模塊四統(tǒng)計(jì)與概率

微專題12計(jì)數(shù)原理

微點(diǎn)1

例1(1)D⑵240［解析］⑴如圖，分以下三種情況討論:百五種顏色全用上冼涂A8C

三點(diǎn)，有Ag種涂法，然后在三點(diǎn)中選擇兩點(diǎn)涂另外兩種顏色，有A5種涂法，最后一個(gè)點(diǎn)

有2種涂法，此時(shí)共有AgA：x2=720(種)涂法;②？7用四種顏色涂色，則有《種選擇方法，先涂

人三點(diǎn)，有A：種涂法，然后在小囚,G三點(diǎn)中選擇一點(diǎn)涂最后一種顏色，有3種涂法，不妨設(shè)

涂最后一種顏色的為點(diǎn)Ai,若點(diǎn)&與點(diǎn)4同色，則點(diǎn)Ci只有一種顏色可選，若點(diǎn)&與點(diǎn)C同

色，則點(diǎn)G有兩種顏色可選，此時(shí)共有《AXx3x(l+2)=1080(種)涂法;含喏用三種顏色涂色，則

有髭種選擇方法冼涂4BC三點(diǎn)，有“種涂法，點(diǎn)4有兩種顏色可選，則8C均只有一種顏色

可選，此時(shí)共有CgAgx2=120(種)涂法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有720+1080+120=1920(^)

涂法.故選D.

(2)〃力工為取自0,123,4,5,5,7,8,9的不同的三個(gè)數(shù)字，最小的數(shù)字放在十位上，余下兩個(gè)數(shù)字放

在百位和個(gè)位上，故沒有重復(fù)數(shù)字的三位“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為2XC;O=2X12O=24O.

【自測題】

1.B［解析］將兩個(gè)0視為一個(gè)元素，將兩個(gè)9也視為一個(gè)元素,所以小明可以設(shè)置不同的密

碼的個(gè)數(shù)為或=24.故選B.

2.B［解析］當(dāng)甲跑第1棒時(shí)，乙可跑第2棒或第4棒，共有A3A：=24(種)安排方案;當(dāng)甲跑第2

棒時(shí)，乙只能跑第4棒洪有A：=12(種)安排方案.故甲、乙都參加的不同安排方案種數(shù)為

24+12=36.故選B.

微點(diǎn)2

例2(i)B(2)280(3)1［解析］⑴。-2)5的展開式的通項(xiàng)為。+尸或*(-2)，令5-E,得『4,

故75二禺氏2)4=80*(叱1)6的展開式的通項(xiàng)為，+尸底.*(4)&，令6<=1,得k=5,故

入式江(-1)5=6<所以0=80-6=74.故選B.

⑵（2%-專丫的展開式的通項(xiàng)為7；+產(chǎn)C*2x產(chǎn)（-專）”二仁?27/<-1）￡，殺,D,l,2，…,7.令7步1,

得E;令73=-1,得左號:舍去）.所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為?x23x（-l）4x?1=280.

⑶令x=1,可得ao+a\+。2+。3+。4=I.

【自測題】

1.1024［解析］在G-xpuGo+mx+aiF+aw5+aif+a5A§中環(huán)⑷⑷均為負(fù)數(shù),俏工⑵出均為正數(shù)，

令x=-1,得|如1+1。11+IsI+1。31+gI+依I=ao-ai+。2-。3+出-的=45=1024.

［解析］（/+,2）2伏+〃2）3=（匕：）%+〃?）3,則其展開式的通項(xiàng)為

k

C“1）/人?C5"F'=（-I此￡0〃?\"2,oWrW3,OWAW4/,%￡Z.令7->24=3,得上1,片2或

k=2/=0,所以（-l）QC仙2+（_］優(yōu)式物°二3,即-12〃尸+6=3,可得〃『提

3.-56［解析］：［1+。+1）］8=f=如+。心+1）+。2（%+1）2+…+。8（/1）\?：。3=盤（-1產(chǎn)3=-56.

1.D［解析］依據(jù)比例分配的分層隨機(jī)抽樣可知，從該校初中部和高中部抽取的學(xué)生人數(shù)的

比為黑;2,故應(yīng)從初中部抽取40人,從高中部抽取20人,所以不同的抽樣結(jié)果共有禺%'C盤。

種.故選D.

2.B［解析］方法一:先利用捆綁法將丙和丁看作一個(gè)整體,排乙、丙、丁、戊四人，有AgAg種

情況兩利用插空法選甲的位置有Q種情況，故共有人%北廣24（種）滿足題意的不同排列方式,

故選B.

方法二:若甲沒有限制條件，則利用捆綁法將丙和丁看作一個(gè)整體，排五人有A^A芻種情況淇中

甲站在兩端的情況有C；A制,種，所以共有AZAQGA弘;=24（種）滿足題意的不同排列方式，故

選B.

3.C［解析］甲場館有禺種安排方法，乙場館有釐種安排方法，丙場館有0種安排方法,總共有

/CgG=60（種）安排方法.

4.8-2［解析］（41）4的展開式的通項(xiàng)為4+k當(dāng)r=3時(shí)以二C打（-?=4,當(dāng)r=2

時(shí),4二鬃/（-1）2=6*,所以〃2=-4xl+6x2=8.令X=l,得40+“1+42+43+44+45=0,令x=0,得40=2,

故。1+〃2+的+。4+。5=-2.

5.60［解析］（2%3［）6的展開式的通項(xiàng)為%］=C￡2馬叫］）、（/）&26-385,令限4「=2,得

r=4,?：f的系數(shù)為(-1)4x0x264=60.

6.64［解析］若選修2門課，則需要從體育類和藝術(shù)類選修課中各選1門，有C；以=16（種〕方案;

若選擇3門課，則包含兩種情況:選2門體育類,1門藝術(shù)類或2門藝術(shù)類,1門體育類，有

第以+禺出=48（種）方案.故不同的選課方案共有16+48=64（種）.

7.-28［解析］（工+），）8的展開式的通項(xiàng)為小尸令r=6,得0=。/）,6=28.06;令「二5得

所以（1-（）。+）爐的展開式中Ary6的系數(shù)為1x28+（-i）x56=-28.

微專題13統(tǒng)計(jì)與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

微點(diǎn)1

例1(1)D(2)ABD［解析］(1)由頻率分布直方圖可得10x(2a+3a+7a+6a+2a)=l,解得

“二().005,故A錯(cuò)誤;前三個(gè)矩形的面積為(2〃+3a+7〃)x10=0.6,所以估計(jì)這20名學(xué)生的成績的

第60百分位數(shù)為80,故B錯(cuò)誤;估計(jì)這20名學(xué)生的成績的眾數(shù)為誓=75,故C錯(cuò)誤;估計(jì)這

1(X)0名學(xué)生中成績在［60,70)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為34X10x1000=150,故D正確.故選D.

(2)對于A選項(xiàng),從扇形圖可看出芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中.90后占比為55%,超過50%,A正確；

對于B選項(xiàng),芯片、軟件行業(yè)中，從事技術(shù)、設(shè)計(jì)崗位的90后人數(shù)占總?cè)藬?shù)的

55%x(37%+13%)=27.5%,超過25%、B正確;對于C選項(xiàng),芯片、軟件行業(yè)從事技術(shù)崗位的人

中,90后人數(shù)占總?cè)藬?shù)的55%x37%=20.35%,芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中80后的人數(shù)占總?cè)藬?shù)

的40%,但不知道從事技術(shù)崗位的占比C錯(cuò)誤;對于。選項(xiàng)，芯片、軟件行業(yè)也90后從事市場

崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的55%xl4%=7.7%,80前的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的5%,。正確.故選ABD.

【自測題】

1.ACD［解析］對于A,中位數(shù)是把數(shù)據(jù)從小到大依次排列后，排在中間位置的數(shù)或中間位置

的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，因?yàn)槿サ糇钚≈岛妥畲笾?，所以中間位置的數(shù)相對位置保持不變,故新數(shù)

據(jù)的中位數(shù)保持不變，故A一定正確;對于B,平均數(shù)受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響,故去掉最小值

和最大值后，余下數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能會改變，故B不一定正確;對于C,方差反映數(shù)據(jù)的離散程

度，當(dāng)去掉最小值和最大值后，數(shù)據(jù)的離散程度減小，故方差減小，故C?定正確;對于D,極差是

最大值與最小值之差，是原來數(shù)據(jù)里面任意兩個(gè)數(shù)據(jù)差值的最大值,故去掉最小值和最大值后,

新數(shù)據(jù)的極差必然小于原數(shù)據(jù)的極差，故D一定正確.故選ACD.

2.AC［解析］對于A,由折線圖可知,2010年至2022年每年新生兒數(shù)量的13個(gè)數(shù)據(jù)中有10

個(gè)數(shù)據(jù)大于1400萬,3個(gè)數(shù)據(jù)小于1400萬，易知2010年至2022年每年新生兒數(shù)量的平均數(shù)

大于1400萬,故選項(xiàng)A正確;對于B,共有13個(gè)數(shù)據(jù)，因?yàn)?3x25%=3.25,所以第一四分位數(shù)是

將13個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列后的第4個(gè)數(shù)據(jù)，由折線圖可知，第4個(gè)數(shù)據(jù)為2019年

新生兒的數(shù)量，其值大于1400萬,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對于C,由折線圖可知,2015年至2022年每年

新生兒數(shù)量呈現(xiàn)先增加后卜降的變化趨勢,故選項(xiàng)C正確;對于D,由折線圖可知,2010年至

2016年每年新生兒數(shù)量的波動比2016年至2022年每年新生兒數(shù)量的波動小，所以2010年至

2016年每年新生兒數(shù)量的方差小于2016年至2022年每年新生兒數(shù)量的方差,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選AC.

微點(diǎn)2

例2解:⑴估計(jì)水庫的平均水位三￡匕產(chǎn)75.80l(m),估計(jì)BS3號滲壓計(jì)管內(nèi)的平均水位

1U

歹4斗=72.9325).

1010_1010_10

⑵Z(為次)2=Z(律2加+乃=Zxf-2x?Z為+10/=Z②血,

i=li=li=li=li=l

10__10___________10

z(x/-x)0^-y)=Z(Xiyi-xyi-yxi+xy)=￡1Oxy,

i=li=li=l

io_io

X(Xj-xXyj-y)工應(yīng)力-10、歹

?U—t-1______________t-1_______________

??D-io7—io,-

X(Xi-x)2X^f-iox2

i=li=l

55283210X75.801X72.932

比0.2294%0.23,

57457.98-10X75.8012

a=y-b5=72.932-0.2294x75.801^55.54.

?:BS3號滲壓計(jì)管內(nèi)水位y關(guān)于水庫水位x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.23x+55.54.

⑶當(dāng)x=76時(shí),y=0.23x76+55.54=73.02,,：當(dāng)水庫的水位為76m時(shí)，估計(jì)BS3號滲壓計(jì)管內(nèi)水

位為73.02m.

ZXiYi-9xy

115.10-9x2.57x6.20-28.306

例3解:(1)由題意,/=：一1&-0.97,

29.3029.30

」(苫得即)(紛9力

?：|「產(chǎn)0.97>0.75,?:行駛里程x與輪胎凹槽深度y負(fù)線性相關(guān)，且線性相關(guān)程度很強(qiáng).

⑵丁放M).998>R；R).952,」非線性回歸模型的擬合效果更好.

【自測題】

解:⑴因?yàn)閥=a?bx,

所以兩邊同時(shí)取自然對數(shù).得Iny=Ina+xlnb,

令y=lny,則v=lna+xlnb.因?yàn)槿f=3歷=1.94,

s

LXjVj-5xv

33.82-5x3xi.94

所以Inb=R---------=0.472.1na=v-x\nb=1.94-0.472x3=0.524.

5S-5X32

所以a=e0524=1.7,b=ea472=1.6.

⑵由⑴知2023年與2024年這兩年的年平均增長率為1.6-1.3=03因?yàn)?022年中國車或音

樂市場規(guī)模為17十億元，所以預(yù)測2024年的中國車載音樂市場規(guī)模為17x(1+0.3)2=28.73(十

億元).

微點(diǎn)3

例4解:(1)補(bǔ)全的2x2列聯(lián)表如下.

單位:次

賽制

獲勝方合計(jì)

舊賽制新賽制

甲6915

乙415

合計(jì)101020

零假設(shè)為為：獲勝方與賽制無關(guān)聯(lián).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得/=甯笠"=2.4<3.841書)3,根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立

性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷為不成立，因此可以認(rèn)為，。成立，即認(rèn)為獲勝方與賽制無關(guān)聯(lián).

(2)⑴由題意知內(nèi)在1道搶答題中的作答情況共有三類:搶答成功但答錯(cuò)，未搶答成功，搶答成

功且答對，

故X的所有可能取值為-1,0,2.

尸(X=-l)=0.6x0.2=0.12,P(X=0)=0.4,P(X=2)=0.6x0.8=0.48,所以X的分布列為

X-102

P0.120.40.48

F(X)=-1x0.12+2x0.48=0.84.

(ii)在舊賽制下，丙總得分的期望為3xp+3xO.84=2.52+3〃：

在新賽制下，丙總得分的期望為4xp+2x().84=l.68+4〃.

由題意得|〃-0.84|W0.1,解得0.74WPW0.94,所以〃的取值范圍為[0.74,0.94].

【自測題】

200X(40X9&60X10)2

解:⑴由題知/二=24>6.635,

50x150x100x100

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

___P(4B)P港)______P(AB)嗝歷__

⑵⑴證明:由題知R=鬻微=矗矗P(A8)P(AB)_P(AB)P(AB)_~^.P頒)

P(AB)P(AB)~P(AB)P(AB)~P(感I~P(A\B)P(4|萬).

P(A)p(A)P(B)P(B)

(ii)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知P(A|B戶益=|『(4區(qū))=益*,則-尸(川8)胃,尸(彳歷)得,所以

22

-

X

43.110

一

5一

10

LAC[解析]中位數(shù)和平均數(shù)反映樣本的集中趨勢;標(biāo)準(zhǔn)差和極差反映樣本的離散程度.故

選AC.

2.BD[解析]對于A,這一組樣本數(shù)據(jù)可取1,2,2,224,則2,2,2,2的平均數(shù)不等于1,222,2,4

的平均數(shù)，故A錯(cuò)誤;對于B,不妨設(shè)X2WX3WX4W鄧，則X2,X3K4,X5的中位數(shù)為空，而

X1/2K3K4J5K6的中位數(shù)也為紅言■，故B正確;對于C,根據(jù)題意可知,X1K2K3K4工546的數(shù)據(jù)波動

性大于MM3K4/5的數(shù)據(jù)波動性，故X2”13K“15的標(biāo)準(zhǔn)差小于XM2K3用盟K6的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯(cuò)誤;

對于D,不妨設(shè)12W13或工4忘45,則即WxzWktWxiWxsWn,故45-X2?死-即,故D正確.故選BD.

3.解:⑴根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100大的空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150的

天數(shù)為32+18+6+8=64,因此該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150

的概率的估計(jì)值為焉=0.64.

(2)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2x2列聯(lián)表：

SQ

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]6416

(75,115]1010

(3)根據(jù)(2)的列聯(lián)表得/二筆安若答比7.484.由于7.484>6.635,故有99%的把握認(rèn)為該

市一天空氣中PM2.5濃度與SO?濃度有關(guān).

微專題14概率

微點(diǎn)1

例1D［解析］從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)和中心中任取4個(gè)點(diǎn)，有弓=126(個(gè))結(jié)果.4個(gè)點(diǎn)恰好構(gòu)

成三棱錐分為兩種情況:①從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)，有弓二70(個(gè))結(jié)果，其中4個(gè)點(diǎn)

在同一平面內(nèi)有6+6=12(個(gè))結(jié)果，故4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三棱錐有70-12=58(個(gè))結(jié)果;②從正方體的8

個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)與中心構(gòu)成三棱錐有6第+8=32(個(gè))結(jié)果.故從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)和中心中

任取4個(gè)點(diǎn)，這4個(gè)點(diǎn)恰好構(gòu)成三棱錐有58+32=90(個(gè))結(jié)果，故所求概率.故選D.

17

【自測題】

D［解析］從1.2,345中任選3個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，有A；5x4x3=60(種)方法.要使

該三位數(shù)能被3整除，只需所選的3個(gè)數(shù)字的和能被3整除，所以當(dāng)所選數(shù)字為123時(shí)，有

A§=3x2xl=6(種)方法,當(dāng)所選數(shù)字為1,3,5時(shí)，有蜴=3x2、l=6(種)方法,當(dāng)所選數(shù)字為2,3,4時(shí),

有怨=3x2x1=6(種)方法,當(dāng)所選數(shù)字為3,4,5時(shí)，有蜴=3x2x1=6(種)方法，共24種方法.所以該

三位數(shù)能被3整除的概率為.故選D.

605

微點(diǎn)2

例2B［解析］對卜A,由題意可知4,4/3不可能同時(shí)發(fā)生，所以AAA兩兩互斥，所以A

錯(cuò)誤;對于B,由題意可得P(A2)WW，P(4B)=鴻=七所以尸(8汝2)=箓￥=宰=；,所以B正確；

對于C因?yàn)槭?4)=衿,尸(備8)=鴻后,尸(8)=P(4田)+「(428)+叫38)=河+送+鴻磊所以

P(438)WP(A3)P(4),所以4與8不是相互獨(dú)立事件，所以C錯(cuò)誤;對于D,由C選項(xiàng)可知D錯(cuò)誤.

故選B.

【自測題】

AC［解析］。(9A)+P(囪用="喘幽:探=1,故A正確;當(dāng)A,3是相互獨(dú)立事件

時(shí),P(8|A)+P(8|不=2P(B)￥0,故B錯(cuò)誤;因?yàn)槿?是相互獨(dú)、,/：事件，所以P(/W)=Q(A)P(8),所以

P(A|8)=鏢=P(A),故C正確;因?yàn)锳,B是互斥事件，所以P(AB)=0,則尸(B|4)=今黑=0,而P(B)

P⑻P(A)

W(0,1),故D錯(cuò)誤.故選AC.

微點(diǎn)3

例3(1)5(2)0.03［解析］⑴甲隊(duì)以3：0獲勝，即三局比賽都是甲隊(duì)獲勝，概率是(|)、急,

甲隊(duì)以3門獲勝，即前三局比賽有兩局甲隊(duì)獲勝，第四局比賽甲隊(duì)獲勝,概率是

髭x仔)晨白白光.設(shè)“甲隊(duì)本場比賽所得積分為3分”為事件4“甲隊(duì)前兩局比賽都獲勝”

\5755625

為事件B,甲隊(duì)以3:1獲勝,且前兩局比賽都是甲隊(duì)獲勝，第四局比賽甲隊(duì)獲勝的概率是

圖葭"白券則P5)=喘+覆=翳P(A8)=卷+羨=翳所以在甲隊(duì)本場比賽所得積分為3分

189

的條件下，甲隊(duì)前兩局比賽都獲勝的概率為P(8|A尸弁=寨=黑=5.

625

⑵設(shè)事件。為選取的這個(gè)人患了流感/“2/3分別表示任意選取一個(gè)人，這個(gè)人來自人.aC

縣區(qū),根據(jù)題意可知P(AD三,P(4)=*尸(4)=4尸(D|Ai).r(D|A2)=總產(chǎn)(。&)=京，則

P(O)=P(4)P(O|4)+P(A2)P(O|42)+P(&)P(。％)磊喘+金亮+也言與R磊=0.03.

【自測撅】

1.B［解析］由題意知,P(4)=汕刈除尸(用4)=軍)P(8|A2)=9W，所以

夕(8)=夕(48)+尸(人弟)=尸(4)尸(8|4)+2042)尸(5依2)=3盤+少言=會.故選B.

23［解析］設(shè)考生會答該題為事件人不會答該題為事件叢該考生回答正確為事件C則

204)=h(8)=1￥04)=第(0=。(八)+加8足+卜：二;,故已知該考生回答正確,他確實(shí)會答該

55454510

題的概率為P⑷。尸鬻L"泮二需苔

1.D［解析］從2至8的？個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有&=21(種)情況,其中不互質(zhì)的

包括從246,8中取2個(gè)不同的數(shù)，或取3和6,共有第+1=7(種)情況，所以互質(zhì)的共有

21-7=14件中)情況,所以所求概率P=^=|.

2.B［解析］記甲、乙、丙、丁四個(gè)事件分別為A,8,CD事件A發(fā)生的概率P(A)=±事件8

6

發(fā)生的概率。(8)="。=((2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)},則事件。發(fā)生的概率

6

P(。=9=京。={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},則事件D發(fā)生的概率P(0=授《事件AC

0X000OXQO

為“第一次取出的球的數(shù)字是1且兩次取出的球的數(shù)字之和是8"，為不可能事件,P(4C)=0

WRA)P(C),故甲與丙不相互獨(dú)立;事件AO為“第一次取出的球的數(shù)字是1且兩次取出的球

的數(shù)字之和是7"，P(AO)WX：=!=P(A)P(Q),故甲與丁相互獨(dú)立;事件BC為“第二次取出的

6636

球的數(shù)字是2且兩次取出的球的數(shù)字之和是8"，P(8C)三X：4中P⑻P(。,故事件乙與丙不

相互獨(dú)立;事件CD為不可能事件,P(CD)=OXP(C)P(。),故事件丙與丁不相互獨(dú)立.故選B.

3.ABD［解析］對于A,發(fā)送1,0』,收到1,01的概率分別為1￡1-兄1￡因?yàn)樾盘杺鬏斒窍嗷?/p>

獨(dú)立的，所以由相互獨(dú)立事件的概率公式得，所求概率為(l-a)(l/E故A正確.對于B.采用三次

傳輸方案，發(fā)送1,1,1,收到1,0,1的概率分別為由相互獨(dú)立事件的概率公式得,所求概

率為以故B正確.對于C,采用三次傳輸方案，發(fā)送1,11,收到的譯碼為1,則收到的信號可

能為(1,1,0),(1,0』),(0,1,1),(1,1』),故所求概率為3伙1/戶+(1/)3,故C錯(cuò)誤.對于D,若采用三次

傳輸方案，發(fā)送0,收到的譯碼為0,則收到的信號可能為(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),故所對應(yīng)

的概率P尸3a(l-a)2+(l-a)3,若采用單次傳輸方案，發(fā)送(),則收到信號。即為譯碼,所對應(yīng)的概率

232

尸2=1-區(qū)因?yàn)?vav0.5,所以Pi-P2=3a(l-a)+(l-a)-(l-a)=(l-a)(l+2a)-(l-a)=(l-a)(l-2a)a>0,

所以P>P2,故D正確.故送ABD.

［解析］從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，有《=70(種)情況.這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面時(shí)，

可以是正方體的同一面上的4個(gè)頂點(diǎn)，也可以是正方體對角面上的4個(gè)頂點(diǎn)，共有6+6=12(種)

情況.故所求概率尸二條看

5卷|［解析1方法一:設(shè)4="取到的三個(gè)球都是黑球”，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式得

P(A)=40%x25%x50%=0.05=高設(shè)。="將三個(gè)盒子中的球混合后任取一個(gè)球是白球”，則

P(C)=

5X(L40%)+4X(L25%)+6X(1-50%)_3

S+4+6-5,

方法二:設(shè)A尸“從甲盒子中取到一個(gè)黑球”42="從乙盒子中取到一個(gè)黑球”工3="從丙盒

子中取到一個(gè)黑球"，A二"取到的三個(gè)球都是黑球”，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式，得

P(A)=P(A|)?P(A2)-P(A3)=孤X急.設(shè)c=”將三個(gè)盒子中的球混合后任取一個(gè)球是

白球”，B尸“取到的球是甲盒子中的"，&二"取到的球是乙盒子中的”，B產(chǎn)“取到的球是丙

盒子中的"，則。=以UB2UB3,且即電展兩兩.互斥.根據(jù)題意得

P(C)=P的)P(C網(wǎng))+P(%)戶。肉+尸(&)尸(C|&)qx提+/孤+泉^V

微專題15隨機(jī)變量及其分布

微點(diǎn)1

例1解：(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為

(5x().(X)l+15x0.002+25xaO12+35xO.O17+45xO.O23+55xO.O2O+65xO.O17+75xO.(X)6+85x

0.002)x|0=479(歲).

(2)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的年齡在區(qū)間［20.70)內(nèi)的概率為

1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

⑶設(shè)B:"此人的年齡在區(qū)間［40,50)內(nèi)”，C=“此人患這種疾病”，則由條件概率公式，得

P(C|8)=華=°1%X°：23X1°二°°°1X喳=0.0014375^0.0014,所以若此人的年齡在區(qū)間［40,50)

P(B)16%0.16

內(nèi)，則此人患這種疾病的概率約為0.0014.

【自測題】

解：(1)估計(jì)這200名女生短跑成績的平均數(shù)

x=|1x0.04+13x0.12+15x0.36+17x0.28+19x0.12+21x0.06+23x0.02=16.16.

(2)由題意知X~N(16.16,5.79)/=16.16,『=5.79,o=V^^=2.4l,則"-2。=11.34/+2尸20.98,

故該校女生短跑成績在(11.34,20.98］內(nèi)的概率P=P(//-2a<Ar<//+2a)^0.9545.

9

由題意可得Y~B(10,0.9545),所以P(y=9)=C?oxO.9545x(1-0.9545)^10x0.6576x0.045

5=0.299208,P(r=10)=C}gx0.9545|0^0,6277,

所以P(YW8)=1-P(Y=9)-P［Y=10)^0.073.

微點(diǎn)2

例2解:(1)設(shè)A尸"抽到第一袋"42二"抽到第二袋”,

B="隨機(jī)抽取2名學(xué)生的報(bào)名表，恰好抽到1名男生和1名女生的報(bào)名表”，則

P(4)=P(A2)W，P(B|4)二等蕓］(引％)=警=*

由全概率公式得P(B)=P(AI)P(B|AI)+P(A2)P(B|42)WX亮+與5=器.

Z7Z11170

(2)設(shè)甲、乙兩人所在代表隊(duì)的總得分為X,則X的所有可能取值為-3,-14,3,

所以P(X=-3)=(1-^)x(1-1)x(l-

P(X=-l)=|x(l-l)x(l-2)+(l-^xlx(l-l)+(l-1)x(l-l)x^,

P(X=D=XXQ：)+("X*；X("XV，

P(X=3)亭衿埸

所以X的分布列為

X-3-113

P2_竺2

32323232

所以￡(X)=(-3)x^+(-l)x^+lx^+3x^=l.

【自測題】

解:⑴甲連勝四場的概率為白.

16

⑵根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場比賽，至多需要進(jìn)行五場比賽.比賽四場結(jié)束，共有三種情況：

甲連勝四場的概率為乙連勝四場的概率為三;丙上場后連勝三場的概率為!.

1616o

所以需要進(jìn)行第五場比賽的概率為1白白44

lo16o4

(3)丙最終獲勝,有兩種情況：

比賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為《；

O

比賽五場結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場開始的四場比賽按照內(nèi)的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種

情況:勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝,概率分別為心念

1688

因此丙最終獲勝的概率為:+白+3+;4.

o168816

微點(diǎn)3

例3解:(l)(i)依題意得2x2列聯(lián)表如下：

單位:首

識別音樂是否正確

軟件類型合計(jì)

正確錯(cuò)誤口

A組的A/軟件402060

B組的A/軟件202040

合計(jì)6040100

零假設(shè)為M):識別音樂是否正確與軟件類型無關(guān)聯(lián).根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得

?=100X(40X20-20X20)-=25^2778<384

人60x40x60x409

依據(jù)小概率值?=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷，。不成立,因此可以認(rèn)為Ho成立，即

認(rèn)為識別音樂是否正確與軟件類型無關(guān)聯(lián).

(ii)由⑴得

?54

故方案二在一次測試中通過的概率為

Gxgx(W)xCPG)2+第x@2xGx；X(l$+鬣X(滬鬣

(2)方案二每次測試通過的概率

????)?

P=CPl(l-Pl)?CfPf4-C1p2.禺p2(i_p2)+C2p2廢Pt=P|P2[2(P+P23RP2]=RP2

2

2

(1-3PIP2)=-3(PIP2)+|PIP2=-3(P1P2^)+(

所以當(dāng)P|P2=1時(shí)，尸取得最大值登,又多+戶2=/所以此時(shí)Pl=P2=l

設(shè)〃次測試中通過的次數(shù)為X,則X?伏小尸),所以E(X)=〃尸=16,因?yàn)樽虻芩浴ㄡ?

16x§=27,所以測試至少要進(jìn)行27次，才能使通過次數(shù)的均值為16,此時(shí)尸產(chǎn)P24

163

【自測題】

解:⑴設(shè)事件4:“抽獎的頑客獲得八折優(yōu)惠”，則P(4)=誓吟.

因?yàn)榧?、乙兩位顧客獲得八折優(yōu)惠的概率均為總，

所以甲、乙兩位顧客中恰好有一人獲得八折優(yōu)惠的概率七?x*(1-?二券

(2)方案一:設(shè)實(shí)付金額為Xi元，則X1=X-60(X>300).

方案二:設(shè)實(shí)付金額為X2元，則%2的可能取值為乂0.9尤0抵0.7?1>300).

所以尸(必=冷=弩=白尸(％=0.9*)=普=割

qr3roi

P(X2=0.8X)=-,P(X2=0.7X)二巖4，

/UZU

匚匚、、

所以tiE(%9)=—1x+9—X—9x+9—X—8x+1—X7—x=1-7r.

'/2020102010201020

aT『60<W,，即300y<400,則選擇方案一；

4U

②?1460=親，即x=400,則選擇方案?、方案二均可；

彝X-60>^A-,&P入>400,則選擇方案二.

所以當(dāng)消費(fèi)金額大于300元且小于400元時(shí),選擇方案一;

當(dāng)消費(fèi)金額等于400元時(shí).選擇方案一、方案二均可；

當(dāng)消費(fèi)金額大于400元時(shí).選擇方案二.

1.D［解析］對于A,，為數(shù)據(jù)的方差，所以。越小，數(shù)據(jù)在〃=1()附近越集中,所以該物理量一

次測量結(jié)果落在(9910.1)內(nèi)的概率越大，故A中結(jié)論正確;對于B,由正態(tài)分布密度曲線的對稱

性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10的概率為0.5，故B中結(jié)論正確;對于C,由正態(tài)分布密度

曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C中

結(jié)論正確;對于D,因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y量結(jié)果落在(9910)內(nèi)的概率與落在(10.2,10.3)內(nèi)的概

率不相等，所以該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9.10.2)內(nèi)的概率與落在(10,10.3)內(nèi)的概率不相

等，故D中結(jié)論錯(cuò)誤.故選D.

2.0.14［解析］2(X>2.5)J2P(2：X￡2.5)J2：O.36=o］4.

3建V［解析］隨機(jī)變量j的可能取值為

1234戶(門)?？?*%=2):筆色嘿P(￡=3)考4，PU=4)［|U，則隨機(jī)變量4的分布

列為

41234

p31631

7353535

故￡(c)=lX1+2X^+3X^+4X±=H

4.解:(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,20.100.

P(X—O)—1-0.8=0.2,尸(、=20)=0.841-0.6)。0.321('-100)—0.8><0.6=0.48,故隨機(jī)變量乂的分布

列為

X020100

P0.20.320.48

(2)若小明先回答B(yǎng)類問題，記丫為小明的累計(jì)得分，

則隨機(jī)變量，的所有可能取值為。,80/。0.

/>(y=0)=l-0.6=0.4,P(y=80)=0.6x(l-0.8)=0.12,/>(r=100)=().6x0.8=0.48,

則￡：(K)=0x0,4+80x0.12+100x0.48=57.6.

由⑴知E(X)=0x0.2+2()xO.32+100x0.48=54.4,因?yàn)椤?K)>E(X),所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問

題.

高分提能三概率、變量分布與其他知識的綜合問題

例1解:⑴第2次投籃的人是乙的概率為0.5X0.4+0.5XD.8=0.6.

⑵設(shè)第i次投籃的人是甲的概率為分則第i次投籃的人是乙的概率為1仙,

由題可得p,+i=0.6p,+0.2(1-p,)=0.4p,+0.2.

設(shè)〃"1+-=胡+力,解得

則Pi+|-：=g(P廠9，

又p】W，所以pifW，

Z)5b

所以酒.(I);所以陪x(|)f.

⑶根據(jù)題意可知，當(dāng)eN*0^,E(Y)=p?+p2+e,,+pn=7x^-^-[1-]+p

61--318L\5/J3

【自測題】

解:⑴由題意知/沁產(chǎn)(1-40%)P,+40%(1月)乏+部整理得Pi+K1(%J,

故數(shù)列佰彳｝是以P4為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，又P曰，所以嗚令?:

即嗚興)”則用言

(2)當(dāng)某期投資選擇方案一時(shí)，獲得的利潤的期望為l%=(l-10%)x2.4%x令1(X)000=360;

當(dāng)某期投資選擇方案二肛獲得的利潤的期望為w2=(1-2()%)X3.O%X^X1(X)0(X)=400.

JL/

那么，在?年期間,老張共投資了6次，獲得的總利潤的期望為

卬二[。1卬1+(1-。|)卬21+102困+(1-。2)的2]+…+[。61%+(1孑6)卬2]=(。1+。2+…

+?6)1%+[(1-P|)+(1-P2)+…+(1-尸6)]卬2P2400-40x(3+3)=2255,

即一年后老張可獲得的總利潤的期望約為2255元.

例2解:⑴由題意得%-〃)+〃?(1L解得m=±.

PZ415

因?yàn)槠W(wǎng)4)=0/仍.)=解、今尸(8/4戶《乂④:汽引4戶鬣乂①:髭乂6: