程判斷D.【詳解】對于A，在軸上的截距是在軸上截距的4倍的直線可以過原點(diǎn)，方程為，A錯(cuò)誤；對于B，直線的斜率，當(dāng)時(shí)，傾斜角；當(dāng)時(shí)，傾斜角，因此傾斜角的范圍是，B正確；對于C，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時(shí)，點(diǎn)到該直線距離最大，此時(shí)直線的斜率，因此，C正確；對于D，設(shè)所求直線上任意點(diǎn)，則它關(guān)于對稱的點(diǎn)在直線上，則，整理得，D正確.故選：BCD33．（24-25高二上·遼寧大連·期中）已知直線，，若直線與關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為.【答案】或【分析】利用數(shù)形結(jié)合計(jì)算l的斜率結(jié)合直線與的交點(diǎn)計(jì)算即可.【詳解】

易知與縱軸交于，交橫軸于點(diǎn)，聯(lián)立直線與方程，得兩直線交點(diǎn)為，如上圖所示網(wǎng)格中構(gòu)造直角三角形，易知，即，又，所以，即為兩直線與夾角的平分線，所以直線符合題意，易知其方程為；當(dāng)直線l過點(diǎn)C且與垂直時(shí)，也符合題意，此時(shí)直線方程為.故答案為：或.34．（24-25高二上·山東濰坊·期中）已知一條光線從點(diǎn)發(fā)出被直線反射，若反射光線過點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出發(fā)光點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，再借助光的反射定律求出反射光線所在直線的方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，因此反射光線所在直線過點(diǎn)，方程為，即.故選：A題型七：圓的方程易錯(cuò)問題35．（24-25高二上·福建福州·期中）已知點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．∪【答案】B【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓及點(diǎn)在圓外列不等式求參數(shù)范圍即可.【詳解】圓的方程可化為，則，可得，又點(diǎn)在圓外，則，可得，所以.故選：B36．（21-22高二下·上海徐匯·期中）對任意實(shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】或【分析】由已知得，從而，由此能求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：，即，令，解得，，或，，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)是或．故答案為：或.37．（23-24高二上·遼寧撫順·期中）已知圓上所有點(diǎn)都在第二象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡圓的表達(dá)式，得出圓心坐標(biāo)和半徑，利用所有點(diǎn)都在第二象限，即可得出的取值范圍.【詳解】由題意，在圓中，，∴圓心坐標(biāo)為，半徑為3．

∵圓上所有點(diǎn)都在第二象限，∴，解得．故選：C.38．（24-25高二上·青海西寧·期中）已知圓是圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則動點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【分析】令，由題設(shè)得，代入已知圓方程整理即可得動點(diǎn)M的軌跡方程；【詳解】設(shè)，M為線段的中點(diǎn)，，而A是圓C上一動點(diǎn)，故，整理得：，即，故動點(diǎn)M的軌跡方程為.故答案為：題型八：直線與圓位置關(guān)系易錯(cuò)問題39．（24-25高二上·遼寧·期中）“”是“直線與曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先分析曲線的圖形，再結(jié)合直線與該曲線的位置關(guān)系，再判斷“”與“直線與曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)”之間的條件關(guān)系.【詳解】曲線表示圓心，半徑為的圓的上半部分（包括與軸的交點(diǎn)），直線的斜率為1，在軸上的截距為，當(dāng)直線與曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，該直線與曲線相切或有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：相切時(shí)，圓心到直線距離等于2，則，即或（舍去，因?yàn)楫?dāng)時(shí)與下半部分相切，不符合題意）.由圖象可知，有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，.綜上可知，當(dāng)直線與曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，或.于是，當(dāng)“”時(shí)，直線“與曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)”，則充分性成立；當(dāng)直線與曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，或，則必要性不成立.所以，“”是“直線與曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)”的充分不必要條件.故選：A40．【多選】（24-25高二下·湖南·期中）已知點(diǎn)，為圓上兩動點(diǎn)，且，點(diǎn)為直線上動點(diǎn)，則（

）A．圓心到直線的距離為B．以為直徑的圓與直線相離C．的最大值為D．的最小值為【答案】ABD【分析】對于A，根據(jù)條件，利用弦長公式，即可求解；對于B，利用選項(xiàng)A可得點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，再利用圓的幾何性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系的判定，即可求解；對于C，根據(jù)條件找到最大角，進(jìn)而得最大角小于，即可求解；對于D，根據(jù)條件得到，再求出，即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，設(shè)的中點(diǎn)為，如圖1，連接，.

則，，所以，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，由A知，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，又原點(diǎn)到的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為，因?yàn)?，故以為直徑的圓與直線相離，所以選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，如圖2，當(dāng)直線與直線平行，且，，共線時(shí)，為等腰三角形，此時(shí)最小，最小值為，又，故此時(shí)最大，且，

則，所以，則，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，，當(dāng)，，，共線，且在，之間時(shí)取等號，，所以的最小值為，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD.41．【多選】（24-25高二上·云南大理·期中）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若點(diǎn)在圓上，則直線與圓相切B．若點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相離C．若點(diǎn)在圓外，則直線與圓相離D．若點(diǎn)在直線上，則直線與圓相切【答案】ABD【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為，的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】對于A，若點(diǎn)在圓上，則，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓相切，故A正確；對于B，若點(diǎn)在圓內(nèi)，則，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故B正確；對于C，若點(diǎn)在圓外，則，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，故C不正確；對于D，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，圓心到直線的距離，所以直線與圓相切，D正確．故選：ABD.42．【多選】（24-25高二上·甘肅金昌·期中）已知圓，過點(diǎn)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別是，，則（

）A．B．直線，的方程為和C．四邊形的面積為27D．【答案】ACD【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離求出的長度，計(jì)算出的長度判斷A；根據(jù)直線斜率存在和不存在別設(shè)出直線的方程，再根據(jù)直線與圓相切求出方程判斷B；根據(jù)與是全等的直角三角形求出四邊形面積判斷C；根據(jù)求出判斷D.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，，所以，故A正確；過且斜率不存在的直線方程為，圓心到直線的距離，故與圓相切，設(shè)過點(diǎn)且斜率存在的直線方程為，即，若與圓相切，則，即，即，所以直線，的方程為和，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c是全等的直角三角形，所以四邊形的面積為，故C正確；因?yàn)?，所以四邊形的面積為，解得，故D正確.故選：ACD.43．【多選】（23-24高二上·海南三亞·期中）已知圓，直線．則（）A．直線恒過定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1C．直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)D．直線與圓相交得到的最短弦長為【答案】ACD【分析】對于A：整理可得，進(jìn)而分析定點(diǎn)；對于B，分析可知，求圓心到直線的距離即可；對于C：分析可知點(diǎn)在圓內(nèi)部，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系；對于D：可知當(dāng)圓心與點(diǎn)連線垂直時(shí)弦長最短，進(jìn)而求弦長.【詳解】對于A，因?yàn)橹本€，可得，令，解得，所以直線恒過點(diǎn)，所以A正確；對于B，由圓，可得圓心，半徑為，要使得圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則圓心到直線的距離，當(dāng)時(shí)，直線，可得圓心到直線的距離為，所以B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)，可得，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以C正確；對于D，當(dāng)圓心與點(diǎn)連線垂直時(shí)弦長最短，此時(shí)弦長為，故D正確.故選：ACD.題型九：圓與圓位置關(guān)系易錯(cuò)問題44．【多選】（23-24高二上·云南昭通·期中）已知直線，圓，則下列說法正確的是（

）A．若或，則直線與圓相切B．若，則圓關(guān)于直線對稱C．若圓與圓相交，且兩個(gè)交點(diǎn)所在直線恰為，則D．若，圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到的距離為1，則【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，利用圓心到直線距離等于半徑求解；B選項(xiàng)，由圓心在直線上求解；C選項(xiàng)，由兩個(gè)圓的方程相減，得公共弦所在直線方程；D選項(xiàng)，由圓心到直線距離的范圍求解.【詳解】即，圓心，對A，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，則，解得或，故A錯(cuò)誤；對B，若圓關(guān)于直線對稱，則直線通過圓心，則有，解得，故B正確；對C，圓與圓的方程作差得，即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)圓，滿足，則，故C錯(cuò)誤；對D，若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到的距離為1，則圓心到直線的距離，即，即，且，解得，故D正確.故選：BD．45．【多選】（24-25高二上·安徽馬鞍山·期中）以下四個(gè)命題表述正確的是（

）A．若方程表示圓，則的取值范圍是B．直線恒過定點(diǎn)C．圓與圓恰有條公切線D．已知圓和圓，圓和圓的公共弦長為【答案】BD【分析】對于A根據(jù)圓的一般方程即可求解；對于B將直線方程進(jìn)行重新整理，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可；對于C通過兩圓的位置關(guān)系判斷公切線條數(shù)；對于D將兩圓作差求出公共弦的方程，圓心到直線的距離公式求出,利用公式即可求解．【詳解】對于A：若方程表示圓，則或，故A錯(cuò)誤；對于B：直線，得，由，得，即直線恒過定點(diǎn)，故B正確；對于C：曲線，即，圓心為，半徑為，曲線，即，圓心為，半徑為，兩圓心的距離為，則兩圓外切，有條公切線，故C錯(cuò)誤；對于D：圓和圓，兩方程作差可得公共弦所在的直線方程為，圓即，圓心，半徑，圓心到直線的距離為，所以公共弦長為，故D正確．故選：BD．46．【多選】（23-24高二上·海南?？凇て谥校┮阎獔A，直線，則（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1C．直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)D．若圓與圓恰有三條公切線，則【答案】ACD【分析】對于A，將直線方程變形，求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，即可判斷正誤；對于B，利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行計(jì)算，可作出判斷；對于C，根據(jù)定點(diǎn)在圓內(nèi)加以判斷；對于D，利用圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系加以判斷，可得答案.【詳解】對于A，直線的方程為，變形可得：，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故A正確.對于B，圓，其圓心為，半徑為2，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心到直線的距離為，由于，所以圓上只有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，故B錯(cuò)誤.對于C，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故C正確.對于D，圓的方程，即，其圓心為，半徑為，若圓與圓恰有三條公切線，則兩圓外切，則有，解得，故D正確.故選：ACD.47．【多選】（24-25高二上·云南文山·期中）已知，則下列說法正確的有（

）A．若在內(nèi)，則；B．當(dāng)時(shí)，與共有兩條公切線；C．當(dāng)時(shí)，與的公共弦所在直線方程為；D．，使得與公共弦的斜率為.【答案】ABC【分析】A.易知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，再由求解判斷；B.判斷兩圓是否相交即可；C.兩圓方程相減得到公共弦所在直線方程判斷；D.根據(jù)公共弦斜率與兩圓圓心連線垂直列式求解判斷.【詳解】因?yàn)?，所以：，則，，則，由在內(nèi)，可得，即，A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，所以兩圓相交，共兩條公切線，B正確；當(dāng)時(shí)，，，所以，所以兩圓相交，，兩圓方程相減得，即，C正確；若兩圓相交，則公共弦所在直線與垂直，所以，無解，故不存在，使得與公共弦的斜率為，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.題型十：橢圓定義與標(biāo)準(zhǔn)方程易錯(cuò)問題48．（24-25高二上·甘肅武威·期中）已知點(diǎn)和點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)，可使，則稱該直線為“D型直線”．下列四條直線中：①；②；

③；

④．“D型直線”的條數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由題意點(diǎn)在橢圓上，再逐項(xiàng)分析直線是否與橢圓有公共點(diǎn)即可得解.【詳解】由可知，點(diǎn)軌跡為橢圓，由，可得，又焦點(diǎn)在軸上，故橢圓的方程為，由題意，直線與橢圓有公共點(diǎn)即為“D型直線”，由過點(diǎn)，知直線過橢圓內(nèi)的點(diǎn)，故相交，是“D型直線”，由可知，與橢圓相交，是“D型直線”，與橢圓沒有公共點(diǎn)，不是“D型直線”，由知與橢圓沒有公共點(diǎn)，不是“D型直線”.故選：B49．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知圓和，若動圓與這兩圓一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，記該動圓圓心的軌跡為，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用橢圓定義得到該動圓圓心的軌跡為橢圓，進(jìn)而得到的方程.【詳解】圓，圓心，半徑，圓，圓心，半徑，因?yàn)樗詧A在圓內(nèi)，所以動圓與圓內(nèi)切與圓外切，設(shè)動圓半徑為r，圓心，則，，故，所以動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)長軸長為的橢圓.由，解得，所以，又因?yàn)樵摍E圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，所以的方程為.故選：C題型十一：橢圓性質(zhì)應(yīng)用易錯(cuò)問題50．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．－5 B．－4 C．－3 D．－2【答案】B【分析】利用橢圓的定義把焦半徑進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再把到圓上點(diǎn)的距離最值轉(zhuǎn)化為到圓心，從而即可求兩邊之和的最小值了.【詳解】在橢圓中，，，則，則，則橢圓的左焦點(diǎn)為，圓的圓心為，半徑為1，由橢圓的定義可得，所以，再由圓外的點(diǎn)到圓上動點(diǎn)的最小值為到圓心的距離減去半徑，所以有，利用當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線且在線段上時(shí)，取最小值，所以有故的最小值為－4.故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：要利用橢圓的定義和圓的有關(guān)平面幾何求最值的結(jié)論來求解.51．（24-25高二下·廣東深圳·期中）已知為橢圓上一點(diǎn)，則C的焦距為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】將點(diǎn)代入C的方程得，故，再根據(jù)焦距概念得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在C上，代入C的方程得，解得，故，所以C的焦距為.故選：C.52．（24-25高二上·江蘇南通·期中）橢圓與橢圓的（

）A．長軸長相等 B．短軸長相等C．焦距相等 D．離心率相等【答案】C【分析】分別由兩個(gè)橢圓方程求出對應(yīng)的，由此得到長軸長、短軸長、焦距和離心率的值，然后得到結(jié)果.【詳解】橢圓中，，即，，∴，即長軸長，短軸長，焦距，離心率，橢圓中，，即，，∴，即長軸長，短軸長，焦距，離心率，∴兩個(gè)橢圓中只有焦距相等.故選：C.53．（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知橢圓的焦距為2，則（

）A． B．3或5 C．或 D．5【答案】B【分析】分類討論焦點(diǎn)位置，結(jié)合焦距公式計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí),此時(shí)，，已知焦距，則.根據(jù)，可得，解得.當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí),此時(shí)，，由，根據(jù)，可得，解得.綜上所得，的值為或，故選：B.題型十二：直線與橢圓位置關(guān)系易錯(cuò)問題54．（24-25高二上·江蘇泰州·期中）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長等于，離心率為，過焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的方程為 B．橢圓的焦距為1C． D．的周長為【答案】C【分析】依題設(shè)橢圓方程：，列出方程組，解得橢圓方程為：，排除A項(xiàng)，對于B，利用焦距概念為，即得，即可排除B，對于C，利用條件，依次求得的坐標(biāo)，即得；對于D，根據(jù)橢圓的定義式，易得的周長為，排除D.【詳解】對于A，由題意，可設(shè)橢圓方程為：，則有解得，則橢圓方程為：，故A錯(cuò)誤；對于B，橢圓的焦距為，故B錯(cuò)誤；對于C，依題意，點(diǎn)，把代入題意方程，求得，即，故，故C正確；對于D，的周長為，故D錯(cuò)誤.故選：C.55．【多選】（24-25高二下·山西·期中）已知曲線，直線，為上一點(diǎn)，則（

）A．B．當(dāng)時(shí)，C．對任意，，直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過個(gè)D．當(dāng)，時(shí)，直線與有3個(gè)交點(diǎn)【答案】ABD【分析】化簡曲線方程，確定曲線軌跡，對于A，結(jié)合軌跡方程消，求的范圍即可判斷，對于B，結(jié)合根據(jù)方程可得，由此可求的范圍，根據(jù)結(jié)論判斷B，對于C，取，即可判斷，聯(lián)立方程組，解方程即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程可化為，所以，，當(dāng)或時(shí)，方程可化為，所以，，所以曲線是中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，，長半軸為的橢圓在軸上方的部分和中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，，實(shí)半軸為的雙曲線在軸上方的部分和點(diǎn)，組成,所以曲線的圖象為：

對于A，因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)，若，則，，所以，若或，則，，故，A正確；對于B，由可得，，所以，，所以，所以，又，所以，故，B正確，對于C，當(dāng)，時(shí)，直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)，C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)，時(shí)，聯(lián)立，化簡可得，所以，所以方程的根為，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，假設(shè)，則，則，矛盾，故，所以曲線，與直線，有兩個(gè)交點(diǎn)，，化簡可得，所以，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，滿足條件，所以曲線，與直線，有一個(gè)交點(diǎn)，故當(dāng)，時(shí)，直線與有3個(gè)交點(diǎn)，D正確；故選：ABD.56．【多選】（24-25高二上·上?！て谥校E圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，則下列說法正確的是（

）A．過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長為8B．若直線與恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍為C．若為上一點(diǎn)，，則的最小值為D．若上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍為【答案】CD【分析】對于A：根據(jù)橢圓的定義結(jié)合焦點(diǎn)所在的位置分析判斷；對于B：因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，可知定點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓上，列式求解即可；對于C：設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合二次函數(shù)分析求解；對于D：分析可知當(dāng)位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，分類討論焦點(diǎn)所在位置分析求解.【詳解】對于選項(xiàng)A：由橢圓定義可得的周長為，但焦點(diǎn)不一定在軸上，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，則，即，又因?yàn)椋?，所以的取值范圍為，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：若，即橢圓，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對于選項(xiàng)D：若，則，當(dāng)位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，可知，即，當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得；綜上所述：的取值范圍為，故D正確；故選：CD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍問題的三種解法（1）數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數(shù)形結(jié)合求解；（2）構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解；（3）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域．57．【多選】（24-25高二上·福建廈門·期中）已知橢圓的長軸長為4，離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B．若，則C．若，則的最大值為D．若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，，的內(nèi)切圓半徑分別為，，當(dāng)時(shí)，直線的斜率【答案】BCD【分析】對于A，根據(jù)題意直接得到和，進(jìn)而得到，即可得到橢圓方程；對于B，設(shè)，根據(jù)余弦定理得到，進(jìn)而得到，結(jié)合三角形面積公式即可求解面積；對于C，設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式寫出的表達(dá)式，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上并利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值即可；對于D，設(shè)直線，將直線與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理結(jié)合條件求解直線的斜率即可.【詳解】對于A，因?yàn)闄E圓的長軸長為，所以，又因?yàn)闄E圓的離心率，所以，所以，所以橢圓，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)，則，

在中，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對于C，設(shè)，則，對稱軸為，又因?yàn)?，則，故C正確；對于D，顯然直線斜率不為0，設(shè)直線，

由，整理得：恒成立，所以，依題意有，得，所以，即，同理可得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得，代入到，得，解得：，所以直線的斜率為：，故D錯(cuò)誤.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題C選項(xiàng)的關(guān)鍵是利用設(shè)點(diǎn)法，寫出距離表達(dá)式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到最值.58．【多選】（24-25高二上·浙江·期中）已知橢圓：，直線：，（

）A．若直線與橢圓有公共點(diǎn)，則B．若，則橢圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為C．若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則線段的長度可能為6D．若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)在直線上【答案】ABD【分析】可設(shè)橢圓上的點(diǎn)為，結(jié)合三角函數(shù)有界性分析判斷AB；對于C：結(jié)合橢圓性質(zhì)分析判斷；對于D：利用點(diǎn)差法分析判斷.【詳解】由橢圓方程可知：，且焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓上的點(diǎn)為.對于選項(xiàng)A：若直線與橢圓有公共點(diǎn)，則存在點(diǎn)在直線上，則，可得，故A正確；對于選項(xiàng)B：若，則直線：，可得點(diǎn)到直線的距離為，所以橢圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故B正確；對于選項(xiàng)C：橢圓的最長弦長為長軸長，但直線不可能與y軸重合，所以，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：設(shè)，線段的中點(diǎn)為，則，，因?yàn)樵跈E圓上，則，兩式相減可得，整理可得，即，可得，則，可知點(diǎn)在直線上，即線段的中點(diǎn)在直線上，故D正確；故選：ABD.題型十三：橢圓中點(diǎn)弦與焦點(diǎn)弦易錯(cuò)問題59．（24-25高二上·山西晉中·期中）經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則線段的長為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先求得直線故直線的方程，再與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，利用弦長公式求解.【詳解】解：在中，，，所以，即，故左焦點(diǎn)為，而，故直線的方程為，聯(lián)立得，，設(shè)，，由韋達(dá)定理得，，則由弦長公式得．故選：B．60．（24-25高三上·江蘇南京·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，過上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且的面積為，則的周長為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得出，，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)的面積為，求出的值，可得出的值，再利用橢圓的定義可得出的周長.【詳解】如下圖所示：由已知，則，，所以，橢圓的方程為，易知點(diǎn)、，，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即點(diǎn)，所以，，解得，所以，，則的周長為，故選：D.61．（24-25高二上·安徽·期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若直線的斜率為正數(shù)，且，則直線在軸上的截距是（

）A．1 B．－1 C． D．【答案】D【分析】設(shè)出直線的橫截式方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式求解出值，則結(jié)果可求.【詳解】設(shè)，聯(lián)立，消去化簡整理得，所以，于是，解得，故直線的方程為，令，解得，所以直線在軸上的截距為，故選：D.62．（24-25高二上·江蘇南通·期中）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，過原點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，，的面積是20，則（

）A．5 B． C． D．10【答案】D【分析】求出，由三角形的面積得到面積為10，設(shè)，則，將代入中得，求出，得到.【詳解】由題意得，故，故，因?yàn)榈拿娣e為20，所以面積為10，設(shè)，則，解得，將代入中得，故，則.故選：D63．（24-25高二上·內(nèi)蒙古包頭·期中）已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則該橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可求出直線的斜率為，設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)差法和題設(shè)條件可推得，結(jié)合，求出的值，即得橢圓方程.【詳解】如圖，由題意，點(diǎn)，，直線的斜率為，因，故，設(shè)點(diǎn)，則，兩式相減，可得：（*），因的中點(diǎn)為，則，且，代入（*），化簡可得：①又②，聯(lián)立①②，解得：，故該橢圓的方程為.故選：B.64．（24-25高二上·浙江寧波·期中）已知橢圓，點(diǎn)為左焦點(diǎn)，點(diǎn)為下頂點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，的中點(diǎn)為，點(diǎn)差法得到齊次式，可求橢圓的離心率．【詳解】橢圓，左焦點(diǎn)，下頂點(diǎn)，設(shè)，，的中點(diǎn)為，，．，．由，，兩式相減得，可化為，得，即，兩邊平方得，化為：，解得，又，解得．故選：A．題型十四：橢圓綜合問題易錯(cuò)問題65．（24-25高二下·天津西青·期中）已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)為F，且被橢圓C截得的線段長為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓C的下頂點(diǎn)為A，P是橢圓C上一動點(diǎn)，直線AP與圓O：相交于點(diǎn)M(異于點(diǎn)A)，M關(guān)于O的對稱點(diǎn)記為N，直線AN與橢圓C相交于點(diǎn)Q(異于點(diǎn)A).設(shè)直線MN，PQ的斜率分別為，試探究當(dāng)時(shí)，是否為定值，并說明理由.【答案】(1)(2)是定值，理由見解析【分析】（1）運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)，解方程可得，，，進(jìn)而得到所求橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，分別聯(lián)立橢圓方程和園的方程求出的坐標(biāo)，同理可得的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，分別計(jì)算直線的斜率，直線的斜率，即可得證.【詳解】（1）依題意，橢圓的半焦距，將代入橢圓方程得，得，則，而，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）依題意，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線的方程為，由消去并整理得，解得或0（舍去），將代入得，則點(diǎn)，由消去并整理得，解得或0（舍去），將代入得，則點(diǎn)，顯然是圓的直徑，則，直線的方程為，用代替，得，直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)椋?，故，所以，為定?66．（24-25高二下·四川達(dá)州·期中）已知橢圓的離心率為，焦點(diǎn)與短軸端點(diǎn)圍成的四邊形的面積為6．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)已知?jiǎng)又本€過橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓分別交于，兩點(diǎn)．試問軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出該定值和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在；，定值為【分析】（1）利用橢圓的離心率，四邊形的面積列出方程，求解橢圓的幾何量，得到橢圓方程；（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，使得為定值．①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理化簡數(shù)量積，求出，得點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)直線的斜率為時(shí)，驗(yàn)證求解即可．【詳解】（1）由題意得，，又，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）存在，理由如下：①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程，可得．設(shè)，，則，．設(shè)，則若為定值，則，解得，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線的方程為，代入，得不妨令，．若，則，，．綜上所述，在軸上存在點(diǎn)，使得為定值，且定值為．67．（24-25高二下·云南·期中）設(shè)橢圓的離心率等于，、、分別是橢圓的三個(gè)不同的頂點(diǎn)，的面積為2．(1)求橢圓的方程；(2)若、是橢圓的左、右頂點(diǎn)，動點(diǎn)、為橢圓上異于、的兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，且，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率的值和面積，可得a、b、c的值，即可求出橢圓的方程（2）設(shè)直線AP的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得P的坐標(biāo)，同理可得Q的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線PQ的方程，可證得直線經(jīng)過定點(diǎn).【詳解】（1）由題意可知：，解得，所以橢圓的方程.（2）由（1）可知：，由題意可知：直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線的斜率，直線的方程為，聯(lián)立消去得，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，則，即，代入，得，即.同理：直線的方程為，聯(lián)立，消去得.因?yàn)橹本€過點(diǎn)，則，即，代入，得，即，若，則，即直線的斜率，直線的方程為，令，解得，可得直線過定點(diǎn).若，此時(shí)，直線也過點(diǎn).所以直線過定點(diǎn).68．（24-25高二下·浙江·期中）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù).(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；(2)已知，，是動點(diǎn)的軌跡上的三點(diǎn)，且圓與直線，都相切，且（ⅰ）求圓的半徑；（ⅱ）試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）為定值【分析】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用直接法列方程，化簡即可；（2）（i）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)及圓方程，結(jié)合圓與直線，都相切，且，可得解；（ii）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)在橢圓上，且化簡可得解.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離，且，則，化簡可得，即點(diǎn)的軌跡方程為；（2）（ⅰ）設(shè)點(diǎn)，圓的方程為，因?yàn)樵趧狱c(diǎn)的軌跡上，所以點(diǎn)滿足①，設(shè)過原點(diǎn)且圓相切的直線為，所以，化簡可得

②，因?yàn)閳A與直線，都相切，所以，滿足②式，所以③，由①可知代入③式可得，即，所以圓的半徑為；（ⅱ）設(shè)，，因?yàn)?，兩點(diǎn)在動點(diǎn)的軌跡上，所以，即，因?yàn)?，代入可得，即，所以所以為定?69．（24-25高二下·湖北宜昌·期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．(1)求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于兩點(diǎn)，且，試探究直線是否恒過一個(gè)定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)，若不是，說明理由．【答案】(1)(2)直線過定點(diǎn)．【分析】（1）利用給定的離心率和橢圓經(jīng)過的點(diǎn)求出基本量，進(jìn)而得到橢圓方程即可.（2）聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理得到，再利用得到，最后分類討論求解定點(diǎn)即可.【詳解】（1）因?yàn)殡x心率為，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，因?yàn)椋越獾?，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①若直線斜率不存在，根據(jù)對稱性可知為等腰直角三角形，得到，此時(shí)，則直線，與橢圓方程聯(lián)立，解得，故直線過橢圓左焦點(diǎn)，即，②若直線斜率存在，如圖，設(shè)，聯(lián)立方程組，消去得，由韋達(dá)定理可知，由已知得，且設(shè)，可以求出直線方程為，令，得到，，故，又因?yàn)?，故，代入韋達(dá)定理得，求得，即，得到或，當(dāng)時(shí)，直線過，此時(shí)三點(diǎn)重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線方程為，此時(shí)直線AB過定點(diǎn)綜上所述：直線過定點(diǎn)．70．（2025·黑龍江哈爾濱·二模）橢圓與圓和圓都外切．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)A，B分別為橢圓E的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，K為橢圓E上動點(diǎn)（異于A，B），直線與橢圓E交于另一點(diǎn)H．若直線與交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在定直線l上；(3)在（2）的條件下，設(shè)直線與直線l交于Q點(diǎn)，橢圓E在點(diǎn)K處的切線與l交于R，①求證：．②求面積取最小值時(shí)K點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析(3)①證明見解析；②【分析】（1）結(jié)合圖形可得，進(jìn)而得橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理可得關(guān)系式，再由直線聯(lián)立解得點(diǎn)坐標(biāo)，將關(guān)系式代入化簡可得點(diǎn)在直線上；（3）①求出切線方程，依次求出坐標(biāo)，得為中點(diǎn)，進(jìn)而由向量極化恒等式可證；②利用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表達(dá)出面積函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可得.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為；由題意橢圓E與兩圓都外切，結(jié)合圖形可知，，故橢圓E的方程為.（2）由橢圓E的方程為可知，由題意知，不垂直于軸，故可設(shè)直線，由焦點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則直線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程得，由韋達(dá)定理得，則（），又直線方程為，方程為，設(shè)兩直線交點(diǎn)，則聯(lián)立方程，解得，將（）式代入化簡得，故點(diǎn)P在定直線上.（3）①由題意知橢圓E在點(diǎn)處的切線斜率存在，可設(shè)切線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓E方程消得，，由直線與橢圓相切，則，化簡得，由，得代入上式得，解得，故，令，得直線，令得；直線，令得；由，故為線段的中點(diǎn)，，得證.②由，則則，則的面積.令，，則，由解得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值.即面積S取最小值時(shí)K點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．71．（24-25高二下·上海普陀·期中）已知，橢圓，點(diǎn)是該橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的，兩點(diǎn)．(1)當(dāng)且的斜率為1時(shí)，求；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；(3)是否存在實(shí)數(shù)，使得對于任意的直線，都不是直角．若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）聯(lián)立與橢圓的方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出的值.（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求出函數(shù)關(guān)系進(jìn)而求出范圍.（3）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得到，結(jié)合不成立，得出方程無解，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）橢圓的右焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線，不妨令點(diǎn)在第一象限，由，解得，，所以.（2）當(dāng)斜率為時(shí)，，，則；當(dāng)斜率不存在時(shí)，，，則；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，由消去整理得，，，而，則，令，得且，則，所以的取值范圍為.（3）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，由消去并整理得，，，設(shè)，而，，于是，對于任意的直線，都不是直角，則恒成立，因此方程無解，即無解，則，解得，又，于是或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.1．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的意義求解.【詳解】由，，得，，所以在上的投影向量為.故選：C2．（24-25高二下·廣東江門·期中）若，，是圓上不同的三點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到半徑，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后由正弦定理計(jì)算可得.【詳解】圓，即，所以圓心為，半徑，因?yàn)?，又，解得（?fù)值舍去），在中由正弦定理，所以.故選：C3．（24-25高二下·云南·期中）直線與圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)的值為（

）A．2 B．4 C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)面積公式分析可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積取到最大值，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，因?yàn)槊娣e，當(dāng)且僅當(dāng)，即為等腰直角三角形時(shí)，等號成立，此時(shí)圓心到線的距離，所以.故選：C.4．（24-25高二下·云南曲靖·期中）已知曲線：和直線：有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．不存在【答案】A【分析】由題意知直線過定點(diǎn)，即可判斷與圓的位置關(guān)系，最后由圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】易知，直線過定點(diǎn)，曲線表示圓心為，半徑為2的圓，定點(diǎn)在圓外.由與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，與圓相切，此時(shí)圓心到直線的距離，解得，故選：A.5．（24-25高二下·貴州黔西·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P到直線的最大值是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)的軌跡可得.【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，整理得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，所以點(diǎn)到直線的最大距離．故選：B．6．（24-25高二上·天津·期中）已知空間中三點(diǎn)，，，則（

）A．與是共線向量 B．的單位向量是C．平面ABC的一個(gè)法向量是 D．與夾角的余弦值是【答案】C【分析】A選項(xiàng)，求出，設(shè)，無解，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，利用進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，計(jì)算出，得到垂直關(guān)系，進(jìn)而得到C正確；D選項(xiàng)，求出，利用夾角余弦公式得到D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，，設(shè)，則，無解，故與不是共線向量，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，的單位向量為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由于，，與均垂直，又由A知，與不共線，故平面ABC的一個(gè)法向量是，C正確；D選項(xiàng)，，設(shè)與夾角為，則，D錯(cuò)誤.故選：C7．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在直三棱柱中，，，是線段的中點(diǎn)，在內(nèi)有一動點(diǎn)（包括邊界），則的最小值是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，因?yàn)槲挥诘耐瑐?cè)，設(shè)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，根據(jù)求解.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)A關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，，則，．設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以，所以A與到平面的距離，即

①．又，所以，即

②．由①②得，由可得，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號，所以的最小值為．故選：C.8．（24-25高二下·浙江杭州·期中）在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，D在線段上，則下面說法中不正確的是（

）A．平面B．直線與平面所成角的正弦值為C．直三棱柱的外接球半徑為D．直線與直線所成角最小時(shí)，線段長為【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系利用空間位置關(guān)系的向量證明可得A正確，再由線面角的向量求法計(jì)算可得B正確，確定直三棱柱的外接球球心位置可計(jì)算半徑為，即C正確，利用異面直線向量求法求出直線與直線所成角最小時(shí)點(diǎn)的位置，可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)槭侵比庵?，所以平面，又平面，所以，又，即；因此兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：對于A，又，所以，可得，顯然平面的一個(gè)法向量為，所以，又平面，所以平面，即A正確；對于B，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，所以因此與平面所成角的正弦值為，即B正確；對于C，因?yàn)椋?，所以為等腰直角三角形，所以其外接圓圓心為的中點(diǎn)，外接圓半徑為；因此可得直三棱柱的外接球球心即為的中心，易知，則外接球半徑為，因此C正確；對于D，易知，所以，由在線段上，可設(shè)，其中，所以，因此直線與直線所成的角的余弦值為，令函數(shù)，可得；易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，再結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性可得此時(shí)直線與直線所成的角最小，因此，所以，因此線段長為，即D錯(cuò)誤.故選：D9．（24-25高二下·云南曲靖·期中）已知，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，若的周長為14，則的離心率為.【答案】/【分析】由焦點(diǎn)三角形周長得到，即可求解.【詳解】因?yàn)椋謩e是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，所以的周長為14，所以，，解得，故離心率.故答案為：10．（24-25高二下·上海寶山·期中）已知橢圓為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上只存在個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】利用橢圓的對稱性，結(jié)合條件，將問題轉(zhuǎn)化成以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與橢圓沒有交點(diǎn)，即可求解.【詳解】若，由橢圓的對稱性知，此時(shí)上有兩個(gè)點(diǎn)符合條件，若，由橢圓的對稱性知，此時(shí)上有兩個(gè)點(diǎn)符合條件，又橢圓上只存在個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形，則橢圓上不存在點(diǎn)，使，則以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與橢圓沒有交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，故答案為：.11．（24-25高二下·上?！て谥校┮阎€：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，設(shè)P是曲線上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)C滿足，且的最大值為7，則的值是．【答案】7或【分析】設(shè)，寫出兩點(diǎn)間的距離公式，分類利用配方法求最值，可得m值，結(jié)合，求得的值．【詳解】由曲線：，得，則，設(shè)，則，得，設(shè)，則，若，則，得，即，解得或（舍去）．此時(shí)，則，由，得；若，，得，即，解得或（舍去）．此時(shí)，則，由，得故的值為7或．故答案為：7或

12．（24-25高二下·上海徐匯·期中）已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形三邊關(guān)系可構(gòu)造不等式求得的范圍，根據(jù)雙曲線和橢圓定義可利用表示出，從而得到，結(jié)合的范圍可得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為c，橢圓長半軸為，雙曲線實(shí)半軸為，，，是以為底邊的等腰三角形，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，，即，，且，，，，解得：．在雙曲線中，，；在橢圓中，，；；，，則，，可得：，的取值范圍為.故答案為：13．（25-26高二上·廣東·期中）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)．若，，且△的面積為，則橢圓的方程為．【答案】【分析】由、及橢圓定義，可得，，，，再由余弦定理可得，又三角形的面積為，可求得，進(jìn)而求出橢圓方程.【詳解】設(shè)，則，所以，又，所以，又，所以，所以，，，，所以，所以，所以，所以，所以，又三角形的面積為，所以，所以，所以，所以，所以，所以橢圓的方程為．故答案為：．

14．（24-25高二上·天津·期中）已知圓C的方程為(1)若直線l經(jīng)過圓C的圓心，且傾斜角為，求直線l的方程；(2)若直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則圓心坐標(biāo)可求，再由點(diǎn)斜式方程求解即可得答案；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合勾股定理知識可求解.【詳解】（1）由題意得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心坐標(biāo)為，由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線方程