第七單元圖形的變化微專題圖形的折疊一階方法訓(xùn)練類型一利用折疊出現(xiàn)的等腰、直角三角形求解原理圖形分析解題思路利用折疊的性質(zhì)得到直角三角形或者等腰三角形，再利

用等腰三角形性質(zhì)、勾股定理或三角函數(shù)求解

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，將△ABC按照如圖所示的折痕折疊，點C的對應(yīng)點E落在AB上如圖，設(shè)DE=x，則

CD=DE=x，AE=AC=b，故BD=a－

x，BE=c－b.在Rt△BED中，利用勾股

定理可得x2＋(c－b)2=(a

－x)2原理圖形分析解題思路利用折疊的性

質(zhì)得到直角三

角形或者等腰

三角形，再利

用等腰三角形

性質(zhì)、勾股定

理或三角函數(shù)

求解

在矩形ABCD中，AB=a，

BC=b，將矩形按照如圖所示

的折痕折疊如圖，設(shè)DF=x，則

AF=b－x，BF=DF=x.

在Rt△ABF中，利用勾

股定理可得a2＋(b－

x)2=x2例1如圖，在矩形ABCD中，CD=4，BC=8，將△BCD沿BD翻折得到

△BED，BE交AD于點F，則AF的長為

?.3【解析】∵四邊形ABCD為矩形CD=4，BC=8，∴AD=BC=8，

AB=CD=4，AD∥BC，∠A=90°，∴∠ADB=∠CBD，由折疊的性質(zhì)得，

∠CBD=∠EBD，∴∠ADB=∠EBD，∴BF=DF，設(shè)AF=x，則

BF=DF=AD－AF=8－x，在Rt△ABF中，BF2=AB2＋AF2，即(8－x)2=42＋x2，解得x=3，∴AF=3.例2如圖，已知矩形紙片的寬為2，將矩形紙片沿MN折疊，得到重合部

分△AMN，若∠MAN=45°，則△AMN的面積為

.

解圖例3如圖，在Rt△ABC中，BC=6，AB=9，∠B=90°，將△ABC沿MN

折疊，使點A與BC的中點D重合，折痕為MN，則線段DN的長為

?.

5例4如圖，對折矩形紙片ABCD，使得AD與BC重合，得到折痕EF，把

紙片展平.沿過點B的直線再折疊一次紙片，使點A的對應(yīng)點A′落在EF上，

得到折痕BM，連接MF，若MF⊥BM，AB=6cm，求AD的長.解：∵四邊形ABCD為矩形，AB=6cm，∴∠A=∠D=90°，CD=AB=6cm，由折疊的性質(zhì)，得BE=DF=3cm，A′B=AB=6cm，∠A′EB=90°，∠ABM=∠A′BM，在Rt△A′BE中，∵A′B=2BE，∴∠BA′E=30°，

類型二利用折疊出現(xiàn)的全等、相似求解原理圖形分析解題思路利用折疊的性

質(zhì)得到全等、

相似三角形，

再利用全等、

相似三角形的

性質(zhì)求解將矩形

ABCD按照

如圖所示的

折痕折疊點B′落在矩形邊上

①全等關(guān)系：

△BCP≌△B′CP；②相似關(guān)系：

△AB′P∽△DCB′原理圖形分析解題思路利用折疊的性

質(zhì)得到全等、

相似三角形，

再利用全等、

相似三角形的

性質(zhì)求解將矩形

ABCD按

照如圖所

示的折痕

折疊點B′落在矩形外

①全等關(guān)系：△ABC≌△AB′C，△AB′F≌△CDF；②特殊三角形：Rt△AB′F，Rt△CDF，等

腰△AFC原理圖形分析解題思路利用折疊的性

質(zhì)得到全等、

相似三角形，

再利用全等、

相似三角形的

性質(zhì)求解將矩形

ABCD按

照如圖所

示的折痕

折疊點B′落在矩形對

角線上

①全等關(guān)系：△BCP≌△B′CP；②相似關(guān)系：△AB′P∽△ABC例5如圖是一張矩形紙片ABCD，點E在AB邊上，把紙片沿CE所在直線

折疊，使點B落在對角線AC上的點F處，連接DF.

若點E，F(xiàn)，D在同一條

直線上，AE=2.(1)求DF的長；解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，由折疊的性質(zhì)得，CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，∴CF=AD，∠CFD=90°，∴∠ADE＋∠CDF=∠CDF＋∠FCD=90°，∴∠ADE=∠FCD，∴△ADE≌△FCD(ASA)，∴DF=AE=2；矩形ABCD，把紙片沿CE所在直線折疊，使點B落在對角線AC上的點F

處，AE=2.(2)求BE的長.(2)∵∠AFE=∠CFD=90°，∴∠AFE=∠DAE=90°，∵∠AEF=∠DEA，∴△AEF∽△DEA，

由折疊的性質(zhì)可得，BE=EF，

一題多解法

二階綜合訓(xùn)練1.如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠B=45°，E是邊CD上一點，連接

AE，將△ADE沿AE折疊，點D的對應(yīng)點F恰好在DC的延長線上，則線段

CF的長為(

A

)A2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，D是斜邊AB

的中點，把△ABC沿著CD折疊，點B的對應(yīng)點為點E，連接AE，則AE的

長為(

A

)A.3B.4C.5D.6A3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOBC的邊OB，OA分別在x軸、y軸

的正半軸上，點D在BC邊上，將矩形AOBC沿AD折疊，點C恰好落在邊

OB上的點E處.若OA=8，OB=10，則點D的坐標(biāo)是

?.(10，3)【解析】∵四邊形AOBC是矩形，OA=8，OB=10，∴AC=OB=10，

BC=OA=8，∵將矩形AOBC沿AD折疊，點C恰好落在OB邊上的點E處，

∴AE=AC=10，CD=DE，由勾股定理得，OE=6，∴BE=4，設(shè)BD=m，則

DE=CD=8－m，在Rt△BDE中，BE2＋BD2=DE2，即42＋m2=(8－m)2，解

得m=3，∴BD=3，∴D(10，3).4.(2024連云港15題)如圖，將一張矩形紙片ABCD上下對折，使之完全重

合，打開后，得到折痕EF，連接BF.

再將矩形紙片折疊，使點B落在BF

上的點H處，折痕為AG.

若點G恰好為線段BC最靠近點B的一個五等分

點，AB=4，則BC的長為

.

解圖

解圖

解圖5.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為6，M，N分別是邊AB，CD上的點，

將正方形紙片ABCD沿MN折疊，使點A落在邊BC上，對應(yīng)點為點A′，點D

落在D′處，A′D′與CD交于點E.

(1)若BA′=2，求折痕MN的長；解：(1)如解圖①，過點N作NF⊥AB，連接AA′，與NF交于點P，與MN交于點Q，解圖①一題多解法∵四邊形ABCD是正方形，∴DA⊥AB，DC∥BA，∠ABC=90°，AB=AD，∴NF∥AD，∴四邊形AFND是矩形，NF=AD=6，由折疊的性質(zhì)得，AA′⊥MN，在△APF和△NPQ中，∵∠APF=∠NPQ，∠AFP=∠NQP=90°，解圖①∴∠PAF=∠PNQ，即∠BAA′=∠FNM，∵∠ABA′=∠NFM=90°，NF=AD=AB=6，∴△ABA′≌△NFM(ASA)，∵BA′=2，

解圖①解法二:如解圖②，連接AA′與MN交于點Q，連接AN，解圖②由折疊的性質(zhì)得，AQ=A′Q，NM⊥AA′，AM=A′M，∵AB=6，BA′=2，∠B=90°，

設(shè)BM=x，則A′M=AM=6－x，

解圖②5.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為6，將正方形紙片ABCD沿MN折疊，使點A落在邊BC上，對應(yīng)點為點A′，點D落在D′處，A′D′與CD交于點E.

(2)探究△A′CE的周長是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說

明理由.(2)△A′CE的周長是定值.如解圖③，連接AA′，AE，過點A作AG⊥A′E，垂足為G，解圖③由折疊的性質(zhì)得，A′M=AM，∠MA′G=∠MAD=90°，∴∠MA′A=∠MAA′，∵∠AA′G＋∠MA′A=90°，∠AA′G＋∠A′AG=90°，∴∠MA′A=∠A′AG，∴∠MAA′=∠A