3/3專題06圓錐曲線壓軸大題熱門(mén)處理技巧（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律非對(duì)稱韋達(dá)掌握非對(duì)稱韋達(dá)的處理技巧.重難必考點(diǎn)，常使用在大題壓軸，簡(jiǎn)化計(jì)算定比點(diǎn)差法掌握定比點(diǎn)差法的應(yīng)用條件.重難必考點(diǎn)，常使用在大題壓軸，簡(jiǎn)化計(jì)算平移齊次化掌握平移齊次化的應(yīng)用條件.重難必考點(diǎn)，常使用在大題壓軸，簡(jiǎn)化計(jì)算極點(diǎn)極線極點(diǎn)極線初步應(yīng)用.重難必考點(diǎn)，常使用在大題壓軸，簡(jiǎn)化計(jì)算知識(shí)點(diǎn)01非對(duì)稱韋達(dá)在一元二次方程中，若，設(shè)它的兩個(gè)根分別為，則有根與系數(shù)關(guān)系：，借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理來(lái)快速處理之類的結(jié)構(gòu)，但在有些問(wèn)題時(shí)，我們會(huì)遇到涉及的不同系數(shù)的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求或之類的結(jié)構(gòu)，就相對(duì)較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達(dá)定理來(lái)處理了．特別是在圓錐曲線問(wèn)題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去或，也得到一個(gè)一元二次方程，我們就會(huì)面臨著同樣的困難，我們把這種形如或之類中的系數(shù)不對(duì)等的情況，這些式子是非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，稱為“非對(duì)稱韋達(dá)”．知識(shí)點(diǎn)02定比點(diǎn)差法1、定比點(diǎn)差法是一種在解析幾何有應(yīng)用的方法。在解析幾何中，它主要用于處理非中點(diǎn)弦問(wèn)題，通過(guò)設(shè)定線段上的定比分點(diǎn)，利用圓錐曲線上兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系與差異，通過(guò)代點(diǎn)、擴(kuò)乘、作差等步驟，解決相應(yīng)的圓錐曲線問(wèn)題。定比點(diǎn)差法的核心思想是“設(shè)而不求”，即設(shè)定未知數(shù)但不直接求解，而是通過(guò)代數(shù)運(yùn)算消去未知數(shù)，得到所需的結(jié)果。這種方法在處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，能夠簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，提高解題效率。2、定比分點(diǎn)公式（1）已知，若點(diǎn))滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)．3、定比點(diǎn)差法當(dāng)為橢圓上的兩點(diǎn)，為弦上任意一點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)滿足若在橢圓則;點(diǎn)滿足，可得到，①－②得：，聯(lián)立消元后即可用與定分比表示.知識(shí)點(diǎn)03平移齊次化1、齊次化是一種數(shù)學(xué)處理方法，它通過(guò)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次形式（即各項(xiàng)次數(shù)相等）來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算和提高求解效率。在解析幾何中，齊次化常用于處理與斜率相關(guān)的問(wèn)題，如過(guò)某定點(diǎn)的兩條直線的斜率關(guān)系。通過(guò)齊次化聯(lián)立，可以將復(fù)雜的二次曲線方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的一元二次方程，從而更容易地求解斜率之和或斜率之積等問(wèn)題。2、如果公共點(diǎn)在原點(diǎn)，不需要平移.如果不在原點(diǎn)，先平移圖形，將公共點(diǎn)平移到原點(diǎn)，無(wú)論如何平移，直線斜率是不變的.注意平移口訣是“左加右減，上減下加”.設(shè)平移后的直線為，與平移后的圓錐曲線方程聯(lián)立，一次項(xiàng)乘以，常數(shù)項(xiàng)乘以，構(gòu)造，然后等式兩邊同時(shí)除以(前面注明x不等于0)，得到，可以直接利用根與系數(shù)的關(guān)系得出斜率之和或斜率之積，即可得出答案.如果是過(guò)定點(diǎn)題目，還需要還原，之前如何平移，現(xiàn)在反平移回去.知識(shí)點(diǎn)04極點(diǎn)極線1、極點(diǎn)極線是數(shù)學(xué)中的重要概念，尤其在圓錐曲線研究中占據(jù)關(guān)鍵地位。極點(diǎn)通常指圓錐曲線上的特殊點(diǎn)，其切線方程與曲線方程相同；對(duì)于不在曲線上的點(diǎn)，其關(guān)于曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)軌跡形成的直線也被稱為極線。極線則是與極點(diǎn)緊密相關(guān)的一條直線，對(duì)于曲線上的極點(diǎn)，其極線即為該點(diǎn)處的切線；對(duì)于曲線外的點(diǎn)，其極線則是通過(guò)該點(diǎn)作曲線的兩條切線所得的切點(diǎn)弦.2、（1）二次曲線極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線為（半代半不代）（2）圓錐曲線的極點(diǎn)極線（以橢圓為例）：橢圓方程，極點(diǎn)，則極點(diǎn)在橢圓外，為橢圓的切線，切點(diǎn)為，則極線為切點(diǎn)弦；②極點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線，則極線為切線；③極點(diǎn)在橢圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的弦，分別過(guò)作橢圓切線，則切線交點(diǎn)軌跡為極線；題型一非對(duì)稱韋達(dá)1．已知、分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，、在橢圓上，且，設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：為定值．2．橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)求橢圓方程；(2)橢圓上,下頂點(diǎn)為,，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于異于,的兩點(diǎn),，直線,的交點(diǎn)在一條定直線上，求出該定直線方程.3．（25-26高三上·四川成都·月考）已知橢圓，點(diǎn)，，在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程．(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)．（?。┤鬙為原點(diǎn)，求面積的最大值；（ⅱ）點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q是線段MN上異于M，N的一點(diǎn)，直線QA，QM的斜率分別為，，且，求的值．4．（25-26高三上·浙江·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)雙曲線的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)為A、B，過(guò)右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上．5．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．題型二定比點(diǎn)差法1．已知橢圓，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F且斜率為的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的上方），若有，求橢圓的離心率．2．已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若，橢圓C上四點(diǎn)M，N，P，Q滿足，，求直線MN的斜率.3．過(guò)的直線與橢圓交于P，Q，過(guò)P作軸且與橢圓交于另一點(diǎn)N，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，若，求證：4．已知橢圓，．過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)，，求證：為定值5．已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求的值；(3)設(shè)，延長(zhǎng)AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，直線CD的斜率為，求證：為定值．題型三平移齊次化1．已知橢圓，過(guò)其上一定點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別交于橢圓于，兩點(diǎn)，證明：直線斜率為定值．

2．已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若直線的斜率之和為，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．3．如圖，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)且垂直于軸的直線與橢圓相交于?兩點(diǎn)(在的上方)，.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)?是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，試問(wèn)直線的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.4．已知圓的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)為圓上的任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)點(diǎn)是圓上異于點(diǎn)和的任一點(diǎn)，直線與軌跡交于點(diǎn)，，直線與軌跡交于點(diǎn)，．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，，的斜率分別為，，，，問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．已知橢圓的離心率為，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)并垂直于軸的直線交橢圓于，（點(diǎn)位于軸上方）兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線交橢圓于，（，異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，且直線與的斜率之積為，求點(diǎn)到直線距離的最大值.題型四極點(diǎn)極線1．如圖所示，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率，過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓的方程．(2)設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．2．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過(guò)軸上一點(diǎn)作一直線，與橢圓交于兩點(diǎn)（異于），直線和的交點(diǎn)為，記直線和的斜率分別為，求的值．3．如圖，四邊形ABCD是橢圓的內(nèi)接四邊形，直線AB經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)，直線AC，BD交于右焦點(diǎn)，直線AB與直線CD的斜率分別為．(1)求證：為定值；(2)求證：直線CD過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．4．如圖，點(diǎn)分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若直線與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．5．已知實(shí)數(shù)，且過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)．(1)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、的斜率分別為、，若，求的值；(2)設(shè)直線、與曲線分別相切于點(diǎn)、，點(diǎn)為直線與弦的交點(diǎn)，且，，證明：為定值．6．閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點(diǎn)P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理①當(dāng)P在圓錐曲線G上時(shí)，其極線l是曲線G在點(diǎn)P處的切線；②當(dāng)P在G外時(shí)，其極線l是曲線G從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)P在G內(nèi)時(shí)，其極線l是曲線G過(guò)點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問(wèn)題：(1)已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫(xiě)出與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，是否存在定點(diǎn)T恒在直線MN上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線MN的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：60分鐘）1．已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于點(diǎn)M、N，且的周長(zhǎng)為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)（i）求的最小值；（ii）記直線AM、BN的斜率分別為、，證明：為定值.2．已知橢圓：（）過(guò)點(diǎn)，且離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在定直線上，并求出該定直線的方程．3．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn).若過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.4．已知雙曲線和點(diǎn)，作直線與的兩支分別交于點(diǎn)，，使得．若，斜率均存在，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．5．已知橢圓C：，，為其左右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)A，直線橢圓交于點(diǎn)B，設(shè)，，求證：為定值．6．已知橢圓，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的割線PAB，C為B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)．求證：直線AC恒過(guò)定點(diǎn)．7．已知，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，（可以重合），求取值范圍．8．已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ⅰ求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；Ⅱ已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足，證明：點(diǎn)Q總在定直線上．9．左、右焦點(diǎn)分別為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，的重心為，內(nèi)心為．(1)求橢圓的方程；(2)若為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線為切點(diǎn)，問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2025·新疆·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線，點(diǎn)到的兩條漸近線距離之比為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，.(1)求的方程；(2)若點(diǎn)都在的右支上，且與軸交于點(diǎn)，設(shè)，求的取值范圍.11．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為上頂點(diǎn)，離心率為，直線與圓相切.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)橢圓方程，平面上有一點(diǎn).定義直線方程是橢圓在點(diǎn)處的極線.①若在橢圓上，證明:橢圓在點(diǎn)處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線;②若過(guò)點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為，割線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線，且相交于點(diǎn).證明:三點(diǎn)共線.12．設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上期中重難突破練（測(cè)試時(shí)間：60分鐘）1．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，，，是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，，若，求的值．2．已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為2，，分別是的左、右頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn).(1)當(dāng)軸時(shí)，求.(2)若，且直線的斜率大于0，（i）求的方程；（ii）證明：直線與的斜率之比為定值.3．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，線段上一點(diǎn)滿足，求的最小值．4．如圖，過(guò)橢圓上的定點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩直線，設(shè)其分別交橢圓于兩點(diǎn)，求證：直線的斜率是定值.5．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)設(shè)的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)且不與軸重合的直線與交于P，Q兩點(diǎn)，直線QF與交于另一點(diǎn)，設(shè)直線MP和MR的斜率分別為和，證明：為定值．6．已知點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，直線.(1)若圓的弦恰好被點(diǎn)平分，求弦所在直線的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦，求四邊形的面積的最大值；(3)若，是上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為.證明：直線過(guò)定點(diǎn).7．已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．(1)求的方程；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)，求；(3)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交于不同的兩點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且滿足，證明：點(diǎn)在某定直線上，并求出該定直線的方程．8．已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，且的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為，作