期中模擬預(yù)測卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2024春?瀏陽市期末）下列各數(shù)中，沒有平方根的是（）A．2 B．（﹣2）2 C．﹣22 D．232．（3分）（2024春?淄川區(qū)期末）計算(?5A．1 B．?125 C．?3．（3分）（2024秋?防城區(qū)期中）已知等腰三角形的一個外角等于140°，則它的頂角是（）A．40° B．70° C．100° D．40°或100°4．（3分）（2025春?金水區(qū)校級期末）下列命題是真命題的是（）A．相等的角是對頂角 B．等角的補角相等 C．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等 D．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直5．（3分）（2022秋?恩陽區(qū)期中）在括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)膯雾検?，使y2﹣（）+144成為完全平方式．A．12y B．24 C．±24y D．126．（3分）（2021秋?孟村縣期中）根據(jù)下列已知條件，能確定△ABC的形狀和大小的是（）A．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90° B．∠B＝40°，∠C＝60°，AB＝6cm C．AB＝8cm，AC＝6cm，∠B＝45° D．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°7．（3分）（2024春?巴東縣期中）下列說法正確的是（）A．0的平方根是0 B．﹣5是25的算術(shù)平方根 C．±4是64的立方根 D．帶根號的數(shù)都是無理數(shù)8．（3分）如圖，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，若∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，則∠ECD的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°9．（3分）（2024?南京三模）下列算式的運算結(jié)果為a5的是（）A．a(chǎn)3+a2 B．2a5﹣a5 C．（a3）2 D．a(chǎn)5÷a10．（3分）（2023秋?北碚區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠EAF＝58°，∠EAF在∠BAD內(nèi)部繞點A旋轉(zhuǎn)，兩邊分別交BC、DC于點E、F，連接EF，當(dāng)△AEF周長最小時，∠BAD為（）A．116° B．119° C．120° D．122°二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．（3分）（2024秋?朝陽區(qū)校級期末）比較大小：172312．（3分）（2024秋?黔江區(qū)期末）如圖，△AOD≌△BOC，∠A＝30°，∠C＝50°，∠AOC＝145°，則∠BOD＝．13．（3分）（2024秋?梁溪區(qū)校級期末）有一張直角三角形的紙片，兩條直角邊長分別是6cm和8cm，將這張紙片折疊并壓平，使得較短的直角邊完全落在斜邊上，此時折痕的長為cm．14．（3分）（2025春?玄武區(qū)校級月考）若多項式（x+a）（3x﹣2）不含x的一次項，則a＝．15．（3分）（2023秋?無為市月考）如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD＝BC，E為BD延長線上一點，BA＝BE．（1）若∠BCD＝75°，則∠ACE的度數(shù)是．（2）若∠BCE＝α，∠ACE＝β，則α，β之間的數(shù)量關(guān)系是．三．解答題（共8小題，滿分75分）16．（10分）（2024?山亭區(qū)校級開學(xué)）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC內(nèi)一點，且OB＝OC．求證：直線AO垂直平分線段BC．17．（8分）（2024春?攸縣期末）計算：|?2|+(118．（8分）（2023秋?鳳陽縣月考）如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，QP＝AB，P，Q兩點分別在線段AC和過點A且垂直于AC的射線AM上運動，且點P不與點A，C重合．（1）當(dāng)AP為何值時，才能使△ABC與△APQ全等？（2）在（1）的情況下，猜想PQ與AB有什么位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．19．（8分）先化簡，再求值：[（3m+n）（3m﹣n）﹣3（2m2﹣mn）+n2]÷（?12m），其中m+n20．（9分）（2025春?清新區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點D，過點D作DE∥AB交AC于點E．（1）求證：△AED是等腰三角形；（2）若∠C＝110°，∠B＝30°，求∠AED的度數(shù)．21．（10分）（2025春?撫州期末）如圖①是一個平分角的儀器，其中OD＝OE，F(xiàn)D＝FE．（1）如圖②，將儀器放置在△ABC上，使點O與頂點A重合，D，E分別在邊AB，AC上，沿AF畫一條射線AP，交BC于點P，AP是∠BAC的平分線嗎？請判斷并說明理由．（2）如圖③，在（1）的條件下，過點P作PQ⊥AB于點Q，若PQ＝6，AC＝8，AB＝10，求△ABC的面積．22．（10分）（2025春?昭平縣期中）（閱讀學(xué)習(xí)）課堂上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們學(xué)習(xí)了“提公因式法、公式法”兩種因式分解的方法．分解因式的方法還有許多，如分組分解法．它的定義是：將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫分組分解法．使用這種方法的關(guān)鍵在于分組適當(dāng)，而在分組時，必須有預(yù)見性．能預(yù)見到下一步能繼續(xù)分解．例如：（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）；（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）．（學(xué)以致用）請仿照上面的做法，將下列各式分解因式：（1）ab﹣a﹣b+1；（2）4﹣x2+4xy﹣4y2．（拓展應(yīng)用）（3）已知：x+y＝9，x﹣y＝5．求：x2﹣y2﹣2y+2x的值．23．（12分）（2024春?沙坡頭區(qū)校級期末）閱讀理解，自主探究：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，點D為邊上的一個動點，以CD為邊作等邊△CDE，DE與AC相交于F，連接AE，將等邊△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點D在BC上，四邊形ABDE是平行四邊形時，求線段DF的長；（2）如圖2，當(dāng)點D恰好落在AC上時，此時點D與點F重合，連接BD，若B，D，E共線，求線段AE的長；（3）如圖3，在等邊△CDE在旋轉(zhuǎn)的過程中，BD所在的直線與AC相交于點P，當(dāng)∠DPE＝150°時，若DP=2，PE=23，求線段

期中模擬預(yù)測卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2024春?瀏陽市期末）下列各數(shù)中，沒有平方根的是（）A．2 B．（﹣2）2 C．﹣22 D．23【考點】平方根．【專題】實數(shù)；數(shù)感．【答案】C【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)進行解題即可．【解答】解：A、2＞0有平方根，不符合題意；B、（﹣2）2＝4＞0有平方根，不符合題意；C、﹣22＝﹣4＜0沒有平方根，符合題意；D、23＝8＞0有平方根，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了平方根，解題的關(guān)鍵是掌握負數(shù)沒有平方根2．（3分）（2024春?淄川區(qū)期末）計算(?5A．1 B．?125 C．?【考點】冪的乘方與積的乘方．【專題】整式；運算能力．【答案】C【分析】先根據(jù)乘方的意義變形，再逆用積的乘方法則計算即可．【解答】解：(?=?5=?5=?5=?5故選：C．【點評】本題考查冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．3．（3分）（2024秋?防城區(qū)期中）已知等腰三角形的一個外角等于140°，則它的頂角是（）A．40° B．70° C．100° D．40°或100°【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】D【分析】分140°角是等腰三角形的頂角和底角的補角兩種情況解答即可．【解答】解：當(dāng)140°角是頂角的補角時，此時頂角180°﹣140°＝40°；當(dāng)140°角是底角的補角時，此時，頂角為180°﹣40°﹣40°＝100°，故選：D．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，學(xué)會分類思想求解是解題的關(guān)鍵．4．（3分）（2025春?金水區(qū)校級期末）下列命題是真命題的是（）A．相等的角是對頂角 B．等角的補角相等 C．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等 D．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【考點】命題與定理；余角和補角；對頂角、鄰補角；垂線；同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角．【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀；推理能力．【答案】B【分析】由對頂角的定義，補角的性質(zhì)，同位角的定義，垂線的性質(zhì)，即可判斷．【解答】解：A、相等的角不一定是對頂角，故A不符合題意；B、命題是真命題，故B符合題意；C、兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故C不符合題意；D、在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故D不符合題意．故選：B．【點評】本題考查命題與定理，余角和補角，對頂角、鄰補角，垂線，同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，關(guān)鍵是掌握對頂角的定義，補角的性質(zhì)，同位角的定義，垂線的性質(zhì)．5．（3分）（2022秋?恩陽區(qū)期中）在括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)膯雾検?，使y2﹣（）+144成為完全平方式．A．12y B．24 C．±24y D．12【考點】完全平方式；單項式．【專題】整式；運算能力．【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式即可求得答案．【解答】解：y2±2?y?12+144＝（y±12）2，則±2?y?12＝±24y，故選：C．【點評】本題考查完全平方公式，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．6．（3分）（2021秋?孟村縣期中）根據(jù)下列已知條件，能確定△ABC的形狀和大小的是（）A．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90° B．∠B＝40°，∠C＝60°，AB＝6cm C．AB＝8cm，AC＝6cm，∠B＝45° D．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°【考點】全等三角形的判定．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，若各選項的條件滿足三角形全等的條件，則可確定三角形的形狀和大小確定，否則三角形的形狀和大小不能確定．【解答】解：A、∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC的形狀能確定，大小不能確定，故A選項不符合題意；B、∵∠B＝40°，∠C＝60°，AB＝6cm，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，利用“ASA”可判斷△ABC是唯一的，故B選項符合題意；C、AB＝8cm，AC＝6cm，∠B＝45°，△ABC的形狀和大小不能確定，故C選項不符合題意；D、AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°，△ABC的形狀和大小不能確定，故D選項不符合題意．故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2024春?巴東縣期中）下列說法正確的是（）A．0的平方根是0 B．﹣5是25的算術(shù)平方根 C．±4是64的立方根 D．帶根號的數(shù)都是無理數(shù)【考點】無理數(shù)；平方根；算術(shù)平方根；立方根．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】A【分析】算術(shù)平方根、平方根、立方根及無理數(shù)的定義解答即可．【解答】解：A、0的平方根是0，正確，符合題意；B、5是25的算術(shù)平方根，原說法錯誤，不符合題意；C、4是64的立方根，原說法錯誤，不符合題意；D、帶根號的數(shù)不一定都是無理數(shù)，如4=故選：A．【點評】本題考查了算術(shù)平方根、平方根、立方根、無理數(shù)的定義，掌握以上定義是解題關(guān)鍵．8．（3分）如圖，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，若∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，則∠ECD的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】C【分析】證明△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BCE＝∠ACD，計算即可．【解答】解：在△ACD和△BCE中，CA=CBCD=CE∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE，即∠ACB＝∠DCE，∴∠ECD=1故選：C．【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)SSS公理證明△ACD≌△BCE是解題的關(guān)鍵．9．（3分）（2024?南京三模）下列算式的運算結(jié)果為a5的是（）A．a(chǎn)3+a2 B．2a5﹣a5 C．（a3）2 D．a(chǎn)5÷a【考點】同底數(shù)冪的除法；冪的乘方與積的乘方．【專題】整式；運算能力．【答案】B【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則、冪的乘方與積的乘方法則進行解題即可．【解答】解：A、a3與a2不是同類項，不能進行合并，故不符合題意；B、2a5﹣a5＝a5，符合題意；C、（a3）2＝a6，不符合題意；D、a5÷a＝a4，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查同底數(shù)冪的除法、冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．10．（3分）（2023秋?北碚區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠EAF＝58°，∠EAF在∠BAD內(nèi)部繞點A旋轉(zhuǎn)，兩邊分別交BC、DC于點E、F，連接EF，當(dāng)△AEF周長最小時，∠BAD為（）A．116° B．119° C．120° D．122°【考點】軸對稱﹣最短路線問題．【專題】三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】B【分析】要使△AEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，由∠EAF＝58°可推出AE'F'+∠AF'E'的度數(shù)，進一步可得出∠A′+∠A″的度數(shù)，進而得出∠BAD的度數(shù)．【解答】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E'，交CD于F'，則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH，由題意，知∠E'AF'＝58°，∴∠AE'F'+∠AF'E'＝122°，∵∠A′＝∠EAA′，∠F'AD＝∠A″，∴∠A′=12∠AE'F'，∠A″=12∠∵∠A′+∠A''＝61°，∴∠BAD＝180°﹣61°＝119°，故選：B．【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出△AEF周長最小時E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．（3分）（2024秋?朝陽區(qū)校級期末）比較大?。?7＞23【考點】實數(shù)大小比較．【專題】實數(shù)；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用平方法對所給實數(shù)進行大小比較即可．【解答】解：∵(17∴17＞2故答案為：＞．【點評】本題主要考查了實數(shù)大小比較，熟知平方法是解題的關(guān)鍵．12．（3分）（2024秋?黔江區(qū)期末）如圖，△AOD≌△BOC，∠A＝30°，∠C＝50°，∠AOC＝145°，則∠BOD＝55°．【考點】全等三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】55°．【分析】由全等三角形的性質(zhì)推出∠B＝∠A＝30°，∠AOD＝∠BOC，求出∠BOC＝100°，得到∠AOB＝∠AOC﹣BOC＝45°，于是∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝55°．【解答】解：∵△AOD≌△BOC，∴∠B＝∠A＝30°，∠AOD＝∠BOC，∵∠C＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，∵∠AOC＝145°，∴∠AOB＝∠AOC﹣BOC＝45°，∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝100°﹣45°＝55°．故答案為：55°．【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由全等三角形的性質(zhì)推出∠B＝∠A，∠AOD＝∠BOC．13．（3分）（2024秋?梁溪區(qū)校級期末）有一張直角三角形的紙片，兩條直角邊長分別是6cm和8cm，將這張紙片折疊并壓平，使得較短的直角邊完全落在斜邊上，此時折痕的長為35cm．【考點】翻折變換（折疊問題）．【專題】三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力；推理能力．【答案】35．【分析】設(shè)Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，折痕為BD，BC邊落BA邊上，點落在點E處，由BA=BC2+AC2=10cm，DE＝DC，得S△ABC=12×10DC+12【解答】解：設(shè)Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，如圖，將Rt△ABC折疊，折痕為BD，BC邊落斜邊BA上，點落在點E處，∵∠BED＝∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，DE⊥BA，∵S△CBD+S△ABD＝S△ABC，且BA=BC2+AC2=∴12×10DC+12解得DC＝3，∴BD=BC2+DC故答案為：35．【點評】此題重點考查勾股定理、翻折變換的性質(zhì)、根據(jù)面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地畫出圖形是解題的關(guān)鍵．14．（3分）（2025春?玄武區(qū)校級月考）若多項式（x+a）（3x﹣2）不含x的一次項，則a＝23【考點】多項式乘多項式；合并同類項．【專題】計算題；方程思想；整式；運算能力．【答案】23【分析】先把多項式合并，然后令x的一次項系數(shù)等于0，再解方程即可．【解答】解：∵多項式（x+a）（3x﹣2）＝3x2+（3a﹣2）x﹣2a不含x的一次項，∴3a﹣2＝0，解得a=2故答案為：23【點評】本題考查了合并同類項法則及對多項式“項”的概念的理解，要知道多項式中的每個單項式叫做多項式的項，題目設(shè)計精巧，有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活運用知識的能力．15．（3分）（2023秋?無為市月考）如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD＝BC，E為BD延長線上一點，BA＝BE．（1）若∠BCD＝75°，則∠ACE的度數(shù)是30°．（2）若∠BCE＝α，∠ACE＝β，則α，β之間的數(shù)量關(guān)系是2α﹣β＝180°．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【專題】圖形的全等；運算能力．【答案】30°，2α﹣β＝180°．【分析】（1）先由SAS證明△ABD≌△EBC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BCD＝∠BDC＝75°，由三角形的內(nèi)角和以及角平分線的定義得出∠DBC＝∠ABD＝30°，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可求解；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BCD＝∠BDC，由角平分線的定義得∠DBC＝∠ABD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝β，由∠BCE＝∠BCD+∠ACE＝α和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△EBC中，BA=BE∠ABD=∠CBE∴△ABD≌△EBC（SAS），∴∠BAD＝∠BEC，∵BD＝BC，∠BCD＝75°∴∠BCD＝∠BDC＝75°，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∵∠BAD＝∠BEC∴∠ABC＝60°，∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ACE＝∠ABD＝30°；（2）∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC，∵∵BD為△ABC的角平分線，∴∠DBC＝∠ABD，由（1）知△ABD≌△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝β，∵∠BCE＝∠BCD+∠ACE＝α，∴∠BCD＝∠BDC＝α﹣β，∵∠DBC+∠BDC+∠BCD＝180°，∴β+（α﹣β）+（α﹣β）＝180°，∴2α﹣β＝180°．故答案為：30°，2α﹣β＝180°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題，滿分75分）16．（10分）（2024?山亭區(qū)校級開學(xué)）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC內(nèi)一點，且OB＝OC．求證：直線AO垂直平分線段BC．【考點】等腰三角形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】證明見解析．【分析】到一條線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，由此即可證明問題．【解答】證明：∵AB＝AC，OB＝OC，∴點A、O都在線段BC的垂直平分線上，∴直線AO垂直平分線段BC．【點評】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理．17．（8分）（2024春?攸縣期末）計算：|?2|+(1【考點】實數(shù)的運算．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】3．【分析】利用絕對值的性質(zhì)，負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)冪計算即可．【解答】解：原式＝2+2﹣2+1＝3．【點評】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．18．（8分）（2023秋?鳳陽縣月考）如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，QP＝AB，P，Q兩點分別在線段AC和過點A且垂直于AC的射線AM上運動，且點P不與點A，C重合．（1）當(dāng)AP為何值時，才能使△ABC與△APQ全等？（2）在（1）的情況下，猜想PQ與AB有什么位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；運算能力；推理能力．【答案】（1）當(dāng)AP＝10時，△ABC與△APQ全等；（2）PQ⊥AB，理由見解析．【分析】（1）本題要分情況討論：①△APQ≌△CBA，②△QAP≌△BCA，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解；（2）由△APQ≌△CBA，推出∠APQ＝∠B，求得∠BAC+∠APQ＝90°，即可證明PQ⊥AB．【解答】解：（1）∵QP＝AB，∠C＝∠PAQ＝90°，①當(dāng)△APQ≌△CBA時，∴AP＝BC＝10；②當(dāng)△QAP≌△BCA時，∴AP＝AC＝20，此時P與C點重合，不合題意．綜上所述，當(dāng)AP＝10時，△ABC與△APQ全等；（2）PQ⊥AB，理由如下，∵△APQ≌△CBA，∴∠APQ＝∠B，∵∠BAC+∠B＝90°，∴∠BAC+∠APQ＝90°，∴∠AOP＝90°，即PQ⊥AB．【點評】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．19．（8分）先化簡，再求值：[（3m+n）（3m﹣n）﹣3（2m2﹣mn）+n2]÷（?12m），其中m+n【考點】整式的混合運算—化簡求值．【專題】計算題；運算能力．【答案】3．【分析】根據(jù)運算法則計算出原式＝﹣（6m+6n），再將m+n=?1【解答】解：原式＝（9m2﹣3mn+3mn﹣n2﹣6m2+3mn+n2）÷(?＝（3m2+3mn）÷(?＝﹣（6m+6n），將m+n=?1則原式＝﹣6×(?1【點評】本題考查的是整式的混合運算與化簡求值，熟練掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．20．（9分）（2025春?清新區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點D，過點D作DE∥AB交AC于點E．（1）求證：△AED是等腰三角形；（2）若∠C＝110°，∠B＝30°，求∠AED的度數(shù)．【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解答過程；（2）140°．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得∠BAD＝∠CAD＝∠EDA，進而得EA＝ED，據(jù)此即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CDE＝∠B＝30°，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得∠AED＝∠C+∠CDE，據(jù)此即可得出∠AED的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠BAD，∴∠EDA＝∠CAD，∴EA＝ED，∴△AED是等腰三角形；（2）解：∵DE∥AB，∠B＝30°，∴∠CDE＝∠B＝30°，∵∠AED是△CED的外角，∴∠AED＝∠C+∠CDE，又∵∠C＝110°，∴∠AED＝110°+30°＝140°．【點評】此題主要考查了等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．21．（10分）（2025春?撫州期末）如圖①是一個平分角的儀器，其中OD＝OE，F(xiàn)D＝FE．（1）如圖②，將儀器放置在△ABC上，使點O與頂點A重合，D，E分別在邊AB，AC上，沿AF畫一條射線AP，交BC于點P，AP是∠BAC的平分線嗎？請判斷并說明理由．（2）如圖③，在（1）的條件下，過點P作PQ⊥AB于點Q，若PQ＝6，AC＝8，AB＝10，求△ABC的面積．【考點】角平分線的性質(zhì)；三角形的面積．【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；圖形的全等；運算能力；推理能力．【答案】（1）AP是∠BAC的平分線，理由見解析；（2）54．【分析】（1）判定△ADF≌△AEF（SSS），得到∠DAF＝∠EAF，即可證明AP是∠BAC的平分線；（2）由角平分線的性質(zhì)推出PH＝PQ＝6，得到△ABC的面積=12（AB+AC）?【解答】解：（1）如圖②，AP是∠BAC的平分線，理由如下：在△ADF和△AEF中，AD=AEDF=EF∴△ADF≌△AEF（SSS），∴∠DAF＝∠EAF，∴AP是∠BAC的平分線；（2）如圖③，過P作PH⊥AC于H，∵PQ⊥AB于點Q，AP平方∠BAC，∴PH＝PQ＝6，∵△ABC的面積＝△ABP的面積+△ACP的面積，∴△ABC的面積=12AB?PQ+12AC?PH=12（AB【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是判定△ADF≌△AEF（SSS），得到∠DAF＝∠EAF，由三角形的面積公式得到△ABC的面積=12（AB+AC）?22．（10分）（2025春?昭平縣期中）（閱讀學(xué)習(xí)）課堂上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們學(xué)習(xí)了“提公因式法、公式法”兩種因式分解的方法．分解因式的方法還有許多，如分組分解法．它的定義是：將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫分組分解法．使用這種方法的關(guān)鍵在于分組適當(dāng)，而在分組時，必須有預(yù)見性．能預(yù)見到下一步能繼續(xù)分解．例如：（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）；（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）．（學(xué)以致用）請仿照上面的做法，將下列各式分解因式：（1）ab﹣a﹣b+1；（2）4﹣x2+4xy﹣4y2．（拓展應(yīng)用）（3）已知：x+y＝9，x﹣y＝5．求：x2﹣y2﹣2y+2x的值．【考點】因式分解的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題．【答案】（1）（a﹣1）（b﹣1）；（2）（2﹣x+2y）（2+x﹣2y）；（3）55．【分析】（1）把ab﹣a﹣b+1分組為（ab﹣a）﹣（b﹣1），再提取公因式分解即可；（2）把4﹣x2+4xy﹣4y2分組為4﹣（x2﹣4xy+4y2），再利用完全平方公式和平方差公式分解；（3）把x2﹣y2﹣2y+2x分組為（x2﹣y2）+（2x﹣2y），再因式分解，整體代入求值即可．【解答】解：（1）ab﹣a﹣b+1＝（ab﹣a）﹣（b﹣1）＝a（b﹣1）﹣（b﹣1）＝（a﹣1）（b﹣1）；（2）4﹣x2+4xy﹣4y2＝4﹣（x2﹣4xy+4y2）＝22﹣（x﹣2y）2＝（2﹣x+2y）（2+x﹣2y）；（3）x2﹣y2﹣2y+2x＝（x2﹣y2）+（2x﹣2y）＝（x+y）（x﹣y）+2（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y+2），當(dāng)x+y＝9，x﹣y＝5時，原式＝5×（9+2）＝55．【點評】此題考查了因式分解所涉及的相關(guān)知識：完全平方公式，平方差公式，提取公因式法因式分解和分組結(jié)合等，也考查了學(xué)生對題文的理解能力．23．（12分）（2024春?沙坡頭區(qū)校級期末）閱讀理解，自主探究：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，點D為邊上的一個動點，以CD為邊作等邊△CDE